圆锥曲线03圆锥曲线的弦长面积问题知识讲解及练习(供参考)

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圆锥曲线:弦长公式与面积的12类题型考法总结 高考数学

圆锥曲线:弦长公式与面积的12类题型考法总结 高考数学

PQ = 3.
【答案】(1)求椭圆C的方程;(2)求△ 面积的取值范围.
试卷讲评课件
【详解】(1)依题意, = ,当直线的斜率不存在时,由 = ,
得直线过点



+



,


,于是

+


= ,解得 = ,所以椭圆的方程
= .
(2)依题意,直线不垂直于轴,设直线的方程为
【解析】 = .
试卷讲评课件
(3)是否存在常数,使得 + = ⋅ 恒成立?若存在,
求的值;若不存在,请说明理由.
【解析】由于PF 的方程为 = �� + ,将其代入椭圆方程得
+ − + − = ,由违达定理得

+

+


− − +
− +
+
=
试卷讲评课件
3.特殊方法:拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形,
不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上,此时,便于找到两
个三角形的底边长.


= + = ∣ ∣∣ − ∣






由 >,得0< < ,所以 <<.综上可得:





≤ ,即 ∈

( ,

].
试卷讲评课件
例2.已知 P 为椭圆
x2
8
+
y2
2
= 1 上的一个

微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题(解析版)

微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题(解析版)

微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题(三大题型)直线与圆锥曲线相交,弦和某个定点所构成的三角形的面积,处理方法:①一般方法:d AB S 21=(其中AB 为弦长,d 为顶点到直线AB 的距离),设直线为斜截式m kx y +=.进一步,d AB S 21==20011221214)(121k m y kx x x x x k ++--++②特殊方法:拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形,不过在拆分的时候给定的顶点一般在x 轴或者y 轴上,此时,便于找到两个三角形的底边长.12PAB PQA PQB A B S S S PQ y y ∆∆∆=+=-=12PAB PQA PQB A B S S S PQ x x ∆∆∆=+=-=③坐标法:设),(),,(2211y x B y x A ,则||211221y x y x S AOB -=∆④面积比的转化:三角形的面积比及其转化有一定的技巧性,一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式,通常有以下类型:1.两个三角形同底,则面积之比转化为高之比,进一步转化为点到直线距离之比2.两个三角形等高,则面积之比转化为底之比,进一步转化为长度(弦长之比)3.利用三角形面积计算的正弦形式,若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化⑤四边形的面积计算在高考中,四边形一般都比较特殊,常见的情况是四边形的两对角线相互垂直,此时我们借助棱形面积公式,四边形面积等于两对角线长度乘积的一半;当然也有一些其他的情况,此时可以拆分成两个三角形,借助三角形面积公式求解.⑥注意某条边过定点的三角形和四边形当三角形或者四边形某条边过定点时,我们就可以把三角形,四边形某个定顶点和该定点为边,这样就转化成定底边的情形,最终可以简化运算.当然,你需要把握住一些常见的定点结论,才能察觉出问题的关键.题型一:利用弦长公式距离公式解决弦长问题【精选例题】【例1】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>,1F ,2F 分别为左右焦点,点(1P,2P -⎛⎝在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的离心率;(2)过左焦点1F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于A ,B 两点,若AB 的中点为M ,O 为原点,直线OM交直线3x =-于点N ,求1ABNF 取最大值时直线l 的方程.则2222(2)(2)2x y x -+=-【跟踪训练】1.已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>,圆O :22320x y x y ++--=,若圆O 过椭圆C 的左顶点及右焦点.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点()1,0作两条相互垂直的直线1l ,2l ,分别与椭圆相交于点A ,B ,D ,E ,试求AB DE +的取值范围.【点睛】方法点睛:圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略:(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.题型二:利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题【精选例题】圆心O 到直线CD 的距离为2||51m d k ==+联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()2223k x ++()()()2226423360km k m ∆=-+->,可得设()11,A x y 、()22,B x y ,则12623km x x k -+=+()2222121236141k m AB kx x x x k=++-=+()()()(2222261322612k km k ⋅++-+【点睛】方法点睛:圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法:(特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;(首先建立目标函数,再求这个函数的最值,式长最值.P x y满足方程【例3】动点(,)【点睛】求解动点的轨迹方程,可通过定义法来进行求解型的轨迹的定义,由此来求得轨迹方程用不等式的性质、基本不等式等知识来进行求解【例4】已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为(1)求椭圆C的标准方程;【点睛】思路点睛:本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题,设出过点达定理可得12y y +,12y y ,可求出1142ABF S a r =⋅⋅△,由此可求得直线【跟踪训练】(1)求椭圆C的标准方程;(2)判定AOMV(O为坐标原点)与理由.【答案】(1)2212xy+=;(2)面积和为定值,定值为【分析】(1)根据题意求,a b)方程为22221x ya b+=,焦距为2c,则2221b a c=-=,的标准方程为221 2xy+=.()0,1A,()0,1B-,直线l:x(1)求椭圆C的方程;(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.△面积的最大值.②求AOD②设直线AD 恒过定点记为M 由上()222481224t m ∆=-+=⨯所以1222423t y y t +=+,122y y =)题型三:利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题【精选例题】(1)求椭圆的标准方程;(2)求四边形ABCD面积的最大值;(3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由【答案】(1)2214xy+=;(2)4;(3))当直线1l,2l中的一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为1AB CD=⨯⨯=.4122当直线1l,2l的斜率都存在且不为0时,【跟踪训练】2.已知焦距为2的椭圆M :于A ,B 两点,1ABF V 的周长为(1)求椭圆M 的方程;F l)斜率不存在时.1l 方程为1x =,2l 方程为1134622ABCD S AB CD =⋅=⋅⋅=四边形斜率为0时.1l 方程为0y =,此时无法构成斜率存在且不为0时.设1l 方程为y =12.已知圆O :224x y +=,点点P 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程;(2)已知()1,0F ,过F 的直线m【点睛】方法点睛:设出直线的方程,与椭圆方程联立,根据韦达定理结合弦长公式得出弦长3.已知椭圆2222:1(x yEa b+=()2,1T,斜率为k的直线l与椭圆(1)求椭圆E的标准方程;(2)设直线AB的方程为6.已知椭圆(2222:1x y C a a b+=两点,且1ABF V 的周长最大值为(1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知点P 是椭圆C 上一动点(不与端点重合),则112AF AH AF AF +≤+=故当AB 过右焦点2F 时,ABF V 因为椭圆C 的离心率为c e a =22121,2A F a c A A a =-===则11214A PQ PA A S S =V V ,故PQ =设(,),(02)P P P P x y x <<,则又P 点在22143x y +=上,则又2(2,0)A ,所以直线2A P 的方程为)O 中,由OA l ⊥,2EOF EOA ∠=∠,则EOA V 中,cos 601OA OE =⋅=o ,则S 当直线l 的斜率不存在时,可得:1l x =±,代入方程可得:2114y +=,解得32y =±,可得MN 当直线l 的斜率存在时,可设:l y kx b =+,联立可得))得1(0,3)B ,2(1,0)F ,12B F k =所以直线MN 的斜率为33,所以直线()2231313x y =++=.消去y 并化简得13(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在实数λ,使椭圆若不存在,请说明理由;(3)椭圆E的内接四边形ABCD4t4t【点睛】方法点睛:本题(2圆联立求出弦长,然后再结合基本不等式求解出最值11.已知椭圆221:184x yC+=与椭圆(1)求椭圆2C的标准方程:不妨设P 在第一象限以及x 故000022AP AQ k y y k x x -+⋅=⋅=-由题意知直线AP 存在斜率,设其方程为若直线l ,m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直,则其中有一条必与直线所以直线l 的斜率存在且不为零,设直线()()1122,,,A x y B x y ,()1y k x ⎧=+。

(完整word版)圆锥曲线.03圆锥曲线地弦长面积问题.知识讲解及练习

(完整word版)圆锥曲线.03圆锥曲线地弦长面积问题.知识讲解及练习

2014年一轮复习圆锥曲线的弦长面积问题内容明细内容要求层次了解理解 掌握 圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√题型一:弦长问题设圆锥曲线C ∶(),0f x y =与直线:l y kx b =+相交于()11,A x y ,()22,B x y 两点, 则弦长AB 为:()2221212121141x AB k x x k x x x x k a∆=+-=++-=+g g g()1212122221111141yAB y y y y y y k k k a ∆=+-=++-=+g g g或自检自查必考点圆锥曲线2014年高考怎么考HOyxPA题型二:面积问题1. 三角形面积问题直线AB 方程:y kx m =+d PH ==12ABP S AB d ∆=⋅=2. 焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为112121212ABF S F F y y c y y ∆=⋅-=-=3. 平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+,直线CD 为2y kx m =+d CH ==12AB x =-==ABCD S AB d =⋅==Y题型三:范围问题首选均值不等式或对勾函数,其实用二次函数配方法,最后选导数思想 均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈ 变式:2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用:当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值; 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意:应用均值不等式求解最值时,应注意“一”正“二”定“三”相等圆锥曲线经常用到的均值不等式形式: (1)2226464t S t t t==++(注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论) (2)224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++当且仅当2219k k=时,等号成立 (3)222220000222200002592593425934225964925925y x y x PQ x y x y =+⋅+⋅≥+⋅⨯⋅= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. (4)22222131111812(8)222222223m m m S m m m -+=-⋅=-+≤⨯= 当且仅当228m m =-+时,等号成立 (5)222112222211112222221221(21)22214242221212121k m m m k m k m m S k k k k k-++-+-+=+⋅=≤=++++ 当且仅当221212k m +=时等号成立.【例1】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(2,1)A ,离心率为22,过点(3,0)B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,M N .(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若223||=MN ,求直线MN 的方程.例题精讲【例2】 已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,左右焦点分别为12,F F ,且12||2F F =,点(1,32)在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,且2AF B ∆2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.【例3】 已知,,A B C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点, O 是坐标原点. (Ⅰ)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (Ⅱ)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.【例4】 已知椭圆22:14y C x +=,过点()03M ,的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B . (Ⅰ)若l 与x 轴相交于点N ,且A 是MN 的中点,求直线l 的方程;(Ⅱ)设P 为椭圆上一点,且OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点),求当AB <λ的取值范围.【例5】 已知椭圆()11:222>=+a y ax C 的上顶点为A ,左焦点为F ,直线AF 与圆0726:22=+-++y x y x M 相切.过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0的直线与椭圆C 交于Q P ,两点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当APQ ∆的面积达到最大时,求直线的方程.【例6】 已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左右焦点分别为()()122,0,2,0F F -.在椭圆M 中有一内接三角形ABC ,其顶点C 的坐标()3,1,AB 所在直线的斜率为33. (Ⅰ)求椭圆M 的方程;(Ⅱ)当ABC ∆的面积最大时,求直线AB 的方程.【例7】 在平面直角坐标系xOy 中, 动点P 到直线:2l x =的距离是到点(1,0)F 2倍.(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程;(Ⅱ)设直线FP 与(Ⅰ)中曲线交于点Q ,与l 交于点A ,分别过点P 和Q 作l 的垂线,垂足为,M N ,问:是否存在点P 使得APM ∆的面积是AQN ∆面积的9倍?若存在,求出P 的坐标;若不存在,说明理由.【例8】 在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点(1,1)A -关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程;(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ,问:是否存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由。

圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题【八大题型】新高考用(原卷版)—25年新高考数学一轮复习

圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题【八大题型】新高考用(原卷版)—25年新高考数学一轮复习

圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题【八大题型】【题型1 椭圆的弦长问题】 (2)【题型2 双曲线的弦长问题】 (3)【题型3 抛物线的弦长问题】 (4)【题型4 长度及其最值(范围)问题】 (5)【题型5 长度之和问题】 (6)【题型6 长度之差问题】 (7)【题型7 长度之商问题】 (8)【题型8 长度之积问题】 (9)1、圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题圆锥曲线是高考的重点、热点内容,从近几年的高考情况来看,弦长问题与长度和、差、商、积问题是考查的重要方向,以选择题或填空题的形式考查时,难度不大;以解答题的形式考查时,有时会与向量、数列等知识结合考查,难度较大;联立直线与圆锥曲线方程并灵活运用弦长公式是解决此类问题的关键,复习时要加强此类问题的训练.【知识点1 圆锥曲线中的弦长问题】1.椭圆的弦长问题(1)定义:直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.(2)弦长公式:设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于,两点,2.双曲线的弦长问题(1)弦长公式:直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长(2)解决此类问题时要注意是交在同一支,还是交在两支上.(3)处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时,利用韦达定理、点差法的解题过程中,并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交,因此,最后要代回去检验.(4)双曲线的通径:过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y3.抛物线的弦长问题设直线与抛物线交于A,B两点,则|AB|AB(k为直线的斜率,k≠0).4.弦长公式的两种形式(1)若A,B是直线y=kx+m与圆锥曲线的两个交点,且由两方程联立后消去y,得到一元二次方程(2)若A,B是直线x=my+n与圆锥曲线的两个交点,且由两方程联立后消去x,得到一元二次方程【题型1 椭圆的弦长问题】【例1】(2024·云南昆明·模拟预测)已知直线l是圆C:x2+y2=1的切线,且l与椭圆E:x23+y2=1交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.2B C D.1【变式1-1】(23-24高二上·浙江绍兴·期末)已知椭圆C:x24+y2=1,过原点O且倾斜角为π4的直线交椭圆于A,B两点,则|AB|=()A B C D【变式1-2】(2024·河南·模拟预测)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P为椭圆C 上一点,且△PF 1F 2的面积为(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若倾斜角为π4的直线l 与C 相交于两个不同的点A,B ,求|AB |的最大值.【变式1-3】(2024·河北衡水·一模)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过.F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上的点(P 不在x 轴上),过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A 、B 两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)求|AB |的范围.【题型2 双曲线的弦长问题】【例2】(2024·北京·模拟预测)已知双曲线C:y 2―x 23=1的两个焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与双曲线C的同一支交于A ,B 两点,且|BF 1|=2|AF 1|,则线段AB 的长度为( )A .94B .9C .274D .6【变式2-1】(2024·山东·模拟预测)过双曲线x 2―y 2=2的左焦点作直线l ,与双曲线交于A,B 两点,若|AB |=4,则这样的直线l 有( )A .1条B .2条C .3条D .4条【变式2-2】(2024·海南·模拟预测)已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长为在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的标准方程;(2)过点P 且斜率为C 的另一个交点为Q ,求|PQ |.【变式2-3】(2024·陕西安康·模拟预测)已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(b >a >1)的左、右焦点分别为F 1、F 2,两条渐近线的夹角为60∘,y 0是双曲线上一点,且△MF 1F 2的面积为(1)求该双曲线的标准方程;(2)若直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点,且坐标原点O 在以PQ 为直径的圆上,求|PQ |的最小值.【题型3 抛物线的弦长问题】【例3】(2024·河南开封·一模)已知O 为坐标原点,过抛物线C:y 2=8x 焦点F 的直线与C 交于A ,B 两点,若|AF|=|AO|,则|AB|=( )A .5B .9C .10D .18【变式3-1】(2024·安徽马鞍山·模拟预测)已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ,准线与x 轴交于点M ,直线l 过其焦点F 且与C 交于A , B 两点,若直线AM |AB|=( )A B C .4D .5【变式3-2】(2024·全国·模拟预测)已知点P(a,b)(a>0,b>0)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,记O为坐标原点,|OP|=3,以P为圆心,|OP|为半径的圆与抛物线C的准线相切.2(1)求抛物线C的方程;(2)记抛物线C的焦点为F,过点F作直线l与直线PF垂直,交抛物线C于A,B两点,求弦AB的长.【变式3-3】(2024·广西·模拟预测)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程;(2)若P为直线l:x=―2上的一动点,过P作抛物线C的切线PA,PB,A,B为切点,直线AB与l交于点M,过F作AB 的垂线交l于点N,当|MN|最小时.求|AB|.【题型4 长度及其最值(范围)问题】【例4】(23-24高三上·湖北武汉·开学考试)设双曲线E1x2―y23=1的左右焦点为F1,F2,左顶点为A,点M是双曲线E在第一象限中内的一点,直线MF1交双曲线E的左支于点N,若NA//MF2,则|MF2|=()A.74B.52C.83D.114【变式4-1】(2024·吉林·模拟预测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A是C上一点,O为坐标原点,若△AOF+1,则|AF|=()A.B.C.D.【变式4-2】(23-24高三下·河南周口·开学考试)在平面直角坐标系xOy中,一动圆过点F(1,0)且与直线x=―1相切,设该动圆的圆心C的轨迹为曲线Γ.(1)求Γ的方程;(2)设P为Γ在第一象限内的一个动点,过P作曲线Γ的切线l1,直线l2过点P且与l1垂直,l2与Γ的另外一个交点为Q,求|PQ|的最小值.【变式4-3】(2024·河北张家口·三模)已知点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1(―c,0)的直线l(斜率不为0)交椭圆C于P,Q两点,当直线l的斜率不存在时,|PQ|=3c.(1)求椭圆C的离心率;(2)若点A,B分别为椭圆C的左、右顶点,且△PAB面积的最大值为PA与直线QB相交于点M,求|OM|的取值范围.【题型5 长度之和问题】【例5】(2024·河北承德·二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点到右焦点的距离是3,且C的离心率是12,过左焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,过左焦点且与直线l垂直的直线l′与椭圆交于M,N两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求|AB|+|MN|的取值范围.【变式5-1】(23-24高三上·陕西西安·开学考试)已知点F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点P(1,2),Q(0,1),且|PF|=|QF|.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若正方形ABCD的顶点A、B在直线l:x―y+2=0上,顶点C、D在抛物线C上,求|FC|+|FD|.【变式5-2】(2024·内蒙古赤峰·一模)已知抛物线P:y2=2px(0<p<5)上一点Q的纵坐标为4,点Q到焦点F的距离为5,过点F做两条互相垂直的弦AB、CD.(1)求抛物线P的方程.(2)求|AB|+|CD|的最小值.【变式5-3】(2024·陕西安康·模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为A1,A2,四边形A1F1A2F2的面积为且有一个内角为π3.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若以线段F1F2为直径的圆与椭圆C无公共点,过点A(1,3)的直线与椭圆C交于P,Q两点(点P在点Q的上方),线段PQ上存在点M,使得|AP||AQ|=|MP||MQ|,求|MF1|+|MF2|的最小值.【题型6 长度之差问题】【例6】(24-25高三上·全国·阶段练习)设椭圆C:x24+y23=1的右焦点为F,动点P在椭圆C上,点A是直线4x―5y―12=0上的动点,则|PA|―|PF|的最小值为()A.―B C4D.4【变式6-1】(23-24高二上·天津·期末)已知双曲线E:x2m ―y23=1(m>0)的离心率为2,右焦点为F,动点P在双曲线右支上,点A(0,2),则|―|PA|最大值为()A B―2C.D.2【变式6-2】(23-24高二上·上海·课后作业)已知点P是双曲线x29―y216=1右支上的一点,点M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x―5)2+y2=1上的点,求|PM|―|PN|的最大值.【变式6-3】(2024·山东济南·三模)如图所示,抛物线y2=2px(p>0)的准线过点(―2,3),(1)求抛物线的标准方程;(2)若角α为锐角,以角α为倾斜角的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、B两点,作线段AB的垂直平分线l交x轴于点P,证明:|FP|―|FP|cos2α为定值,并求此定值.【题型7 长度之商问题】【例7】(2024·四川绵阳·A(2,0)的直线l与拋物线C:y2=2px(p>0)交于点M,N(M在第一象限),且当直线l的倾斜角为π时,|MN|=4(1)求抛物线的方程;(2)若B(3,0),延长MB交抛物线C于点P,延长PN交x轴于点Q,求|QN|的值.|QP|【变式7-1】(2024·全国·模拟预测)已知直线l:y=kx+m(m2=k2+1,k≠0)和椭圆T:x23+y2=1.(1)证明:l与T恒有两个交点;(2)若A,B为l与T的两个交点,过原点且垂直于l的直线交T于C,D两点,求|CD||AB|的最小值.【变式7-2】(2024·重庆·模拟预测)已知双曲线M:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A(―2,3)在双曲线M上,且|AF1|+|AF2|=8.(1)求双曲线M的方程;(2)记∠F1AF2的平分线所在的直线为直线l,证明:双曲线M上存在相异两点B,C关于直线l对称,并求出|AE||BC|(E为BC的中点)的值.【变式7-3】(2024·四川遂宁·模拟预测)已知过点(0,2)的直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点,抛物线在点A处的切线为l1,在B点处的切线为l2,直线l1与直线l2交于点M,当直线l的倾斜角为450时,|AB|=(1)求抛物线C的方程;(2)设线段AB的中点为N,求|AB||MN|的取值范围.【题型8 长度之积问题】【例8】(2024·江苏南通·模拟预测)已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为4,C上一点P满足cos∠F1F2P=―△PF1F2的面积为(1)求C的方程;(2)过C的渐近线上一点T作直线l与C相交于点M,N,求|TM|⋅|TN|的最小值.【变式8-1】(2024·陕西安康·三模)已知M(1,2)为抛物线C:y2=2px上一点.(1)求抛物线C的准线方程;(2)过点T(0,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,且直线MA与MB的倾斜角互补,求|TA|⋅|TB|的值.【变式8-2】(2024·黑龙江哈尔滨·二模)已知直线l与椭圆C:x24+y2=1交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=1,其中O为坐标原点.(1)证明:x21+x22和y21+y22均为定值;(2)设线段PQ的中点为M,求|OM|⋅|PQ|的最大值.【变式8-3】(2024·江西·一模)已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3,C的右焦点F到该渐近线的距离为(1)求C的方程;(2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A,B,与圆O:x2+y2=a2交于与A,B不重合的M,N两点.(ⅰ)求直线AB斜率的取值范围;(ⅱ)求|AB|⋅|MN|的取值范围.一、单选题1.(2024·河北秦皇岛·二模)已知A,B为椭圆C:x29+y25=1上两个不同的点(直线AB与y轴不平行),F为C的右焦点,且|AF|+|BF|=4,若线段AB的垂直平分线交x轴于点P,则|FP|=()A.43B.53C.54D.322.(2024·新疆·C:y2=x的焦点为F,在抛物线C上存在四个点P,M,Q,N,若弦PQ与弦MN的交点恰好为F,且PQ⊥MN,则1|PQ|+1|MN|=()A B.1C D.23.(2024·陕西西安·模拟预测)已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,圆O:x2+y2=a2.若过F1的直线分别交C的左、右两支于A,B两点,且圆O与F1B相切,C的离心率为3,F1到C的渐近线的距离为|AB|=()A.327B.307C.207D.1674.(2024·黑龙江齐齐哈尔·二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是C的左、右焦点,且△F1AB P为C上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为()A.[1,2]B.C.D.[1,4]5.(2024·全国·模拟预测)如图,已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线右支上一点,且F 2P 的延长线交y 轴于点A ,且F 1P ⋅F 2P =0,△APF 1的内切圆半径为4,△PF 1F 2的面积为9,则|AF 2||PF 2|=( )A .18B .32C .50D .146.(23-24高二上·河南商丘·阶段练习)设双曲线x 2a 2―y 2=1的左、右焦点为F 1、F 2,渐近线方程为y =±12x ,过F 1直线l 交双曲线左支于A 、B 两点,则|AF 2|+|BF 2|的最小值为( )A .9B .10C .14D .1527.(2024·内蒙古包头·模拟预测)已知抛物线C:y 2=6x 的焦点为F ,O 为坐标原点,倾斜角为θ的直线l 过点F 且与C 交于M ,N 两点,若△OMN 的面积为 )A .sin θ=12B .|MN |=24C .以MF 为直径的圆与y 轴仅有1个交点D .|MF ||NF |=或|MF ||NF |=8.(2024高二上·江苏·专题练习)已知椭圆E:x 29+y 25=1的左焦点为F ,过F 的直线l 与E 交于A ,B 两点,则下列说法正确的是( )A .若直线l 垂直于x 轴,则|AB |=154B .|AB |∈,6C .若|AB |=5,则直线lD .若|AF |=2|BF |,则|AB |=1039.(2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)已知直线y =―x +1经过椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点Q ,且与E 在第四象限交于点P,E 的左、右焦点分别为F 1,F 2,则( )A .E 离心率为12B .△PQF 1的周长为C .以PF 1为直径的圆过点QD .|PQ|=10.(2024·全国·模拟预测)已知双曲线C:x 23―y 2=1的右焦点为F ,动点M,N 在直线l:x =32上,且FM ⊥FN ,线段FM 交C 于点P ,过P 作l 的垂线,垂足为R ,则( )A .△FMN 的面积S ≥12B .|PR ||PF |=C .|MR |⋅|HN |=|FH |⋅|PR |D .|MP |⋅|NF ||MN |⋅|PF |为定值11.(2024·福建龙岩·三模)已知抛物线C:y 2=2px(p >0)与圆O:x 2+y 2=20交于A ,B 两点,且|AB|=8.过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ,N 两点,点P 是抛物线C 上异于顶点的任意一点,点Q 是抛物线C 的准线与坐标轴的交点,则( )A .若MF =3FN ,则直线l 的斜率为±.|MF|+4|NF|的最小值为18C .∠MON 为钝角D .点P 与点F 的横坐标相同时,|PF||PQ|最小三、填空题12.(2024·海南省直辖县级单位·模拟预测)已知P 为双曲线C:x 24―y 2=1的右支上一点,点A,B 分别在C 的两条渐近线上,O 为坐标原点,若四边形OAPB 为平行四边形,且|PA |=1,则|PB |= ,13.(2024·重庆·模拟预测)已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 是圆(x ―2)2+y 2=1的圆心,过点F 的直线l ,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D ,则|AB |+|CD |的取值范围为 .14.(2024·河南·模拟预测)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),点F 为C 的一个焦点,点A,B 为C 的两个顶点,若|FA |=3,|FB |=2,则|AB |的可能值中的最大值为 .15.(2024·安徽·一模)已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2.且经过点(2,3).(1)求C的方程;(2)若直线l与C交于A,B两点,且OA⋅OB=0(点O为坐标原点),求|AB|的取值范围.16.(2024·陕西安康·模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,左、右焦点分别为F1,F2,M是椭圆C上一点,MF2⊥F1F2,|MA1|=MA2的斜率为―32.(1)求椭圆C的方程;(2)若过右焦点F2的直线与椭圆C交于点P,Q,直线A1P,A2Q交于点N,求当|A1P||PN|=12时,|PF2|的值.17.(2024·海南海口·二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与x轴的交点为E(―1,0),C的焦点为F.经过点E的直线l与C分别交于A,B两点.(1)设直线AF,BF的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2=0;(2)记△ABF与△BEF的面积分别为S1,S2,若S1=3S2,求|AF|+|BF|.18.(2024·新疆·一模)已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为2,M是C上一点,且MF2⊥F1F2,△MF1F2的周长为12.(1)求C的方程;(2)过F2的直线l与C的右支交于A,B两点,过原点O作AB的垂线,并且与双曲线右支交于点P,证明:1|OP|2―2|AB|为定值.19.(2024·河南新乡·模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,过点F2作两条直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,△F1AB的周长为(1)求C的方程;(2)若△F1AB的面积为43,求l1的方程;(3)若l2与C交于M,N两点,且l1的斜率是l2的斜率的2倍,求|MN|―|AB|的最大值.。

第九讲 圆锥曲线中弦长和面积问题

第九讲 圆锥曲线中弦长和面积问题

∴|AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2 = 2· -85t2-4×4(t25-1) =452· 5-t2, 当 t=0 时,|AB|max=4 510.故选 C.
变式训练. 过双曲线 x2-y22=1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A,B 两点,若 使得|AB|=λ 的直线 l 恰有三条,则 λ= 44 .
(2)若直线 l:y=kx+m(k,m 为常数,k≠0)与椭圆 Γ 交于不同的两点 M
和 N. (ⅰ)当直线 l 过 E(1,0),且E→M+2E→N=0 时,求直线 l 的方程;
(ⅱ)当坐标原点 O 到直线 l 的距离为 23,且△ MON 的面积为 23时,求 直 线 l 的倾斜角.
解析 (1)∵A1(a,0),B1(0,1),
∴S△MON=12×|MN|× 23=
3 4
3(k2+1)(9k 2+1)
(3k 2+1)2
.
∵△MON 的面积为 23,

3 4
3(k2(+31k)2+(19)k 22+1)= 23,可得 k=± 33,
设直线 l 的倾斜角为 θ,则 tan θ=± 33, 由于 0≤θ<π,∴θ=π6或 θ=56π.
解析 ∵使得|AB|=λ 的直线 l 恰有三条. ∴根据对称性,其中有一条直线与实轴垂直. 此时 A,B 的横坐标为 3,代入双曲线方程,可得 y=±2,故|AB|=4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是 2,小于 4, ∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于 4, 综上可知,|AB|=4 时,有三条直线满足题意.∴λ=4.
[方法点拨] 求解弦长的 4 种方法 (1)当弦长的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点 间的距离公式求解. (3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于 x(或 y)的一元二次方程, 利用根与系数的关系得到(x1-x2)2,(y1-y2)2,代入两点间的距离公式求解. (4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.

圆锥曲线中的弦长及面积问题2022优秀课件

圆锥曲线中的弦长及面积问题2022优秀课件
圆锥曲线中的弦长问题及面积问题1
|t 1
2
| t2 ,则 t1
t2
10

t t 2t t cos 60 8 圆圆锥锥曲 曲线线中中的的弦弦长长问问题题及及面面2积积问问题题2
2
圆锥曲线中的弦长问题及面1 积问题2
12
由① -②得 圆锥曲线中的弦长问题及面积问题2
圆锥曲线中的弦长问题及面积问题
入求弦长;| AB | x1 x2 2 y1 y2 2
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理
来处理. | AB | 1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
面积问题
20.P
为椭圆
x2 25
y2 9
1上一点,F1、F2 为左右焦点,若 F1PF2
60
(1)求△ F1PF2 的面积;
t1t2 12
②,
圆锥曲线中的弦长问题及面积问题
圆锥曲线中的弦长问题及面积问题
S F1PF2
1 2 t1t2
sin 60
1 2
Hale Waihona Puke 12 3 3 23
圆锥曲线中的弦长问题及面积问题
圆锥(曲线2中)的弦求长问题P及点面积的问题坐标.
圆锥曲线中的弦长问题及面积问题
圆锥曲线中的弦长问题及面积问题
解:∵a=5,b=3 c=4 圆锥曲线中的弦长问题及面积问题
圆锥曲线中的弦长问题及面积问题
圆锥曲线中的弦长问题及面积问题
(1)设 , | PF | PF 圆锥曲线中的弦长问题及面积问题
圆锥曲线中的弦长问题及面积问题
弦长问题
19.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点
恰好是抛物线
y

[高三一轮复习]·[理科版]·[4圆锥曲线的弦长面积问题] · [培优] · [知识点+典型例题]·[学生版]

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圆锥曲线的弦长面积问题知识讲解一、弦长问题设圆锥曲线C ∶(),0f x y =与直线:l y kx b =+相交于()11,A x y ,()22,B x y 两点, 则弦长AB 为:()222121212141x AB x x k x x x x k a∆=-=++-=+()12121222211141y AB y y y y y y k ka∆=-=++-=+或二、面积问题1.三角形面积问题直线AB 方程:y kx m =+ d PH ==12ABP S AB d ∆=⋅=2.焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆112121212ABF S F F y y c y y ∆=⋅-=-=3.平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+,直线CD 为2y kx m =+d CH ==12AB x =-=ABCDSAB d =⋅==三、范围问题方法:首选均值不等式或对勾函数,其实用二次函数配方法,最后选导数思想 均值不等式 :222(,)a b ab a b R +≥∈变式:2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用:当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值;当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意:应用均值不等式求解最值时,应注意“一”正“二”定“三”相等圆锥曲线经常用到的均值不等式形式:1)2226464t S t t t==++(注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论) 2)224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++当且仅当2219k k=时,等号成立 3)222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+=当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. 4)2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时,等号成立 5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立.经典例题一.选择题(共1小题)1.(2018•洛阳三模)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与椭圆交于A、B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则离心率为()A.B.2﹣C.﹣2 D.﹣二.填空题(共1小题)2.(2018•南关区校级模拟)已知椭圆:>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,直线3x+4y+6=0与圆x2+(y﹣b)2=a2相切.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1、l2分别交椭圆C于M、N两点,且l1⊥l2,求证:直线MN过定点,并求出定点坐标;(III)在(Ⅱ)的条件下求△AMN面积的最大值.三.解答题(共11小题)3.(2018•西宁二模)若椭圆(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3:1的两段.(1)求椭圆的离心率;(2)过点C(﹣1,0)的直线l交椭圆于不同两点A、B,且,当△AOB的面积最大时,求直线l和椭圆的方程.4.(2018•河南模拟)设O是坐标原点,F是抛物线x2=2py(p>0)的焦点,C 是该抛物线上的任意一点,当与y轴正方向的夹角为60°时,.(1)求抛物线的方程;(2)已知A(0,p),设B是该抛物线上的任意一点,M,N是x轴上的两个动点,且|MN|=2p,|BM|=|BN|,当取得最大值时,求△BMN的面积.5.(2018•莆田二模)在平面直角坐标系xOy中,点F为椭圆C:+=1(a>b>0),的一个焦点,点B1(0,﹣)为C的一个顶点,∠OFB1=.(1)求C的标准方程;(2)若点M(x0,y0)在C上,则点N(,)称为点M的一个“椭点”.直线l:y=kx+m与C相交于A,B两点,且A,B两点的“椭点”分别为P,Q,以PQ 为直径的圆经过点O,求△AOB的面积.6.(2018•烟台二模)己知椭圆:>>,点,在椭圆上,过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为.(1)求椭圆C的标准方程;.(2)过点A(﹣2,0)作两条相交直线l1,l2,l1与椭圆交于P,Q两点(点P 在点Q的上方),l2与椭圆交于M,N两点(点M在点N的上方),若直线l1的斜率为,,求直线l2的斜率.7.(2018•河南一模)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点F是抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点,点(2,4)在抛物线C2上.(1)求椭圆C1的方程;(2)已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A,B两点,M(0,2),直线AM与BM 的斜率乘积为﹣,若在椭圆上存在点N,使|AN|=|BN|,求△ABN的面积的最小值.8.(2018•长春三模)在平面直角坐标系中,已知圆C1的方程为(x﹣1)2+y2=9,圆C2的方程为(x+1)2+y2=1,动圆C与圆C1内切且与圆C2外切.(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程;(2)已知P(﹣2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点,过(1,0)点的直线l与轨迹E交于A,B两点,求四边形APBQ面积的最大值.9.(2018•全国一模)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b >0)的离心率为,点M(1,)在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知P(﹣2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点,过点(1,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,求四边形APBQ面积的最大值.10.(2018•徐汇区一模)已知椭圆E:(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,且F1,F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形,点P(,)在椭圆E上,过点F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB,CD分别交椭圆E 于A,B,C,D且M,N分别是弦AB,CD的中点(1)求椭圆的方程(2)求证:直线MN过定点R(,0)(3)求△MNF2面积的最大值.11.(2018•红桥区二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,右顶点为A,直线BC过原点O,且点B在x轴上方,直线AB与AC分别交直线l:x=a+1于点E、F.(Ⅰ)若点B(,),求椭圆C的方程;(Ⅱ)若点B为动点,设直线AB与AC的斜率分别为k1,k2.①试探究:k1•k2是否为定值?若为定值,请求出;若不为定值,请说明理由;②求△AEF的面积的最小值.12.(2018•全国四模)已知点F(﹣1,0)及直线l:x=﹣4,若动点P到直线l 的距离d满足d=2|PF|.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若直线PF交轨迹C于另一点Q,且=2,以P为圆心r=2|PQ|为半径的圆被直线l截得的弦为AB,求|AB|.13.(2018•乌鲁木齐一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且过点(1,).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点M(2,0)的直线交椭圆C于A,B两点,P为椭圆C上一点,O为坐标原点,且满足+=t,其中T∈(,2),求|AB|的取值范围.。

圆锥曲线的弦长面积及其范围问题-2021届新高考数学知识点总结与题型归纳(解析版)

圆锥曲线的弦长面积及其范围问题-2021届新高考数学知识点总结与题型归纳(解析版)

第22讲圆锥曲线的弦长面积及其范围问题考点一圆锥曲线的弦长面积(一)弦长问题设圆锥曲线C∶f(x , y)=0与直线l:y=kx+b相交于A(x1 , y1),B(x2 , y2)两点,则弦长|AB|为:|AB|=2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)−4x1x2=√1+k2√Δx|a|或|AB|=√1+1k2|y1−y2|=√1+1k2√(y1+y2)−4y1y2=√1+1k2√Δy|a|(二)面积问题1.三角形面积问题直线AB方程:y=kx+m d=|PH|= 00√1+k2SΔABP=12|AB|⋅d=12√1+k2√Δx|a||kx−y+m|√1+k22.焦点三角形的面积直线AB过焦点F2,ΔABF1的面积为SΔABF1=12|F1F2|⋅|y1−y2|=c|y1−y2|=c√Δy|a|圆锥曲线经常用到的均值不等式形式: 1)S =2t t +64=2t+64t(注意分t =0,t >0,t <0三种情况讨论)2)|AB |2=3+12k 29t 4+6k 2+1=3+129k 2+1k2+6≤3+122×3+6当且仅当9k 2=1k 2时,等号成立 3)|PQ|2=34+25⋅25y 029x 02+9⋅9x 0225y 02≥34+2√25⋅25y 029x 02×9⋅9x 0225y 02=64当且仅当25⋅25y 029x 02=9⋅9x 0225y 02时等号成立.4)S =12√12−32m 2⋅√3=12√12m 2(−m 2+8)≤12√12×m 2−m 2+82=√2当且仅当m 2=−m 2+8时,等号成立 5)S =2√2√1+k 2√2k 2−m 12+11+2k 21√1+k 2=4√2√(2k 2−m 12+1)m 121+2k 2≤4√22121221+2k 2=2√2当且仅当2k 2+1=2m 12时等号成立.典例精讲1.已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为e =,过点(1,2)Q -的直线1与椭圆相交于A ,B 两点,若点Q 是线段AB 的中点,则直线1的斜率为( )A .2或18B .2或8C .12或18D .12或8【分析】由题意的离心率及a ,b ,c 之间的关系可得a ,b 的关系,设A ,B 的坐标,由题意可得A ,B 的坐标的关系,分焦点在x ,y 轴两种情况讨论,将A ,B 的坐标代入椭圆的方程,作差求出AB 的斜率的表达式,将坐标的关系代入求出斜率的值.【解答】解:由题意可得c e a ==所以2234c a =,由a ,b ,c 之间的关系可得22314b a -=,所以2214b a =,设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,由题意可得1212x x+=,1222y y +=-,因为A ,B 在椭圆上,当焦点在x 轴上时,则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,作差可得22221212220x x y y a b --+=, 所以2121221212111428y y x x b x x a y y -+=-=-=-+-;当焦点在y 轴上时,则22112222222211y x a b y x a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差可得2222121222y y x x a b --=-, 所以21212212121422y y x x a x x b y y -+=-=-=-+-,综上所述直线1的斜率为:2或18,故选:A .【点评】本题考查求椭圆的方程及由中点坐标作差求直线斜率的方法,属于中档题.2.已知直线l 不过坐标原点O ,且与椭圆C :x 24+y 23=1相交于不同的两点A ,B ,△OAB 的面积为√3,则|OA |2+|OB |2的值是( ) A .4 B .7 C .3 D .不能确定【分析】由于本题属于选择题,只要计算两个特殊情况,即可,当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为x =t ,或当直线l 的斜率为0时,设直线l 的方程为y =m ,分别求出|AB |的长度,表示出三角形的面积,即可求出|OA |2+|OB |2的值.【解答】解:当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为x =t , 则t 24+y 23=1,∴y =±√3−3t 24,∴|AB |=2√3−3t 24,∴△OAB 的面积S =12×|t |×2√3−3t 24=√3,解得t 2=2,∴|OA |2+|OB |2=2t 2+2(3−3t 24)=6+12t 2=7,当直线l 的斜率为0时,设直线l 的方程为y =m , 则x 24+m 23=1,∴x =±√4−43m 2,∴|AB |=2√4−43m 2,∴△OAB 的面积S =12×|m |×2√4−43m 2=√3, 解得m 2=32,∴|OA |2+|OB |2=2m 2+2(4−43m 2)=8−2m 23=7,故|OA |2+|OB |2的值是7, 故选:B .【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了运算能力和转化能力,属于中档题. 3.已知F 1、F 2分别为椭圆x 22+y 2=1的左右两个焦点,过F 1作倾斜角为π4的弦AB ,则△F 2AB的面积为( ) A .2√33B .43 C .4√33D .4√23−1【分析】求出直线AB 的方程,代入椭圆方程,求得交点A ,B 的坐标,利用S =12•|F 1F 2|•|y 1﹣y 2|,即可得出S . 【解答】解:椭圆x 22+y 2=1的左右两个焦点(﹣1,0),过F 1作倾斜角为π4的弦AB ,可得直线AB 的方程为:y =x +1,把 y =x +1 代入 x 2+2y 2=2 得3x 2+4x =0, 解得x 1=0 x 2=−43,y 1=1,y 2=−13, ∴S =12•|F 1F 2|•|y 1﹣y 2|=12×2×|1+13|=43.故选:B .【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题、椭圆的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式,考查了计算能力,属于中档题.4.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a >0)的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则a 的值为 8 .【分析】先确定焦点的坐标,进而根据点斜式表示出直线l 的方程,求得A 的坐标,从而表示出三角形的面积建立等式求得a 的值.【解答】解:抛物线y 2=ax 的焦点坐标(a 4,0),|0F |=a4,直线的点斜式方程 y =2(x −a 4),在y 轴的截距是−a2 ∴S △OAF =12×a 4×a2=4∴a 2=64,∵a >0 ∴a =8故答案为:8【点评】本题考查抛物线的标准方程,点斜式求直线方程等.考查学生的数形结合的思想的运用和基础知识的灵活运用.5.已知过双曲线22:184x y C -=的左焦点F 的直线l 与双曲线左支交于点A ,B ,过原点与弦AB 中点D 的直线交直线x =E ,若AEF ∆为等腰直角三角形,则直线l 的方程可以为( )A .(30x y +-+=B .(30x y -++C .(30x y +--=D .(30x y +++=【分析】法一:求出左焦点坐标,设:l x my m =-≠,通过AEF ∆为等腰直角三角形,且AEF ∠为直角,求出直线EF 的方程,求出E 的坐标,设1(A x ,1)y ,有||||EF AF =可得,A 的坐标,然后求解直线方程.法二:求出左焦点坐标,设:l x my m =-≠,代入双曲线C 的方程,消去x ,设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,由根与系数的关系,求出D ,得到直线OD 的方程求出E 的坐标.通过||||EF AF =可得,A 的坐标,从而求解直线l 的方程.【解答】解:法一:(F -,则由题意可设:l x my m =-≠, 因为若AEF ∆为等腰直角三角形,且AEF ∠为直角,所以直线EF 的方程为:(y m x =-+,令x =,得y =,即()E .设1(A x ,1)y ,有||||EF AF ==解得1y =.又2211184x y -=,∴1x =,∴(3m =±-,从而直线l 的方程为(30x y +-+=或(30x y --+=.法二:(F -,则由题意可设:l x my m =-≠,代入双曲线C 的方程,消去x ,整理得22(2)40m y --+=.设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,由根与系数的关系,得12y y +=,∴122y y +=,1212()22x x m y y ++=-,即D ,∴直线OD 的方程为2my x =.令x =,得y =,即()E .有||||EF AF =1y =.又2211184x y -=,∴1x =,∴(3m =±-,从而直线l 的方程为(30x y +-+=或(30x y --+=.故选:A .【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用,双曲线的简单性质的应用,考查最值思想以及计算能力,是中档题.考点二 圆锥曲线的范围问题(一) 求范围常用方法圆锥曲线中的确定参变量(参数)的取值范围是高考命题的热点,也是我们掌握的一个难点。

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2014年一轮复习圆锥曲线的弦长面积问题
内容
明细内容
要求层次
了解
理解 掌握 圆锥曲线
椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程
√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系

题型一:弦长问题
设圆锥曲线C ∶(),0f x y =与直线:l y kx b =+相交于()11,A x y ,()22,B x y 两点, 则弦长AB 为:
()22
2
1212121141x AB k x x k x x x x k a ∆=+-=++-=+
()2121222
2
111
1141y AB y y y y y k k k a
∆=+=++-=+

题型二:面积问题1. 三角形面积问题
直线AB 方程:y kx m =
+ 0021kx y m d PH k -+==+ 0022
11122
a 1x ABP kx y m
S AB d k k
∆∆-+=
⋅=+⋅
+
自检自查必考点
圆锥曲线
2014年高考怎么考
H O
y
x
P
B
A
2. 焦点三角形的面积
直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为
1
1212121
2ABF S F F y y c y y ∆=⋅-=-=
3. 平行四边形的面积
直线AB 为1y kx m =+
,直线CD 为2y kx m =+
d CH ==
12AB x =-=
=
ABCD
S
AB d =⋅==
题型三:范围问题
首选均值不等式或对勾函数,其实用二次函数配方法,最后选导数思想 均值不等式 22
2(,)a b ab a b R +≥∈ 变式:2
,);(
)(,)2
a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用:当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值; 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意:应用均值不等式求解最值时,应注意“一”正“二”定“三”相等 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式: (1)222
64
64t S t t t
=
=++(注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论) (2)22
422
2121212
333196123696
k AB t k k k
=+=+≤+++⨯+++
当且仅当22
1
9k k =
时,等号成立
(3)22222
0000
2222
0000
2592593425934225964925925y x y x PQ x y x y =+⋅+⋅≥+⋅⨯⋅= 当且仅当22
00
22
00
259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. (4)22222131111812(8)22222
2223m m m S m m m -+=-⋅=-+≤⨯= 当且仅当228m m =-+时,等号成立 (5)222
1122222
11112
222221221(21)22214242221212121k m m m k m k m m S k k k k k
-++-+-+=+⋅=≤=++++ 当且仅当221212k m +=时等号成立.
【例1】 已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>经过点(2,1)A ,离心率为2
2,过点(3,0)B 的直线l 与椭圆交于
不同的两点,M N .
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若2
2
3||=MN ,求直线MN 的方程.
例题精讲
【例2】 已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,左右焦点分别为12,F F ,且12||2F F =,点(1,
3
2
)在椭圆C 上.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,且2AF B ∆2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.
【例3】 已知,,A B C 是椭圆W :2
214
x y +=上的三个点, O 是坐标原点. (Ⅰ)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (Ⅱ)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.
【例4】 已知椭圆2
2
:14
y C x +=,过点()03M ,
的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B . (Ⅰ)若l 与x 轴相交于点N ,且A 是MN 的中点,求直线l 的方程;
(Ⅱ)设P 为椭圆上一点,且OA OB OP λ+=(O 为坐标原点),求当AB <λ的取值范围.
【例5】 已知椭圆()11:2
22>=+a y a
x C 的上顶点为A ,左焦点为F ,直线AF 与圆
0726:22=+-++y x y x M 相切.过点⎪⎭⎫ ⎝

-21,0的直线与椭圆C 交于Q P ,两点.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)当APQ ∆的面积达到最大时,求直线的方程.
【例6】 已知椭圆()22
22:10x y M a b a b
+=>>的左右焦点分别为()()122,0,2,0F F -.在椭圆M 中有一内接
三角形ABC ,其顶点C 的坐标(
)
3,1,AB 所在直线的斜率为
3
3
. (Ⅰ)求椭圆M 的方程;
(Ⅱ)当ABC ∆的面积最大时,求直线AB 的方程.
【例7】 在平面直角坐标系xOy 中, 动点P 到直线:2l x =的距离是到点(1,0)F 2倍.
(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线FP 与(Ⅰ)中曲线交于点Q ,与l 交于点A ,分别过点P 和Q 作l 的垂线,垂足为,M N ,问:是否存在点P 使得APM ∆的面积是AQN ∆面积的9倍?若存在,求出P 的坐标;若不存在,说明理由.
【例8】 在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点(1,1)A -关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜
率之积等于13
-
. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ,问:是否存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由。

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