随机过程-2 平稳过程

* R ( t t ) z z X j k k j 0 k 1 j 1
CX ( ) E[( X (t ) mX )( X (t ) mX )] 也具有同样的四条性质。
CX (0) DX
连续平稳过程的相关函数 定理： { X (t ), t T } 是平稳过程，它在T上连续的充要条件是 RX ( ) 在
例2 随机序列
N
X (n), n 0,1,2, ，X(n)两两不相关，
EX (n) 0, DX (n) 2
Y (n) ak X (n k ), n 0,1,2, N为自然数，
ak 为常数。称Y ( n ) 为离散白噪声 X ( n ) 的滑动和。
k 0
2 平稳过程
§1 平稳过程概念
定义： { X (t ), t T } 的有限维分布函数族
F ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ), t1, t2 ,, tn T , n 1
n, t1, t2 ,, tn T , 使得 t1 , t2 ,, tn T
则
1 l.i.m. T T
的充要条件是

T
0
X (t ) X (t )dt RX ( ), a.s.
1 T 1 2 lim 1 B ( 1 ) RX ( ) d 1 0 T T 0 T


}为平稳序列，则 定理5：{ X (n), n 0,1,2,
定理3： {X (t ),0 t }为平稳过程，则
1 l.i.m. T T
的充要条件是

T
0
X (t )dt m X
a.s.
1 T 2 lim 1 RX ( ) mX d 0 T T 0 T


定理4： { X (t ) X (t ),0 t } 为平稳过程， 0
X (t ), t
，X(t)只取 I
，
的泊松分布。判断X(t)的平稳性。
复平稳过程
定义： {Z (t ), t T } 是复随机过程，若
mZ (t ) mZ , (complexconstant )
且 RZ (t1 , t2 ) 仅与 t t2 t1 有关，而与
与t无关，一元函数
2 CX (t, t ) RX (t, t ) mX (t )mX (t ) RX ( ) mX CX ( )
2 DX (t ) CX (t, t ) CX (0) RX (0) mX
定义：设 { X (t ), t T } 的一、二阶矩存在，若 m X (t ) m X

T
T
X (t ) X (t )dt
存在，则称之为平稳随机过程X(t)在区间 ( , ) 上的时间相关函数。
X (t ) mX , a.s.
(3.1)
X (t ) X (t ) RX ( ), a.s. (3.2)
为X(t)的各态历经性。
例1 X (t ) a cos(0t Φ), t ，a, 0 为正常数， Φ ~ U [0,2 ] 讨论 X (t ) 的各态历经性。
二、互相关函数及其性质 定义：两个平稳过程 X (t ),Y (t ), t T ，若互相关函数
RXY (t, t ) E[ X (t )Y (t )] 不依赖于t，
则称X(t)与Y(t)是平稳相关的。
RXY ( ) RXY (t, t )
此时，
C XY (t, t ) RXY (t, t ) mX (t )mY (t ) RXY ( ) mX mY C XY ( )
Z1, Z2 是不相关的复随机变量，
2 EZ1 EZ2 0, E | Z1 |2 12 , E | Z2 |2 2
讨论 Z (t ) 的平稳性。
Z (t ) Z k e jk t , t ， l j
k 1
n
(l j, l, j 1,2,n)
RX (t , t ) RX ( )
与t无关，则称之为弱（宽、广义）平稳（随机）过程。
一般地
强～
弱～
二阶矩过程 强～ 弱～
定理：正态过程 弱平稳
强平稳
下面均讨论弱平稳随机过程 例1 随机序列 X (n), n 0,1,2, ，X(n)两两不相关，
EX (n) 0, DX (n) 2
平稳相关随机过程互相关函数的性质（ C XY ( ) 也具有相同的性质） ① ②
RXY ( ) RYX ( )
RXY ( ) RX (0) RY (0)
§3 各态历经性
一、基本概念
1 n mX EX (t1 ) xk (t1 ) n k 1
百度文库
RX ( ) E[ X (t1 ) X (t1 )] 1 n xk (t1 ) xk (t1 ) n k 1
例3
X (t ) Acos0t B sin 0t, t ，有 m X 0 ，
RX ( ) 2 cos0 ， 讨论X(t)是否具有数学期望的各态历经性。
定理2：若 ，有 { X (t ) X (t ), t } 为平稳过程，则
三、各态历经定理的应用
{X (n), n 0,1,2,} 以及X, 若 0 ，有 定义：
lim P{| X n X | } 0
Zk 是不相关的复随机变量，
讨论 Z (t ) 的平稳性。
EZk 0, E | Zk |2 k2
复平稳过程的协方差函数
* CZ (t1 , t2 ) RZ (t1 , t2 ) mZ (t1 )mZ ( t2 )
RZ (t2 t1 ) | mZ |2
CZ ( ) CZ (t, t ) DZ (t ) CZ (t, t ) CZ (0)
的充要条件是
1 2T 2 lim 1 RX ( ) mX d 0 T T 0 2T


推论：若平稳随机过程X(t)满足条件

2 lim RX ( ) m X
即

lim C X ( ) 0
则
X (t ) mX , a.s.
例4
X (t ) Acos0t B sin 0t, t ， 0 为正常数，
A, B独立，EA EB 0, DA DB 2 0 判断 X (t ) 是否弱平稳。
例5
1 2 [t, t ] 内正负号变化次数记为 N (t, t )，服从参数为 , ( 0) P{ X (t ) I } P{ X (t ) I }
§2 相关函数的性质
一、自相关函数的性质
（1）
RX (0) EX 2 (t ) 0
（2）
RX ( ) RX (0)
（3） RX ( ) RX ( )
（4） RX ( ) 非负定，即
n n
n Z , t1, t2 ,, tn , z1, z2 ,, zn C
推广：
Z (n)

k
a X (n k ),
k

n 0,1,2,
且
k
2 a k 收敛。称Y (n) 为离散白噪声 X (n )的无限滑动和。
例3
Φ ~ U [0,2 ] X (t ) a cos(0t Φ) ，a, 0 为正常数，
判断 X (t ) 是否弱平稳。
n 1?
定义： { X (t ), t T }为平稳过程，若
1 X (t ) l.i.m. T 2T

T
T
X (t )dt
存在，则称之为平稳随机过程X(t)在区间 ( , ) 上的时间平均。 若
1 X (t ) X (t ) l.i.m. T 2T
例2 X (t ) X , t ，X为具有一、二阶矩的随机变量，但不 服从单点或两点分布 P{X a} 1, (a 0)
讨论X(t)的各态历经性。
二、各态历经定理 定理1
X (t ), t 为平稳过程，则
X (t ) mX , a.s.
0 处连续，亦可得此时 RX ( ) 在T上连续。
{ X (t ), t T } 是宽平稳过程，则以下各项等价 定理：
① { X (t )} 均方连续 ② { X (t )} 在 t 0 点均方连续 ③ RX ( ) 在 ④ RX ( ) 在
上连续
0 处连续
1 n l.i.m. X ( j ) mX n n 1 j 0
的充要条件是
a.s.
1 n j 2 lim 1 R ( j ) m X 0 n n 1 n 1 j 0


定理6： { X (n) X (n m), n 0,1,2, } 为平稳序列，m 0, m Z ，则
RX (t1 , t2 )




x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1, t2 )dx1dx2 x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2


RX (t1 , t2 )
RX (t, t ) RX ( )
有
F ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) F ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn )
则称 { X (t ), t T } 为强（严、狭义）平稳（随机）过程。
连续
f ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) f ( x1, x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn )
X (t ) X (t ) RX ( ) a.s.
成立的充要条件是
1 2T 1 2 lim 1 B ( 1 ) RX ( ) d 1 0 T T 0 2T


其中
B (1 ) E[ X (t ) X (t ) X (t 1 ) X (t 1 )]
1 n l.i.m. X ( j )X ( j m) RX (m) a.s. n n 1 j 0
的充要条件是
1 n j 2 lim 1 B ( j ) R m X ( m) 0 n n 1 n 1 j 0
其中


Bm ( j) E[ X (n) X (n m) X (n j ) X (n m j )]
t1 无关，即
RZ (t, t ) E[Z (t )Z * (t )] RZ ( ), t, t T 则称 {Z (t ), t T }是复平稳随机过程。
例6 Z (t ) Z1e j1t Z2e j2t ,
t
，其中 1 2 是实数，
一维
f ( x1, ; t1 ) f ( x1; t1 )
mX (t1 ) f ( x1; t1 )dx1 f ( x1; t1 )dx1 mX (t1 )



mX (t ) mX
二维
f ( x1, x2 ; t1, t2 ) f ( x1, x2 ; t1 , t2 )