数学实验——行星的轨道和位置

行星的轨道和位置

一、实验目的

本实验主要涉及常微分方程。通过实验复习：微分方程的建模和解法，数值积分的计算。另外还将介绍：建立数学模型时复坐标系的选取，微分方程的Runge-Kutta 法。 二、实际问题

水星距太阳最远处（远日点）距离为6.982×1010m ，此时地球绕太阳运动（公转）的速度为3.886×104m/s ，试求： （1）水星距太阳的最近距离； （2）水星绕太阳运转的周期；

（3）画出水星绕太阳运行的轨道曲线；

（4）在从远日点开始的第50天结束时水星的位置； （5）对以上（2）（4）两问各使用不少于两种方法求出结果，其中一种方法指定为Runge-Kutta 法。

三、数学模型

设太阳中心所在位置为复平面之原点O ,在时刻t ,行星位于

()θ

i re t Z = ……………………………（１）

所表示的点P 。这里

()t r r =，()t θθ=均为t 的函数，分别表示()t Z 的模和辐角。

于是行星的速度为

dt

d ir

e e dt dr dt dZ i i θθθ+=

⎪

⎭⎫ ⎝⎛+=dt d ir dt

dr

e i θθ 其加速度为

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt d dt dr dt d r i dt d r dt r d e dt Z d i θθθθ

22222222 (2)

而太阳对行星的引力依万有引力定律，大小为2

r mMG

，方向由行星位置P 指向太阳的中心

O ，故为θ

i e r 2m MG -

，其中

()kg M 3010989.1⨯=为太阳的质量，m 是行星的质量，()2211/10672.6kg m N G ⋅⨯=-为万有引力常数。

依Newton 第二定律，我们得到

2

22-dt Z d m e r mMG i =θ (3)

将式（5.2）代入式（5.3），然后比较实部与虚部，就有

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+22222202r MG dt d r dt

r d dt d dt dr dt d r θθθ………………（4,5） 这是两个未知函数的二阶微分方程组。在确定某一行星轨道时，需要加上定解条件。我们设当0=t

时，行星正处于远日点，而远日点位于正实轴上，距原点O 为0r ，行星的线速度

为0v ，那么就有初始条件：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎨⎧========00

000

000r v dt

d dt dr

r r t t t t θθ……………………………………（6~9）

问题（4）~（9）就是行星绕太阳运行的轨迹的数学模型。

将式（4）乘以r , 即得

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛dt d r dt d θ

从而

()常数12

C dt d r =θ

(10)

其中

001v r C =

这样，有向线段OP 在时间t ∆内扫过的面积等于

22112t C dt dt d r t

t t

∆=⎰∆+θ (11)

显然，这正是

Kepler 的第二定律：从太阳指向行星的线段在单位时间内扫过的面积相等。

将式（10）改写后代入式（5）得

232

122r MG

r C dt r d -=-

于是我们得到了行星运动的形式较为简单的数学模型：

⎪

⎪⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧====-=-===00000021232122t t t dt

dr

r r r C dt d r MG

r C dt r d θθ……………………（12~16）

四、解析方法

（1）水星到太阳的最近距离

为求得行星的轨迹方程，要消去变量t ，令

u r 1=

，那么式（13）可以写为 21u C dt d =θ

(17)

从而

θθθd du C dt d d du u dt du u dt dr 12211-=-=-=

22

221221122θθθθd u

d u C dt d d u d C d du dt d C dt r d -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

将上式代入式（12），简化后为

p u d u d 1

22=+θ (18)

其中

MG C

p 2

1

=. 式（18）是一个二阶常系数非齐次微分方程，引进

p u u 1

-

=，立即可以求出

()0cos 1

θθ-==-

A u p u

这里A 和0θ是待定的常数。记

Ap e =，上式可写为

()0cos 1θθ-+=

e p

r (19)

这就是行星的轨道方程，是一条平面二次曲线。由于行星绕太阳运行，故必有10<

由于r 在0=t

时取到最大值0r （远日点），而0=θ，这意味着此时函数()0cos θ-取到

最小值1-，于是就有

001r p

e -

==，πθ

从而行星轨迹的方程为

θ

cos 1e p r -=

对水星而言，

()m r 10010982.6⨯=，()s m v 4010886.3⨯=

显然，水星的近日点到太阳的距离m r 由在式（19）中取πθ

=得到，即

e p r m +=

1

依已知数据，可知

()

()

2509040

0.205498691105.547,102.7130

102

1215001≈-=⨯≈=⨯≈=r p

e m MG

C

p s m v r C

从而计算得水星到太阳的最近距离为

()m r m 10104.602⨯≈

（2）水星绕太阳的运行周期 设行星的周期为T ，那么利用

Kepler 第二定律即式（11）

，我们有

⎰=T

T C dt dt d r 0

122121θ (20)