菱形的性质与判定典型例题

《菱形的性质与判定》典型例题

例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求：

（1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积．

例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F ．

求证：.AF AE =

例 3 已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的一点，︒=∠=∠60EAF D ，︒=∠18BAE ，求CEF ∠的度数.

例4 如图，已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形，且DF AD =． 求证：GH 垂直平分CF ．

例 5 如图，ABCD中，AB

=，E、F在直线CD上，且

AD2

=．

DE=

CF

CD

求证：AF

BE⊥．

例6 如图，在Rt△ABC中，

∠ACB，E为AB的中点，四边形BCDE

=

90

是平行四边形．

求证：AC与DE互相垂直平分

参考答案

例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ∆是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.2

1BD AC S ⋅= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD =

E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD =

∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形．

∴.120260︒=⨯︒=∠ABC

（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.2

12121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 2

3)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.2

3321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅= 说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．

例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆，从而可以证得本题的结论．

证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且︒=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ∆≅∆，∴DF BE =，

AD AB = ，

∴DF AD BE AB -=-，

∴.AF AE =

例3 解答：连结AC .

∵四边形ABCD 为菱形，

∴︒=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===.

∴ABC ∆与CDA ∆为等边三角形.

∴︒=∠=∠=∠=60,BAC ACD B AC AB

∵︒=∠60EAF ，

∴CAF BAE ∠=∠

∴ACF ABE ∆≅∆

∴AF AE =

∵︒=∠60EAF ，

∴EAF ∆为等边三角形.

∴︒=∠60AEF

∵CEF AEF BAE B AEC ∠+∠=∠+∠=∠，

∴CEF ∠+︒=︒+︒601860

∴︒=∠18CEF

说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC ，证ACF ABE ∆≅∆

例4 分析 由已知条件可证明四边形BGDH 是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH 垂直平分CF ．

证明：∵四边形ABCD 、BEDF 都是长方形

∴BF DE //，CD AB //， 90=∠=∠BCD DFH ，BC AD =

∴四边形BGDH 是平行四边形

∵DF AD =，∴BC DF =

在△DFH 和△BCH 中

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC DF BHC DHF BCH DFH

∴△DFH ≌△BCH ∴BH DH =，HC HF =

∵四边形BGDH 是平行四边形

∴四边形BGDH 是菱形

∴GH 平分BHD ∠ ∴GH 平分FHC ∠ ∵HC HF =

∴GH 垂直平分FC ．

例5 分析 要证AF BE ⊥，关键是要证明四边形ABHG 是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．

证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CD AB //，CD AB =，BH AG //，∴E ∠=∠1 ∵ED CD =，∴ED AB =

在△ABG 和△EDG 中 ⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠ED AB E 321

∴△ABG ≌△DEG ∴GD AG = ∵AB AD 2= ∴AB AG =

同理：BH AB = ∴BH AG = ∵BH AG //

∴四边形ABHG 是平行四边形

∵BH AB = ∴四边形ABHG 是菱形 ∴BE AF ⊥．

例6 分析 要证明AC 与DE 互相垂直平分，只要证明四边形ADCE 是菱形．所以要连结AD

证明 ∵在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点 ∴BE CE AE ==

∵四边形BCDE 是平行四边形

∴AB CD //，BE CD = ∴AE CD //，

∴四边形ABCE 是平行四边形

∵EC AE = ∴ADCE 是菱形 ∴AC 与DE 互相垂直平分．