晶格的周期性

§ 1.1 晶格的周期性

1. 晶格周期性的描述——原胞和基矢

晶格的共同特点是具有周期性，可以用原胞和基矢来描述。

+ 原胞：一个晶格中最小重复单元（体积最小）如图1.1所示。

+ 基矢：原胞的边矢量，三维格子的重复单元是平行六面体，

,,

a b c是重复单元的边长矢量

+ 单胞（结晶学元胞）：为了反映晶格的对称性，常取最小重复单元的几倍作为重复单元。

单胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期，代表单胞三个边的矢量称为单胞的基矢。

+ 基矢：

,,

a b c表示单胞的基矢。在一些情况下，单胞就是原胞，而在一些情况下，单胞不是原

胞。

例如面心立方晶格，如图1.2所示。

原胞基矢：

1

2

3

()

2

()

2

()

2

a

a j k

a

a k i

a

a i j

=+

=+

=+

原胞的体积

3

0123

1

()

4

v a a a a

=⋅⨯=

单胞基矢：

,,

a ai

b aj

c ak

===，单胞的体积,,

a ai

b aj

c ak

===

图

1.1

图1.2 图1.3 图1.4

2. 简单晶格

简单晶格中，某一个原胞只包含一个原子，所有的原子在几何位置和化学性质上是完全等价的。碱

金属具有体心立方晶格结构；Au 、Ag 和Cu 具有面心立方晶格结构，它们均为简单晶格。

简单立方晶格

如图1.3所示, 原胞为简单立方晶格的立方单元，基矢123,,a ai a aj a ak ===

原胞体积：30123()v a a a a =⋅⨯=——原胞中只包含一个原子

面心立方晶格

如图1.3所示，八个顶角上各有一个原子，六个面的中心有6个原子故称面心立方。

由立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢123,,a a a

基矢123(/2)()

(/2)()

(/2)()a a j k a a k i a a i j =+=+=+原胞体积

301231()4v a a a a =⋅⨯=原胞中只包含一个原子 体心立方晶格

体心立方：除顶角上有原子外，还有一个原子在立方体的中心，故称体心。就整个空间的晶格来看，完全可把原胞的顶点取在原胞的体心上。这样心就变成角，角也就变成心。如图1.4所示。

由立方体的中心到三个顶点引三个基矢123,,a a a

基矢123(/2)()

(/2)()

(/2)()a a i j k a a i j k a a i j k =-++=-+=-+,

301231()2v a a a a =⋅⨯=原胞中只包含一个原子 3. 复式晶格

复式格子包含两种或两种以上的等价原子。

一种是不同原子或离子构成的晶体，如：NaCl 、CsCl 、ZnS 等；

一种是相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体，如：具有金刚石结构的C 、Si 、Ge 以及具有六角密排结构的Be 、Mg 、Zn 等；

复式格子的特点：不同等价原子各自构成相同的简单晶格（子晶格），复式格子由它们的子晶格相套而成。

+ NaCl 由Na +和Cl －结合而成（如图1.5所示。），是一种典型的离子晶体，Na +构成一个面心立方

晶格；Cl －也构成相同的一个面心立方晶格。两个面心立方子晶格各自的原胞具有相同的基矢，由它们相套形成NaCl 复式晶格。

CsCl 结构是由两个简立方的子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2 的长度套构而成。如图1.5所示

图1.5 图1.6

立方系的硫化锌（ZnS）：硫和锌分别组成面心立方结构的子晶格而沿空间对

角线位移 1／4 的长度套构而成。如图1.7所示。

图1.7

复式格子的原胞：即是相应简单晶格的原胞，一个原胞中包含各种等价原子各一个。如钛酸钡原胞可以取简单立方体，立方体中包含3个不等价的O原子、一个Ba原子和一个Ti原子，共五个原子。

六角密排晶格的原胞基矢选取，如图1.8所示，一个原胞中包含A层和B层原子各一个，共两个原子。

补充例题001试做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立方晶格的维格纳—塞茨原胞(Wingner-Seitz)。

维格纳—塞茨原胞：由某一个格点为中心，做出最近各点和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间为维格纳—塞茨原胞。如图1.30所示为一种二维格子的维格纳—塞茨原胞。

图1.9

简单立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立正方体。如图1.10所示.

图1.10 图1.11 图1.12 面心立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。

如图1.11所示体心立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体。八个面是正六边形，六个面是正四边形。如图1.12所示.

4. 晶格周期性的描述—布拉伐格子

图1.13

图1.13基元是多个原子，二维布拉伐格子是斜方格子时晶体的构成。