等比数列(学案)

等比数列（学案）
1．设等比数列的前三项依次为3，33，63，则它的第四项是( )．A ．1 B.83 C.93 D.12
15
2．设等比数列{n a }的公比q ＝2，前n 项和为n S ，则42
s
a
等于( )．A ．2 B ．4 C.152 D.172
3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5=( )．
A ．33
B ．72
C ．84
D ．189
4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )．A ．－12 B ．－2 C ．2 D.1
2
5．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )．
A ．b ＝3，ac ＝9
B ．b ＝－3，ac ＝9
C ．b ＝3，ac ＝－9
D ．b ＝－3，ac ＝－9 6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6＝________. 7．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.
8．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2.则该数列前15项的和S 15＝________. 9．已知等比数列{a n }中，a 2a 6a 10＝1，求a 3·a 9的值． 10．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( )．A ．5 2 B 。

7 C ．6 D ．4 2 11．在等比数列{a n }中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为 ( )． A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．2或－1
12．设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x]，令{x}＝x －[x]，则⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫5＋12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋12，5＋1
2( )．
A ．是等差数列但不是等比数列
B ．是等比数列但不是等差数列
C ．既是等差数列又是等比数列
D ．既不是等差数列也不是等比数列 13．数列{a n }中，a 1＝1且a n ＋1＝3a n ＋2，则a n ＝________.
14．三个数a ，b ，c 成等比数列，公比q ＝3，又a ，b ＋8，c 成等差数列，则这三个数依次为________． 15．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n
等于________．
16．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．
17．(创新拓展)已知数列{a n }的前n 项之和为S n ，S n 与a n 满足关系S n ＝2－n ＋2n
a n (n ∈N *
)．
(1)求a n ＋1与a n 的关系式，并求a 1的值；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 是等比数列，并求{a n }的通项公式；
(3)是否存在常数p 使数列{a n ＋1－pa n }为等比数列？若存在，请求出常数p 的值；若不存在，请说明理由． 1.解析 a 4＝a 3q ＝a 3·a 2a 1＝63×3
33＝＝30
＝1.答案 A
2.解析 S 4a 2＝a 1－q 4
1－q a 1q ＝a 1－－a 1·2＝15
2
.答案 C
3.解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q ＋q 2
－6＝0.∵q>0，∴q ＝2.
∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22
·S 3＝84.答案 C
4.解析 根据a n ＝a m ·q n －m ，得a 5＝a 2·q 3.∴q 3
＝14×12＝18.∴q ＝12
.答案 D
5.解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2
＝9.答案 B 6.解析 根据等比数列的性质：a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列．
∴a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)·a 3＋a 4a 1＋a 2＝120×120
30
＝480.答案 480
7.解析 由已知(a ＋1)2
＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案 4·⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1
8.解析 由性质知：a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9，…成等比数列，其公比q ＝－2
1
＝－2，首项为a 1
＋a 2＋a 3＝1，其前5项和就是数列{a n }的前15项的和S 15＝1·[1－－5
]
1－
－
＝11.答案 11
9.解一 由等比数列的性质，有a 2a 10＝a 3a 9＝a 62，由a 2·a 6·a 10＝1，得a 63＝1，∴a 6＝1，∴a 3a 9＝a 62
＝1.
法二 由等比数列通项公式，得a 2a 6a 10＝(a 1q)(a 1q 5)(a 1q 9)＝a 13·q 15＝(a 1q 5)3
＝1，
∴a 1q 5＝1，∴a 3a 9＝(a 1q 2)(a 1q 8)＝(a 1q 5)2
＝1. 10.解析 ∵a 1a 2a 3＝a 23＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 83＝10，∴a 8＝310.∴a 52
＝a 2a 8＝350＝5013
，
又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016.∴a 4a 5a 6＝a 53
＝5012
＝5 2.答案 A
11.解析 已知⎩⎪⎨
⎪⎧
S 4＝1，
S 8＝17，
即S 4＝1，S 8－S 4＝16.∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，
a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝16，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，
1＋a 2＋a 3＋a 44
＝16.
两式相除得q 4
＝16，∴q ＝±2.答案 C
12.解析 可分别求得⎩⎪⎨
⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫5＋12＝5－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋12＝1，5－12×5＋1
2＝1，由等比中项易得⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫5＋12，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
5＋12，5＋12三者构成等比数列．答案 B 13.解析 由a n ＋1＝3a n ＋2得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，令a n ＋1＝b n 则b n ＋1＝3b n 且b 1＝a 1＋1＝2，
∴{b n }是以2为首项，以3为公比的等比数列，∴b n ＝2·3n －1，∴a n ＝b n －1＝2·3n －1－1.答案 2·3n －1
－1
14.解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，公比是q ＝3，∴b ＝3a ，c ＝a·32
＝9a.又由等差中项公式有： 2(b ＋8)＝a ＋c ，∴2(3a ＋8)＝a ＋9a.∴a ＝4.∴b ＝12，c ＝36.答案 4,12,36
15.解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1
即⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
－a 1
＝2，a 3
－a 2
＝22
，…a n
－a n －1
＝2
n －1
.
相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2
n －1
＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.答案 2n
－1
16.解 ∵a 1a 5＝a 32
，a 3a 5＝a 42，a 3a 7＝a 52，∴由条件，得a 32－2a 42＋a 52＝36，同理得a 32＋2a 3a 5＋a 52
＝100，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
3－a 52
＝36，3＋a 52
＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧ a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪
⎧
a 3＝8，a 5
＝2. 分别解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝12，
q ＝2
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝32，q ＝1
2
.∴a n ＝a 1q
n －1
＝2
n －2
或a n ＝a 1q
n －1
＝2
6－n
.
17.(1)解 ∵S n ＝2－n ＋2n a n ① ∴S n ＋1＝2－n ＋3n ＋1a n ＋1② ②－①得a n ＋1＝n ＋2n a n －n ＋3
n ＋1
a n ＋1，
即＋n ＋1a n ＋1＝n ＋2n a n ，即2n ＋1a n ＋1＝1n a n .而a 1＝2－1＋21a 1，∴a 1＝1
2
.
(2)证明 由(1)知a n ＋1n ＋1＝a n n ·12，而a 11＝12，∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 是以12为首项，以1
2为公比的等比数列，
∴a n n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ，∴a n ＝n 2n .(3)解 ∵a n ＋1－pa n ＝n ＋12n ＋1－pn 2n ＝－＋12n ＋1
.由等比数列的通项公式知若{a n ＋1－pa n }是等比数列，则1－2p ＝0，∴p ＝1
2
.。