九年级数学相似三角形题型归纳培优

相似三角形提升版

一、知识梳理，重点引领

1、基本模型一——“K 型”相似（一线三等角）

如图1， B C EDF ∠=∠=∠⇒△ ∽△ ；（答案：△BDE ∽△CFE ） 特别的，如图2，B C ADE ∠=∠=∠⇒△ ∽△ ；（答案：△ABD ∽△DCE ）

如图3，特别地，当D 是BC 中点时：BDE ∆∽DFE ∆∽CFD ∆⇒ED 平分BEF ∠， FD 平分EFC ∠. 2、基本模型二——旋转相似基本图形

已知基本图中AB ∥CD ，则图1中，△ ∽△ ；图2中△ ∽△ .

答案：图1中，△AOC ∽△BOD ；图2中△AOC ∽△BOD .

二、例、变、拓——复习目标导学

导学目标1 “K 型”相似（一线三等角）及其应用

例1 （2018•聊城）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为（ ）

A ．（95-

， 12

5

） B ．（﹣

125，95） C ．（﹣165，125） D ．（﹣125，16

5

） 图3

图2

图1

B

B

A A

图2

图1

【答案】A ．

【思路分析】过点C 1作C 1N ⊥x 轴于点N ，然后利用相似三角形的判定与性质得出△ONC 1三边关系，再利用勾股定理列方程求解即可．

【试题解析】解：如图，过点C 1作C 1N ⊥x 轴于点N ，过点A 1作A 1M ⊥x 轴于点M ， 由题意可得：∠C 1NO =∠A 1MO =90°，∠1=∠2=∠3， 则△A 1OM ∽△OC 1N ，

∵OA =5，OC =3，∴OA 1=5，A 1M =3，∴OM =4， ∴设NO =3x ，则NC 1=4x ，OC 1=3， 则（3x ）2+（4x ）2=9，解得：x =35±（负数舍去），则NO =95，NC 1=125

， 故点C 的对应点C 1的坐标为（95-

，125

）．故选A ．

变式1 如图，等边ABC ∆中，D 是边BC 上的一点，且:1:3

BD DC =，把ABC ∆折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处．那么

AM

AN

的值为 ．

【答案】

57

. 【解析】由翻折可得：,,AM DM AN DN MDN A ==∠=∠， 设1,3BD DC ==，则4,4BM DM CN DN +=+=，

∵BDM ∆∽CND ∆，∴

415

437

BDM CND C AM DM AN DN C ∆∆+====+. B

拓展1如图，已知ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，O 是AB 的中点，将45︒角的顶点置于点O ， 并绕点O 旋转，使角的两边分别交边AC 、BC 于点D 、E ，连接DE .

（1）求证AOD ∆∽OED ∆；（2）设AD x =，试用关于x 的式子表示DE .

【答案】（1）见解析；（2）2

2DE x x

=+

- 【解析】解：（1）∵90C ∠=︒，2AC BC ==.

∴AB =45A B ∠=∠=︒. ∵45DOE ∠=︒，∴135BOE AOD ADO ∠=︒-∠=∠.∴AOD ∆∽BEO ∆.∴AD OD

BO EO

=

.

∵OA OB ==，∴

AD OD AO OE =，即AD AO

OD OE

=

. ∵45A DOE ∠=∠=︒，∴AOD ∆∽OED ∆.

（2）作OF AC ⊥于F ，OH DE ⊥于H ，OG BC ⊥于G ，

∵45A ∠=︒

，OA =OF AC ⊥，∴1AF =同理：1BG =

∵AOD ∆∽BEO ∆，∴

AD OA

BO BE

=

∵AD x =

，OA OB ==2BE x

=

∵AOD ∆∽OED ∆，∴ADF EDO ∠=∠

∵OF AC ⊥于F ，OH DE ⊥于G ，∴1DH DF x ==-. 同理：21EH EG x ==-；∴2

2DE DH HE x x

=+=+-. 【方法技巧点拨一】

例1中的△A 1OM ∽△OC 1N ，变式1中的△BDM ∽△CND ，拓展1中△AOD ∽△BEO ，

总结看来其实都是一线三等角下的直观结论，而问题后续的解决也正是利用了上述三角形相似之后，才得以顺利展开的，所以在用三角形相似的知识解决问题时，要特别注意观察分析是否符合相似三角形的相关模型.

A

B

A

导学目标2 “旋转型”相似及其应用

例2（2019•德州）（1）如图1，菱形AEGH 的顶点E 、H 在菱形ABCD 的边上，且∠BAD =60°，请直接写出HD ：GC ：EB 的结果（不必写计算过程）

（2）将图1中的菱形AEGH 绕点A 旋转一定角度，如图2，求HD ：GC ：EB ； （3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD ：AB =AH ：AE =1：2，此时HD ：GC ： EB 的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不 必写计算过程）；若无变化，请说明理由．

【思路分析】（1）连接AG ，由菱形AEGH 的顶点E 、H 在菱形ABCD 的边上，且∠BAD =60°，易得A ，G ，C 共线，延长HG 交BC 于点M ，延长EG 交DC 于点N ，连接MN ，交GC 于点O ，则GMCN 也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；

（2）连接AG ，AC ，由△ADC 和△AHG 都是等腰三角形，易证△DAH ∽△CAG 与△DAH ≌△BAE ，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；

（3）连接AG ，AC ，易证△ADC ∽△AHG 和△ADH ∽△ABE ，利用相似三角形的性质可得结论． 【解析】解：（1）连接AG ，

∵菱形AEGH 的顶点E 、H 在菱形ABCD 的边上，且∠BAD =60°，

∴∠GAE =∠CAB =30°，AE =AH ，AB =AD ，∴A ，G ，C 共线，AB -AE =AD -AH ，∴HD =EB ， 延长HG 交BC 于点M ，延长EG 交DC 于点N ，连接MN ，交GC 于点O ，则GMCN

也为菱形，∴GC ⊥MN ，∠NGO =∠AGE =30°，∴

2

OG GN =

，∵GC =2OG ，∴GN GC =

∵HGND 为平行四边形，∴HD =GN ，∴HD ：GC ：EB =1：

：1．

（2）如图2，连接AG ，AC ，