随机过程-2 平稳过程
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平稳随机过程的概念
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)
a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
第十二章-平稳随机过程
7
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
平稳随机过程及其遍历性
从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳
6
f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m，X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强，则 也不会
太大，所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)
6
f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m，X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强，则 也不会
太大，所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)
第四章 随机过程中的平稳过程
证
RX ( ) E[ X (t )X (t )] =E[ X (t ) X (t )] RX ( )
R(s, t ) E[ X (s)X (t )] R( )
则称{X(t),t∈T} 为宽（弱、广义）平稳过程，简称宽 平稳过程
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二
阶矩)的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。
而相关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出 有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果随机
过程如果代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给
出直流分量、交流分量，平均功率及功率在频域上的分布(我 们将在后面讨论功率谱密度)等。另外，在电子系统中经常遇
到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的任意
若令 t 2 ，得
f (t1 , t 2；x1 , x2 ) f (t1 t 2 ,0；x1 , x2 ) f (；x1 , x2 )
其中 同理
t1 t2
二维分布函数也仅与时间差 而与时间起点无关，即
t1 t2
有关，
F (t1 , t 2；x1 , x2 ) F (；x1 , x2 )
j [ l ( t ) k t ] E X X e k l k 1 l 1
bk e jk
k 1
RY ( )
所以， {Y (t ), t }具有平稳性。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
P
k 0
RX ( ) E[ X (t )X (t )] =E[ X (t ) X (t )] RX ( )
R(s, t ) E[ X (s)X (t )] R( )
则称{X(t),t∈T} 为宽（弱、广义）平稳过程，简称宽 平稳过程
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二
阶矩)的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。
而相关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出 有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果随机
过程如果代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给
出直流分量、交流分量，平均功率及功率在频域上的分布(我 们将在后面讨论功率谱密度)等。另外，在电子系统中经常遇
到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的任意
若令 t 2 ，得
f (t1 , t 2；x1 , x2 ) f (t1 t 2 ,0；x1 , x2 ) f (；x1 , x2 )
其中 同理
t1 t2
二维分布函数也仅与时间差 而与时间起点无关，即
t1 t2
有关，
F (t1 , t 2；x1 , x2 ) F (；x1 , x2 )
j [ l ( t ) k t ] E X X e k l k 1 l 1
bk e jk
k 1
RY ( )
所以， {Y (t ), t }具有平稳性。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
P
k 0
平稳随机过程
平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。
①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。
即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。
（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。
（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。
（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。
3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。
所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。
当均值为0时，有R(0)＝σ2。
4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。
随机信号2-2 平稳随机过程和各态历经性
17
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
严格各态历经：所有参数各态历经
广义各态历随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
19
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
20
随机过程和随机序列
12
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
13
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
14
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
15
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
各态历经性或遍历性：在一定的条件下，平 稳随机信号的任何一个样本函数的时间平均， 从概率意义上来说等于它的统计平均。
随机过程和随机序列
7
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
8
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
9
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
10
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
11
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
1
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
平稳：与时间起点无关
2
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
严平稳也称狭义平稳
严格平稳要 求所有阶次 原点矩、中 心矩必须时 间平移不变
3
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
2平稳随机过程
平稳随机过程
一、定义回顾
1. 严、宽平稳随机过程(后者为主)
2. 数字特征。（二阶矩条件， x ，Rx()， Rx(m) ）
例 1. 设状态连续、时间离散的随机过程，
X n s2 inn , n 1 ,2 ,
其中 ~U(0,1) 是随机变量。讨论序列的平稳性。
解. 首先验证是否为二阶矩过程。然后考虑
E[W(t)W(t+)]=E{[X(t)+Y(t)][X(t+)+Y(t+)]} =E[X(t)X(t+)]+E[X(t)Y(t+)]+E[Y(t)X(t+)]+E[Y(t)Y(t+)] =Rx()+RxY()+RxY(-)+RY()
可见W(t)的自相关函数Rw(t,t+)只依赖于,所以 w(t)为平稳过程.
E(Xn)01si2 nndxx0
RX (n, n m) E( X n X nm )
1
0 sin 2nx sin 2 (n m)xdx
1
1
[cos 2mx cos2 (2n m)x]dx
20
1
/ 2, m 0 0, m 0
,
只依赖于m，所以是平稳序列。
例 2. 设随机过程，
不依赖于t？
依赖与Y的方差是否为零。
E [Y2]0 P (Y0)1 ,
与题设矛盾，故非平稳。
二、自相关函数的性质（平稳）
性质1. Rx(0)0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]0
性质2. Rx()为偶函数，即Rx(-)=Rx() 证： Rx(-)=E[X(t)X(t-)]= E[X(t-)X(t)]= Rx()
一、定义回顾
1. 严、宽平稳随机过程(后者为主)
2. 数字特征。（二阶矩条件， x ，Rx()， Rx(m) ）
例 1. 设状态连续、时间离散的随机过程，
X n s2 inn , n 1 ,2 ,
其中 ~U(0,1) 是随机变量。讨论序列的平稳性。
解. 首先验证是否为二阶矩过程。然后考虑
E[W(t)W(t+)]=E{[X(t)+Y(t)][X(t+)+Y(t+)]} =E[X(t)X(t+)]+E[X(t)Y(t+)]+E[Y(t)X(t+)]+E[Y(t)Y(t+)] =Rx()+RxY()+RxY(-)+RY()
可见W(t)的自相关函数Rw(t,t+)只依赖于,所以 w(t)为平稳过程.
E(Xn)01si2 nndxx0
RX (n, n m) E( X n X nm )
1
0 sin 2nx sin 2 (n m)xdx
1
1
[cos 2mx cos2 (2n m)x]dx
20
1
/ 2, m 0 0, m 0
,
只依赖于m，所以是平稳序列。
例 2. 设随机过程，
不依赖于t？
依赖与Y的方差是否为零。
E [Y2]0 P (Y0)1 ,
与题设矛盾，故非平稳。
二、自相关函数的性质（平稳）
性质1. Rx(0)0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]0
性质2. Rx()为偶函数，即Rx(-)=Rx() 证： Rx(-)=E[X(t)X(t-)]= E[X(t-)X(t)]= Rx()
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念
平稳随机过程是指具有固定统计特性的随机过程。
具体而言，平稳随机过程在时间上的统计性质不随时间变化而变化，即其概率密度函数、平均值、自相关函数等都不受时间起点的影响。
平稳随机过程分为弱平稳和强平稳两种类型。
弱平稳是指随机过程的均值和自相关函数不随时间变化而变化，而强平稳还要求联合分布函数不随时间变化而变化。
对于弱平稳随机过程，其特点是平均值和自相关函数只与时间差有关，与时间起点无关。
具体来说，对于平稳随机过程X(t)，其平均值为E[X(t)]，自相关函数为R(t1,t2):
1. 平稳随机过程的平均值不随时间变化而变化，即对于任意t，有E[X(t)]= E[X(0)]。
2. 平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，即对于任意
t1,t2，有R(t1,t2) = R(t1-t2)。
强平稳过程除了满足弱平稳条件外，还要求联合分布函数不随时间变化而变化，即对于任意t1,t2和任意k1,k2，有联合分布
函数F(x1,x2,t1,t2) = F(x1,x2,t1+k,t2+k)。
这意味着在时间上的
任意平移，联合分布函数都保持不变。
平稳随机过程在实际应用中具有广泛的应用，例如信号处理、通信系统、金融市场等领域。
由于其统计特性不随时间变化而变化，使得对时间序列进行建模和预测更加稳定、可靠。
概率统计和随机过程课件第十二章平稳过程
通信工程
在通信工程中，功率谱密度用于描述信号传输过 程中的噪声和干扰分布，从而提高通信质量和可 靠性。
03
线性平稳过程
定义和性质
定义
线性平稳过程是满足线性关系且具有平稳性质的随机过程。
性质
线性平稳过程具有线性性质、时间平移性质、频率域性质等 。
线性滤波器
01
02
03
定义
线性滤波器是用于从输入 信号中提取特定频率成分 的线性系统。
性质
线性滤波器具有线性性、 时不变性和因果性等性质 。
应用
线性滤波器在信号处理、 图像处理等领域有广泛应 用。
应用
信号处理
线性平稳过程在信号处理中用于提取 信号中的有用信息，如滤波、降噪等 。
通信系统
控制系统
在控制系统中，线性平稳过程可用于 分析系统的稳定性、频率响应等特性 。
在通信系统中，线性平稳过程可用于 调制和解调信号，提高通信质量。
02
平稳过程的功率谱密度
定义和性质
定义
功率谱密度是描述平稳随机过程功率 频谱分布的函数，表示随机过程在不 同频率下的功率分布。
性质
功率谱密度是实偶函数，即它关于y轴 对称；功率谱密度的值不会为负；对 于具有不同频率的平稳过程，其功率 谱密度也不同。
计算方法
自相关函数法
通过计算自相关函数的傅里叶变换来得到功率谱密度。
概率统计和随机过程课件第十二 章平稳过程
目录
• 平稳过程的定义和性质 • 平稳过程的功率谱密度 • 线性平稳过程 • ARMA模型 • 平稳过程在信号处理中的应用
01
平稳过程的定义和性质
定义
平稳过程
如果一个随机过程的统计特性不随时间的推移而变化，则称该过程为平稳过程 。具体来说，对于任意常数时间$s$和$t$，如果随机过程的统计特性与$s$和 $t$的相对位置无关，则称该过程为严平稳过程。
在通信工程中，功率谱密度用于描述信号传输过 程中的噪声和干扰分布，从而提高通信质量和可 靠性。
03
线性平稳过程
定义和性质
定义
线性平稳过程是满足线性关系且具有平稳性质的随机过程。
性质
线性平稳过程具有线性性质、时间平移性质、频率域性质等 。
线性滤波器
01
02
03
定义
线性滤波器是用于从输入 信号中提取特定频率成分 的线性系统。
性质
线性滤波器具有线性性、 时不变性和因果性等性质 。
应用
线性滤波器在信号处理、 图像处理等领域有广泛应 用。
应用
信号处理
线性平稳过程在信号处理中用于提取 信号中的有用信息，如滤波、降噪等 。
通信系统
控制系统
在控制系统中，线性平稳过程可用于 分析系统的稳定性、频率响应等特性 。
在通信系统中，线性平稳过程可用于 调制和解调信号，提高通信质量。
02
平稳过程的功率谱密度
定义和性质
定义
功率谱密度是描述平稳随机过程功率 频谱分布的函数，表示随机过程在不 同频率下的功率分布。
性质
功率谱密度是实偶函数，即它关于y轴 对称；功率谱密度的值不会为负；对 于具有不同频率的平稳过程，其功率 谱密度也不同。
计算方法
自相关函数法
通过计算自相关函数的傅里叶变换来得到功率谱密度。
概率统计和随机过程课件第十二 章平稳过程
目录
• 平稳过程的定义和性质 • 平稳过程的功率谱密度 • 线性平稳过程 • ARMA模型 • 平稳过程在信号处理中的应用
01
平稳过程的定义和性质
定义
平稳过程
如果一个随机过程的统计特性不随时间的推移而变化，则称该过程为平稳过程 。具体来说，对于任意常数时间$s$和$t$，如果随机过程的统计特性与$s$和 $t$的相对位置无关，则称该过程为严平稳过程。
2-2 平稳随机过程和各态历经过程(课堂PPT)
RX (t1,t2 ) x1, x2 fX (x1, x2;t)dx1dx2 RX( )
CX (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) mX (t1)mX (t2 ) RX ( ) mX2 CX ( )
4
3、严平稳的判断
按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳， 需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难 的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是 严平稳的，具体方法有两个：
E[ A cos(ct1 ) A cos(ct2 )]
A2 2
E cosc (t2
t1) cos[c (t2
t1) 2 ]
A2 2
cosc (t2
t1)
A2 2
2 0
cos[c (t2
t1)
2
]
1
2
d
A2 2
cosc (t2
t1)
A2 2
cosc
9
例题
X(t)的数学期望为常数， 而自相关函数只与时间间隔τ 有关， 所以X(t)为广义平稳随机过程。
X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则此过 程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平 稳等价。
6
例题
例1 某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc 均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。
讨论X(t)是否是广义的平稳随机过程。
讨论X(t)是否具有各态历经性。
13
例题
解： X(t)的时间平均为：
lim X (t)
1
T T
T /2
T /2 Acos(ct )dt 0
第四章平稳过程课件
第13页共45页
随机过程(西电版） 4.3 平稳过程的各态历经性
第4章 平稳过程
_______
X (t) X (t ) l i m
1
T ______
X (t) X (t )dt
l i m 1
T
a
2
T
cos(t
2T T
) cos(t
)dt
T 2T T
a2 l i m 1
4.1 平稳过程的概念
第4章 平稳过程
（1） mX (t) m （常数）
（2） RX (s,t) RX ( ), t s
则称 {X (t),t T }为宽平稳过程。
显然，一个严平稳过程如果存在二阶矩，则必为宽平稳过 程。以后平稳过程均指宽平稳过程。
例1、设 { X n , n 1,2, }是不相关的随机变量序列，且
1
2
a cos(t )d 0
2 0
RX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
E[a cos(t1 )a cos(t2 )]
a2 2
cos
, 其 中
t2
t1.
2024年6月19日星期三
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随机过程(西电版） 4.2 平稳过程相关函数的性质 第4章 平稳过程
2024年6月19日星期三
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第14页共45页
随机过程(西电版） 4.3 平稳过程的各态历经性
第4章 平稳过程
lim
T
证明：E[
1 2T
X (t
)
22TT1
2T
] E[l i
C
《平稳随机过程》课件
3
随机过程的度量
一些常用的计算方法，如二阶矩、自相关函数、谱密度等会在这个部分中讲述。
平稳性
严平稳
解释严平稳的定义，以及一些判 别方法。
宽平稳
介绍宽平稳的特点和判别方法， 形象化地展示。
平稳性的判别
详细介绍如何判断一个随机过程 是否为平稳随机过程。
自相关函数与谱密度
自相关函数
探讨自相关函数的定义以及在平稳随机过程中的应用。
小波分析与平稳随机过程
1
基本概念
介绍小波分析的基本概念，如小波包、小波函数、小波系数等。
2
小波变换
我们在这里介绍离散小波变换和连续小波变换。讲解原理和实例。
3
平稳性分析
这一部分主要是介绍如何用小波分析方法分析平稳随机过程的平稳性。
应用
信号处理
介绍平稳随机过程在信号处理中 的应用，如去噪、信号模拟等。
展望未来
展望未来平稳随机过程将会在 哪些领域得到更广泛的应用。
谱密度
解析谱密度的定义和具体应用。
Wiener-Hopf因子分解
进一步探讨在平稳随机过程中的应用，展示威纳-霍普夫因子分解方法。
平稳随机过程的线性组合
Hale Waihona Puke 系数• 线性组合中每个随机变 量对应一个系数
• 系数的大小和正负决定 了线性组合的具体形式
协方差
线性组合的协方差公式，以及 应用。
平稳性
这一部分主要是探究如何保持 线性组合的平稳性质。通过实 例来分析。
《平稳随机过程》PPT课 件
欢迎大家来了解平稳随机过程。这是一门数学上比较深奥的课程，但它也是 很有趣和有用的。在这个PPT课件中，我们会通过丰富的图例和实例讲解这门 课程的各个方面。
刘次华版 平稳随机过程(2)---各态历经性
2 A2 A E cos(2 t 2 ) cos cos 2 2
另一方面，对 的一个可能取值 [0,2 ] ，相 应便有过程的一个样本函数 x(t ) A cos( t ) ， 于是 1 1 lim 2T xt dt lim 2T A cost dt
T 1 2 T 0 1 1
B ( 1 ) E X t X t - X t - 1X t - - 1
第六章
平稳随机过程的 各态历经性
主讲人： 崔琳琳 WORD： 邱涵硕 信媛媛 PPT ： 李记梅
1120121099
1120120213 1120121136 1120121109
平稳随机过程
平稳过程的概念与例子 联合平稳过程及相关函数的性质 随机分析 平稳过程的各态历经性 习题
问题的提出
平稳过程的均值和自相关函数，当然在一般 情况下要做到这一点应当对平稳过程的每一 个样本函数按时间平均有相同结果才行。即 将x (t )换为 X (t ) 结果不变，当然此时的积分应当 为均方积分，即应有
1 x l.Tim 2T .
T
T
X t dt
1 RX ( ) l i m T 2T
各态历经过程
各态历经过程 非各态历经过程
两个图所示的都是平稳过程
随机过程的各个样本函数都同样地经历了随机过程的各种 可能状态，因此从随机过程的任何一个样本函数就能得到 随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都能 充分地代表整个随机过程的特性。
生活中举例
统计2012年大爷平均卖给每人的煎饼数？
大数定理表明，随时间n的无限增长，
另一方面，对 的一个可能取值 [0,2 ] ，相 应便有过程的一个样本函数 x(t ) A cos( t ) ， 于是 1 1 lim 2T xt dt lim 2T A cost dt
T 1 2 T 0 1 1
B ( 1 ) E X t X t - X t - 1X t - - 1
第六章
平稳随机过程的 各态历经性
主讲人： 崔琳琳 WORD： 邱涵硕 信媛媛 PPT ： 李记梅
1120121099
1120120213 1120121136 1120121109
平稳随机过程
平稳过程的概念与例子 联合平稳过程及相关函数的性质 随机分析 平稳过程的各态历经性 习题
问题的提出
平稳过程的均值和自相关函数，当然在一般 情况下要做到这一点应当对平稳过程的每一 个样本函数按时间平均有相同结果才行。即 将x (t )换为 X (t ) 结果不变，当然此时的积分应当 为均方积分，即应有
1 x l.Tim 2T .
T
T
X t dt
1 RX ( ) l i m T 2T
各态历经过程
各态历经过程 非各态历经过程
两个图所示的都是平稳过程
随机过程的各个样本函数都同样地经历了随机过程的各种 可能状态，因此从随机过程的任何一个样本函数就能得到 随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都能 充分地代表整个随机过程的特性。
生活中举例
统计2012年大爷平均卖给每人的煎饼数？
大数定理表明，随时间n的无限增长，
平稳随机过程
2
即二阶矩过程X (t ) 的协方差函数存在
注
二阶矩过程的相关函数 R(t1 , t 2 ) 也一定存在。
注1
严平稳过程不一定是宽平稳过程。
因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
注2 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。 因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推 移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间 而推移。
R( t , t ) E[ X ( t ) X (0)][ X ( t ) X (0)]
RX ( ) X (0){ E[ X (t )] E[ X (t )]} X 2 (0),
可见Y ( t ) X ( t ) X (0) 不是平稳过程.
注3
利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程 的平稳性。
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
定义
同时考虑两个平稳过程: X ( t ) 和 Y ( t ) .
如果它们的互相关函数也只是时间差的单
变量函数, 即
( 2) 设平稳过程X ( t )的自相关函数
Rx (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]存在.
那么平稳过程的自相关 函数仅是t 2 t1 的单
变函数. (即不随时间的推移而变化).
协方差函数可以表示为
C X ( ) E{[ X ( t ) X ][ X ( t ) X ]}
f (t；x) f (0；x) f ( x)
即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关， 即
即二阶矩过程X (t ) 的协方差函数存在
注
二阶矩过程的相关函数 R(t1 , t 2 ) 也一定存在。
注1
严平稳过程不一定是宽平稳过程。
因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
注2 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。 因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推 移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间 而推移。
R( t , t ) E[ X ( t ) X (0)][ X ( t ) X (0)]
RX ( ) X (0){ E[ X (t )] E[ X (t )]} X 2 (0),
可见Y ( t ) X ( t ) X (0) 不是平稳过程.
注3
利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程 的平稳性。
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
定义
同时考虑两个平稳过程: X ( t ) 和 Y ( t ) .
如果它们的互相关函数也只是时间差的单
变量函数, 即
( 2) 设平稳过程X ( t )的自相关函数
Rx (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]存在.
那么平稳过程的自相关 函数仅是t 2 t1 的单
变函数. (即不随时间的推移而变化).
协方差函数可以表示为
C X ( ) E{[ X ( t ) X ][ X ( t ) X ]}
f (t；x) f (0；x) f ( x)
即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关， 即
平稳随机过程的概念
一． 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立.
宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
同时考虑两个平稳过程:
X(t)和Y(t)
如果它们的互相关函数也只是时间差的单
R X ( t , t Y ) E [ X ( t ) Y ( t ) R ] X ( ) Y , 变量函数, 即
假设 N(t,t)服从泊松 . 分布
A k { N (t,t) k }
P (A k)(k!)k e,k0,1,2,
其中 0是单位时间内 解的变 数号 学.次 期数 望
试讨X 论 (t)的的平 概 率稳 .为 性
即事件
E [X (t) ]0
下面 E [X 计 (t)X (算 t)]
如果电 [t,t流 )内 在变号偶数次
X(t)和X(t)必同号且乘 I2, 积为
如果电 [t,t流 )内 在变号奇数次
X(t)和 X(t)乘积 I2,为
事{X 件 (t)X (t)I2}的概率为
P ( A 0 ) P ( A 2 ) P ( A 4 ) ...
事{X 件 (t)X (t)I2}的概率为
P (A 1)P (A 3)
和 添 加 标( 题X ( t 1 添h ) 加X 标( 题t 2 , h ) 添 加, 标X , 题( t n h 添) 加 标) 题
具有平稳性, 并同
或简称平稳过程
定义
{X (t)t, T } 具 有 相 同 的 分 布 函
数, 则称随机过程
时称此过程为平稳
(严平稳过程或狭
随机过程,
义平稳过程).
严平稳的.
如X 果 1,X2, ,Xk, 是独立,则 同序 分列 布
设 s(t)是一 T 的 周 X , 函 是 期 (0 ,数 t解在 )上 为服
宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
同时考虑两个平稳过程:
X(t)和Y(t)
如果它们的互相关函数也只是时间差的单
R X ( t , t Y ) E [ X ( t ) Y ( t ) R ] X ( ) Y , 变量函数, 即
假设 N(t,t)服从泊松 . 分布
A k { N (t,t) k }
P (A k)(k!)k e,k0,1,2,
其中 0是单位时间内 解的变 数号 学.次 期数 望
试讨X 论 (t)的的平 概 率稳 .为 性
即事件
E [X (t) ]0
下面 E [X 计 (t)X (算 t)]
如果电 [t,t流 )内 在变号偶数次
X(t)和X(t)必同号且乘 I2, 积为
如果电 [t,t流 )内 在变号奇数次
X(t)和 X(t)乘积 I2,为
事{X 件 (t)X (t)I2}的概率为
P ( A 0 ) P ( A 2 ) P ( A 4 ) ...
事{X 件 (t)X (t)I2}的概率为
P (A 1)P (A 3)
和 添 加 标( 题X ( t 1 添h ) 加X 标( 题t 2 , h ) 添 加, 标X , 题( t n h 添) 加 标) 题
具有平稳性, 并同
或简称平稳过程
定义
{X (t)t, T } 具 有 相 同 的 分 布 函
数, 则称随机过程
时称此过程为平稳
(严平稳过程或狭
随机过程,
义平稳过程).
严平稳的.
如X 果 1,X2, ,Xk, 是独立,则 同序 分列 布
设 s(t)是一 T 的 周 X , 函 是 期 (0 ,数 t解在 )上 为服
随机过程-2-平稳过程
此时，
CXY (t, t ) RXY (t, t ) mX (t)mY (t ) RXY ( ) mX mY CXY ( )
平稳相关随机过程互相关函数的性质（ CXY ( ) 也具有相同的性质） ① RXY ( ) RYX ( ) ② RXY ( ) RX (0) RY (0)
例5 X (t), t ，X(t)只取 I ， P{X (t) I} P{X (t) I} 1 2
[t,t ] 内正负号变化次数记为 N (t,t )，服从参数为 , ( 0)
的泊松分布。判断X(t)的平稳性。
复平稳过程
定义： {Z (t), t T}是复随机过程，若 mZ (t) mZ , (complex constant)
讨论 Z (t) 的平稳性。
复平稳过程的协方差函数
CZ (t1, t2 ) RZ (t1, t2 ) mZ (t1)mZ* (t2 ) RZ (t2 t1) | mZ |2
CZ ( ) CZ (t, t )
DZ (t) CZ (t, t) CZ (0)
§2 相关函数的性质
一、自相关函数的性质
mX (t) mX
f ( x1, x2;t1, t2 ) f ( x1, x2;t1 , t2 )
RX (t1, t2 ) x1x2 f ( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
x1x2 f ( x1, x2;t1 , t2 )dx1dx2
RX (t1 , t2 )
k
例3 X (t) a cos(0t Φ) ，a,0 为正常数，Φ ~ U[0,2 ]
判断 X (t) 是否弱平稳。
例4 X (t) Acos0t B sin0t, t ， 0 为正常数， A, B独立，EA EB 0, DA DB 2 0
CXY (t, t ) RXY (t, t ) mX (t)mY (t ) RXY ( ) mX mY CXY ( )
平稳相关随机过程互相关函数的性质（ CXY ( ) 也具有相同的性质） ① RXY ( ) RYX ( ) ② RXY ( ) RX (0) RY (0)
例5 X (t), t ，X(t)只取 I ， P{X (t) I} P{X (t) I} 1 2
[t,t ] 内正负号变化次数记为 N (t,t )，服从参数为 , ( 0)
的泊松分布。判断X(t)的平稳性。
复平稳过程
定义： {Z (t), t T}是复随机过程，若 mZ (t) mZ , (complex constant)
讨论 Z (t) 的平稳性。
复平稳过程的协方差函数
CZ (t1, t2 ) RZ (t1, t2 ) mZ (t1)mZ* (t2 ) RZ (t2 t1) | mZ |2
CZ ( ) CZ (t, t )
DZ (t) CZ (t, t) CZ (0)
§2 相关函数的性质
一、自相关函数的性质
mX (t) mX
f ( x1, x2;t1, t2 ) f ( x1, x2;t1 , t2 )
RX (t1, t2 ) x1x2 f ( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
x1x2 f ( x1, x2;t1 , t2 )dx1dx2
RX (t1 , t2 )
k
例3 X (t) a cos(0t Φ) ，a,0 为正常数，Φ ~ U[0,2 ]
判断 X (t) 是否弱平稳。
例4 X (t) Acos0t B sin0t, t ， 0 为正常数， A, B独立，EA EB 0, DA DB 2 0
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定理3： {X (t ),0 t }为平稳过程，则
1 l.i.m. T T
的充要条件是
T
0
X (t )dt m X
a.s.
1 T 2 lim 1 RX ( ) mX d 0 T T 0 T
定理4： { X (t ) X (t ),0 t } 为平稳过程， 0
Z1, Z2 是不相关的复随机变量，
2 EZ1 EZ2 0, E | Z1 |2 12 , E | Z2 |2 2
讨论 Z (t ) 的平稳性。
Z (t ) Z k e jk t , t ， l j
k 1
n
(l j, l, j 1,2,n)
RX (t , t ) RX ( )
与t无关，则称之为弱（宽、广义）平稳（随机）过程。
一般地
强～
弱～
二阶矩过程 强～ 弱～
定理：正态过程 弱平稳
强平稳
下面均讨论弱平稳随机过程 例1 随机序列 X (n), n 0,1,2, ，X(n)两两不相关，
EX (n) 0, DX (n) 2
1 n l.i.m. X ( j ) mX n n 1 j 0
的充要条件是
a.s.
1 n j 2 lim 1 R ( j ) m X 0 n n 1 n 1 j 0
定理6： { X (n) X (n m), n 0,1,2, } 为平稳序列，m 0, m Z ，则
2 平稳过程
§1 平稳过程概念
定义： { X (t ), t T } 的有限维分布函数族
F ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ), t1, t2 ,, tn T , n 1
n, t1, t2 ,, tn T , 使得 t1 , t2 ,, tn T
t1 无关，即
RZ (t, t ) E[Z (t )Z * (t )] RZ ( ), t, t T 则称 {Z (t ), t T }是复平稳随机过程。
例6 Z (t ) Z1e j1t Z2e j2t ,
t
，其中 1 2 是实数，
§2 相关函数的性质
一、自相关函数的性质
（1）
RX (0) EX 2 (t ) 0
（2）
RX ( ) RX (0)
（3） RX ( ) RX ( )
（4） RX ( ) 非负定，即
n n
n Z , t1, t2 ,, tn , z1, z2 ,, zn C
则
1 l.i.m. T T
的充要条件是
T
0
X (t ) X (t )dt RX ( ), a.s.
1 T 1 2 lim 1 B ( 1 ) RX ( ) d 1 0 T T 0 T
}为平稳序列，则 定理5：{ X (n), n 0,1,2,
例2 X (t ) X , t ，X为具有一、二阶矩的随机变量，但不 服从单点或两点分布 P{X a} 1, (a 0)
讨论X(t)的各态历经性。
二、各态历经定理 定理1
X (t ), t 为平稳过程，则
X ( X j k k j 0 k 1 j 1
CX ( ) E[( X (t ) mX )( X (t ) mX )] 也具有同样的四条性质。
CX (0) DX
连续平稳过程的相关函数 定理： { X (t ), t T } 是平稳过程，它在T上连续的充要条件是 RX ( ) 在
Zk 是不相关的复随机变量，
讨论 Z (t ) 的平稳性。
EZk 0, E | Zk |2 k2
复平稳过程的协方差函数
* CZ (t1 , t2 ) RZ (t1 , t2 ) mZ (t1 )mZ ( t2 )
RZ (t2 t1 ) | mZ |2
CZ ( ) CZ (t, t ) DZ (t ) CZ (t, t ) CZ (0)
与t无关，一元函数
2 CX (t, t ) RX (t, t ) mX (t )mX (t ) RX ( ) mX CX ( )
2 DX (t ) CX (t, t ) CX (0) RX (0) mX
定义：设 { X (t ), t T } 的一、二阶矩存在，若 m X (t ) m X
例4
X (t ) Acos0t B sin 0t, t ， 0 为正常数，
A, B独立，EA EB 0, DA DB 2 0 判断 X (t ) 是否弱平稳。
例5
1 2 [t, t ] 内正负号变化次数记为 N (t, t )，服从参数为 , ( 0) P{ X (t ) I } P{ X (t ) I }
三、各态历经定理的应用
{X (n), n 0,1,2,} 以及X, 若 0 ，有 定义：
lim P{| X n X | } 0
T
T
X (t ) X (t )dt
存在，则称之为平稳随机过程X(t)在区间 ( , ) 上的时间相关函数。
X (t ) mX , a.s.
(3.1)
X (t ) X (t ) RX ( ), a.s. (3.2)
为X(t)的各态历经性。
例1 X (t ) a cos(0t Φ), t ，a, 0 为正常数， Φ ~ U [0,2 ] 讨论 X (t ) 的各态历经性。
例2 随机序列
N
X (n), n 0,1,2, ，X(n)两两不相关，
EX (n) 0, DX (n) 2
Y (n) ak X (n k ), n 0,1,2, N为自然数，
ak 为常数。称Y ( n ) 为离散白噪声 X ( n ) 的滑动和。
k 0
n 1?
定义： { X (t ), t T }为平稳过程，若
1 X (t ) l.i.m. T 2T
T
T
X (t )dt
存在，则称之为平稳随机过程X(t)在区间 ( , ) 上的时间平均。 若
1 X (t ) X (t ) l.i.m. T 2T
平稳相关随机过程互相关函数的性质（ C XY ( ) 也具有相同的性质） ① ②
RXY ( ) RYX ( )
RXY ( ) RX (0) RY (0)
§3 各态历经性
一、基本概念
1 n mX EX (t1 ) xk (t1 ) n k 1
RX ( ) E[ X (t1 ) X (t1 )] 1 n xk (t1 ) xk (t1 ) n k 1
推广：
Z (n)
k
a X (n k ),
k
n 0,1,2,
且
k
2 a k 收敛。称Y (n) 为离散白噪声 X (n )的无限滑动和。
例3
Φ ~ U [0,2 ] X (t ) a cos(0t Φ) ，a, 0 为正常数，
判断 X (t ) 是否弱平稳。
的充要条件是
1 2T 2 lim 1 RX ( ) mX d 0 T T 0 2T
推论：若平稳随机过程X(t)满足条件
2 lim RX ( ) m X
即
lim C X ( ) 0
则
X (t ) mX , a.s.
0 处连续，亦可得此时 RX ( ) 在T上连续。
{ X (t ), t T } 是宽平稳过程，则以下各项等价 定理：
① { X (t )} 均方连续 ② { X (t )} 在 t 0 点均方连续 ③ RX ( ) 在 ④ RX ( ) 在
上连续
0 处连续
一维
f ( x1, ; t1 ) f ( x1; t1 )
mX (t1 ) f ( x1; t1 )dx1 f ( x1; t1 )dx1 mX (t1 )
mX (t ) mX
二维
f ( x1, x2 ; t1, t2 ) f ( x1, x2 ; t1 , t2 )
X (t ), t
，X(t)只取 I
，
的泊松分布。判断X(t)的平稳性。
复平稳过程
定义： {Z (t ), t T } 是复随机过程，若
mZ (t ) mZ , (complexconstant )
且 RZ (t1 , t2 ) 仅与 t t2 t1 有关，而与
1 n l.i.m. X ( j )X ( j m) RX (m) a.s. n n 1 j 0
的充要条件是
1 n j 2 lim 1 B ( j ) R m X ( m) 0 n n 1 n 1 j 0
其中
Bm ( j) E[ X (n) X (n m) X (n j ) X (n m j )]
例3
X (t ) Acos0t B sin 0t, t ，有 m X 0 ，
RX ( ) 2 cos0 ， 讨论X(t)是否具有数学期望的各态历经性。
定理2：若 ，有 { X (t ) X (t ), t } 为平稳过程，则