圆锥曲线03圆锥曲线的弦长面积问题知识讲解及练习(供参考)

2014年一轮复习圆锥曲线的弦长面积问题

内容

明细内容

要求层次

了解

理解 掌握 圆锥曲线

椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程

√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系

√

题型一：弦长问题

设圆锥曲线C ∶(),0f x y =与直线:l y kx b =+相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点， 则弦长AB 为：

()22

2

1212121141x AB k x x k x x x x k a ∆=+-=++-=+

()2121222

2

111

1141y AB y y y y y k k k a

∆=+=++-=+

或

题型二：面积问题1. 三角形面积问题

直线AB 方程：y kx m =

+ 0021kx y m d PH k -+==+ 0022

11122

a 1x ABP kx y m

S AB d k k

∆∆-+=

⋅=+⋅

+

自检自查必考点

圆锥曲线

2014年高考怎么考

H O

y

x

P

B

A

2. 焦点三角形的面积

直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为

1

1212121

2ABF S F F y y c y y ∆=⋅-=-=

3. 平行四边形的面积

直线AB 为1y kx m =+

，直线CD 为2y kx m =+

d CH ==

12AB x =-=

=

ABCD

S

AB d =⋅==

题型三：范围问题

首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式 22

2(,)a b ab a b R +≥∈ 变式：2

,);(

)(,)2

a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值

注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式： （1）222

64

64t S t t t

=

=++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） （2）22

422

2121212

333196123696

k AB t k k k

=+=+≤+++⨯+++

当且仅当22

1

9k k =

时，等号成立

（3）22222

0000

2222

0000

2592593425934225964925925y x y x PQ x y x y =+⋅+⋅≥+⋅⨯⋅= 当且仅当22

00

22

00

259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）22222131111812(8)22222

2223m m m S m m m -+=-⋅=-+≤⨯= 当且仅当228m m =-+时，等号成立 （5）222

1122222

11112

222221221(21)22214242221212121k m m m k m k m m S k k k k k

-++-+-+=+⋅=≤=++++ 当且仅当221212k m +=时等号成立.

【例1】 已知椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>经过点(2,1)A ，离心率为2

2，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆交于

不同的两点,M N ．

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若2

2

3||=MN ，求直线MN 的方程．

例题精讲

【例2】 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且12||2F F =，点（1，

3

2

）在椭圆C 上．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程．

【例3】 已知,,A B C 是椭圆W :2

214

x y +=上的三个点, O 是坐标原点. （Ⅰ）当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

【例4】 已知椭圆2

2

:14

y C x +=，过点()03M ，

的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ． （Ⅰ）若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；

（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点），求当AB <λ的取值范围．

【例5】 已知椭圆()11:2

22>=+a y a

x C 的上顶点为A ,左焦点为F ,直线AF 与圆

0726:22=+-++y x y x M 相切.过点⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-21,0的直线与椭圆C 交于Q P ,两点.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程;

（Ⅱ）当APQ ∆的面积达到最大时,求直线的方程.