用数形结合的方法解决方程问题 2

用数形结合的方法解决方程问题

1.解决一元一次方程问题

一元一次方程问题，本质就是求方程的根的问题，因此，我们可以利用一元一次方程的函数图像来得到一元一次方程的实根，这个方法是很有效和简单的。下面我们通过举例来说明这种方法。

首先我们先来看下面两个问题之间存在什么关系：

问题1：解方程280

x+=.

问题2：自变量x取什么值时函数28

y x

=+的函数值为0？

在问题(1)中，解方程2x+8=0，得4

x=-; 解问题（2）就是要考虑当函数y=2x+8

的值为0 时，所对应的自变量x为什么值，这可以通过解方程2x+8=0 ，得出4

x=-。因此这两个问题实际上是等价的。

从函数图像上可以看出，直线y=2x+8与x轴交点的坐标是（-4,0）（见图2）。

这也说明，方程2x+8=0的解是4

x=-。

鉴于上面两个问题，我们不禁思考“解一元一次方程0

+=(c ,d均为常数)”

cx d

与“求自变量x为什么值时，一元一次函数y cx d

=+的值为0”之间究竟会有什

么关系？

图2

我们知道，由于任何一个一元一次方程都可以转化为0

cx d

+=（c ,d均为常

数,c≠0）的形式，所以解一元一次方程的问题就变为为这样一个问题：当某个一元一次函数的值y为0时，求对应自变量x的值，这相当于已知直线y cx d

=+，来求此直线与x坐标轴交点的横坐标的大小。

例1：一辆摩托车从乙地地开往丙地，启动的开始速度是2米/秒，且速度以4米/秒的速度增加，问经过几秒后汽车的速度是10米/秒？

解：(法一)我们可以设经过x秒后摩托车的速度达到10米/秒，则可得到等式

2+4x =10

解得x =2。

(法二)我们可以发现摩托车速度是关于时间的函数，因此，我们可以设y

（单位是米/秒）是关于时间x （单位是秒）的函数。由题可得方程

y =2+4x 且y =10

即得到方程480x -=。由图2，我们可以看出此直线48y x =-与x 轴的交点为（2,0），得x =2。

2.解决一元二次方程问题

所谓一元二次方程问题，其实就是求相应函数的零点问题，零点即函数图像与 横轴的交点的横坐标的值。所以，一元二次方程的实数根分布问题，即一元二次方程的实数根在什么区间内的问题。我们可以借助于一元二次函数的函数图像，利用数形结合的方法来研究它的根的分布问题，这是一种非常简便和有效的手段。我们先看一看二次函数的图像与一元二次方程的根的具体情况之间的关系。我们以a ﹥0，x ∈R 为例说明，如下表所示。

表1 △=24b ac - △﹥0 △=0 △<0

20

ax bx c ++=

(a >0)

21,242b b ac x a -±-= 1,22b x a =- 方程没有实数根

2y ax bx c

=++ (a >0)

从表1我们可以得到：只要得知一元二次方程的根和二次项系数a 的正负我们就可以来判断二次函数的函数值大于零和小于零所对应的自变量 x 的取值范围，而方法就是因为所有的一元二次不等式都可以化为20ax bx c ++>或20ax bx c ++<，所以我们就

直接看函数图像来求解一元二次不等式。

例2：设关于x 的一元二次方程2(21)60x n x n +-+-=有一个根大于1，另一个根小于1，试求实数n 的取值范围。

分析：如果我们丛“数”入手，即先求出这个方程的两个根，再研究根的性质，但因为在式子中含有未知数则计算过程很是复杂，我们不妨从“形”这一层面考虑。

图3

解：设2(21)6y x n x n =+-+-，因为10a =>，所以可知抛物线开口向上。设抛物线与x 轴两交点的横坐标为12,x x ，且121x x <<，如图3所示，当x =1 时y ＜0，即1(21)60n n +-+-<，所以n 的取值范围为小于2 的实数。

例3：若方程02)13(722=--++-a a x a x 有两根为21,x x ，且101<

分析：此题若只是从“函数”这一层面来求解，似乎没有思路，不知从何下手，但若从“形”方面思考就变得很方便简洁了。

图4

解：因为7a =，所以函数开口向上，如图4.令2)13(722--++-=a a x a x y , 则

⎪⎩⎪⎨⎧><>0)2(0)1(0)0(f f f ⇒ ⎪⎩

⎪⎨⎧>-<-->--0308202222a a a a a a

因此12-<<-a 或34a <<。