最新21常微分方程的几何解释

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y y 1 fx 1 ,y 1 x x 1
求出直线上横坐标 x 2 处的点的纵坐标
y 2 y 1 f x 1 , y 1 x 2 x 1 y 1 f x 1 , y 1 h
类推,可求出方程(2.1)的真正解在各处的近似值
y k y k 1 fx k 1 , y k 1 h ,k 1 , 2 ,, n
佩亚诺定理给出了:右端函数连续保证初值解的存 在性.(在下一节讨论)
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作业
• P77 1.(1)(2) 3.
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例2 研究方 dy程 yx的方向 . 场 dx
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例3 在 区D域 {(x,y)| x2, y2}内 画 出 方
dyy的 方 向 场 和.积 分 曲 线 dx
方向场
积分曲线
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例7 研究方d程 yx2 y的方向场和积. 分曲 dx
向量场的示意图
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21常微分方程的几何解释
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例1
试讨论方程
d d
y x
y x
所确定的线素场.
解 除Y 轴无定义外,方程在两个半平面上都确定
了线素场.
yk x
易见在点 x , y 的线素与
过原点与该点的射线重合.
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定理2.1 L为(2.1)的积分曲线的充要条件是: 在L 上任一点,L 的切线方向与(2.1)所确定的线 素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与 线素场的线素相切.
y 1 y 0 f x 0 , y 0 x 1 x 0 y 0 f x 0 , y 0 h
如果 h 很小 x1, y1 就很接近积分曲线上的点x1,yx1
因 f x, y 连续.于是由点 x1, y1出发的斜率为
f x1, y1 的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为
用经
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积分曲线
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2.1.2 欧拉折线----求过一点的近似积分曲线
dy dx
f (x, y) ,
y(x0) y0
(2.2)
axb,y,
假设函数 f x, y在给定区域上连续且有界.于是
它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场
求出经过 x0, y0的近似积分曲线.把
x0 ,b n 等分,其分点为:
x k x 0 k h ,k 0 ,1 ,,n
hbx0, n
xnb
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先求出 fx0,y0
用经过 x0, y0斜率为
y
x1,
y1
x2,
y2
f x0, y0的直线段来近
y0
似积分曲线,其方程为
y y 0 fx 0 ,y 0 x x 0
x0 x1 x2
bx
求出直线上横坐标 x 1 处的点的纵坐标
证明 必要性 设L为(2.1)的积分曲线,其方程为
yx,则函数为(2.1)的一个解.于是,在其有
定义的区间上有
x fx ,x
上式左端为曲线L在点x,x 的切线斜率.右端
恰为方程(2.1)的线素场在同一点处的线素斜率
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上式左端为曲线L在点 x,x的切线 与线素场在该
点线素重合.整个曲线L百度文库是这样.
这样求得积分曲线的近似折线称为欧拉折线.
这也是微分方程数值解讨论的计算方法之一.
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2.1.3 初值问题解的存在性
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dy dx
f (x, y) ,
y(x0) y0
需解决的问题
(2.2)
10 初值问 dd题 xy f(x,y),的解是否?存在 y(x0)y0
20若 初 值 d dx y 问 f(x题 ,y),的 解 是 ,是存 否在 ?唯 y(x0)y0
充分性 设方程为 yx 的曲线L,在其上任
何一点 x,x处,它的切线方向都与方程(2.1)的线
素场的线素方向重合,则切线斜率与线素斜率应当相
等.于是,在函数 yx有定义的区间上,恒有等式
x fx ,x
这个等式恰在此时好说明 yx为方程(2.1)的解
从而曲线运动L为方程的积分曲线.
直观地说:积分曲线是始终”顺着”线素场的线素方 向行进的曲线.