等比数列(学案)

等比数列（学案）

1．设等比数列的前三项依次为3，33，63，则它的第四项是( )．A ．1 B.83 C.93 D.12

15

2．设等比数列{n a }的公比q ＝2，前n 项和为n S ，则42

s

a

等于( )．A ．2 B ．4 C.152 D.172

3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5=( )．

A ．33

B ．72

C ．84

D ．189

4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )．A ．－12 B ．－2 C ．2 D.1

2

5．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )．

A ．b ＝3，ac ＝9

B ．b ＝－3，ac ＝9

C ．b ＝3，ac ＝－9

D ．b ＝－3，ac ＝－9 6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6＝________. 7．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.

8．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2.则该数列前15项的和S 15＝________. 9．已知等比数列{a n }中，a 2a 6a 10＝1，求a 3·a 9的值． 10．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( )．A ．5 2 B 。7 C ．6 D ．4 2 11．在等比数列{a n }中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为 ( )． A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．2或－1

12．设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x]，令{x}＝x －[x]，则⎩

⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫5＋12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋12，5＋1

2( )．

A ．是等差数列但不是等比数列

B ．是等比数列但不是等差数列

C ．既是等差数列又是等比数列

D ．既不是等差数列也不是等比数列 13．数列{a n }中，a 1＝1且a n ＋1＝3a n ＋2，则a n ＝________.

14．三个数a ，b ，c 成等比数列，公比q ＝3，又a ，b ＋8，c 成等差数列，则这三个数依次为________． 15．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n

等于________．

16．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．

17．(创新拓展)已知数列{a n }的前n 项之和为S n ，S n 与a n 满足关系S n ＝2－n ＋2n

a n (n ∈N *

)．

(1)求a n ＋1与a n 的关系式，并求a 1的值；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n n 是等比数列，并求{a n }的通项公式；

(3)是否存在常数p 使数列{a n ＋1－pa n }为等比数列？若存在，请求出常数p 的值；若不存在，请说明理由． 1.解析 a 4＝a 3q ＝a 3·a 2a 1＝63×3

33＝＝30

＝1.答案 A

2.解析 S 4a 2＝a 1－q 4

1－q a 1q ＝a 1－－a 1·2＝15

2

.答案 C

3.解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q ＋q 2

－6＝0.∵q>0，∴q ＝2.

∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22

·S 3＝84.答案 C

4.解析 根据a n ＝a m ·q n －m ，得a 5＝a 2·q 3.∴q 3

＝14×12＝18.∴q ＝12

.答案 D

5.解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2

＝9.答案 B 6.解析 根据等比数列的性质：a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列．

∴a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)·a 3＋a 4a 1＋a 2＝120×120

30

＝480.答案 480

7.解析 由已知(a ＋1)2

＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案 4·⎝ ⎛⎭

⎪⎫32n －1

8.解析 由性质知：a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9，…成等比数列，其公比q ＝－2

1

＝－2，首项为a 1

＋a 2＋a 3＝1，其前5项和就是数列{a n }的前15项的和S 15＝1·[1－－5

]

1－

－

＝11.答案 11

9.解一 由等比数列的性质，有a 2a 10＝a 3a 9＝a 62，由a 2·a 6·a 10＝1，得a 63＝1，∴a 6＝1，∴a 3a 9＝a 62

＝1.

法二 由等比数列通项公式，得a 2a 6a 10＝(a 1q)(a 1q 5)(a 1q 9)＝a 13·q 15＝(a 1q 5)3

＝1，

∴a 1q 5＝1，∴a 3a 9＝(a 1q 2)(a 1q 8)＝(a 1q 5)2

＝1. 10.解析 ∵a 1a 2a 3＝a 23＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 83＝10，∴a 8＝310.∴a 52

＝a 2a 8＝350＝5013

，

又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016.∴a 4a 5a 6＝a 53

＝5012

＝5 2.答案 A

11.解析 已知⎩⎪⎨

⎪⎧

S 4＝1，

S 8＝17，

即S 4＝1，S 8－S 4＝16.∴⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，

a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝16，

即⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，

1＋a 2＋a 3＋a 44

＝16.

两式相除得q 4

＝16，∴q ＝±2.答案 C

12.解析 可分别求得⎩⎪⎨

⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫5＋12＝5－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋12＝1，5－12×5＋1

2＝1，由等比中项易得⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫5＋12，⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

5＋12，5＋12三者构成等比数列．答案 B 13.解析 由a n ＋1＝3a n ＋2得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，令a n ＋1＝b n 则b n ＋1＝3b n 且b 1＝a 1＋1＝2，

∴{b n }是以2为首项，以3为公比的等比数列，∴b n ＝2·3n －1，∴a n ＝b n －1＝2·3n －1－1.答案 2·3n －1

－1

14.解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，公比是q ＝3，∴b ＝3a ，c ＝a·32

＝9a.又由等差中项公式有： 2(b ＋8)＝a ＋c ，∴2(3a ＋8)＝a ＋9a.∴a ＝4.∴b ＝12，c ＝36.答案 4,12,36

15.解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1

即⎩⎪⎨⎪⎧

a 2

－a 1

＝2，a 3

－a 2

＝22

，…a n

－a n －1

＝2

n －1

.

相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2

n －1

＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.答案 2n

－1

16.解 ∵a 1a 5＝a 32

，a 3a 5＝a 42，a 3a 7＝a 52，∴由条件，得a 32－2a 42＋a 52＝36，同理得a 32＋2a 3a 5＋a 52

＝100，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

3－a 52

＝36，3＋a 52

＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧ a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪

⎧

a 3＝8，a 5

＝2. 分别解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝12，

q ＝2

或⎩⎪⎨⎪

⎧

a 1＝32，q ＝1

2

.∴a n ＝a 1q

n －1

＝2

n －2

或a n ＝a 1q

n －1

＝2

6－n

.

17.(1)解 ∵S n ＝2－n ＋2n a n ① ∴S n ＋1＝2－n ＋3n ＋1a n ＋1② ②－①得a n ＋1＝n ＋2n a n －n ＋3

n ＋1

a n ＋1，

即＋n ＋1a n ＋1＝n ＋2n a n ，即2n ＋1a n ＋1＝1n a n .而a 1＝2－1＋21a 1，∴a 1＝1

2

.

(2)证明 由(1)知a n ＋1n ＋1＝a n n ·12，而a 11＝12，∴⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n n 是以12为首项，以1

2为公比的等比数列，

∴a n n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n ，∴a n ＝n 2n .(3)解 ∵a n ＋1－pa n ＝n ＋12n ＋1－pn 2n ＝－＋12n ＋1

.由等比数列的通项公式知若{a n ＋1－pa n }是等比数列，则1－2p ＝0，∴p ＝1

2

.