相似三角形培优专题
相似三角形培优专题讲义
相似三角形培优专题讲义知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。
2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。
）例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。
（2）比例性质1.基本性质:bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： cda b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．例：已知的值求fd be c af d b f e d c b a ++++≠++===),0(545.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．知识点二：平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
专题27.35 相似三角形几何模型-一线三等角(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数
专题27.35 相似三角形几何模型-一线三等角（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB 上取点P ，使得△PAD 与△PBC 相似，则这样的P 点共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一动点（与B ，C 不重合）连接AP ，作PE ∠AP 交∠BCD 的外角平分线于E ，设BP =x ，∠PCE 的面积为y ，则y 与x 的函数关系式是（ ）A ．24y x x =-+B ．2122y x x =- C ．2122y x x =-+D ．24y x x =-3．如图，在平面直角坐标系中，直线12y x m =+不经过第四象限，且与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点P 为OA 的中点，点C 在线段OB 上，其坐标为(0,2)，连结BP ，CP ，若BPC BAO =∠∠，那么m 的值为（ ）A ．B ．4C ．5D ．64．将矩形OABC 如图放置，O 为坐标原点，若点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72，则点C 的坐标是（ ）A．（4，2）B．（3，32）C．（3，94）D．（2，32）二、填空题5．如图，将等边三角形ABC折叠，使得点C落在边AB上的点D处，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上．若AC＝8，AD＝2，则CECF＝_______________．6．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC上一个动点，把∠ADE沿AE折叠，若点D的对应点D′，连接D′B，以下结论中：∠D′B的最小值为3；∠当DE＝52时，∠ABD′是等腰三角形；∠当DE＝2是，∠ABD′是直角三角形；∠∠ABD′不可能是等腰直角三角形；其中正确的有_____．（填上你认为正确结论的序号）7．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E为AB边的中点，∠DEC=∠A．有下列结论：∠DE平分∠AEC；∠CE平分∠DEB；∠DE平分∠ADC；∠EC平分∠BCD．其中正确的是_______________.（把所以正确结论的序号都填上）三、解答题8．如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 边上动点(不与,B C 重合)．连接,AE 过点E 作,EF AE ⊥交DC 于点F ．()1求证：ABE ECF ；()2连接AF ，试探究当点E 在BC 什么位置时，BAE EAF ∠=∠，请证明你的结论．9．如图，在ABC 中，点D E 、分别在边BC AC 、上，连接AD DE 、，且B ADEC ∠=∠=∠．（1）证明：BDA CED △∽△；（2）若45,2B BC ∠=︒=，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合），且ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．10．如图，已知∠ABC 是边长为12的正三角形，AD 是边BC 上的高线，CF 是外角ACE的平分线，点P是边BC上的一个动点（与点B，C不重合），∠APQ＝60°，射线PQ分别与边AC，射线CF交于点N，Q．（1）求证：∠ABP∠∠PCN；（2）不管点P运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第（1）小题中的一对相似三角形外，请写出图中其它的所有相似三角形；（3）当点P从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点P的运动而运动．在此过程中，试探究：能否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明理由．11．如图，已知直线y=-34x+b与y轴相交于点B（0，3），与x轴交于点A，将△AOB沿y轴折叠，使点A落在x轴上的点C．（1）求点C的坐标；（2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合．联结PB．以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM=∠BAC．∠求证：△PBC∽△MPA．∠是否存在点P，使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图∠,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A,B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.【试题再现】如图∠,在∠ABC中,∠ACB=90°,直角顶点C在直线DE上,分别过点A,B作AD∠DE于点D,BE∠DE于点E.求证:∠ADC∠∠CEB．【问题探究】在图∠中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB 上的相似点,并说明理由.【深入探究】如图∠,AD∠BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于点P,过点P作AB∠AD于点A,交BC于点B．(1)请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.(2)若AD=3,BC=5,试求AB的长.13．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点(不与A、C重合)，连接PB ，过点P 作PE PB ⊥，交射线DC 于点E ，已知3AD =，4AB =.(1)求PEPB的值； (2)当PCE ∆是以PC 为底的等腰三角形时.请求出AP 的值;14．（1）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（,90AB BC ABC =∠=︒）放入一个“U ”形槽中，使三角形的三个顶点A 、B 、C 分别在槽的两壁及底边上滑动，已知90D E ∠=∠=︒，在滑动过程中，你发现线段AD 与BE 有什么关系？试说明你的结论；（2）【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上，若B FDE C ∠=∠=∠，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；（3）【拓展应用】如图3，在ABC ∆中，BA BC =，45B ∠=︒，点D 、F 分别是边BC 、AB 上的动点，且2AF BD =．以DF 为腰向右作等腰DEF ∆，使得DE DF =，45EDF ∠=︒，连接CE ．∠试判断线段DC 、BD 、BF 之间的数量关系，并说明理由；∠如图4，已知2AC =，点G 是AC 的中点，连接EA 、EG ，直接写出EA EG +的最小值．15．感知∠（1）数学课上，老师给出了一个模型∠如图1，∠BAD =∠ACB =∠AED =90°，由∠1+∠+2+∠BAD =180°，∠2+∠D +∠AED =180°，可得∠1=∠D ；又因为∠ACB =∠AED =90°，可得∠ABC ∠∠DAE ，进而得到BCAC= ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．应用∠（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在∠ABC 中，点D 在边BC 上，并且DA=DE ，∠B =∠ADE =∠C ．若BC =a ，AB=b ，求CE 的长度（用含a ，b 的代数式表示）．拓展∠（3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD 中，E 为边BC 上的一点，F 为边AB 上的一点．若∠DEF =∠B ．求证∠AB ·FE =BE ·DE ．16．[模型建立](一线三等角)（1）如图1，等腰Rt ABC 中，90,,ACB CB CA ∠=︒=直线ED 经过点C ，过点A 作AD ED ⊥于点,D 过点B 作BE ED ⊥于点,E 求证：BEC CDA ≌；[模型应用]（2）如图2，直线14:43l y x =+与坐标轴交于点,A B 、直线2l 经过点A 与直线1l 垂直，求直线2l 的函数表达式．（3）如图3，平面直角坐标系内有一点()6,8,B -过点B 作BA x ⊥轴于点A BC y ⊥、轴于点,C 点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线22y x =-+上的动点且在第四象限内．若CPD △成为等腰直角三角形，请直接写出点D 的坐标．参考答案1．C解：设AP=x ，则BP=7-x ，然后根据对应关系，分情况为：∠当∠ADP∠∠BCP 时，可得AD APBC BP =，即237x x =-，解得x=145，这时有一个P点；∠当∠ADP∠∠BPC 时，可得AD APBP BC =，即273x x =-，解得x=1或x=6，因此这样的点有两个；因此符合条件的P 点共有3个. 故选C【点拨】此题主要考查了相似三角形的性质，解题时，先根据相似三角形的性质，和相似三角形的对应关系，列出相应的比例式，求解即可.2．C解：过点E 作EH ∠BC 的延长线于点H ,因为∠APB+∠EPC=90°, ∠BAP+∠APB=90°,所以∠BAP=∠EPH ,因为∠B=∠H,所以∠ABP ∠∠PHE ,设EH =a ,因为∠ECH=45°,∠H=90°,所以CH =EH =a ,因为BP =x ,所以CP =4-x ,根据相似三角形的性质,可知AB PHBP EH=,即 44x ax a-+=,整理得:()()40x a x --=,解得()124,x x a ==不符合题意,所以y 与x 的函数关系式为:()211142222y PC EH x x x x =⨯⨯=⨯-⨯=-+,故选C.3．D 【分析】典型的“一线三等角”，构造相似三角形△AOB∠∠DPC,即可证明△PCD∠∠BPA ，由相似比求得边的相应关系，从而求解．解：在x 轴上找点D （4,0），连接CD.由12y x m =+可得A(-2m ，0 )，B(0，m )，直线12y x m =+不经过第四象限，所以m>0,所以OA=2m ，OB=m ；因为C 坐标为()0,2，点D （4,0）所以OC=2，OD=4, 因为12OB OC OA OD ==,∠AOB=∠DOC=90° ,所以△AOB∠∠DPC,所以∠CDO=∠BAO. 又因为BPC BAO ∠=∠，所以根据三角形内角和和平角定义可得：∠APB+∠1=∠APB+∠CPD所以∠1=∠CPD ，又因为∠CDO=∠BAO ，所以△PCD∠∠BPA ，所以AB APDP DC= , 因为点P 为OA 的中点，所以AP=OP=m ，PD=m+4，Rt △AOB 中，由勾股定理得m ，同理得AB APDP DC ==，解得m=6. 故选D.【点拨】本题考查一次函数综合题．需要掌握待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形面积的求法等知识点，4．B 【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM ＝32=，MO ＝3，进而得出答案． 解：如图，过点A 作AE ∠x 轴于点E ，过点B 作BF ∠x 轴于点F ，过点A 作AN ∠BF 于点N ，过点C 作CM ∠x 轴于点M ．∠∠EAO +∠AOE =90°，∠AOE +∠MOC =90°， ∠∠EAO =∠COM ， 又∠∠AEO =∠CMO =90°，∠∠AEO ∠∠OMC ， ∠OE AE CM OM=， ∠∠BAN +∠OAN =90°，∠EAO +∠OAN =90°，∠∠BAN =∠EAO =∠COM ，在△ABN 和△OCM 中，BNA CMO BAN COM AB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABN ∠∠OCM （AAS ），∠BN =CM ．∠点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72， ∠BN 32=， ∠CM 32=， ∠1232OM =，∠MO =3，∠点C 的坐标是：（3，32）． 故选：B ．【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM 的长是解题的关键.5．75解：∠∠ABC 是等边三角形，∠∠A =∠B =∠C =60°，AB =AC =BC =8，∠AD =2，∠DB =6，由折叠的性质可知，∠EDF =∠C =60°，EC =ED ，FC =FD ，∠∠AED +∠EDA =120°，∠EDA +∠BDF =120°，∠∠AED =∠BDF ，∠∠AED ∠∠BDF ，∠DF DE =BD DF BF AE AD DE ++++=BD BC AD AC ++=1410=75，∠CF CE =DF DE =75，故答案为75． 点睛：本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．6．∠∠∠【分析】当D′落在线段AB 上时，D′B 的值最小，此时D′B ＝AB ﹣AD ＝3，得出∠正确； 过D′作MN∠AB 交AB 于点N ，交CD 于点M ，设AN ＝x ，则EM ＝x ﹣2.5，证出∠ED′M ＝∠D′AN ，因此△EMD′∠∠D′NA ，得出对应边成比例ED EM AD D N ='''，求出x ＝4，得出AN ＝BN ，因此AD′＝D′B ，得出∠正确；当DE ＝2时，假设△ABD′是直角三角形，则E 、D′、B 在一条直线上，作EF∠AB 于点F ，由勾股定理求出D′B 、EB ，得出∠不正确；当AD′＝D′B 时，由勾股定理的逆定理得出△ABD′不是直角三角形，当△ABD′是直角三角形时，由勾股定理求出D′B ，得出AD′≠D′B ，因此△ABD′不可能是等腰直角三角形，得出∠正确．解：当D′落在线段AB 上时，D′B 的值最小，如图1所示：此时D′B ＝AB ﹣AD ＝8﹣5＝3，∠∠正确；过D′作MN∠AB 交AB 于点N ，交CD 于点M ，如图2所示：设AN ＝x ，则EM ＝x ﹣2.5，∠∠AD′N ＝∠DAD′，∠ED′M ＝180°﹣∠AD′E ﹣∠AD′N ＝180°﹣90°﹣∠AD′N ＝90°﹣∠AD′N ，∠∠ED′M ＝90°﹣∠DAD′，∠∠D′AN ＝90°﹣∠DAD′，∠∠ED′M ＝∠D′AN ，∠MN∠AB ，∠∠EMD′＝∠AND′，∠∠EMD′∠∠D′NA ， ∠ED EM AD D N='''， 即，2.55=解得：x ＝4，∠AN ＝BN ，∠AD′＝D′B ，即△ABD′是等腰三角形，∠∠正确；当DE＝2时，假设△ABD′是直角三角形，则E、D′、B在一条直线上，作EF∠AB于点F，如图3所示：D′B==∠2∠∠不正确；当AD′＝D′B时，52+52≠82，∠∠ABD′不是直角三角形，当△ABD′是直角三角形时，D′B=∠AD′≠D′B，∠∠ABD′不可能是等腰直角三角形，∠∠正确；故答案为∠∠∠．【点拨】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解决问题的关键．7．∠∠解：试题分析：在∠ADE中，∠ADE+∠AED+∠A=180°，又∠AED+∠DEC+∠BEC=180°，可得∠ADE+∠AED+∠A =∠AED+∠DEC+∠BEC，由∠A=∠DEC，可得∠ADE=∠BEC，又∠A=∠B，根据两角对应相等的两三角形相似，可得∠ADE∠∠BEC，可得DE AEEC BC=，又AE=BE，得到DE BEEC BC=，又∠DEC=∠B，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可知∠CDE∠∠CEB，然后根据相似三角形的对应角相等，可得∠DCE=∠BCE，因此EC平分∠BCD，即∠成立；同理∠ADE∠∠EDC，因此DE平分∠ADC；即∠成立；而∠DE平分∠AEC 不一定成立；∠CE平分∠DEB不一定成立．故答案为：∠∠.8．（1）证明见分析；（2）点E在BC中点位置时，BAE EAF∠=∠，证明见分析．【分析】（1）先根据正方形的性质可得90B C∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质、角的和差可得BAE CEF∠=∠，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见分析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得,B ECH BAE H∠=∠∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE HE=，然后根据等腰三角形的判定与性质可得EAF H∠=∠，最后根据等量代换即可得．解：（1）四边形ABCD是正方形，90B C∴∠=∠=︒，90BAE BEA∴∠+∠=︒，EF AE⊥，90AEF∴∠=︒，90BEA CEF ∴∠+∠=︒，BAE CEF ∴∠=∠，在ABE △和ECF △中，B C BAE CEF ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ABE ECF ∴；（2）点E 在BC 中点位置时，BAE EAF ∠=∠，证明如下：如图，连接AF ，延长AE 于DC 的延长线相交于点H ， E 为BC 中点，BE CE ∴=，四边形ABCD 是正方形，//AB DH ∴，,B ECH BAE H ∴∠=∠∠=∠，在ABE △和HCE 中，BAE H B ECH BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE HCE AAS ∴≅，AE HE ∴=，EF AH ⊥，AFH ∴是等腰三角形，EAF H ∴∠=∠，BAE EAF ∴∠=∠，故当点E 在BC 中点位置时，BAE EAF ∠=∠．【点拨】本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．9．(1)理由见详解；（2）2BD =1，理由见详解．【分析】（1）根据题目已知条件易得：180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒，所以得到DAB EDC ∠=∠，问题得证．（2）由题意易得ABC 是等腰直角三角形，所以90BAC ∠=︒，当ADE 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：∠AD=AE ，∠AD=DE ，∠AE=DE ；因为点D 不与B C 、重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及45B ADE ∠=∠=︒，求出问题即可．解：（1）如图可知：180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，∴ 180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒ 又B ADE C ∠=∠=∠∴EDC DAB ∠=∠∴BDA CED △∽△．（2）B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形∴90BAC ∠=︒BC=2，∴AB=AC=2∠当AD=AE 时，∴ADE AED ∠=∠45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒∴90DAE ∠=︒∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上∴此情况不符合题意．∠当AD=DE 时，∴DAE DEA ∠=∠∴由（1）结论可知：BDA CED ≌∴∴2BD =∠当AE=DE 时，45ADE DAE ∠=∠=︒∴AED 是等腰直角三角形45B ∠=︒，∴==45B C DAE ∠∠∠=︒∴90ADC ∠=︒，即AD BC ⊥ ∴1=12BD BC =．综上所诉：2BD =1．【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．10．（1）详见分析；（2）△ABD ∠∠ACD ；△APN ∠∠ACP ；△APN ∠∠QCN ；△ACP ∠∠QCN ；（3）1.5．【分析】（1）根据等边三角形性质得到∠ABP ＝∠PCN ＝60°，利用角的和差证明∠BAP ＝∠CPN ，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）因为△ABC 是正三角形，AD 是边BC 上的高线，由三线合一可证△ABD ∠∠ACD ；因为∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP,所以△APN ∠∠ACP ；因为∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,所以△APN∠∠QCN ；因为△APN ∠∠ACP ，△APN∠∠QCN ，所以△ACP ∠∠QCN ；（3）当点P 在BD 的中点运动到DC 的中点时，利用相似三角形性质，设PB ＝x ，CN ＝y ，则3≤x ≤9，由第（1）题利用相似三角形性质可得：1212y x x -=，解得2112y x x =-+，又利用函数图象可知：当x ＝3或9时，y ＝94，当x ＝6时，y 最大＝3，所以点N 运动的路径长为：（3－94）×2＝1.5． 解：（1）在正三角形ABC 中，∠ABP ＝∠PCN ＝60°，∠∠BAP +∠BP A ＝120°，又∠∠APQ ＝60°，∠∠CPN +∠BP A ＝120°， ∠∠BAP ＝∠CPN ，∠∠ABP ∠∠PCN ；（2）△ABD ∠∠ACD ；△APN ∠∠ACP ；△APN ∠∠QCN ；△ACP ∠∠QCN ；理由：∠△ABC 是正三角形，AD ∠BC ，由三线合一可证△ABD ∠∠ACD ；∠∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP ，∠△APN ∠∠ACP ；∠∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,∠△APN∠∠QCN ；∠△APN ∠∠ACP ，△APN∠∠QCN ，∠△ACP ∠∠QCN ；（3）能，设PB ＝x ，CN ＝y ，由第（1）题可得：1212y x x -=， ∠2112y x x =-+，又3≤x ≤9，利用函数图象可知： 当x ＝3或9时，y ＝94，当x ＝6时，y 最大＝3； ∠点N 运动的路径长为：（3－94）×2＝1.5． 【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正三角形的性质，掌握相关的性质定理、灵活运用所学知识是解题的关键．11．（1）C （-4，0）；（2）∠证明见分析，∠存在．使△PBM 为直角三角形的点P 有两个P1（-94，0），P2（0，0）． 【分析】（1）根据B 点坐标求得直线解析式，再求得A 点坐标，然后根据A 与C 关于y 轴对称，据此即可确定C 的坐标；（2）∠根据点C 与点A 关于y 轴对称，即可得到BC=BA ，则∠BCP=∠MAP ，再根据三角形的外角的性质即可证得∠PMA=∠BPC ，从而证得两个三角形相似；∠首先求得B 的坐标，当∠PBM=90°时，则有∠BPO∠∠ABO ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得PO 的长，求得P 的坐标；当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°时，BP∠AC ，则此时点P 与点O 重合．则P 的坐标可以求得．（1）解：∠直线y=-34x+b与y轴相交于点B（0，3），∠b=3，∠直线的解析式为y=-34x+3，令y=0，得到x=4，∠A（4，0），∠点C与点A关于y轴对称，∠C（-4，0）；（2）∠证明：∠∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，∠∠PMA=∠BPC，又∠点C与点A关于y轴对称，且∠BPM=∠BAC，∠∠BCP=∠MAP，∠∠PBC∠∠MPA；∠解：存在．由题意：A（4，0），B（0，3），C（-4，0）当∠PBM=90°时，则有∠BPO∠∠ABO，∠POBO=BOAO，即PO3=34，∠PO=94，即：P1（-94，0）．当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°，∠∠PAM+∠MPA=90°，∠∠BPM=∠BAC，∠∠BPM+∠APM=90°，∠BP∠AC．∠过点B只有一条直线与AC垂直，∠此时点P与点O重合，即：符合条件的点P2的坐标为：P2（0，0）．∠使∠PBM为直角三角形的点P有两个P1（-94，0），P2（0，0）．【点拨】本题是属于一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．12．【试题再现】见分析；【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点. 理由见分析；【深入探究】(1) 点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点，见分析；(2)解：试题分析：【试题再现】易证∠BCE=∠CAD，又∠ADC=∠CEB=90°，故得∠ADC∠∠CEB.【问题探究】要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明∠ADE∠∠BEC，所以问题得解．【深入探究】（1）分别证明∠ADP∠∠PDC,∠BPC∠∠PDC,从而∠ADP∠∠PDC∠∠BPC,故点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.（2）过点P作PE∠DC于点E,过点D作DF∠BC于点F,则四边形ABFD是矩形,通过证明∠ADP∠∠EDP和∠CBP∠∠CEP得DC =8，再求出CF=2，在Rt∠CDF中,由勾股定理,得解：【试题再现】∠∠ACB=90°,∠∠ACD+∠BCE=90°,∠AD∠DE,∠∠ACD+∠CAD=90°,∠∠BCE=∠CAD,∠∠ADC=∠CEB=90°,∠∠ADC∠∠CEB.【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.理由如下:∠∠DEC=40°,∠∠DEA+∠CEB=140°.∠∠A=40°,∠∠ADE+∠AED=140°,∠∠ADE=∠CEB,又∠∠A=∠B,∠∠ADE∠∠BEC,∠点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点.【深入探究】(1)∠AD∠BC,∠∠ADC+∠BCD=180°,∠DP 平分∠ADC,CP 平分∠BCD, ∠∠CDP+∠DCP=12(∠ADC+∠BCD)=90°, ∠DA∠AB,DA∠BC,∠CB∠AB,∠∠DPC=∠A=∠B=90°,∠∠ADP=∠CDP,∠∠ADP∠∠PDC,同理∠BPC∠∠PDC,∠∠ADP∠∠PDC∠∠BPC,即点P 是四边形ABCD 的边AB 上的一个强相似点.(2)过点P 作PE∠DC 于点E,过点D 作DF∠BC 于点F,则四边形ABFD 是矩形,∠DF=AB,在∠ADP 与∠EDP 中,ADP EDP,DAP DEP 90,DP DP,∠∠∠∠=⎧⎪==︒⎨⎪=⎩∠∠ADP∠∠EDP,∠AD=DE,同理∠CBP∠∠CEP,∠BC=EC,∠DC=AD+BC=8.在Rt∠CDF 中,CF=BC -BF=BC -AD=5-3=2,由勾股定理,得13．(1)34;(2)75. 分析：（1）如图，过点P 作CD 的垂线，分别交AB 、CD 于M 、N ，易证△PNE∠∠BMP,从而证得PE 3tan PB 4PN PN ACD BM CN ===∠= （2）首先证明BP=BC,再过点B 作BF 垂直AC 得PF=CF,由cos ,BC FC FCB AC BC ∠==得9,5FC PF == 根据AP=AC -PC 即可求解.解：（1）P CD AB CD M N 过点作的垂线，分别交、于点、，90PNE ∴∠︒＝．ABCD 四边形是矩形，//90,AB CD ABC BCD ，∴∠=∠=︒BCMN 四边形是矩形，∴90,BMP BM CN ∴∠=︒=90,90,PNE BPE ∠=︒∠=︒90,90,NPE PCN MPB MPE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒,90PEN MPB PNE BMP ∴∠=∠∠=∠=︒又~,PNE BMP ∴∆∆PE 3tan .PB 4PN PN ACD BM CN ∴===∠= 34PE PB ∴的值为 （2）.PE CE EPC ECP =∠=∠当，则 ABCD 四边形是矩形，90,BCD ∴∠=︒,PE PB ⊥90.BPE ∴∠=︒BPC BCP ∴∠=∠.BP BC ∴=B BF AC F PF CF.⊥=过点作于点，则cos ,BC FC FCB AC BC∠== 3,53FC ∴= 9,5FC ∴= 9.5PF ∴= 187555AP AC PC ∴=-=-= 【点拨】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，正确作出辅助线、灵活运用相关的定理是解题的关键．14．【小问1】AD BE =，说明见分析【小问2】BED FDC ∠=∠，EDB DFC ∠=∠；说理见分析【小问3】∠BD BF CD +=，理由见分析；∠AE EG +【分析】（1）【问题情境】证明()ABD BCE AAS ∆≅∆，即可求解．（2）【变式探究】利用等量代换即可求解．（3）【拓展应用】∠等量代换即可求解；∠在CD 上截取DM BF =，连接EM ，作点G 关于CE 的对称点N ，连接CN ，AN ，先证明()BDF MED SAS ∆≅∆，得到EM ＝CM ，在求出22.5ECM MEC ∠=∠=︒，即可确定E 点在射线CE 上运动，当A 、E 、N 三点共线时，EA ＋EG 的值最小，最小值为AN ，在Rt ANC 中求出AN 即可．解：（1）【问题情境】AD BE =，理由如下：90ABC ∠=︒，90ABD CBE ∴∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒，BAD CBE ∴∠=∠，AB BC =，()ABD BCE AAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=；（2）【变式探究】BED FDC ∠=∠，EDB DFC ∠=∠；理由如下：B FDEC ∠=∠=∠，180EDB BED EDB FDC FDC DFC EDF ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠，BED FDC ∴∠=∠，EDB DFC ∠=∠；（3）【拓展应用】∠AB BC =，AF BF BD CD ∴+=+，2AF BD =，2BD BF BD CD ∴+=+，BD BF CD ∴+=；∠在CD 上截取DM BF =，连接EM ，作点G 关于CE 的对称点N ，连接CN ，AN ， 45B ∠=︒，45EDF ∠=︒，BFD EDM ∴∠=∠，DF DE =，()BDF MED SAS ∴∆≅∆，BD EM ∴=，EM BD =，45B DME ∠=∠=︒，CD BD BF =+，CM BD ∴=，EM CM ∴=，MCE MEC ∴∠=∠，45EMD ∠=︒，22.5ECM MEC ∴∠=∠=︒，E ∴点在射线CE 上运动， G 点与N 的关于CE 对称，EG EN∴=，EA EG EA EN AN∴+=+，∴当A、E、N三点共线时，EA EG+的值最小，最小值为AN，45B∠=︒，AB BC=，67.5ACB∴∠=︒，45ACE∴∠=︒，由对称性可知，ACE ECN∠=∠，90ACN∴∠=︒，点G是AC的中点，2AC=，1CG∴=，1CN∴=，在Rt ANC中，ANAE EG∴+【点拨】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．15．（1）AEDE；（2）CE=a-b；（3）见分析【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求得结果；（2）由已知易证∠ADB∠∠DEC，从而由全等三角形的性质即可求得CE的长度；（3）作CG//FE交DE于点G，易证得∠FBE∠∠EGC，从而可得BEFE=CGEC；可证得∠DGC∠∠DCE，可得DCDE=CGEC，即有BEFE=DCDE，再由AB=CD即可得要证的结论．解：（1）∠∠ABC∠∠DAE∠BC AE AC DE故答案为：AE DE；（2）∠∠B=∠ADE=∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∠∠EDC=∠BAD又∠DA=DE∠∠ADB∠∠DEC∠EC=BD，AB=DC=b∠BD=BC-DC=a-b．即：CE=a-b．（3）∠∠DEF=∠B∠∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEC∠∠BFE=∠DEC．作CG//FE交DE于点G，如图3．∠∠DEF=∠EGC∠∠B=∠EGC∠∠FBE∠∠EGC∠BEFE=CGEC∠四边形ABCD是平行四边形∠∠B+∠BCD=180°∠∠EGC+∠DGC=180°，且∠B=∠EGC ∠∠DGC=∠BCD又∠∠EDC=∠CDG ∠∠DGC∠∠DCE∠DCDE=CGEC∠BEFE=DCDE∠DC·FE=BE·DE又∠四边形ABCD是平行四边形∠AB=DC∠AB·FE=BE·DE【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，（3）问中作辅助线是难点，灵活运用这些知识是重点．16．（1）答案见分析；（2）直线l2的函数表达式为：y＝3944x--；（3）点D的坐标为2238,33⎛⎫-⎪⎝⎭或(8，﹣14)或1626,33⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定义和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB，最后由角角边证明：∠BEC∠∠CDA；（2）如图2，仿照（1）作辅助线，构建三角形全等，同理证明∠BOA∠∠AED，求出点D的坐标为（-7，3），最后利用待定系数法可得直线l2的函数表达式；（3）分三种情况：∠如图3，∠CPD=90°时，∠如图4，∠PCD=90°，此时P与A重合，∠如图5，∠CDP=90°，分别作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的性质可得点D 的坐标．解：（1）如图1所示：∠AD∠ED，BE∠ED，∠∠ADC=∠CEB=90°，又∠∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，∠∠ACD+∠BEC=90°，又∠∠ACD+∠DAC=90°，∠∠DAC=∠ECB ，在∠CDA 和∠BEC 中，ADC CEB DAC ECB AC BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠CDA∠∠BEC （AAS ）；（2）如图2，在l 2上取D 点，使AD=AB ，过D 点作DE∠OA ，垂足为E ，∠直线y=43x+4与坐标轴交于点A 、B ， ∠A （-3，0），B （0，4），∠OA=3，OB=4，由（1）得∠BOA∠∠AED ，∠DE=OA=3，AE=OB=4，∠OE=7，∠D （-7，3）设l 2的解析式为y=kx+b ，∠3703k b k b-+⎧⎨-+⎩＝＝ 解得3494k b ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝ ∠直线l 2的函数表达式为：y ＝3944x --； （3）点D 的坐标为223833⎛⎫- ⎪⎝⎭，或（8，﹣14）或162633⎛⎫- ⎪⎝⎭，分三种情况：∠如图3，∠CPD=90°时，过P作MH∠x轴，过D作DH∠y轴，MH和DH交于H，∠∠CPD是等腰直角三角形，∠CPD=90°，∠CP=PD，同理得∠CMP∠∠PHD（AAS），∠DH=PM=6，PH=CM，设PH=a，则D（6+a，a-8-6），∠点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内．∠a-8-6=-2（6+a）+2，解得：a=43，∠D（2238,33）；∠如图4，∠PCD=90°，此时P与A重合，过D作DE∠y轴于E，∠∠CPD是等腰直角三角形，同理得∠AOC∠∠CED，∠OA=CE=6，OC=DE=8，∠D（8，-14）；∠如图5，∠CDP=90°，过点D作MQ∠x轴，延长AB交MQ于Q，则∠Q=∠DMC=90°，∠∠CDP是等腰直角三角形，同理得∠PQD∠∠DMC，∠PQ=DM，DQ=CM，设CM=b，则DM=6-b，AQ=8+b，∠D（6-b，-8-b），∠点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内，∠-8-b=-2（6-b）+2，解得：b=23，∠D（1626,33-）；综上，点D的坐标为223833⎛⎫-⎪⎝⎭，或（8，﹣14）或162633⎛⎫-⎪⎝⎭，【点拨】本题是一次函数和四边形的综合题，综合考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，一次函数上点的坐标的特点等知识点，重点是运用类比的方法，作辅助线，构建全等三角形依次解决问题．。
专题27.22 相似三角形的性质(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识
专题27.22 相似三角形的性质（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标(0，3)，点B 坐标(4，0)，将点O 沿直线34y x b =-+对折，点O 恰好落在∠OAB 的平分线上的O’处，则b 的值为（ ）A ．12B ．65C ．98D ．15162．如图，CD 是ABC 的高，2CD AD BD M =⋅,是CD 的中点，BM 交AC 于,E EF AB ⊥于F ．若164,5EF CE ==,则AB 的长为( )A ．485B ．383C ．413D ．4153．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 的距离的最小值是( )A ．43B ．1C ．56D ．654．如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，AB BC =，若2AD =，1CD =，则BD 的值为（ ）AB ．2CD ．5．如图，点E 从矩形ABCD 的顶点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒1个单位的速度运动，过E 作EF ∠AE 交直线DC 于F 点，如图2 是点E 运动时CF 的长度y 随时间t 变化的图象，其中M 点是一段曲线（抛物线的一部分）的最高点，过M 点作MN ∠y 轴交图象于N 点，则N 点坐标是（ ）A ．（5，2）B ．（2）C ．（2+2）D ．（2+，2）6．如图，在直角坐标系xOy 中，A （﹣4，0），B （0，2），连结AB 并延长到C ，连结CO ，若∠COB∠∠CAO ，则点C 的坐标为（ ）A ．（1，52）B ．（43，83）C D7．如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D 顺时针旋转得到菱形A 'B 'C 'D ，线段AB 与线段B 'C '交于点P ，连接BB '．当五边形A 'B 'BCD 为正五边形时，BPAP即长为（ ）A．1B C1D8．如图，将一个面积为24的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形．若裁切线AB的长为6，则裁切线CD的长是（）A．2B．6-C．D．49．如图，将矩形ABCD折叠，使点D落在AB上点D′处，折痕为AE；再次折叠，使点C落在ED′上点C′处，连接FC′并延长交AE于点G．若AB=8，AD=5，则FG长为（）A．B C．203D．410．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，延长AH交CD于点P，若AP HF⊥，10AP=，则小正方形边长GF的长是（）A ．52B ．C ．3 D二、填空题11．如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，连接EC ，已知BC ＝6，AD ＝2，且S △CDE ＝2710，则点A 到DE 的距离为 _________．12．如图，E 、F 、G 、H 分别为矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接AC 、HE 、EC 、GA 、GF ，已知AG ∠GF ，AC ＝AB 的长为___．13．在平面直角坐标系中，如图，3==OB AB ，点(,0),33-<+A a a 点C 在y 轴上且OC OA =，连接BC ．现给出以下结论：∠连接AC ，则AC =； ∠OAB 的周长是一个固定值； ∠BC 的最小值为1；∠当BC 取最小值时，OA其中正确的是_________（写出所有正确结论的序号）14．如图，在平面直角坐标系中，点A (0，1)，点B 为直线y=12x 上的一个动点，∠ABC ＝90°，BC =2AB ，则OC 的最小值为____．15．已知ABC 是直角三角形，90,3,5,B AB BC AE ∠=︒===连接CE 以CE 为底作直角三角形CDE 且,CD DE =F 是AE 边上的一点，连接BD 和,BF BD 且45,FBD ∠=︒则AF 长为______．16．将矩形OABC 如图放置，O 为坐标原点，若点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72，则点C 的坐标是_________．17．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =．矩形ABCD 绕着点A 旋转，点B 、C 、D 的对应点分别是点B '、C '、D ，如果点B '恰好落在对角线BD 上，连接DD '，DD '与B C ''交于点E ，那么DE =___________．18．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是AB 的中点，连接ED ，延长EA 至F ，使EF ＝ED ．以线段AF 为边作正方形AFGH ，点H 落在AD 边上，连接FH 并延长，交ED 于点M，则DMDE的值为_____．三、解答题19．已知矩形ABCD，点E在AD边上，连接BE、BD，∠BED＝2∠BDC，BE＝25，BC ＝32，则CD的长度为______．20．在正方形ABCD中，P为AB边上一点，将△BCP沿CP折叠，得到△FCP．（1）如图1，延长PF交AD于E，求证：EF=ED；（2）如图2，DF，CP的延长线交于点G，求DFAG的值．21．如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P ，Q 两点之间的距离是多少？ （2）若∠CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少秒时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与∠ABC 相似？22．如图1．已知四边形ABCD 是矩形．点E 在BA 的延长线上．. AE AD EC =与BD 相交于点G ，与AD 相交于点,.F AF AB =()1求证：BD EC ⊥；()2若1AB =，求AE 的长；()3如图2，连接AG ，求证：EG DG -=．23．如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），连结BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90︒到BQ ，连结QP 交BC 于点E ，QP 延长线与边AD 交于点F ．（1）连结CQ ，求证：AP CQ =；（2）若14AP AC=，求:CE BC的值；（3）求证：PF EQ=．24．【操作发现】如图∠，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．【实践探究】（1）在图∠条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是．（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN 上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展】（3）如图∠，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．参考答案1．D【分析】假设直线与∠OAB的平分线交x轴点C，交y轴于D,易求得OA=3,OB=4,AB=5,OD=b,且直线与AB平行，利用角平分线性质可得35OC OACB AB==,再由平行线分线段成比例得,OD OC OA AB =即3353b =+，解得98b =,结合图象，1928﹤b ﹤，利用排除法即可得到答案.解：假设直线与∠OAB 的平分线交x 轴点C ，交y 轴于D ，如图：∠A(0，3)，B(4，0)，∠OA=3，OB=4，AB=5，且直线AB 斜率等于34-，由直线34y x b =-+知OD=b ，且直线与AB 平行，∠AC 平分∠OAB, ∠35OC OA CB AB ==, ∠直线与AB 平行, ∠,OD OC OA AB=即3353b =+，解得98b =, 结合图象直线34y x b =-+的位置，b 的范围为1928﹤b ﹤，利用排除法， 故选D.【点拨】本题考查了角平分线的性质和平行线分线段成比例，利用假设法和排除法解答是选择题的一种技巧．2．C 【分析】延长BC 交FE 的延长线于点H ，推出4EF EH ==，通过证明ACDCBD ，得出90ECH ∠=︒，继而得出 2.4CH =，再证明AEF HEC ，得出5AE =，再证明HECABC ，从而得出答案．解：延长BC 交FE 的延长线于点H ，∠,EF AB CD AB ⊥⊥∠//CD FH ∠,DM BM CM BM EF BE EH BE == ∠DM CM EF EH= ∠M 是CD 的中点∠DM CM =∠4EF EH ==∠ACD CBD∠A BCD ∠=∠∠90BCD ACD ∠+∠=︒∠90ACB ∠=︒∠90ECH ∠=︒∠222CH CE EH +=∠ 2.4CH =∠AEF HEC ∠,AE EF A EHC EH CE=∠=∠ ∠5AE =∠AC AE CE =+∠8.2AC =∠90,ACB HCE EHC A ∠=∠=︒∠=∠∠HEC ABC ∠HE HC AB AC=∠4 2.48.2 AB=∠413 AB=故选：C．【点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定及性质，作出辅助线后多次利用相似三角形的性质得出CH、AE的值是解此题的关键．3．D【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF FC=，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP AB⊥时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．解：如图所示：当//PE AB．由翻折的性质可知：2PF FC==，90FPE C∠=∠=︒．//PE AB，90PDB∴∠=︒．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又FP为定值，PD∴有最小值．又A A∠=∠，ACB ADF∠=∠，AFD ABC∴∆∆∽．∠AF DF AB BC=，∠CF＝2，AC＝6，BC＝8，∠AF＝4，AB10，∠即4108DF=，∠ 3.2 DF=．3.22 1.2PD DF FP∴=-=-=．故选：D．【点拨】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型．4．C【分析】延长AD、BC交于点E，过点D作DF⊥BE，垂足为F，如图所示，易发现ABE CDE，通过对应边成比例，可求解出DE、CE，再利用ABE DFE即可求出DF、BF.解：延长AD、BC交于点E，过点D作DF⊥BE，垂足为F，如图所示，AB BC⊥，AD CD⊥，90ABE CDE∴∠=∠=︒，AC AB BC∴===,又,E E ABE CDE∠=∠∴，DE CE CDBE AE AB∴==，设DE=x,CE=y,2yx===+整理可得关于x,y的二元一次方程组，⎧=⎪=，解得3xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，90,,ABE DFE E E∠=∠=︒∠=∠ABE DFE∴,35DF CE DE AB BE AE ∴===33225555DF AB BF BE ∴=====BD ∴=故选C.【点拨】利用三角形相似，找到边与边的比例关系，可以求出未知边长，再利用勾股定理即可求解.5．D【分析】当点E 运动到C 点位置时，0FC =，则4BC =，当E 点运动到BC 中点位置时，2FC =，即2CD =，证明ABE ECF ∽△△，当F 在DC 的延长线上时，且2FC =，根据相似三角形的性质求得BE 的长，即可求得点N 的横坐标解：根据函数图象可知，当点E 运动到C 点位置时，0FC =，则4BC =，当E 点运动到BC 中点位置时，2FC =，即2CD =，AE EF ⊥∠90AEB FEC ∠+∠=︒四边形ABCD 是矩形90B ∴∠=︒90AEB BAE ∴∠+∠=︒FEC BAE ∴∠=∠90ECF ABE ∠=∠=︒∴ABE ECF ∽△△,M N 的纵坐标相等，则当F 在DC 的延长线上时，2FC =，BE t =，4EC t =-，AB EC BE FC=， 即242t t -=解得12t =，22t =-即点N 的坐标为(2，2)故选：D【点拨】本题考查了动点问题函数图象，相似三角形的性质与判定，从函数图像获取信息是解题的关键．6．B解：根据相似三角形对应边成比例，由∠COB∠∠CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到13CBAB=，过点C作CD∠y轴于点D，然后求出∠AOB和∠CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=43、BD=23，再求出OD=83，最后写出点C的坐标为（43，83）．故选：B．【点拨】本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出13CBAB=是解题的关键，也是本题的难点．7．B【分析】先计算得出∠CDC'=∠ADA'=∠ADC'=36°，得到点C'在对角线BD上，再证明△BDA∠∠BAC'，求得BP= C'A= C'B1，进一步计算即可求解．解：连接BC'，AC'，如图：∠五边形A'B'BCD为正五边形，∠∠CDA '=()521805-⨯︒=108°， ∠菱形ABCD 绕点D 顺时针旋转得到菱形A 'B 'C 'D ，且∠ADC =72°，∠∠A 'DC '=∠ADC =72°，∠∠CDC '=∠ADA '=108°-72°=36°，∠∠CDC '=∠ADA '=∠ADC '=36°，∠点C '在对角线BD 上，∠ABC '=36°，由旋转的性质知AD =AB = DC '=2，∠∠DC 'A =∠DAC '=72°，∠∠C 'AB =36°，∠C 'A = C 'B ，设C 'A = C 'B =x ，则BD = x +2，∠∠BDA =∠BAC '=36°，∠△BDA ∠∠BAC '，∠DA ：AC '=BD ：BA ，即2：x =( x +2)：2，整理得：x 2+2x -4=0，解得x 1，(负值已舍)∠∠C 'BP =36°，∠BC 'P =72°，∠∠C 'PB =72°，∠BP = C 'A = C 'B 1，∠AP =3∠BP AP == 故选：B ．【点拨】本题考查了正多边的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．8．A【分析】画出裁切后的矩形，再利用相似求解即可．解：如图所示，四边形ABQN 是裁切后的矩形：∠ABG AHN HEQ ∠=∠=∠，CD QE =，6AB NQ ==∠ABGAHN HEQ ∠,,AH AN AN NH AB AG HQ QE== ∠正方形HFG 的面积是24∠AH AG === ∠4AN =∠NH∠6HQ NQ NH =-=-=解得2CD QE ==故选：A ．【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解题的关键是正确的画出裁切后拼成的矩形．9．C【分析】过点G 作GI ∠AB ，GH ∠ED '，垂足分别为I 、H ，由折叠的性质可得C ′E =5-4=1，在Rt △EFC ′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=53，再证明△BC′D'∠∠C′GH，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，则HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，可得到C′G=5m=5，从而解决问题．解：由折叠的性质得，∠AD'E=∠D=90°，AD=AD'，又∠∠DAB=90°，∠四边形ADED'是矩形，∠AD=AD'，∠四边形ADED'是正方形，过点G作GI∠AB，GH∠ED'，垂足分别为I、H，∠AD'ED是正方形，∠AD=DE=ED'=AD'=5，BC=BC′=5，∠C=∠BC′F=90°，FC=FC′，∠D'B=EC=8-5=3，在Rt∠C′BD'中，C′D'=4，∠C′E=5-4=1，在Rt∠EFC′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=53，∠∠BC′D'+∠GC′H=90°，∠GC′H+∠C′GH=90°，∠∠BC′D'=∠C′GH，又∠∠GHC′=∠BD'C′=90°，∠∠BC′D'∠∠C′GH，∠C′H：GH：C′G=BD'：C′D'：BC′=3：4：5，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，∠HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，解得：m=1，∠C′G=5m=5，∠FG=203；故选：C．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造三角形相似是解题的关键．10．B【分析】过点E作EM∠AB于点M，证明∠AED∠∠HMD，可得DH MH DMAD AE DE==，由MH∠DP，可得32AH AMHP DE==，从而可得结论.解：∠∠ADE∠∠DCH∠∠CBG∠∠BAF，∠AE=DH，DE=CH，∠四边形GFEH是正方形，∠EH=EF=HG=GF，∠HF A=45°=∠EHF，∠AP∠HF，∠∠F AH=∠AFH=45°=∠AHE，∠AH=FH，AE=HE，∠AF=2AE，设AE=a，则AF=DE=2a，如图过点H作HM∠AD于M，∠,AD=∠∠DMH=∠AED=90°，∠ADE=∠MDH，∠∠AED∠∠HMD，∠DH MH DM AD AE DE==，∠MH，DM=，∠AM AD DM=-==，∠AD∠CD，∠MH∠DP，∠ 32AH AM HP DE ==， ∠AP =10，∠AH =6，∠EH =GF ，故选：B ．【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．11． 【分析】过点E 作EF ∠BC 于F ，AG ∠DE 于G ，AH ∠BC 于H ，由将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，可得,BD DG BDA EDA =∠=∠，可证AH AG =，由D 为BC 中点，BC =6，可求132BD ED DC BC ====，由S △CDE ＝2710，可求95EF =，在Rt △EDF 中，由勾股定理125DF ，可求FC =35，在Rt △ECF 中，由勾股定理EC ==，可证AHD EFC ∆∆∽，可得AD AH EC EF = ，可求AH =即可 解：过点E 作EF ∠BC 于F ，AG ∠DE 于G ，AH ∠BC 于H ，∠将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，∠,BD DG BDA EDA =∠=∠，∠AD 为∠BDE 的平分线，∠EF ∠BC 于F ，AG ∠DE 于G ，∠AH AG =，∠D 为BC 中点，BC =6，∠132BD ED DC BC ====， ∠S △CDE ＝2710， ∠112732210DCE S DC EF EF ∆=⋅=⨯⨯=， ∠95EF =， 在Rt △EDF中，由勾股定理125DF =，∠FC =DC -DF =3-12355=， 在Rt △ECF中，由勾股定理EC =∠DE =DC ， ∠DEC DCE ∠=∠，由外角性质，22BDE DEC DCE DCE BDA ∠=∠+∠=∠=∠， ∠DCE BDA ∠=∠，90AHD EFC ∠=∠=︒，∠AHD EFC ∆∆∽，∠AD AHEC EF =95AH=，∠AH =， ∠AG=AH =，．【点拨】本题考查折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，掌握折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，利用辅助线画出准去图形是解题关键．12．【分析】如图，连接BD ．由∠ADG ∠∠GCF ，设CF ＝BF ＝a ，CG ＝DG ＝b ，可得AD GC ＝DGCF，推出2=a bb a，可得b a ，在Rt ∠GCF 中，利用勾股定理求出b ，即可解决问题； 解：如图，连接BD ．∠四边形ABCD 是矩形，∠∠ADC ＝∠DCB ＝90°，AC ＝BD ＝∠CG ＝DG ，CF ＝FB ， ∠GF ＝12BD∠AG ∠FG ， ∠∠AGF ＝90°，∠∠DAG +∠AGD ＝90°，∠AGD +∠CGF ＝90°， ∠∠DAG ＝∠CGF ， ∠∠ADG ∠∠GCF ，设CF ＝BF ＝a ，CG ＝DG ＝b ， ∠AD GC ＝DGCF， ∠2=a b b a， ∠b 2＝2a 2， ∠a ＞0．b ＞0， ∠b，在Rt ∠GCF 中，3a 2＝3， ∠a ＝1，∠AB ＝2b ＝故答案为【点拨】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．∠∠∠【分析】∠利用勾股定理计算出AC的长，进行判断；∠表示出∠OAB的周长即可判断；∠利用图形变形，将BC放在三角形中根据三角形的三边关系进行判断；∠利用三垂直模型及三角形相似求出OA的长即可．解：∠∠A（a，0），OA＝OC，a，∠AC∠C△OAB＝OA+AB+OB＝a∠3﹣a＜∠C△OAB不是一个固定值，故∠错误；∠如图，将∠OBC绕点O顺时针旋转90°，得到∠ODA，则OB＝OD，BC＝AD，∠BOD＝90°，∠BD4，在∠ABD中，AD＞BD﹣AB，当B，A，D三点共线时，AD最短，即BC最短，此时BC＝DA﹣AB＝4﹣3＝1，故∠正确；∠如图，当B，A，D三点共线时，作BE，DF垂直于x轴，垂足为E，F，则∠OEB ＝∠DFO ＝90°，∠1+∠2＝90°， 又∠BOD ＝∠2+∠3＝90°， ∠∠1=∠3， 又OB ＝OD ，∠∠BOE ∠∠ODF （AAS ），设B （x ，y ），则DF ＝OE ＝x ，OF ＝BE ＝y ，且x 2+y 2＝（）2＝8， 由BE ∠x 轴，DF ∠x 轴得BE ∠DF ， ∠∠ADF ∠∠ABE ， ∠=DF ADBE AB，即13x y =，∠y ＝3x ，把y ＝3x 代入x 2+y 2＝（2＝8得， x 2+9x 2＝8，解得x ＝（负值舍去），∠y =由∠ADF ∠∠ABE 得，13AF AD AE AB ==， ∠AE ＝3AF ，即a ﹣x ＝3（y ﹣a ）， a ﹣x ＝3y ﹣3a ，∠a 35544x y +===即OA =故∠正确．故答案为：∠∠∠．【点拨】本题考查勾股定理，相似以及两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题关键．14【分析】分析求OC最小即求AC最小，求AC最小即求AB最小，根据点到直线的距离公式求AB最小，继而代换求出OC最小．解：连接OC，在∠AOC中，OC<OA+AC或OC>AC-OA故求OC最短，即求AC最短由题意知：∠ABC=90 ，BC=2AB且点A(0，1)，设AB=m，BC=2m，AC=根据点到直线的距离可知，m最小= 1255．此时AB∠直线y=12x，点C在直线上作BD∠OA与点D，在∠ABD和∠BOD中(DOB AOBDBO OAB公共角）∠∠DOB∠∠OBA∠12 OD OB BD AB又．【点拨】本题主要考查了点到直线的距离公式及三角形相似的性质，正确掌握点到直线的距离公式及三角形相似的性质是解题的关键．15【分析】将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，利用SAS 证明EDH CDB ∆≅∆，得5EH CB ==，ABF BHE ∠=∠，则ABF EHF ∆∆∽，即可解决问题．解：将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，BDH ∴∆是等腰直角三角形， 又EDC ∆是等腰直角三角形，HD BD ∴=，EDH CDB ∠=∠，ED CD =，()EDH CDB SAS ∴∆≅∆，5EH CB ∴==，EHD DBC ∠=∠，9045ABF FBD DBC DBC ∠=︒-∠-∠=︒-∠ 45BHE EHD ∠=︒-∠ABF BHE ∴∠=∠ //AB HE ∴AFB HFE ∠=∠， ABF EHF ∴∆∆∽，∴==-AB AF AFEH EF AE AF， 2AE =∴35=AF ∴=，【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．16．(3，32)【分析】过点A 作AD ∠x 轴，垂足为D ，过点B 作BF ∠x 轴，垂足为F ，过点C 作CG ∠x 轴，垂足为G ，过点B 作BE ∠CG ，交GC 的延长线于点E ，通过证明△ADO ∠△CEB ，△ADO ∠△OGC 即可．解：过点A 作AD ∠x 轴，垂足为D ，过点B 作BF ∠x 轴，垂足为F ，过点C 作CG ∠x 轴，垂足为G ，过点B 作BE ∠CG ，交GC 的延长线于点E ，∠四边形BFGE 是矩形，∠ADO =∠CBE =90°， ∠BF =EG ，∠四边形OABC 是矩形， ∠OA =CB ，∠BCO =90°，∠∠AOD =90°-∠COG =∠GCO =90°-∠BCE =∠CBE ， ∠∠ADO ∠∠CEB ，∠ADO ∠∠OGC ， ∠AD =CE ，AD DOOG CG=， ∠点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72，∠AD =CE =2，BF =EG =72，CG =EG -CE =72-2=32，∠2132OG =，解得OG =3，故点C 的坐标为(3，32)，故答案为：(3，32)．【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，坐标与线段的关系，熟练掌握矩形的性质，三角形的全等与系数是解题的关键．17．2120【分析】过A 点作AF ∠BD ，交BD 于点F ，利用勾股定理求出BD =5，在根据是矩形ABD 的面积求出AF ，进而可求出 1.8BF B F '==，进而求出BD '，再证明AB F B ED ''△∽△，即有AF B FB D DE''=，DE 可求． 解：过A 点作AF ∠BD ，交BD 于点F ，如图，∠矩形中AB =3，BC =AD =4，∠BAC =90°，∠5BD =， ∠1122ABDAB AD B SD AF ⨯⨯=⨯⨯=， ∠342.45AB AD AF BD ⨯⨯===，∠ 1.8BF =，根据旋转可知：AB AB '=，90ABC AB C '∠=∠=，AD AD ='， ∠AF BD ⊥，∠ 1.8BF B F '==，即 3.6BB BF B F ''=+=， ∠5 3.6 1.4B D BD BB ''=-=-=，根据旋转可知：AB AB '=，AD AD ='，BAB DAD ''∠=∠，∠根据两个等腰三角形中顶角相等，则其底角也相等，即ABD ADD '∠=∠， ∠90ABD ADB ∠+∠=︒，∠90ADB ADD BDD ∠+∠==∠''，∠90AB F DB E ''∠+∠=，90B ED DB E ''∠+∠=， ∠AB F DEB ''∠=∠， ∠90AFB B DE ''∠=∠=， ∠AB F B ED ''△∽△， ∠AF B F B D DE ''=， ∠2.4 1.81.4DE=， ∠2120DE =， 故答案为：2120． 【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求出BD '是解答本题的关键．18【分析】过点M 作MN ∠AD 于点N ，根据勾股定理可得DE ＝EF AFGH 是正方形，可得AF ＝AH ＝EF ﹣AE 1，根据//MN AE ，可得∠DMN ∠∠DEA ，所以MN DN DMAE DA DE==，即12MN DN ==MN ＝NH ＝x ，则DN ＝2x ，DM ，再根据DN +NH ＝AD ﹣AH ，列式)3213x =-=求出x 的值，进而可以解决问题．解：如图，过点M 作MN ∠AD 于点N ，∠正方形ABCD 的边长为2，E 是AB 的中点， ∠AD ＝AB ＝2，AE ＝1，∠EAD ＝90°，∠DE EF = ∠四边形AFGH 是正方形，∠AF ＝AH ＝EF ﹣AE 1， ∠∠AHF ＝∠NHM ＝45°， ∠MN ＝NH ， ∠//MN AE ， ∠∠DMN ∠∠DEA ， ∠MN DN DMAE DA DE ==， ∠12MN DN == 设MN ＝NH ＝x ，则DN ＝2x ，DM ， ∠DN +NH ＝AD ﹣AH ，∠)3213x =-=∠DM =，∠DM x DE ==【点拨】此题考察了正方形的性质和三角形相似的知识，解决本题的关键是找到相似三角形得出线段之间的关系．19．24【分析】过E 作EF ∠BD 于F ，根据矩形的性质得到∠C =∠ADC =90°，于是得到∠ADB +∠BDC =90°，根据已知条件推出180°-∠AEB =2（90°-∠ADB ），得到∠AEB =2∠EDB ，根据等腰三角形的性质得到BF =12BD ，由平行线的性质得到∠ADB =∠DBC ，等量代换得到∠EBF =∠DBC ，推出∠EBF ∠∠DBC ，根据相似三角形的性质，求得BD =40，由勾股定理即可得到结论．解：过E 作EF BD ⊥于F ，∠四边形ABCD 是矩形，∠90C ADC ∠=∠=︒，∠2BED BDC ∠=∠，∠()180290AEB ADB ︒-∠=︒-∠，∠2AEB EDB ∠=∠，∠,AEB ADB EBD ∠=∠+∠，∠EDB EBD ∠=∠，∠BE DE =， ∠12BF BD =， ∠AD BC ∥，∠ADB DBC ∠=∠，∠EBF DBC ∠=∠，∠EBF DBC ∽△△，BD BC∠2222253240BD BC BE =⋅=⨯⨯=，∠40BD =，∠24CD ．故答案为：24．【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，外角的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．20．（1）证明见解析（2【分析】（1）连接CE ，通过全等三角形的判定，得到Rt △CFE∠Rt △CDE ，进而得出结论； （2）连接BG 、BF 、BD ，作CH∠DF ，垂足为H ．依据△CFG∠∠CBG ，可得GF=GB ，进而得出△GBF 是等腰直角三角形，故BF BG ．再判定△BGA∠∠FBD ，即可得到DF BF AG BG＝ 解：（1）如图1，连接CE ，∠四边形ABCD 是正方形，∠BC=CD ，∠B=∠D=90°．∠∠PBC 和△FPC 关于PC 对称，∠BC=CF ，∠B=∠PFC=90°．∠∠EFC=90°．∠∠EFC=∠D=90°，CF=CD ．∠CE=CE，∠Rt△EFC∠Rt△DFC（HL）．∠EF=ED．（2）如图2，连接BG、BF、BD，作CH∠DF，垂足为H．∠四边形ABCD是正方形，∠BC=CD．∠CH∠DF，∠∠HCF=12DCF ∠，∠∠PBC和△FPC关于PC对称，∠BC=CF，∠FCG=∠BCG．∠EB∠CG．又∠CG=CG，∠∠CFG∠∠CBG．∠GF=GB．∠∠HCF=12DCF∠，∠FCG=∠BCG=12BCF∠，∠∠HCK=12BCD∠=45°．∠∠PFH=135°．∠∠GFB=45°．∠∠GBF=45°．∠∠GBF是等腰直角三角形．∠BF=．∠∠ABD=45°，∠∠GBA=∠FBD．∠BG BF AB BD=， ∠∠BGA∠∠FBD ．∠DF BF AG BG== 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形，全等三角形以及相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例得出结论．21．（1）10cm ；（2）2204=-S t t ；（3）t ＝3或t ＝4011 【分析】（1）在Rt∠CPQ 中，当t=3秒，可知CP 、CQ 的长，运用勾股定理可将PQ 的长求出；（2）由点P ，点Q 的运动速度和运动时间，又知AC ，BC 的长，可将CP 、CQ 用含t 的表达式求出，代入直角三角形面积公式CPQ S =12CP×CQ 求解； （3）应分两种情况：当Rt∠CPQ∠Rt∠CAB 时，根据CP CQ CA CB=，可将时间t 求出；当Rt∠CPQ∠Rt∠CBA 时，根据CP CQ CB CA =，可求出时间t ． 解：由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm ，CQ=2t=6cm ，由勾股定理得10cm =；（2）由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，因此Rt∠CPQ 的面积为S=()21204t 22042t t t -⨯=-； （3）分两种情况：∠当Rt∠CPQ∠Rt∠CAB 时，CP CQ CA CB =，即204t 2t 2015-=， 解得：t=3秒；∠当Rt∠CPQ∠Rt∠CBA 时，CP CQ CB CA=，即204t 2t 1520-=， 解得：t=4011秒．因此t=3秒或t=4011秒时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与∠ABC 相似 【点拨】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．22．（1）见解析；（2；（3）见解析 【分析】（1）由矩形的形及已知证得∠EAF∠∠DAB ，则有∠E=∠ADB ，进而证得∠EGB=90º即可证得结论；（2）设AE=x ，利用矩形性质知AF∠BC ，则有EA AF EB BC=，进而得到x 的方程，解之即可；（3）在EF 上截取EH=DG ，进而证明∠EHA∠∠DGA ，得到∠EAH=∠DAG ，AH=AG ，则证得∠HAG 为等腰直角三角形，即可得证结论．解：（1）∠四边形ABCD 是矩形，∠∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC ，AD∠BC ，在∠EAF 和∠DAB ， AE AD EAF DAB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EAF∠∠DAB(SAS)，∠∠E=∠BDA ，∠∠BDA+∠ABD=90º，∠∠E+∠ABD=90º，∠∠EGB=90º，∠BG∠EC ；（2）设AE=x ，则EB=1+x ，BC=AD=AE=x ，∠AF∠BC ，∠E=∠E ，∠∠EAF∠∠EBC ， ∠EA AF EB BC =，又AF=AB=1， ∠11x x x=+即210x x --=，解得：x =x =（舍去） 即； （3）在EG 上截取EH=DG ，连接AH ，在∠EAH 和∠DAG ，AE AD HEA GDA EH DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EAH∠∠DAG(SAS)，∠∠EAH=∠DAG ，AH=AG ，∠∠EAH+∠DAH=90º，∠∠DAG+∠DAH=90º，∠∠HAG=90º，∠∠GAH 是等腰直角三角形，∠222AH AG GH +=即222AG GH =，，∠GH=EG -EH=EG -DG ，∠EG DG -=．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．23．(1)见解析；(2)38；(3)见解析 【分析】(1)由旋转知∠PBQ 为等腰直角三角形，得到PB=QB ，∠PBQ=90°，进而证明∠APB∠∠CQB 即可；(2)设AP=x ，则AC=4x ，PC=3x ，由(1)知CQ=AP=x ，又∠ABC 为等腰直角三角形，所以BC=2AC ，，再证明∠BQE∠∠BCQ ，由此求出BE ，进而求出CE:BC 的值；(3)在CE 上截取CG ，并使CG=FA ，证明∠PFA∠∠QGC ，进而得到PF=QG ，然后再证明∠QGE=∠QEG 即可得到QG=EQ ，进而求解．解：∠四边形ABCD 为正方形，∠AB=BC ，∠ABC=90°，∠BP 绕点B 顺时针旋转90︒到BQ ，∠BP=BQ ，∠PBQ=90°，∠∠ABC -∠PBC=∠PBQ -∠PBC,∠∠ABP=∠CBQ ，在∠APB 和∠CQB 中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB BC ABP CBQ BP QB ，∠∠APB∠∠CQB(SAS)，∠AP=CQ ．(2) 设AP=x ，则AC=4x ，PC=3x ，由(1)知CQ=AP=x ，∠ABC 为等腰直角三角形，AC ， 在Rt∠PCQ中，由勾股定理有：=PQ ，且∠PBQ 为等腰直角三角形，∠==BQ ， 又∠BCQ=∠BAP=45°，∠BQE=45°，∠∠BCQ=∠BQE=45°，且∠CBQ=∠CBQ ，∠∠BQE∠∠BCQ ， ∠=BQ BE BC BQ，x ，∠CE=BC -，∠3:8=CE BC ， 故答案为：38．(3) 在CE 上截取CG ，并使CG=FA ，如图所示：∠∠FAP=∠GCQ=45°，且由(1)知AP=CQ ，且截取CG=FA ，故有∠PFA∠∠QGC(SAS)，∠PF=QG ，∠PFA=∠CGQ ，又∠∠DFP=180°-∠PFA ，∠QGE=180°-∠CGQ ，∠∠DFP=∠QGE ，∠DA //BC ，∠∠DFP=∠CEQ ，∠∠QGE=∠CEQ ，∠∠QGE 为等腰三角形，∠GQ=QE ，故PF=QE ．【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形判定和性质的综合，具有一定的综合性，本题第(3)问关键是能想到在CE 上截取CG ，并使CG=FA 这条辅助线．24．（1）6；（2）222EF BE FD =+，见解析；（3）2【分析】(1)根据旋转的性质证明∠ABE∠∠ADM 得到BE=DM ，又由∠ABE=∠D=90°，AE=AM ，∠BAE=∠DAM ，证出∠EAM=90°，得出∠MAN=∠EAN ，再证明∠AMN∠∠EAN （SAS ），得出MN=EN 最后证出MN=BN+DM ．在Rt∠CMN 中，由勾股定理计算即可得到正方形的边长；(2 )先根据旋转的性质证明∠AEG ∠∠AEF （SAS ），再证明∠GBE=90°，再根据勾股定理即可得到；(3)在AB 上截取AP ，在BC 上截取BQ ，使AP ＝AB=BQ ＝3，连结PQ 交AM 于点R ，得到ABQP 为正方形，再根据操作发现以及勾股定理即可得到答案；（1）解：∠四边形ABCD 是正方形，∠AB=CD=AD ，∠BAD=∠C=∠D=90°，由旋转得：∠ABE∠∠ADM ，∠BE=DM ，∠ABE=∠D=90°，AE=AM ，∠BAE=∠DAM ，∠∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，即∠EAM=90°，∠∠MAN=45°，∠∠EAN=90°-45°=45°，∠∠MAN=∠EAN ，在∠AMN 和∠EAN 中，AM AE MAN EAN AN AN ⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝∠∠AMN∠∠EAN （SAS ），∠MN=EN ．∠EN=BE+BN=DM+BN ，∠MN=BN+DM ．在Rt∠CMN 中，5MN = ，则BN+DM=5，设正方形ABCD 的边长为x ，则BN=BC -CN=x -3，DM=CD -CM=x -4，∠x -3+x -4=5，解得：x=6，即正方形ABCD 的边长是6；故答案为：6；（2）数量关系为：222EF BE FD =+，证明如下：将∠AFD 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到∠ABG ，连结EG ．由旋转的性质得到：AF=AG ，DAF BAG ∠=∠又∠∠EAF ＝45°，∴904545GAE ∠=︒-︒=︒,且AE=AE ，∠∠AEG ∠∠AEF （SAS ），从而得EG ＝EF ．（全等三角形对应边相等），又∠BN ＝DM ，BN∠DM ，∠四边形DMBN 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∠DN∠BM ，∠AND ABM ∠=∠ （两直线平行，同位角相等），∠90AND ADN ∠+∠=︒,∠90ABG ABM ∠+∠=︒（等量替换），即：∠GBE=90°，则222EG BE GB =+，∠222EF BE FD =+；（3）在AD 上截取AP ，在BC 上截取BQ ，使AP ＝AB=BQ ＝3，连结PQ 交AM 于点R ，易证ABQP 为正方形，由操作与发现知：PR +BN ＝RN ．设PR ＝x ，则RQ ＝3﹣x ，RN =1+x ，QN =3-1=2在Rt∠QRN 中，由勾股定理得：222RN NQ RQ =+，即222(1)2(3)x x +=+-解得：x ＝32， ∠PR =32∠PQ ∠DC ，∠∠APR ∠∠ADM ， ∠PR AP DM AD= （相似三角形对应边成比例） ∠3234DM = ∠DM ＝2；【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键．。
初三数学-相似三角形培优练习题(含答案)
(3题图）EDC B ADBCA NM O相似三角形练习题1、如图1，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个3、如图3，等腰ABC ∆中，底边BC=a ,A ∠=036,ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设512k =，则DE=( ) A 、2K a B 、3K a C 、2akD 、3a k4、如图4，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ）A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形5、如图5将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB =30°，∠B =90°，AB =1，则B′点的坐标为( ) A ．33()22 B ．33(22, C ．13(22, D ．31()226、如图小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）y xP (a ，0) N (a +2，0)A (1，-3)（1题图） B (4，-1)O图 4 图 5FED CBA E FADCB7、如图7，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥，若2.746AD AF AB ===，，，则CE 的长为 A ．2231 C. 2.5 D. 2.3(7题图)8、如图8，在ABC △中，AB AC =，点E F 、分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE CF D =，为BF 的中点，AE AF :的值为___________.9、如图9，已知ABC ∆，延长BC 到D ，使CD=BC 取AB 的中点F,连接FD 交AC 于点E 。
相似三角形培优题
相似三角形培优题1、如图,在正方形ABCD 中，点P 是ＡＢ上一动点(不与A,B 重合),对角线AC ，ＢD 相交于点O,过点Ｐ分别作A Ｃ，BD 的垂线，分别交AC,BD 于点E ，F ，交ＡＤ,BC 于点M,Ｎ.下列结论:①△A ＰE ≌△AM Ｅ；②PM+ＰＮ=AC ；③PE 2+PF ２=PO 2;④△POF ∽△BN Ｆ；⑤当△PMN ∽△A ＭP 时,点P 是A Ｂ的中点.其中正确的结论有( ）A ．5 Ｂ.４ C ．３ Ｄ.22、如图，Rt △AB Ｃ中，∠A ＣB=90°，∠ＡB Ｃ=60°,BC=2ｃm ，D 为BC 的中点，若动点Ｅ以１c ｍ/s 的速度从A 点出发,沿着A →B →Ａ的方向运动,设E 点的运动时间为t 秒(0≤t<6),连接D Ｅ，当△BDE 是直角三角形时,t 的值为( ）3、如图，△ABC 中，ＤE ∥BC ，DE=１,AD=２,DB ＝３，则BC 的长是（ )4、如图，在▱ABC Ｄ中,E 为ＣＤ上一点，连接A Ｅ、ＢD ，且AE 、BD 交于点Ｆ，S △DEF ：Ｓ△ABF =4:25,则D Ｅ:EC ＝( ） A ． 2:5 Ｂ． 2：3 C . 3:5 Ｄ．3：2 5、如图，在平行四边形A ＢCD 中,AB=6,AD=９，∠BAD 的平分线交ＢＣ于E ，交ＤC 的延长线于F ，B Ｇ⊥AE 于G ，ＢG=,则△EFC 的周长为( ） A ． 1１ B ． 10 C ． 9 Ｄ． ８6、如图,在▱ABCD 中，Ｅ在AB 上，CE 、ＢD 交于F ，若AE:BE=4:3,且BF ＝2，则DF= ..7、如图,DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使E Ｆ=DE ，连接CF,则S △ＣＥF ：S 四边形BCED 的值为( )A . 1:3B ． 2:3C ．１：4 D ． ２:5 8、如图,D 是△ABC 的边BC 上一点,已知ＡB=4,A Ｄ=２.∠ＤAC=∠B,若△ＡBD 的面积为ａ,则△ＡCD 的面积为( )Ａ．a ﻩ B.ﻩ C.D ．9、如图，边长为６的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1,S 2,则S 1+S ２的值为( ）A ．16 B ．1７ﻩC ．18ﻩD ．19１0如图,在△ABC 中,ＡB ＝ＡC=a ，BC=ｂ（a ＞ｂ).在△ABC 内依次作∠ＣBD=∠A ，∠DCE=∠CBD ，∠E ＤＦ=∠DC Ｅ．则E Ｆ等于（ )１1、如图,点A ，Ｂ,C ，D 的坐标分别是(1，7）,（1,１），(4，1),（6,1）,以C,D,Ｅ为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（ ) A ． (6，0） B ． （6，3) C . （6，５） D ． （4,２)1２、如图,正方形ＡB ＣD 是一块绿化带,其中阴影部分EO ＦＢ,GHM Ｎ都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上,则小鸟在花圃上的概率为（ ）A .B ． 12C ． D．１3、如图所示,在平行四边形ABCD 中,ＡＣ与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交ＤＣ于点F,则ＤＦ：F Ｃ＝（ ）A.２B ． ２.5或３．5C. 3．5或4.５D ． ２或3．5或４.５A ．B ．C .D ．1４.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是３、4及x，那么ｘ的值( )A. 只有１个ﻩB. 可以有２个ﻩC. 可以有3个D. 有无数个15、如图，在△ABC中∠A＝６0°，BM⊥AC于点M，CN⊥AＢ于点Ｎ，P为BC边的中点，连接ＰM,PＮ,则下列结论:①PＭ＝PN；②;③△PMＮ为等边三角形;④当∠ＡBC＝45°时,BＮ=ＰＣ.其中正确的个数是（)16、如图,在△ＡBＣ中，M、Ｎ分别是边AB、AC的中点，则△AＭＮ的面积与四边形MBCN的面积比为（）.(A）12（B）13(C)14（Ｄ)231７、如图4，菱形ABCD中,点M,Ｎ在ＡC上，MＥ⊥AD，ＮF⊥AB. 若NF= NM= 2,ME= 3,则AN =ﻩA．３ﻩB.4ﻩC．５ D.61８、如图，路灯距离地面８米,身高1.６米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处,则小明的影子AM长为米.１９、（２０13•牡丹江)如图,在△ABC中，D是ＡB边上的一点,连接CD，请添加一个适当的条件,使△ＡBC∽△ACD.(只填一个即可)20、（2０13•巴中)如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网,而且落在离网４米的位置上,则球拍击球的高度h为.２1、（2013•黔东南州)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是. 22、如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形.根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小,下列判断何者正确?（）A．甲>乙,乙>丙Ｂ.甲>乙,乙<丙ﻩC．甲＜乙，乙>丙Ｄ．甲<乙,乙<丙23、如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点Ａ，在近岸取点B,Ｃ，D,使得AB⊥BＣ，ＣD⊥ＢC,点E在BC上，并且点A，E,D在同一条直线上。
北师大版九年级数学上册 第四章 相似三角形培优专题 (含答案)
北师大版九年级上册 第四章 相似三角形培优专题 （含答案）一、单选题1．如图，过点0(0,1)A 作y 轴的垂线交直线:3l y x =于点1A ，过点1A 作直线l 的垂线，交y 轴于点2A ，过点2A 作y 轴的垂线交直线l 于点3A ，…，这样依次下去，得到012A A A ∆，234A A A ∆，4564A A ∆，…，其面积分别记为1S ，2 S ，3 S ，…，则100S （ ）A ．1002⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．100C ．1994D ．39522．如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，ACD B ∠=∠，若2A D B D=，6BC =，则线段CD 的长为（ ）A．B ．C ．D ．53．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ．使得15CDE ︒∠=，连接BE 并延长BE 到F ，使CF CB =，BF 与CD 相交于点H ，若1AB =，有下列结论：①BE DE =；②CE DE EF +=；③1412DEC S ∆=-；④1DH HC =-．则其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．①②④D ．①③④4．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，若点E ，F 分别在AB,CD 上，且BE=2AE ，DF=2FC ，G ，H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．45．如图，在等腰三角形ABC ∆中，AB AC =，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC ∆的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ）A ．20B ．22C ．24D ．266．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，:AD AB =，将ABD △沿BD 折叠，点A 的对应点为F ，连接AF 交BC 于点G ，且2BG =，在AD 边上有一点H ，使得BH EH +的值最小，此时BH CF=（ ）A ．2B ．3C ．2D ．327．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，BD ，AE 交于点O ，若随机向平行四边形ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．116B ．112C ．18D ．168．如图，在平面直角坐标系中，已知()()()3,2,0,-2,3,0,A B C M ---是线段AB 上的一个动点，连接CM ，过点M 作MN MC ⊥交y 轴于点N ，若点M N 、在直线y kx b =+上，则b 的最大值是（ ）A ．78-B ．34-C ．1-D ．09．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，P 是对角线BD 上任意一点，过点P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F .设BP ＝x ，EF ＝y ，则能大致表示y 与x 之间关系的图象为( )A ．B ．C ．D ．10．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上的一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则下列结论中:①4ABM FDM S S =；②PN =；③tan ∠EAF=34；④.PMN DPE ∽正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④11．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线,AC BD 的交点，过点O 作射线分别交,OM ON 于点,E F ，且90EOF ∠︒＝，交,OC EF 于点G ．给出下列结论：COE DOF V V ①≌;OGE FGC V V ②∽C ；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的14；22•DF BE OG OC +④＝．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．③④12．如图，在ABC ∆中，D 在AC 边上，12AD DC ：＝：，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE EC ：＝（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：313．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知2)B ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD PC ⊥，交x 轴于点D ．下列结论：①OA BC ==②当点D 运动到OA 的中点处时，227PC PD +=；③在运动过程中，CDP ∠是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．如图，在ABC △中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥，过点D 作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ，若1DE =，则ABC △的面积为( )A ．B ．4C ．D ．8二、填空题 15．如图，在等腰Rt ABC ∆中， 90C =∠，15AC =，点E 在边CB 上， 2CE EB =，点D 在边AB 上，CD AE ⊥，垂足为F ，则AD 长为_____．16．如图，在正方形ABCD 中，AB=8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM=6. P 为对角线BD 上一点，则PM —PN 的最大值为___.17．如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边,BO CO 分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(8,6)-，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE ∆∽CBO ∆，当APC ∆是等腰三角形时，P 点坐标为_____．18．如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且CE ＝4AE ，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF ，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，若AB ＝5，CF ＝2，则线段EP 的长是_____．19．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且点A 、C 、E 在同一直线上，AD 与BE 、BC 分别交于点F 、M ，BE 与CD 交于点N ．下列结论正确的是_______（写出所有正确结论的序号）．①AM BN =；②ABF DNF ∆∆≌；③180FMC FNC ︒∠+∠=；④111A C N C EM =+20．如图，正方形ABCD 中，1124AB AE AB ==，，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ EP ⊥，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为_______．21．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”. 由边长为ABCD 可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH 内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点Q R 、分别与图2中的点E G 、重合，点P 在边EH 上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是_____.22．如图，ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ，CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，交BD 于点F ，且60,2ABC AB BC ∠=︒=，连接OE ．下列结论：①EO AC ⊥；②4AOD OCF S S =；③:7AC BD =；④2•FB OF DF =．其中正确的结论有__________（填写所有正确结论的序号）23．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点ADE ，则GE的长落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若5为__________．参考答案1．D【解析】【分析】本题需先求出OA 1和OA 2的长，再根据题意得出OA n =2n ，把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得S 100．【详解】∵点0A 的坐标是(0,1)，∴01OA =，∵点1A 在直线3y x =上， ∴12OA =，013A A = ∴24OA =，∴38OA =，∴416OA =，得出2n n OA =， ∴12·3n n n A A +=∴1981982OA =，19819819923A A = ∵113(41)3322S =-⋅= ∵21200199A A A A ∥，∴012198199200∆∆∽A A A A A A ， ∴2198100133S S ⎛=， ∴396395332332S == 故选D ．【点睛】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．2．C【解析】【分析】设2AD x =，BD x =，所以3AB x =，易证ADEABC ∆∆，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及23AE AC =，再证明ADE ACD ∆∆，利用相似三角形的性质即可求出得出AD AE DE AC AD CD==，从而可求出CD 的长度. 【详解】解：设2AD x =，BD x =，∴3AB x =，∵//DE BC ，∴ADEABC ∆∆， ∴DE AD AE BC AB AC==， ∴263DE x x=， ∴4DE =，23AE AC =， ∵ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴ADE ACD ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴ADEACD ∆∆， ∴AD AE DE AC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =， ∴23AD y y AD=， ∴6AD =，4CD=，∴26CD=故选：C.【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型. 3．A【解析】【分析】①由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE=DE；②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF；③过B作BM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得13412DECS∆=-；④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG=CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得31DH DEHC CG==．【详解】证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB AD=，90ABC ADC︒∠=∠=，45BAC DAC ACB ACD︒∠=∠=∠=∠=．在ABE∆和ADE∆中，AB ADBAC DACAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADE SAS∆≅∆，∴BE DE=，故①正确；②在EF上取一点G，使EG EC=，连结CG，∵ABE ADE∆≅∆，∴ABE ADE∠=∠．∴CBE CDE∠=∠，∵BC CF =，∴CBE F ∠=∠，∴CBE CDE F ∠=∠=∠．∵15CDE ︒∠=，∴15CBE ︒∠=，∴60CEG ︒∠=．∵CE GE =，∴CEG ∆是等边三角形．∴60CGE ︒∠=，CE GC =，∴45GCF ︒∠=，∴ECD GCF ∠=．在DEC ∆和FGC ∆中，CE GC ECD GCF CD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DEC EGC SAS ∆≅∆，∴DE GF =．∵EF EG GF =+，∴EF CE ED =+，故②正确；③过D 作DM AC ⊥交于M ，根据勾股定理求出2AC =， 由面积公式得：1122AD DC AC DM ⨯=⨯， ∴22DM =，∵45DCA ︒∠=，60AED ︒∠=， ∴22CM =，66EM =， ∴2626CE CM EM =-=- ∴1132412DEC S CE DM ∆=⨯=-，故③正确； ④在Rt DEM ∆中，623DE ME ==∵ECG ∆是等边三角形， ∴262CG CE ==- ∵60DEF EGC ︒∠=∠=，∴DE CG ∥，∴DEH CGH ∆∆∽， ∴633126DH DE HC CG ===+，故④错误； 综上，正确的结论有①②③，故选A ．【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键． 4．C【解析】【分析】如图，延长FH 交AB 于点M ，由BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，G 、H 分别是AC 的三等分点，证明EG//BC ，FH//AD ，进而证明△AEG ∽△ABC ，△CFH ∽△CAD ，进而证明四边形EHFG 为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式求解即可.【详解】如图，延长FH 交AB 于点M ，∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，AB=AE+BE ，CD=CF+DF ，∴AE ：AB=1：3，CF ：CD=1：3，又∵G 、H 分别是AC 的三等分点，∴AG ：AC=CH ：AC=1：3，∴AE ：AB=AG ：AC ，CF ：CD=CH ：CA ，∴EG//BC ，FH//AD ，∴△AEG ∽△ABC ，△CFH ∽△CDA ，BM ：AB=CF ：CD=1：3，∠EMH=∠B ，∴EG ：BC=AE ：AB=1：3，HF ：AD=CF ：CD=1：3，∵四边形ABCD 是矩形，AB=3，BC=6，∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°，∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，∴EM=3-1-1=1，EG=FH ，∴EG //FH ，∴四边形EHFG 为平行四边形，∴S 四边形EHFG ＝2×1=2，故选C.【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关内容是解题的关键.5．D【解析】【分析】利用AFH ADE ∆~∆得到2916AHF ADE S FH S DE ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以9,16,AFH ADE S x S x ∆∆==则1697x x -=，解得1x =，从而得到16ADE S ∆=，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE 的面积．【详解】如图，根据题意得AFH ADE ∆~∆， ∴2239416AHF ADE S FH S DE ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设9AFH S x ∆=，则16ADE S x ∆=，∴1697x x -=，解得1x =，∴16ADE S ∆=，∴四边形DBCE 的面积421626=-=．故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．6．B【解析】【分析】设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，3，根据矩形的性质可得△ABE 、△CDE 都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM 垂直平分AF ，BF=AB=a ，3．解直角△BGM ，求出BM ，再表示DM ，由△ADM ∽△GBM ，求出3，再证明3B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E ，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E ，值最小．建立平面直角坐标系，得出B （3，3B′（3，3E （03B′E 的解析式，得到H （1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH=4，进而求出23BH CF ==233． 【详解】如图，设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，tan∠ABD=3 ADAB=∴22AB AD+，∠ABD=60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，3，在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，∴GM=12BG=1，33，∴3∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴AD DMBG BM=3233a a-=，∴3∴3，AD=BC=6，3易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF，∴作B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E ，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E ，值最小． 如图，建立平面直角坐标系，则A （3，0），B （3，3B′（3，3E （03），易求直线B′E 的解析式为33∴H （1，0），∴22(31)(230)-+-， ∴23BH CF =23 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH 、CF 的长是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据E 为BC 的中点，可得12BO OE BE OD AO AD ===，根据边长的比值即可计算出图阴影部分的面积与平行四边形面积的比值，由此即可求得答案.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC//AD ，BC=AD ，∴△BOE ∽△DOA ，∴BO OE BE OD AO AD== 又∵E 为BC 的中点， ∴12BO OE BE OD AO AD ===， ∴13BO BD =， ∴BOE AOB 1S S 2=，AOB ABD 1S S 3=， ∴BOE ABD ABCD 11S S S 612==，∴米粒落在图中阴影部分的概率为112， 故选B ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，几何概率，熟练掌握相关知识是解题的关键.8．A【解析】【分析】当点M 在AB 上运动时，MN ⊥MC 交y 轴于点N ，此时点N 在y 轴的负半轴移动，定有△AMC ∽△NBM ；只要求出ON 的最小值，也就是BN 最大值时，就能确定点N 的坐标，而直线y=kx+b 与y 轴交于点N （0，b ），此时b 的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．【详解】解：连接AC ，则四边形ABOC 是矩形，90A ABO ︒∴∠=∠=，又MN MC ⊥，90CMN ︒∴∠=，AMC MNB ∴∠=∠，~AMC NBM ∴∆∆，AC AM MB BN∴=， 设,BN y AM x ==．则3,2MB x ON y =-=-， 23x x y∴=-， 即：21322y x x =+ ∴当33212222b x a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，21333922228y ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭最大 直线y kx b =+与y 轴交于()0,N b当BN 最大，此时ON 最小，点()0,N b 越往上，b 的值最大，97288ON OB BN ∴=-=-=， 此时， 70,8N ⎛⎫- ⎪⎝⎭ b 的最大值为78-． 故选：A ．【点睛】本题综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．9．A【解析】【分析】根据图形先利用平行线的性质求出△BEF ∽△BAC ，再利用相似三角形的性质得出x 的取值范围和函数解析式即可解答【详解】当0≤x ≤4时，∵BO为△ABC的中线，EF∥AC，∴BP为△BEF的中线，△BEF∽△BAC，∴BP EFBO AC=，即46x y=，解得32y x=y，同理可得，当4＜x≤8时，3(8)2y x =-.故选：A.【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于利用三角形的相似10．A【解析】【分析】利用正方形的性质，得出∠DAN＝∠EDC，CD＝AD，∠C＝∠ADF即可判定△ADF≌△DCE（ASA），再证明△ABM∽△FDM，即可解答①；根据题意可知：AF＝DE＝AE5得出③；作PH⊥AN于H．利用平行线的性质求出AH＝24585453HN==，即可解答②；利用相似三角形的判定定理，即可解答④【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1，∵AF⊥DE，∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°，∴∠DAN＝∠EDC，在△ADF与△DCE中，CAD CDCDE⎧⎪=⎨⎪⎩∠ADF=∠∠DAF=∠，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DF＝CE＝1，∵AB∥DF，∴△ABM∽△FDM，∴24S ABM ABS FDM DF∆⎛⎫==⎪∆⎝⎭，∴S△ABM＝4S△FDM；故①正确；根据题意可知：AF ＝DE ＝AE ∵12 ×AD ×DF ＝12×AF ×DN ， ∴DN 25 ， ∴EN ＝355，AN ＝455， ∴tan ∠EAF ＝34EN AN =，故③正确， 作PH ⊥AN 于H ．∵BE ∥AD ， ∴2PA AD PE BE==， ∴P A 25 ∵PH ∥EN ， ∴23AH PA AN AE ==， ∴AH ＝24585453HN ==， ∴2265PA AH -= ∴PN 22265PH HN +②正确， ∵PN ≠DN ，∴∠DPN ≠∠PDE ，∴△PMN 与△DPE 不相似，故④错误．故选：A ．【点睛】此题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质难度较大，解题关键在于综合掌握各性质11．B【解析】【分析】根据全等三角形的判定（ASA ）即可得到①正确；根据相似三角形的判定可得②正确；根据全等三角形的性质可得③正确；根据相似三角形的性质和判定、勾股定理，即可得到答案.【详解】解：Q ①四边形ABCD 是正方形，,OC OD AC BD ∴⊥＝，45ODF OCE ∠∠︒＝＝，90MON ∠︒Q ＝，COM DOF ∴∠∠＝，COE DOF ASA ∴V V ≌（）， 故①正确；90EOF ECF ∠∠︒Q ②＝＝，∴点,,,O E C F 四点共圆，∴,EOG CFG OEG FCG ∠∠∠∠＝＝，∴OGE FGC V ∽，故②正确；③COE DOF QV V ≌，COE DOF S S ∴V V ＝，14OCD ABCDCEOF S S S ∴==V 正方形四边形， 故③正确； COE DOF QV V ④≌，OE OF ∴＝，又90EOF ∠︒Q ＝，EOF ∴V 是等腰直角三角形，45OEG OCE ∴∠∠︒＝＝，EOG COE ∠∠Q ＝，OEG OCE ∴V V ∽，::OE OC OG OE ∴＝，2•OG OC OE ∴＝，122OC AC OE EF Q ＝，＝， 2•OG AC EF ∴＝，,CE DF BC CD Q ＝＝，BE CF ∴＝，又Rt CEF Q V 中，222CF CE EF +＝，222BE DF EF ∴+＝，22•OG AC BE DF ∴+＝，故④错误，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定（ASA ）和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA ）和性质、相似三角形的性质和判定.12．B【解析】【分析】过O 作BC 的平行线交AC 与G ，由中位线的知识可得出12AD DC ：＝：，根据已知和平行线分线段成比例得出2121AD DG GC AG GC AO OF ＝＝，：＝：，：＝：，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BF FC ：的比．【详解】解：如图，过O 作//OG BC ，交AC 于G ，∵O 是BD 的中点，∴G 是DC 的中点．又12AD DC ：＝：，AD DG GC ∴＝＝，2121AG GC AO OE ∴：＝：，：＝：，2AOB BOE S S ∆∆∴：＝设2BOE AOB S S S S ∆∆＝，＝，又BO OD ＝，24AOD ABD S S S S ∆∆∴＝，＝，12AD DC ：＝：，287BDC ABD CDOE S S S S S ∆∆∴四边形＝＝，＝，93AEC ABE S S S S ∆∆∴＝，＝，3193ABE AEC S BE S EC S S ∆∆∴=== 故选：B ．【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．13．D【解析】【分析】①根据矩形的性质即可得到23OA BC ==①正确；②由点D 为OA 的中点，得到132OD OA ==2222272(3)PC PD CD OC OD +==+=+=，故②正确；③如图，过点P 作PF OA ⊥于F ，FP 的延长线交BC 于E ，PE a =，则2P F E F P E a=-=-，根据三角函数的定义得到33BE PE a ==，求得2333(2)CE BC BE a a =-==-，根据相似三角形的性质得到3FD =，根据三角函数的定义得到60PDC ︒∠=，故③正确； ④当ODP ∆为等腰三角形时，Ⅰ、OD PD =，解直角三角形得到3333OD OC ==， Ⅱ、OP ＝OD ，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP ︒︒∠=>，故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD =，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP ︒︒∠=>，故不合题意舍去；于是得到当ODP ∆为等腰三角形时，点D 的坐标为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．故④正确．【详解】解：①∵四边形OABC 是矩形，(23,2)B ，23OA BC ∴==①正确；②∵点D 为OA 的中点，132OD OA ∴==， 2222222237PC PD CD OC OD ∴+++＝＝＝（）＝，故②正确；③如图，过点P 作PF OA ⊥ A 于F ，FP 的延长线交BC 于E ，PE BC ∴⊥，四边形OFEC 是矩形，2EF OC ∴＝＝，设PE a ＝，则2PF EF PE a ＝﹣＝﹣，在Rt BEP ∆中，PE OC 3BE BC 3tan CBO ∠===， 33BE PE a ∴==，2333(2)CE BC BE a a ∴=-==-，PD PC ⊥，90CPE FPD ︒∴∠∠=，90CPE PCE ︒∠+∠=，,FPD ECP ∴∠=∠，90CEP PFD ︒∠=∠=，CEP PFD ∴∆∆∽，PE CP FD PD∴=， 3(2)a a FD -∴=FD ∴=， tan 33PC a PDC a PD∴∠===， 60PDC ︒∴∠=，故③正确； ④(23,2)B ，四边形OABC 是矩形，3,2OA AB ∴==，3tan AB AOB OA ∠== 30AOB ︒∴∠=，当ODP ∆为等腰三角形时，Ⅰ、OD PD ＝，30DOP DPO ∴∠∠＝＝， 60ODP ∴∠＝， 60ODC ∴∠＝， 3333OD ∴== Ⅱ、OP OD =75ODP OPD ∴∠∠＝＝，90COD CPD ∠∠＝＝，10590OCP ∴∠＝＞，故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD ＝，30POD PDO ∴∠∠＝＝， 15090OCP ∴∠＝＞故不合题意舍去，∴当ODP ∆为等腰三角形时，点D 的坐标为23⎫⎪⎪⎝⎭．故④正确，故选：D ．【点睛】考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，构造出相似三角形表示出CP 和PD 是解本题的关键．14．B【解析】【分析】先证CDE CBA V :V ，利用相似三角形性质得到12DC DE BC BA ==，即12DC BD DC =+，在直角三角形ABD 中易得22BD =，从而解出DC ，得到△ABC 的高，然后利用三角形面积公式进行解题即可 【详解】AB AD DE AD ∴⊥⊥，90BAD ADE ∴∠=∠=o//AB DE ∴易证CDE CBA V :V12DC DE BC BA ∴== 即12DC BD DC =+ 由题得22BD =∴解得22DC =ABC △2112422422ABC S BC ∴=⨯=⨯=V 故选B【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，本题关键在于找到相似三角形求出DC 的长度15．【解析】【分析】过D 作 DH AC ⊥于H ，则∠AHD=90°由等腰直角三角形的性质可得15AC BC ==，45CAD ∠=，进而可得AH DH =，由此得CH=15-DH ，再证明~ACE DHC ∆∆，由相似三角形的对应边成比例可得DH CH AC CE=，求出CE=10，代入相关数据可求得DH=9，继而根据勾股定理即可求得AD 长.【详解】过D 作 DH AC ⊥于H ，则∠AHD=90° 在等腰Rt ABC ∆中，90C =∠，15AC =， 15AC BC ∴==，45CAD ∠=，∴∠ADH=90°-∠CAD=45°=∠CAD ，AH DH ∴=，∴CH=AC-AH=15-DH ，CF AE ⊥，90DHA DFA ∴∠=∠=，又∵∠ANH=∠DNF ，HAF HDF ∴∠=∠，~ACE DHC ∴∆∆，DH CH AC CE∴=， 2CE EB =，CE+BE=BC=15，∴10CE =， ∴151510DH DH -=， 9DH ∴=，2292AD AH DH ∴=+=， 故答案为：92．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.16．2.【解析】【分析】如图所示，以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接PN '，根据对称性质可知，PN PN ='，由此可得PM PN MN '-≤'，当,,P M N '三点共线时，取“=”，此时即PM —PN 的值最大，由正方形的性质求出AC 的长，继而可得22ON ON '==62AN '=，再证明13CM CN BM AN '='=，可得PM ∥AB ∥CD ，∠CMN '=90°，判断出△N CM '为等腰直角三角形，求得N M '长即可得答案. 【详解】如图所示，以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接PN '，根据对称性质可知，PN PN ='，∴PM PN MN '-≤'，当,,P M N '三点共线时，取“=”，∵正方形边长为8，∴282∵O 为AC 中点，∴AO=OC=2∵N 为OA 中点，∴ON=22 ∴22ON ON '== ∴62AN '=∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2， ∴13CM CN BM AN '='=， ∴PM ∥AB ∥CD ，∠CMN '=90°，∵∠N CM '=45°，∴△N CM '为等腰直角三角形，∴CM=N M '=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.17．326()55-，或(43)-， 【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，根据PBE ∆∽CBO ∆求出PE ，②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，根据PBE ∆∽CBO ∆，求出PE ，BE ，则可得到OE ，故而求出点P 点坐标.【详解】解：∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC ∆是等腰三角形，∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上；①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示：∵PE BO ⊥，CO BO ⊥，∴//PE CO ，∴PBE ∆∽CBO ∆，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(8,6)-，∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =，∵PBE ∆∽CBO ∆，∴PE BE CO BO =，即468PE =， 解得：3PE =，∴点(4,3)P -；②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示：∵CO BO ⊥，∴//PE CO ，∴PBE ∆∽CBO ∆，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(-8,6)，∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴222208610BC BO C +=+=，∴2BP =，∵PBE ∆∽CBO ∆， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==， 解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=， ∴点326()55P -，； 综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，； 故答案为：326()55-，或(43)-，．【点睛】此题主要考查正方形的综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、矩形的性质及圆的性质.13218【解析】【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC•EP，由此即可解决问题．【详解】如图，作FH⊥PE于H．∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴AC＝2∠ACD＝∠FCH＝45°，∵∠FHC＝90°，CF＝2，∴CH＝HF2∵CE＝4AE，∴EC＝2，AE2，∴EH＝2在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（2）2+2）2＝52，∵∠GEF＝∠GCF＝90°，∴E，G，F，C四点共圆，∴∠EFG ＝∠ECG ＝45°，∴∠ECF ＝∠EFP ＝135°，∵∠CEF ＝∠FEP ，∴△CEF ∽△FEP ， ∴EF EC EP EF=， ∴EF 2＝EC•EP ，∴EP 132242= 故答案为：1322． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．19．①③④【解析】【分析】①根据等边三角形性质得出AC BC =，CE CD =，60ACB ECD ︒∠=∠=，求出BCE ACD ∠=∠，根据SAS 推出两三角形全等即可；②根据60ABC BCD ︒∠==∠，求出//AB CD ，可推出ABF DNF ∆∆∽，找不出全等的条件； ③根据角的关系可以求得60AFB ︒∠=，可求得120MFN ︒=，根据60BCD ︒∠=可解题； ④根据CM CN =，60MCN ︒∠=，可求得60CNM ︒∠=，可判定//MN AE ，可求得N DN CD CN AC CD CDM -==，可解题． 【详解】明：①∵ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，∴AC BC =，CE CD =，60ACB ECD ︒∠=∠=，∴ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠，即BCE ACD ∠=∠，在BCE ∆和ACD ∆中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCE ACD SAS ∆∆≌，∴AD BE =，ADC BEC ∠∠=，CAD CBE ∠=∠，在DMC ∆和ENC ∆中，60MDC NEC DC BCMCD NCE ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴()DMC ENC ASA ∆∆≌，∴DM EN =，CM CN =，∴AD DM BE EN -=-，即AM BN =；②∵60ABC BCD ︒∠==∠，∴//AB CD ，∴BAF CDF ∠=∠，∵AFB DFN ∠=∠，∴ABF DNF ∆∆∽，找不出全等的条件；③∵180AFB ABF BAF ︒∠+∠+∠=，FBC CAF ∠=∠，∴180AFB ABC BAC ︒∠+∠+∠=，∴60AFB ︒∠=，∴120MFN ︒∠=，∵60MCN ︒∠=，∴180FMC FNC ︒∠+∠=；④∵CM CN =，60MCN ︒∠=，∴MCN ∆是等边三角形，∴60MNC ︒∠=，∵60DCE ︒∠=，∴//MN AE ，∴MN DN CD CN AC CD CD-==， ∵CD CE =，MN CN =， ∴MN CE MN AC CE-=， ∴MN MN 1AC CE =-， 两边同时除MN 得111AC MN CE=-， ∴111MN AC CE=+． 故答案为①③④【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．20．4【解析】【分析】先证明BPE CQP ∆∆∽，得到与CQ 有关的比例式，设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣，代入解析式，得到y 与x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【详解】解：9090BEP BPE QPC BPE ∠+∠︒∠+∠︒＝，＝，BEP CPQ ∴∠∠＝．又90B C ∠∠︒＝＝，BPE CQP ∴∆∆∽．BE BP PC CQ∴= 设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣．912x x y ∴=-，化简得()21129y x x =--， 整理得21(6)49y x =--+，所以当6x ＝时，y 有最大值为4．故答案为4．【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．21．5【解析】【分析】如图3中，连接CE 交MN 于O ，先利用相似求出OM 、ON 的长，再利用勾股定理解决问题即可．【详解】如图3， 连结CE 交MN 于O .观察图1、图2可知， 4,8EN MN CM ===，90ENM CMN ∠=∠=︒.图3∴EON COM ∆∆∽， ∴12EN ON CN OM ==， ∴1428,3333ON MN OM MN ====. 在Rt ENO ∆中，224103OE ON EN =+= ，同理可求得103OG =， ∴2)2GF OE OG =+=，即“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是5故答案为：5【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．①③④【解析】【分析】①根据已知的条件首先证明ECB 是等边三角形，因此可得EA EB EC ==，所以可得90ACB ∠=︒，再根据O 、E 均为AC 和AB 的中点，故可得90AOE ACB ∠=∠=︒，便可证明EO AC ⊥；②首先证明OEF BCF ∽，因此可得12OE OF BC FB ==，故可得AOD S 和OCF S 的比. ③根据勾股定理可计算的AC ：BD ；④根据③分别表示FB 、OF 、DF ，代入证明即可.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,,CD AB OD OB OA OC ==∥，∴180DCB ABC ∠+∠=︒，∵60ABC ∠=︒，∴120DCB ∠=︒，∵EC 平分DCB ∠， ∴1602ECB DCB ∠=∠=︒， ∴60EBC BCE CEB ∠=∠=∠=︒，∴ECB 是等边三角形，∴EB BC =，∵2AB BC =，∴EA EB EC ==，∴90ACB ∠=︒，∵,OA OC EA EB ==，∴OE BC ∥，∴90AOE ACB ∠=∠=︒，∴EO AC ⊥，故①正确，∵OE BC ∥，∴OEF BCF ∽， ∴12OE OF BC FB ==， ∴13OF OB =， ∴3AOD BOC OCF S S S ==，故②错误，设BC BE EC a ===，则2AB a =，3AC a =，22372OD OB a a ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴7BD a =， ∴:37217AC BD a a ==，故③正确， ∵1736OF OB a ==， ∴73BF a =， ∴22277777,99BF a OF DF a ⎫=⋅=⋅+=⎪⎪⎝⎭， ∴2BF OF DF =⋅，故④正确，故答案为①③④．【点睛】本题是一道平行四边形的综合性题目，难度系数偏大，但是是常考点的组合，应当熟练掌握. 23．4913【解析】【分析】先根据勾股定理得出AE 的长，然后根据折叠的性质可得BF 垂直平分AG ，再根据ABM ~ADE ,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE 的长【详解】解：在正方形ABCD 中，∠BAD=∠D =090，∴∠BAM+∠FAM=090在Rt ADE中，2222+1DE2315=+=A ADE∵由折叠的性质可得ABF GBF≅∴AB=BG，∠FBA=∠FBG∴BF垂直平分AG，∴AM=MG，∠AMB=090∴∠BAM+∠ABM=090∴∠ABM=∠FAM∴ABM~ADE∴AM ABDE AE=，∴12513AM=∴AM=6013, ∴AG=12013∴GE=5-12049 1313=【点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键。
培优专题25相似三角形的一线三等角模型-解析版
A．-9
B．-12
C．-15
D．-18
【答案】A
【分析】根据∠AOB=90°，∠ABO=30°，可求出 OA 与 OB 的比，设出点 B 的坐标，再根据相似三角形的
性质，求出点 A 的坐标，可得 ab 的值，进而求出 m 的值．
【详解】解：过 A、B 分别作 AM⊥x 轴，BN⊥x 轴，垂足为 M、N，
3a 3b ∴B（-a，b），A（ 3 ， 3 ），
3 ∵点 A 在反比例函数 y＝ x 上，
33 ab
则 3 × 3 =3， ∴ab=9，
m ∵点 B 在反比例函数 y＝ x 上， ∴-a×b=m=-9， 故选 A.
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出 反比例函数图象上点的坐标是解答前提的关键． 3．（2021·浙江·九年级专题练习）如图，正方形 ABCD 边长为 4，边 B过点 A，则矩形 EDFG 的面积是（ ）
2. 当一个直角放在平面直角坐标系中时，亦常构造“K 型图”解题
3. 由“K 型图”得到的相似比，基本都可以转化成“特定角”的正切值来计算
4. “K 型图”常和“A 字图”或“8 字图”类的平行相似结合在一起求长度
“K 型图”常见构造方法：过直角订单分别作水平或竖直的直线，再过直角两边顶点分别作直线的垂 线。 如图：
∵四边形 EDFG 为矩形，
∴∠EDF＝∠F＝90°，
∵∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADF＝∠EDC，
∴△ADF∽△CDE，
AD DF
4 DF
∴ DE DC ，即 DE 4 ，
16
∴DF＝ DE ，
竞赛辅导：相似三角形培优
相似形三角形及应用例1、已知正方形ABCD的边长是5厘米，EF＝FG，FD＝DG。
求△ECG的面积。
【说明】在相似形中，计算线段长的主要方法是由线段成比例定理（如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等）列出含待求线段的比例式，再设法求出待求线段的长。
例2、已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN交于AC于P、Q两点。
求AP：PQ：QC的值。
【说明】解线段a：b：c的问题，可根据相关的性质将a、b、c用同一条线段表示出来，再求几条线段的比。
若a、b、c正好可组成一条线段，常用这条线段表示这三条线段。
例3、正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，F是边AB上一点，且AE＝2EC，FB＝2AF。
求∠EDF的度数。
例5 如图所示．△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AB ∶AC=BD ∶DC．【说明】这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用．类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证．例6、正方形ABCD 中，M 、N 分别在AB 、BC 边上，且BM ＝BN ，又BP ⊥MC于P。
求证：PD ⊥PN 。
【说明】要证相等的两角是两个三角形的角，若能证这两个三角形相似，且两角是对应角，则达到两角相等。
此种方法是证角相等的常用方法。
例7如图，ABC中，AD BC 于D ，BE AC 于E ， DF AB 于F ，交BE 于G ，FD 、AC 的延长线交于点H ，求证：2DF FG FH .GHB AFE DC练习：1、（2013年河北）如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN =A．3 B．4C．5 D．62、（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE 并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）A． 1：4 B． 1：3 C． 2：3 D． 1：23、（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）A．a B．C．D．4、（2013•雅安）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=..5、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）A． 11 B． 10 C． 9D． 86、（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）A ． 2：5B ． 2：3C ． 3：5D ． 3：27．（2012四川内江，21，9分）如图，四边形ABCD 是矩形，E 是BD 上的一点，∠BAE =∠BCE ，∠AED =∠CED ，点G 是BC 、AE 延长线的交点，AG 与CD 相交于点F．(1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)当AE =2EF 时，判断FG 与EF 有何数量关系？并证明你的结论．8. （2012福建莆田，24,12分）（1）（3分）如图①，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于点D.求证：AC AD AB 2;D A BG C F E(2) (4分)如图②，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点D 为BC 边上的点，BE ⊥AD 于点E，延长BE 交AC于点F．1AB BD BC DC，求AF FC 的值； (3)(5分)在Rt△ABC 中，∠ABC =90°，点D 为直线BC 上的动点．．(点D 不与B、C 重合)，直线BE ⊥ＡD 于点E，交直线AC 于点F.若AB BD n BC DC，请探究并直接写出AF FC 的所有可能的值(用含n 的式子表示)，不必证明．D BA C E F CBA D9.（2012湖北黄石，24， 9分）如图（10）所示：等边△ABC中，线段AD 为其内角角平分线，过D 点的直线B 1C 1⊥AC 于C 1交AB 的延长线于B 1.⑴请你探究：AC CD AB DB ，1111AC C D AB DB 错误！未找到引用源。
第27章相似三角形培优(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。它在几何学中具有重要地位，广泛应用于解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了相似三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调相似三角形的判定方法和性质这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
二、核心素养目标
1.培养学。
-学生能够运用相似三角形的性质和判定方法，对几何图形进行有效分析。
2.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，能够运用相似三角形知识进行论证和推理。
-学生能够通过严密的逻辑推理，解决复杂几何问题，形成解题策略。
我意识到，对于这类几何概念的教学，仅仅依靠理论讲解是不够的。下次我会尝试增加更多的互动环节，比如让学生自己动手画图，通过实际操作来感受相似三角形的性质。这样不仅能够提高他们的几何直观，还能加深对知识的理解。
在实践活动和小组讨论中，我发现学生们表现得相当积极。他们对于相似三角形在实际生活中的应用提出了很多有趣的想法。这让我感到很高兴，因为这说明学生们能够将所学知识应用到实际中去。不过，我也注意到有些小组在讨论时可能会偏离主题，今后我需要更好地引导他们的讨论方向，确保讨论内容与教学目标紧密相关。
-解决方法：通过案例分析，引导学生学会从实际问题中提炼出相似三角形的几何模型，并运用相关知识解决问题。
（4）几何直观和空间观念的培养。
-难点解析：学生在解决几何问题时，缺乏直观想象力和空间观念。
-解决方法：教师应注重培养学生的几何直观和空间观念，通过观察、分析、抽象和推理，帮助学生形成良好的几何直觉。
相似三角形专题练习(培优)附答案
相似三角形专题练习（培优）附答案一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
相似三角形培优难题集锦(含答案)
一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A 以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
相似三角形培优精彩试题
1.2 2.5
37
y
6 30 30 ， 7 35 37
A
C
GH F
x2 y2，
图２
甲同学设计的方案较好
7、答案：（1）用边角边证明△AOE’和△BOF’全等，即可证得 AE’=BF’ (2)取 OE’的中点 G,得到等边△AOG，等到∠AGO=60°，又由 AG=E’G 得到
∠AE’O＝30°，从而得到∠OAE’是 90°，即为直角三角形。
∴ AE⊥AD
在 Rt△ADE 中，DE= AD2 AE 2 (3 3)2 32 6
∵△ADF∽△DEC
∴ AD AF DE CD
3
∴
3 AF
64
AF= 2 3
4、
（1）证明： ABCD为正方形，
AD AB DC BC，A D 90°． 1 分
AE ED， AE 1．
3分
留分数）
Ｃ
D
E
Ｂ
D
Ｅ
A
Ｂ
Ａ F
G
F
C
图１
图２
第 6 题图
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7、如图 1，O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA、OD 到点 F、E，使 OF=2OA， OE=2OD，连接 EF．将△EOF 绕点 O 逆时针旋转α 角得到△E1OF1（如图 2）． （1）探究 AE1 与 BF1 的数量关系，并给予证明； （2）当α =30°时，求证：△AOE1 为直角三角形．
(2) 若 AB＝4,AD＝3 3 ,AE＝3,求 AF 的长.
4 、 如 图 （ 4 ）， 在 正 方 形 ABCD 中 ， E、F 分 别 是 边 A D、 C D上 的 点 ，
A E E，D DF1 ，D连结C EF 并延长交 BC 的延长线于点 G． 4
相似三角形培优专题
第3讲-相似三角形培优专题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第3讲 相似三角形培优专题1.如图1，在等腰△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，连结AD ，过D 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，求证：DE +DF 的长是定值。
2.如图2，在等腰△ABC 中，AB =AC ，点D '在BC 的延长线上，过D '作AB 、AC 的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：N D M D '-'的长是定值。
3.如图，在△ABC 中，D 为BC 上任意一点，连结AD ，P 为AD 上任意一点，连结PB 、PC ，求证：DC BD S S APC ABP =∆∆。
P D CB A 图2N M D'C B A 图1FE DCB A用面积法证明下述定理：4.在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，求证：AB :AC =BD :DC 。
5.（赛瓦定理）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，连结AD 、BE 、CF 交于点O ，求证：1=⨯⨯FB AF AE CE DC BD 。
6.（梅内劳斯定理）如图，一条直线与三角形ABC 的三边BC ，CA ，BA （或其延长线）分别交于D ，E ，F 。
求证：1=⨯⨯FBAF EA CE DC BD 。
O F E D C B A F E D C B A7.如图，在△ABC 中，D 是BC 边中点，G 是AD （不包括A 、D 两点）上一动点，BG 、CG 的延长线分别交AC 、AB 于点F 、E 。
（1）求证：FC AF EB AE=； （2）设x EB AE =，用含x 的代数式表示ABCCGF BGE S S S ∆∆∆+，并求出它的最大值。
8.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽12CD m =，塔影长18DE m =，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为( )A ．24mB ．22mC ．20mD ．18mG FE D C B A9.在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠CO A＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2E B，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
相似三角形精编培优专题
专题一：相似三角形第一部分：相似探究说明：相似的判定分为①两角等相似；②两边对应成比例且夹角等相似；③三边对应成比例相似．其中对“两角等得相似”的考察最为普遍．相似探究一般地有：①面积探究；②线段关系探究；③角的关系探究等．通法：当你发现问题中出现以下情况时，基本是借助相似解决问题：①比或比例；②线段积；③边或角所在三角形与已知的边或角所在三角形不全等．这种意识太重要了！一、已有相似图形：找相似、证相似、用相似图中有相似图形的，关键是找出相似的条件．（一）“平行出相似”（即“A”字型相似与“8”字型相似，说明略）例10-1-1 如图10-1-1，D、E分别是△ABC的CB边、CA边的中点，请你写出两对相似三角形，并指出其对应的面积比．图10-1-1例10-1-2 问题背景：（1）如图10-1-2 ①，△ABC中，DE//BC分别交AB、AC于D、E两点，过点E作EF//AB交BC于点F．请按图示数据填空：S，△ADE的面四边形DBFE的面积S= ，△EFC的面积=1S．积=2图10-1-2 ①探究发现：（2）在（1）中，若BF =a ，FC =b ，DE 与BC 间的距离为h ．请证明：2124S S S =． 拓展迁移：（3）如图10-1-2 ②，平行四边形DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC 的面积．图10-1-2 ②体验与感悟 10-1-11、如图10-1-3，已知：点E 是平行四边形ABCD 的AD 边长一点，BE 的延长线交CD 的延长线于F ，请写出图中的相似三角形．图10-1-32、已知等边△ABC 的边长为33+． （1）如图10-1-4①，正方形EFPN 的顶点E 、F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上，在正三角形ABC 及其内部，以点A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形''''N P F E ，且使正方形''''N P F E 的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形''''N P F E 的边长；（3）如图10-1-4②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE 、EF 在边AB 上，点P 、N 分别在边CB 、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．图10-1-4 ①图10-1-4②3、已知△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2．（1）要在这张纸中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图10-1-5①），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．图10-1-5①S．按（2）在图10-1-5①中，甲种剪法成为第一次剪取，所得正方形面积记为1照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正S（如图10-1-5②），则方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为22S = ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为3S （如图10-1-5③),继续操作下去……；则第10次剪取时，10S = ；（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．图10-1-5②） 如图10-1-5③（二）“等角公共角”相似说明：有一个公共角、一对等角的两个三角形相似．例10-1-3 如图10-1-6，已知等腰直角三角形ABC 中，°=90∠BAC ，AB =AC ，D 、E 是斜边AB 上的两点，且°=45∠DAE ，请你直接写出两对相似三角形．例10-1-4 如图10-1-7，已知：A 为POQ ∠的边OQ 上的一点，OA =2,以A 为顶点的MAN ∠的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且°==60∠∠POQ MAN ．当M A N ∠以点A 为旋转中心，AM 边从与AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（MAN ∠保持不变）时，M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平行移动，设）（，0≥x y y ON x OM >==，△AOM 的面积为S ．（1）当MAN ∠旋转30°时，求点N 移动的距离；（2）求证：MN ON AN •=2；（3）求y 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；（4）试写出S 随x 变化的函数关系式．图10-1-7体验与感悟 10-1-21、如图10-1-8，在△ABC 中，AB =5，AC =4，点D 在边AB 上，=ACD ∠B ∠，求AD 的长．图10-1-82、如图10-1-9①，将两个全等的等腰Rt△ABC和Rt△AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．（1）写出图10-1-9①中的两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（图10-1-9②）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图10-1-9①图10-1-9②3、在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别用a 、b 、c 表示．（1）如图①，在△ABC 中，A ∠=2B ∠，且A ∠=60°，求证：)(2c b b a +=； （2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC ，如图②，其中A ∠=2B ∠，关系式)(2c b b a +=是否仍然成立？并证明你的结论．图① 图②（3）是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角两倍的△ABC ．证明你的结论．（4）若A ∠=3B ∠，你能求出三边a 、b 、c 之间的关系吗？（三）“垂直出相似” 说明:①三角形的两高相交，必有相似；②过Rt △ABC 所在平面上任意一点向AB 、BC 、AC 所在直线中任意一条作垂线，这条垂线与另两边所在直线所交成的三角形与原三角形相似．例 10-1-5 如图10-1-10，在△ABC 中，°=90∠C ，MD ⊥AB 于D ，交AC 于F ，MG ⊥AC 于G ，交AB 于点E ．写出图中的两对相似三角形．图10-1-10例10-1-6 如图10-1-11，直角梯形OABC 中，OA =6，CB =3，OA //BC ，OC ⊥OA ．点M 、N 分别是OA 边、AB 边上的动点，速度都是每秒1个单位长度，运动方向如图．两个动点同时出发，当其中一个点达到终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t （秒）．（1）求线段AB 的长；（2）当t 为何值时MN ⊥AC ？图10-1-11提示：根据垂直找相似．体验与感悟 10-1-31、如图10-1-12，BD、CE是△ABC的两条高．（1）写出图中的相似三角形；（2）写出连接DE后新增加的相似三角形．图10-1-12∠相等2、如图10-1-13，AB是圆O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与BCE的角有（）A、2个B、3个C、4个D、5个图10-1-133、如图10-1-14，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥A B，交折线BC-CA于点G．点P，Q同时出发，当点P 绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；（2）连结PG，当PG//AB时，请直接写出t的值．图10-1-14（四）“导边比”得相似说明：与“两角相等得相似”相比，另外两种判定相似的方法对学生而言较难了些．本部分只探究“两边对应成比例且夹角相等”得到相似．例10-1-7 如图10-1-15，已知D 是△ABC 的BC 边中点，CD AC 2=，△ACD 与△ABC 相似吗？说明理由．图10-1-15例10-1-8 （1）如图10-1-16①，矩形ABCD 及Rt △AEF 有公共顶点A ，∠EAF =90°，且kAB AD =，kAE AF =，连接BE 、DF ，将Rt △AEF 绕点A 旋转，在旋转过程中BE 、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？请给予证明；图10-1-16①（2）如图10-1-16②，将（1）中的矩形ABCD 变为平行四边形ABCD ，将Rt △AEF 变为△AEF ，且α∠∠==EAF BAD ，其它条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，直接写出结论；如果变化，用α表示出直线BE 、DF 形成的锐角β．图10-1-16②体验与感悟 10-1-41、（1）如图10-1-17①，正方形ABCD 与正方形CEFG 具有公共的顶点C ，连结BG 、DE ．猜想图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系，并证明你的判断．图10-1-17①（2）如图10-1-17②，将原题中正方形改为矩形，且a AB =，b BC =，ka CE =,kb CG =)0,(>≠k b a ，（1）中得到的结论哪些成立，哪些不成立？简要说明理由．图10-1-17②（3）在（2）图10-1-17②中，连结DG 、BE ，且3=a ，2=b ，21=k ，求22BG BE +的值．2、填空或解答：点B 、C 、E 在同一直线上，点A 、D 在直线CE 的同侧，AB =AC ，EC =ED ，CED BAC ∠∠=，直线AE 、BD 交于点F ．（1）如图10-1-18①，°=90∠BAC ，则=AFB ∠ ；（2）如图10-1-18②，α=BAC ∠，则=AFB ∠ ；（用含α的式子表示）（3）将图10-1-18②中的△ABC 绕点C 旋转（点F 不与点A 、B 重合），得图10-1-18③，AFB ∠与α∠的数量关系是 ．请证明结论．（五）“一线三角”相似说明：如下图，如果∠1=∠2=∠3，必有△ABE ∽△CDB ．这是一个应用广泛的基本模型，这里我们不妨称之为“一线三角”，而三个直角是特殊的“一线三角”．例10-1-9 在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作B MDN ∠∠=．（1）如图10-1-20①当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形；（2）如图10-1-20②，将MDN ∠绕点D 沿逆时针方向旋转，DM 、DN 分别交线段AC 、AB于E 、F 点（点E 与点A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；（3）在图10-1-20②中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF 的面积等于△ABC 的面积的四分之一时，求线段EF 的长．图10-1-20① 图10-1-20②提示：第三问利用已知的相似三角形导边的比，利用两边对应成比例且夹角相等．体验与感悟 10-1-51、将边长为2的正方形纸片ABCD 如图10-1-21折叠，使顶点A 落在边CD 上的点P 处（点P 与C 、D 不重合），折痕为EF ，折叠后AB 边落在PQ 的位置，PQ 与BC 交于点G ．（1）写出一个与△DEP 相似三角形；（2）当点P 位于CD 中点时，你找到的三角形与△DEP 周长的比是多少？图10-1-212、如图10-1-22，在Rt △ABC 中，AB=AC=2，°=90∠BAC ，若点D 在线段BC 上运动，DE交AC 于E ，作°=45∠ADE （A 、D 、E 按逆时针方向）．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．3、如图10-1-23，在等腰△ABC 中，AB=AC=8，°=120∠BAC ，P 为BC 的中点，小慧把含30°角的透明三角板的30°角的顶点放在点P ，绕P 点旋转，三角板的两边分别交BA 的延长线和边AC 于点E 、F ．（1）探究1：△BPE 与△CFP 相似吗？为什么？（2）探究2：连结EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？为什么？（3）设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．图10-1-23“一线三等角”专练：1、如图，已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有．2、如图，已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有．3、如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC ． 已知BD=1，BE=31，求CF 的长．4、已知，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C ． 已知BD=6、BE=4，求CF 的长．5、如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60°（1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =23，FC =1时，求BE6、在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ7、在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F ．(1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =(2)、当m DBAD =，求DF DE 的值8、已知在等腰三角形ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，∠EDF=∠B ，求证：△BDE ∽△DFE ．9、在边长为4的等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，点E 、F 分别在AB 、AC 上（点D 不与点C 、点B 重合），且保持ABC EDF ∠=∠,连接EF ．(1)已知BE=1,DF=2．求DE 的值；(2)求∠BED=∠DEF ．10、如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，1CF =，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线,EG FG 交直线AC 于点,M N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；11、 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．12、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足过点D 作DG ⊥EF 于点G ，∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC②求AP 的长．13、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．14、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，43=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积．15、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．16、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP D MF S S ∆∆=49时，求BP 的长第二部分：因动点产生的相似三角形问题解题策略 策略分级细述一、求相似三角形存在性问题要分类讨论．举例说明，如图，在△ABC 中，AC 边长有一点F ，要在AB 边上确定一点E ，使△AEF 与△ABC 相似．因为∠A 是公共角，所以分两种情况：①∠AFE=∠C ，△AEF ∽△ABC ；或AC AF AB AE =，△AEF ∽△ABC ；②∠AFE=∠B ，△AFE ∽△ABC ；或AB AF AC AE =，△AFE ∽△ABC ．典型例题：例1、如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A=90°，BD ⊥DC ，BC=10cm ，CD=6cm ．在线段BC 、CD 上有动点F 、E ，点F 以每秒2cm 的速度，在线段BC 上从点B 向点C 匀速运动；同时点E 以每秒1cm 的速度，在线段CD 上从点C 向点D 匀速运动．当点F 到达点C 时，点E 同时停止运动．设点F 运动的时间为t （秒）．（1）求AD 的长；（2）点E 、F 在运动过程中，如△CEF 与△BDC 相似，求线段BF 的长．策略：（1）△ABD 和△DCB 都是直角三角形，且保持三条边的比值为3:4:5，利用相似求AC 的长；（2）在两个三角形相似的前提下，先找一对相等的角，再使夹这个角的两边对应成比例，分两种情况讨论即可二、在两个三角形相似的情况下求线段的长度，一般地，先找到一对相等的角，再分两次使夹这个角的两边对应成比例，求得线段的长度．那么，在反比例函数和一次函数中求点的坐标是否也适用呢？请看例2．典型例题：例2、如图，直线b x y +=与双曲线)0(<=x xm y 交于点A （-1，-5），并分别于x 轴、y 轴交于点C 、B ．（1）求b 、m 的值；（2）连接OA ，求∠OAB 的正切值；（3）点D 在x 轴的正半轴上，若以点D 、C 、B 组成的三角形与△OAB 相似，试求点D 的坐标．策略：（1）待定系数法；（2）构造直角三角形；（3）确定一组相等的角，分两种情况进行讨论．（4）因为当两边对应成比例，夹角相等时，两个三角形相似．所以只要按夹钝角的两条边对应成比例，分两种情况讨论，便可得到点D 的坐标．三、在两个三角形相似的情况下求线段的长度，和在两个三角形相似的情况下求点的坐标，有相同的地方：方法相同．也有不同的地方：点的坐标一定要考虑它所处的位置，分清楚它的正、负号．例2中求出来的点D 都在x 轴的正半轴上，如果这些点在负半轴上又应该怎样处理呢？经典例题：例3、已知一次函数m x y +=43的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，且与反比例函数xy 24=的图象在第一象限交于点C （4，n ），CD ⊥x 轴于D ． （1）求m 、n 的值；（2）如果点P 在x 轴上，并在点A 与点D 之间，点Q 在线段AC 上，且AP=CQ ，那么当△APQ与△ADC 相似时，求点Q 的坐标．策略：（1）分别写出A 、B 、C 、D 坐标，设动点P 坐标，计算AD 、CD 、AC 、AQ 的长度；（2）当△APQ 与△ADC 相似时，分两种情况进行讨论．特别要注意点在负半轴上时坐标的符号．四、相似三角形对应高的比等于相似比，在抛物线中，探究符合条件的相似三角形中的点，可以作这两个相似三角形的高，而已知点的纵坐标的绝对值，就是高的长度，可以在直角三角形中找到一些角的关系，利用角的关系求解．经典例题：例4、如图，设抛物线2-2bx ax y +=与x 轴交于两个不同的点A （-1,0）、B （m,0），与y 轴交于点C ．已知∠ACB=90°．（1）求m 的值和抛物线的解析式；（2）已知点D （1，n ）在抛物线上，过点A 的直线1+=x y 交抛物线于另一点E ．若点P在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．策略：（1）由两个三角形相似，得到OB 的长度，确定m 的值；（2）写出A 、B 点坐标，利用待定系数法确定抛物线解析式；（3）由点D 在抛物线上，确定点D 坐标；联立方程组求交点E ；（4）由点D 和E 点坐标，得到∠EAB=∠DBO=45°，固定了一组角，然后分两种情况讨论即可．五、二次函数顶点式)0()(2≠++=a k m x a y 的平移规律：上加下减，左加右减．经典例题：例5、如图，已知点A （-2,4）和点B （1,0）都在抛物线n mx mx y ++=22上．（1）求m ，n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B ，若四边形B B AA ''为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线'AB 的交点为点C ，试在x 轴上找点D ，使得以点'B、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．策略：（1）对于第（3）问，弦找到一对相等的角，再分两次讨论．六、除以上探求相似三角形中点的存在性规律以外，还有一些多次相似的问题，要根据题目的要求灵活运用．阶梯题组训练：1、已知：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为)0,(1x ，点B 的坐标为)0,(2x ，且210x x <<，A 、B 两点的距离等于13，点C 在y 轴的负半轴上，32∠tan =BAC ，图象经过A 、B 、C 三点的二次函数解析式为：n m x x y +=-612． （1）用1x 的代数式表示点C 的坐标；（2）试猜想△ABC 的形状，并证明你的猜想；（3）如果点P 在线段AO 上，点Q 在线段OC 上，AP=OQ ，且△POQ 与△ABC 相似，求点P 的坐标．2、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，点A 、C 的坐标分别为A （-3,0），C （1,0），∠BAC 的正切值是43． （1）求过点A 、B 的直线的函数解析式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果P 、Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP=DQ=m ，问是否存在这样的m ，使得△APQ 与△ADB 相似？如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．3、在平面直角坐标系中，将抛物线22x y =沿y 轴向上平移1个单位，再沿x 轴向右平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A ，直线3=x 与平移后的抛物线相交于B ，与直线OA 相交于C ．（1）求△ABC 的面积；（2）点P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的P 点坐标．4、Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数)0(≠=k xk y 在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m),与AB 边交于点E(2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当21∠tan =A 时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP相似，求点P 的坐标．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=221-经过点A （1,3）、B （0,1）． （1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，①求△ABC 的面积；②在y 轴上取一点P ，使△ABP 与△ABC 相似，求满足条件的所有P 点坐标．6、（2009年临沂第26题）如图，抛物线经过点A （4,0）、B （1,0）、C （0，-2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在直线AC 的上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．7、(2011年常德第26题）如图，已知抛物线经过点A （0,6）、B （2,0）、)25,7(C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称，求证：∠CFE=∠AFE ．（3）在y 轴上是否存在这样的点P ，使△AFP 与△FDC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第三部分：比例式和等积式的证明比例式和等积式的证明是初中平面几何题型中一类重要题型．其中等积式可以转化成比例式，因此主要是比例式的证明．一、口诀：“一现二找三代四辅”，既是方法又是步骤．1．“一现”：现成的等积式分两种：①．直接用等积式来证明．如射影定理、相交弦定理、切割线定理及推论、面积法．②把等积式转变成比例式．2．“二找”：①．利用“三点定位法”找三角形相似．②．利用平行线分线段成比例．3．“三代”：（分四种）①等线段代换，②等比代换，③等积代换，④综合性代换．4．“四辅”：利用辅助线，构造出“一现二找三代”，其中辅助线以平行线居多．二、例题：1、如图，在△ABC 中，作直线DN 平行于中线AM ，设这条直线交边AB 于点D ，交边CA的延长线于点E ，交边BC 于点N ，求证：ACAE AB AD =．图1分析：本题是比例式， 其中口诀“一现”不是，用“二找”：需证明△ADE ∽△ABC ，而两个三角形一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，很明显不相似．那只有用“三代”，如何代换？我们来反思：（1）、本题有中点，那么可能有等量代换或中位线可以讨论；（2）、本题有平行线，那么可能有平行线的性质、有三角形相似或平行线分线段成比例问题；（3）、本题证明比例式，那么很有可能是考查相似和平行线分线段成比例．打草稿：（基础好的可以打腹稿，一般的同学应写在草稿上） ACAE AB AD −→−? || || 只需证BM=MC ，而这是已知，此题得证．MC MN BM MN −→−? ND//AM练后反思归纳：在等比代换中，如何快速罗列比例式，然后从中代换？本题的线段少，容易想到．如果线段多了呢？证明比例式有口诀，那么找比例式有没有什么特殊的方法？经过反思和探究，找比例式有如下图形作为比例式的基本图形：1．A 型：条件DE//BC ．（图2）⑴．DE//BC ⇒△ADE ∽△ABC ⇒BCDE AC AE AB AD ===大三角形小三角形 ⑵．平行线分线段成比例（口诀）：EC AE DB AD ===下上下上；AEDE AD DB ===上下上下； AC AE AB AD ===全上全上；AEAC AD AB ===上全上全； AC EC AB DB ===全下全下；ECAC DB AB ===下全下全； ；全全下下；全全上上== 等等． 2．X 型（或者叫叉叉型）：条件是DE//BC ．（图3） ⑴．同1．⑴ ⑵．同 1．⑵图2 图3上题如果用这两种类型的图形，很容易找到比例式．求证的左边AB AD 属于A 型（图4），右边也属于A 型（图5）．图4 图5ACAE AB AD −→−?全下全下= ⇒|| ||⇐上下上下= MCMN BM MN −→−?把归纳总结出的一般性结论加以演绎应用，由一般到个别，从而解决一系列的数学题．这种找比例式所用的A 型和X 型，能否作为一种思路和解法或规律？举一反三，多题一解？下面我们用这种寻找比例式的方法来证明其他题．例2、如图，BD=CE ，求证：DF AB EF AC •=•（提示：过点D 作DG//AC ，交BC 于G ）（图6）．图6 分析：已经提示了，因此很简单．但是没有提示那么又怎么办？我们用A 型和X 型来找比例式，看能否较快地解决问题？①．用“一现”行不通，再化成比例式EFDFAB AC = ，用“二找”也行不通． ②．用“三代”就要找左右两边的比例式．③．这里没有平行线，因此不可能有A 型和X 型．那么，我们不可以构造吗？但构造又要尽量与已知所求证的线段相联系．④．从左边的ABAC不好构造，因为AC 和AB 不在同一条线上，而DF 和EF 在同一条线上，所以从右边构造．线段EC 是已知“BD=EC ”中的，而EC 又和右边EFDF中的线段DF 和EF 直接相联接，所以我们作线段EC 的平行线DG 交BC 于点G ，构造出A 型（图8）： 得到ECDGEF DF ==小三角形大三角形．同时得到另一个A 型（图7）：得到BDABDG AC ==小三角形大三角形⇒BD DG AB AC =图8 图7⑤．要证EF DF AB AC =只需证BDDGEC DG =，只需再证明BD=EC 了．而BD=EC 是已知，所以可以得证．此题能否举一反三，一题多解？难道本题只有构造A 型了吗？能构造X 型吗？我们来试一试．先化成比例式EFDFAB AC =，同样从左边不好构造，那么我们从右边试一试．同样DF 和EF 在同一线上，又与已知中的EC 直接相联接，因此，我们作CF 的平行线交AC 于点H ，构造出X 型（图10），下面请同学们自己完成证明．图10因此，在比例式和等积式的证明中，利用口诀“一现二找三代四辅”来分析就有了切入点．其中，要代换的比例式的寻找，用A 型和X 型（现成的和构造的）去寻找，非常简单．用科学的思维方法对课本的习题和练习加以反思和探究、归纳总结、演绎应用，才能提高解题能力．三、针对性练习：1、如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ，AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）AE=CG ； （2）MN CN DN AN •=•．2、如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，连接BC 、AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交圆O 于点F ，连接BF ，与直线CD 交于点G ，求证：BF BG BC •=2．3、如图所示，在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，过点D 作斜边的垂线交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接DC ，求证：DF DE DC •=2．4、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DC 交BE 于F ，且AB AD 31=，EC AE 21=． 求证：（1）△DEF ∽△CBF ；（2）CF EF BF DF •=•．5、如图，已知：在平行四边形ABCD 中，P 为DC 延长线上一点，AP 分别交BD 、BC 于点M 、N ．求证：.2MP MN AM •=第四部分：射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
相似三角形性质精编培优专题
相似三角形性质精编培优专题1. 相似三角形的定义相似三角形是指有相同形状但可能不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比值相等。
2. 相似三角形的性质2.1. 相似三角形的内角性质相似三角形的内角都相等。
这意味着如果两个三角形是相似的，它们的对应角度一定相等。
2.2. 相似三角形的边比例性质相似三角形的对应边的长度比例相等。
即如果两个三角形相似，则它们对应边的长度比例一定相等。
2.3. 相似三角形的周长比例性质如果两个三角形相似，那么它们的周长之比等于它们对应边的长度比例。
2.4. 相似三角形的面积比例性质如果两个三角形相似，那么它们的面积之比等于它们对应边长度之比的平方。
3. 相似三角形的应用3.1. 测量无法直接获取长度的物体相似三角形的边比例性质可以应用于测量无法直接获取长度的物体。
通过找到相似的三角形，并测量其中一个三角形的边长，可以计算出其他三角形的边长。
3.2. 解决实际问题相似三角形的性质可以帮助我们解决实际生活中的问题。
例如，可以利用相似三角形的面积比例性质来计算建筑物的高度、大树的高度等。
4. 相似三角形的重要定理4.1. AAA相似定理如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。
4.2. AA相似定理如果两个三角形的两个角分别相等，并且两个角之间的对应边分别成比例，那么它们是相似的。
4.3. SAS相似定理如果两个三角形的两个对应边的比例相等，并且夹角的角度相等，那么它们是相似的。
5. 总结相似三角形是几何学中一个重要的概念。
通过研究相似三角形的性质和定理，我们能够应用它们解决实际问题，并更深刻地理解三角形的特性和关系。
相似三角形的性质包括内角性质、边比例性质、周长比例性质以及面积比例性质。
此外，AAA相似定理、AA相似定理和SAS 相似定理是判断三角形相似的重要依据。
希望通过本文档的介绍，读者能够对相似三角形有更清晰的认识，并能应用它们解决实际问题。
相似三角形培优专题训练
相似三角形培优专题训练1.给定平行四边形ABCD，点G在边DC的延长线上，AG交BC于点E，BG交CD于点F。
证明△AGD∽△EGC∽△EAB。
2.给定△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线。
证明△ABC∽△BCD。
3.给定△ABC，D为内点，ED、AD分别与BC、AB相交，以BC为边在△ABC外作∠XXX∠ABD，∠XXX∠BAD。
证明△DBE∽△ABC。
4.给定矩形ABCD，BC=3AB，E、F是BC边上的三等分点，连结AE、AF、AC。
证明图中不存在非全等的相似三角形。
5.给定△ABC，AC上截取AD，CB延长线上截取BE，使AD=BE。
证明DF•AC=BC•FE。
6.给定△ABC，∠BAC=90°，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。
证明（1）MA=MD•ME；（2）2MD²=AD²+4AE²。
7.给定△ABC，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于点E，交AB于点F。
证明AE：ED=2AF：FB。
8.给定正方形ABCD，E、F分别是XXX和AD上的点，且。
证明∠XXX∠XXX。
9.给定平行四边形ABCD，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线。
证明SQ∥AB，RP∥BC。
10.给定四边形XXX和四边形BDFE，其中AB∥ED，BC∥FE。
证明AF∥CD。
11.给定直角三角形ABC，BCDE是正方形，AE交BC于点F，FG∥AC交AB于点G。
证明FC=FG。
12.给定锐角三角形ABC，C的平分线交AB于点E，交斜边上的高AD于点O，过O引BC的平行线交AB于点F。
证明OE=OF。
相似三角形培优训练(含答案)
相似三角形培优（含答案）1、如图;等腰△ABC 中，CA=CB, ∠EPF=∠ECB.证明：PBPAPF PE2. △ABC 中，∠ACB=900,CD ⊥AB 于D,CD=2BD,点E 在AC 上，BE 交CD 于点G, EF ⊥BE 交AB 于F.(2) 如图2: AE=3EC,试探究EG 与EF 的数量关系，并证明你的结论。
3、 △ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC 于D,DE ⊥AB 于E,F 为ED 的中点。
证明：AF ⊥EC图2G F E DCB A FEDCBA4、 如图1正方形ABCD,E 为CD 的中点，F 在AE 上，CB=CF. (1) 证明：BF ⊥AE(2) 如图2：M 在BF 的延长线上，CM 交AD 于K 。
且KF=KD 证明：AM ⊥CM（相似SAS ）2作CG ⊥BM, △KCF ≌△KCD, 则∠KCF=∠KCD. 证明∠KCM=45度， 证明△CGB ∽△CMA5.如图1已知菱形ABCD 中，∠ADC=1200,N 为DB 延长线上，且DE=BN .(1)证明：∠ENC=600（2）如图2：延长CA 交NE 的延长线于G.过O 作OM ⊥AB 于F 交GN 于M. 证明：EM=MN图2图1ANN图2图2E F B D CA AD B F E6、如图，△ABC 为等边三角形，D 点为BC 边上一动点，DE ⊥BA 于E ，连CE 交AD 于F ，已知BC =nBD（1）若n =3时，则BE AC = （2）若n =4时，求EFFC的值 （3）当n = 时，EF =FC （直接写出答案，不证明）答案；（1）1126n = （2）解：∵△ABC 为等边△ ∠B = 60° DE ⊥ AB ∴EDB = 30°设BD = x AB = AC = BC = nx 过E 作EM ∥BC 交AD 于M 1sin 2EDB ∠=12E B x = 12A E n xx =- EM ∥BD ∠AEM = ∠B ∠AMF = ∠ADB△AEM ∽△CDFAE EM AB BD=1()2n xEM nx x -= (1)三角形CDE 与CBN 全等N图2图1C E F G BD AA EFD 12n EM x n-=EM ∥CD ∴△EMF ∽△CDF112()2(1)(1)n xn EF EM n CF CD n x n n --===-- 把n = 4代入 7724324EF CF ==⨯ （3）22n =7、如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点P 为AB 上一动点，连接DB 、DP ， AE ⊥DP 于E .(1) 如图①，若P 为AB 的中点，则DF BF = ；=ACBF； (2)如图②，若21=BP AP 时，证明AC ＝4BF ；(3)如图③，若P 在BA 的延长线上，当ACBF= 时，31=AB AP .答案；（1）21，31；（2）延长AF 交BC 于M ，证△ABM ≌△DAP 得BM=AP ，又△MBF ∽△ADF 得31===AD AP AD BM FD BF ，∴FD ＝3BF ∴AC ＝BD ＝4BF.（3）21.8、矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，BF ⊥CE 于点F ，过点F 作DF 的垂线交直线BC 于点G ，若AD =n AB .（1）如图1，当n=1时，BGCG= ；（2）如图2，当n=2时，求证：CG =7BG ；②ABCDEFP③ABCDEFP①PFED C BA图3F AD GE C B 图2FEDCBA图1FAB CD E（3）如图3，当G 点落在BC 的延长线上时，当n= 时，C 为BG 的中点.（直接写出结果）9.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝k ·AC,CD ⊥AB 于D ，点P 为AB 边上一动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F.（1）若k=2时，则=BFCE . （2）若k=3时，连EF 、DF ，求DFEF的值（3）当k= 时，332=DF EF . 10、点D 为Rt △ABC 的斜边AB 上一点，点E 在AC ⊥CD 交DE 的延长线于点F ，连结AF (1)如图1，若AC=BC,求证：AF ⊥AB;(2) 如图2，若AC ≠BC ，当点D 在AB 上运动时，求证：AF ⊥AB.答案. (1)∵∠ADE=∠BCD ∴∠FDC=∠B=45°∴CD=CF ∴△CDB ≌△CAF ∴∠CAF=45°∴AF ⊥AB(2) ∵∠ADE=∠BCD ∴∠FDC=∠B ∴△ACB ∽△FDC ∴BC ACCD CF=∴△BCD ∽△ACF ∴∠B=∠CAF ∴AF ⊥AB;11.如图： 等腰Rt △ABC 中，∠ACB=900,P 在直线AB 上，以CP 为腰作等腰Rt △CPE. （1）证明：BE //AC （2）若AB=5AP,求BEAC的值。
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相似三角形培优专题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．
求证：(1)△ACD∽△ABC；
(2)AC2＝AD•AB；
(3)CD2＝AD•DB．
A
证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC.
(2)∵△ACD∽△ABC，
∴AC AD AB AC
=，
∴AC2＝AD•AB；
(3)∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠B＝90°
∴∠ACD＝∠B
∴△ACD∽△BCD，
∴CD AD BD CD
=，
∴CD2＝AD•DB．
2．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：
(1)△ACP∽△PDB，
(2)CD2＝AC•BD．
证明：(1)∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，
∴∠ACP＝∠PDB＝120°，
∵∠APB＝120°，
∴∠APC+∠BPD＝60°，
∵∠CAP+∠APC＝60°
∴∠BPD＝∠CAP，
∴△ACP∽△PDB；
(2)由(1)得△ACP∽△PDB，
∴，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC＝PD＝CD，
∴，
∴CD2＝AC•BD．
3. 如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC
的边BC＝15，高AH＝10，
(1)求证：△ADG∽△ABC；
(2)求这个正方形的边长和面积．
解：(1)∵四边形形DEFG是正方形，
∴DG∥BC
∴△ADG∽△ABC；
(2) 如图，高AH交DG于M，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x，
∴AM＝AH﹣MH＝10﹣x，
∵ADG∽△ABC，
∴DG AM BC AH
=，
∴
10 1510
x x
-
=，
∴x＝6，
∴x2＝36．
答：正方形DEFG的边长和面积分别为6，36．
4.如图，有一块三角形的余料△ABC，它的高AH＝40mm，边BC＝80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点D、G分别在AB、AC上．
（1）求证：△ADG∽△ABC；
（2）设DE＝xmm，矩形DEFG的面积为ymm2，写出y与x的函数关系式；
解：（1）∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
（2）∵DE＝x
∴RH＝DE＝x
∴AR＝AH-RH=40-x
∵△ADG∽△ABC
∴DG AR BC AH
=，
∴
40 8040
DG x
-
=，
∴DG＝2（40﹣x）
∴y＝x•2（40﹣x）＝﹣2x2+80x
5. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝20m，BC＝12m，点P从点A开始沿AB边向点B以2m/s
的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1m/s的速度移动，P、Q分别从A、B点同时出发，时间为ts．求当t为何值时，△PBQ与△ABC相似？
解：由题意得，BP＝20﹣2t，BQ﹣t，
当△PBQ与△ABC相似时，或，
即或，
解得，t或t，
∴当t或t时，△PBQ与△ABC相似；
6.如图，已知△ABC中AB＝6cm，AC＝4cm，动点D、E同时从A、B两点出发，分别沿A→C、B→A 方向匀速移动，它们的速度分别是1cm/s和2cm/s，当点E到达点A时，D、E两点停止运动．设运动时间为t(s)，问：当t为何值时，△ADE与△ABC相似？
解：根据题意得：BE＝2t，AD＝t，
∴AE＝6﹣2t，
①当时，
即，解得：t；
②当时，
即，解得：t；
综上所述：当t或时，△ADE与△ABC相似．
7. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P是线段BC上的一点(P不与B重合)，M是DB
上一点且BP＝DM，设BP＝x，△MBP的面积为y．
(1)求y与x的函数关系式．
(2)写出自变量的取值范围．
解：(1)矩形ABCD中，∠C＝90°，CD＝AB＝8，
根据勾股定理得，BD10，
过点M作MN⊥BC于N，则MN∥CD，
所以，△BNM∽△BCD，
∴，
即，
解得MN(10﹣x)，
所以，△MBP的面积为y BP•MN x•(10﹣x)x2+4x，
即y与x的函数关系式为y x2+4x；
(2)∵P是线段BC上的一点(P不与B重合)，BC＝6，
∴0＜x≤6．
8. 如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，AB ＝12cm ，BC ＝10cm ，点D 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 移动，到达点B 处停止运动，在移动过程中始终保持DE ∥BC ，DF ∥AC (点E 、F 分别在AC 、BC 上)．求经过t 时四边形DFCE 的面积y .
解：运动时间为t ，则AD ＝2tcm ，DB ＝(12﹣2t )cm ．
∵DE ∥BC ，
∴△AD E∽△ABC， ∴AD DE
AB BC =， ∴21210t DE
= ∴53t
DE =
∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，
∴ 四边形DFCE 是平行四边形， ∴53t
CF DE == ∴2510
(122)2033t
y CF BD t t t =⋅=⋅-=-+。