(定量遥感课件几何光学模型

经过这样 z 方向的线形拉伸和坐标系向坡面方向旋转，斜 坡上的椭球植株（林木）的几何光学问题就完全等效于水 平地面上的球型植株问题。
因此，在下述推导中，我们均会采用水平球型的几何分布 假设，而不失各种椭球假设的一般性。
几何光学模型的四分量 (four components) 对稀疏森林成像时，遥感象元反射率由四部 分组成，即光直接照射的树冠、树冠阴影面、 直接照射的地面（背景）、阴影遮蔽的地面。
。
1 ea
上述式中，a 是树冠在水平地面的投影面积，它与投射方向 Ω(θ, φ)有关，即太阳方向不同，a 也不同，应写为 a(θ, φ)。
布尔模型实际上描述了一个间隙概率 (gap probability)问题，即 在一个离散分布有物体的区域中，要么我们照射（看到）物体 (object)，要么我们照射（看到）间隙 (gap)，我们照射（看到）
遮挡和重叠包括照射和视角 2ห้องสมุดไป่ตู้方向。 固定几何形状是几何光学模型的特点，其它还有圆柱、 圆锥等形状假设。
椭球向球型的坐标转换
利用坐标转换可以进一步将椭球转换为球型，使数 学表达更为简单。
太阳 (θi,φi)
r b
h
坡向 (θs, φs)
传感器 (θv,φv)
z (θ=0)
假设树冠是一-个垂直 半径为 b，水平半径为 r的椭球，球心位于一 个坡度为θs、方位为φs 的坡面上方h。
n
rj2 AR 2
j1
此时，1 个象元中四分量的面积分别为：
R 2
AC A
(1 cos i)
2
R 2
AT A
(1 cos i)
2
AZ AR2 seci
AG A AR2 (1 sec i)
m = λπR2为林木 平均郁密度，或 称覆盖指数
垂直下视条件下 象元中四分量的面积比例
将上述AC、AT、AZ、AG四个表达式分别除以象元 面积 A，则光照树冠、阴影树冠、阴影背景、 光照 背景在象元中所占面积比例分别为：
进而我们可以得到阴影背景的比例：
K e e a(v,v)
[a(i,i ) a(v,v)O(i,v,)]
Z
光照树冠面积比例KC与阴影树冠面积比例KT
KC、KT同样与树冠形状有关。
对于球型树冠，在稀疏分布下存在：
R 2
R 2
KC
(1 cos ) KT
(1 cos )
2
2
对于浓密分布，如果不考虑相邻树冠在对方上产生的
阴影或遮挡（由于太阳或传感器天顶角过大，或树冠
存在不同高度），KC与KT的具体表达式虽然有变化， 它们之间的关系是一样的，即存在：
KC 1 (1 cos )
KT 1 (1 cos )
KC KT 2
KC KT 2
aZ = πr2/cosθi = πr2secθi
注意假设是无遮挡的。 地面投影形状是椭球。
垂直下视条件下 1 个象元中四分量的面积
假设 1 个象元内有 n棵树，则四分量的面积分别为：
AC
n
(aC)j
j1
2
(1
cos
n
i)
j1
rj2
AT
n
(aT)j
j1
2
(1
cos
n
i)
j1
rj2
n
n
AZ (aZ)j sec i rj2
j1
j1
若象元面积为 A，则光照背景面积为： n
AG A AC AT AZ A (1 sec i) rj2 j1
第 j 棵树的树冠半径为 rj 。
为了反演方便，将遥感成像的森林进行参数化，引入统计
数据，即林区单位面积内树木的平均个数 λ，以及树冠平 均半径 R。因而存在：
冠层反射率模型--几何光学模型
浓密分布条件下的模型
模型条件描述
在实际应用中，我们更多地会遇到树木比较 密的林地，此时树木之间在太阳方向和视线 方向出现相互遮挡，阴影也可能重叠。本小 节即探讨建立这种浓密条件下的模型。
模型中仍存在四分量，即光照树冠、阴影树冠、光照 背景、阴影背景，各分量为朗伯体，林木位于水平地 面，并且仍忽略天空散射光的影响。
冠层反射率模型--几何光学模型
稀疏分布林冠椭球模型
模型假设条件描述 本模型用于对森林地区冠层反射率的求算。 所谓冠层反射率，指植被上界出射辐射与入 射辐射的比值。
模型有 2个主要假设：
• 稀疏分布：森林中树木分布非常稀疏，相互 之间没有遮挡，树木阴影没有重叠；
• 椭球树冠：树冠形状为椭球。它有固定几何 形状。
KC、KT 、 KG 、 KZ分别为几何光学模型中的四个分量，即 光照树冠、阴影树冠、光照背景、阴影背景在象元中所占面
积比例。
对于照射过程中的间隙概率问题，如果太阳方向为Ω(θi, φi)，
类似地，我们可以得到背景受到光照的概率为
，而
背e景处a(于i,阴i) 影的概率为
1 e 。
a(i,i )
光照背景面积比例KG与阴影背景面积比例KZ
b
坡度角：
's
tan1( r b
tan s)
h
球心高度：
h' r h b
坡向 (θs, φs)
(θv,φv) z (θ=0)
x
然后再旋转坐标系，使坡面的法向成为新坐标系的z’’轴， 即 x 轴旋转 φs’，z’ 轴旋转 θ s’。 在新的坐标空间里，入射方向与观测方向的天顶角和方位 角、球心高度等都会发生变化，具体的公式更加复杂，可 以自行推导。
θi r
AC
如左图，假设太阳以θi角入射半 径为r 的球型树冠，则图中以粗 线表示的光照树冠面积为：
aC r2 (1 cos i) 2
aC 的表达式是如何推导的？
垂直下视条件下的 1 棵树的阴影树冠面积aT和 阴影背景面积aZ
阴影树冠面积为： aT r2 aC r2 (1 cos i) 2 如左图，假设太阳以θi角入射半 径为r 的球型树冠，则阴影背景 面积即是以粗线表示的面积在水 平面上的投影：
几何光学模型的基础就是四分量模型，上式是其基本模型 ，所有后续模型都建立在上式的基础上。其关键在于根据 假设条件，求取KC、KT 、 KG 、 KZ的表达式，条件不同 ，面积比例 K 的表达式也不同。
RC、RT、RG、RZ一般可以通过实测获得。
垂直下视条件下的 1 棵树的光照树冠面积aC
许多传感器，如Landsat、SPOT均可以近似 看作垂直下视（nadir view)。
参考直视时树冠比例：
R 2
KC
(1 cos i)
2
KT R2 (1 cos i) 2
我们进而得到任意视角下光照和阴影树冠比例：
R 2
KC
(1 cos )
2
R 2
KT
(1 cos )
2
总结
• 模型成立的条件：稀疏分布。 • 几何光学模型假设地表被观测地物（不仅限于 树冠）有一定的几何形状。本小节采用椭球近似， 并通过坐标转换，变为球型，以简化表达式。 • 模型建立的关键是明确光照树冠、阴影树冠、 光照背景、阴影背景等四分量的面积比例。 • 模型中引入了林业调查中所关心的、具有实际 统计意义的 2 个参量， λ和R，使反演简化。 • 模型还做了 2 个假设： RC、RT、RG、RZ具有朗 伯性质；只考虑直射光，忽略天空散射光
R 2
KC
(1 cos i)
2
R 2
KT
(1 cos i)
2
KZ R2 seci
KG 1 R2 (1 sec i)
任意视角方向下 象元中四分量的面积比例
将前面推出的垂直条件下的四分量面积比例 公式推广到任意视角，使其具有更加普遍的 意义。
太阳 (θi, φi) 传感器 (θv, φv) r
x (φ=0)
坡面方向以法线为准。 所有方位以 x 轴为准。
首先我们定义一个新的高度坐标：
z' r z b
在新的坐标空间里，原来的直线仍为直线，椭球变成了球，
而几个变量分别变为：
(θi,φi)
入射方向天顶角：
'i
tan1( b r
tan i)
r
观察方向天顶角： 'v
tan1 ( b r
tan v)
半径为r 的球型树冠
如左图，假设太阳入射方向为 Ωi(θi , φi)，传感器观测方向为 Ωv(θv, φv)。
通过旋转坐标系，使传感器方 向变为垂直，即可直接采用树 冠直视时的公式。
旋转坐标系后，太阳的入射角即变为太阳入射方向 Ωi与传 感器观测方向Ωv的夹角Θ，并有：
cos cos i cos v sin i sin v cos(i v)
间隙的概率等于 ea(,)，其中a(θ, φ)为沿照射（视角）方向
Ω(θ, φ) 单个物体水平投影的平均面积，λa(θ, φ)即为所有物体沿 方向Ω(θ, φ)水平投影面积比例的总和。
布尔模型 在浓密分布林冠中的应用
当我们从（传感器）方向Ω(θv, φv)看浓密森 林时，若每棵树木在水平背景的平均投影面
a(θv,φv)
a(θi,φi) O(θi,θv,φ)
设O(θi,θv,φ)为相互重叠的面积，则光照背景的比例为：
K e[a(i,i) a(v,v)O(i,v,)] G
O(θi,θv,φ)与两个方向的天顶角、相对方位角(φ= φi - φv)有关。 其具体表达式与树冠形状有关，而且较为复杂，甚至只能取 得近似解，有兴趣者可以查阅相关资料。
当存在 2棵树时，光照比例是？
存在 2棵树时，由于阴影可能重叠，阴影比例不是简单的 2a/S。我们可以换个角度考虑。
只有 1棵树时，光照比例，即地面某点不是阴影的概率是 1-a/S；2棵树时，满足前后 2次投射后同时为光照点的概率 即为 (1-a/S)2，由此可算出此时阴影点概率为 1- (1-a/S)2 。
积为a(θv, φv)，则看到背景的概率为
，
看到e林a(冠v,的v) 概率为
。1 ea(v,v)
我们前面对布尔模型推导过程中例举的是照射，但间隙对视角方向同样存在。
将树冠分为光照树冠、阴影树冠，将背景分为光照背景、 阴影背景，由此可得四分量面积比例间的关系：
KC KT 1 ea(v,v) KG KZ ea(v,v)
背景既被阳光照射，又被传感器看到的概率 即为光照背景面积比例。
如果背景被阳光照射的概率事件与背景被传感器看到的概率 事件不相关（相互独立），则联合事件的概率就等于两个独
立事件概率的乘机，光照背景的比例为 e[a(i,i)a(v,v)]。
但是事实上，上述两个概率事件不是相互独立的，同一树冠 在照射和视角两个方向上的投影可能有相互重叠。见下图。
依次类推，n棵树时，光照点概率为：(1-a/S)n 。
上式可以写为： (1 na / S )n
n
注意到存在极限：
lim (1 x )n
n
n
ex
因此浓密条件下，光照点概率可以写为： ena / S
e 又出现了！
引入单位面积内树木的平均个数 λ，存在 λ = n/S，带入上
式，即得到光照点概率为 e，a 阴影点概率为
森林中的地面通常不是裸土，而是草类等低矮植被。
类似上节讲过的混合象元，象元（冠层）的反射率为：
R = KCRC + KTRT + KGRG + KZRZ
KC、KT 、 KG 、 KZ分别为几何光学模型中的四个分量， 即光照树冠、阴影树冠、光照背景、阴影背景在象元中所 占面积比例，RC、RT、RG、RZ则分别为上述四个分量的 反射率（假设均为朗伯反射）。
布尔模型 (Boolean model)
利用概率统计方法推导光照（可记为1）和阴 影（可记为0）出现的概率。
只考虑地面。假设每个树冠在地 面产生的阴影面积为 a，在面积 为 S的地面上一共有 n棵树，则 没有阴影（即光照）的地面的比 例是多少？这是一个概率问题。
当存在 1棵树时，阴影比例为a/S， 则光照比例为 1 - a/S。