模型组合讲解——电磁场中的单杆模型

模型组合讲解--- 电磁场中的单杆模型
秋飏
［模型概述］
在电磁场中，“导体棒”主要是以“棒生电”或“电动棒”的内容出现，从组合情况看有棒与电阻、棒与电容、棒与电感、棒与弹簧等；从导体棒所在的导轨有“平面导轨”、“斜面导轨” “竖直导轨”等。

［模型讲解］
一、单杆在磁场中匀速运动
例1. (2005年河南省实验中学预测题)如图1所示，R 5 , R2，电压表与电流表的量程分别为0〜10V和0〜3A，电表均为理想电表。

导体棒ab与导轨电阻均不计，
且导轨光滑，导轨平面水平，ab棒处于匀强磁场中。

(1 )当变阻器R接入电路的阻值调到30 ，且用片=40N的水平拉力向右拉ab棒并使之达到稳定速度v1时，两表中恰好有一表满偏，而另一表又能安全使用，则此时ab棒的速度v1是多少？
(2)当变阻器R接入电路的阻值调到3 ，且仍使ab棒的速度达到稳定时，两表中恰有一表满偏，而另一表能安全使用，则此时作用于ab棒的水平向右的拉力F2是多大？
解析：(1)假设电流表指针满偏，即 1 = 3A，那么此时电压表的示数为U= IR并=15V , 电压表示数超过了量程，不能正常使用，不合题意。

因此，应该是电压表正好达到满偏。

当电压表满偏时，即U1= 10V，此时电流表示数为
设a、b棒稳定时的速度为v1，产生的感应电动势为E1,则E1= BLv1，且E1= |1(R1 + R
并)=20V
a、b棒受到的安培力为
F1= BIL = 40N
解得v11m/ s
(2)利用假设法可以判断，此时电流表恰好满偏，即
U2I 2只并=6V可以安全使用，符合题意。

12= 3A，此时电压表的示数为
图
由
F
= BIL可知，稳定时棒受到的拉力与棒中的电流成正比，所以
12 3
F2 -F l X 40N 60N。

I i 2
二、单杠在磁场中匀变速运动
例2. (2005年南京市金陵中学质量检测)如图2甲所
示，一个足够长的“
轨NMPQ固定在水平面内，MN、PQ两导轨间的宽为的均匀
金属导体棒ab静止在导轨上且接触良好，abMP
处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中。

部分电阻均不计。

开始时，磁感应强度B0 050T。

(1) 若保持磁感应强度B0的大小不变，从t= 0时刻开始，给ab棒施加一个水平向右的拉
力，使它做匀加速直线运动。

此拉力F的大小随时间t变化关系如图2乙所示。

求匀加速运动的加
速度及ab棒与导轨间的滑动摩擦力。

联立以上式得:
(2) 当F安F f时，为导体棒刚滑动的临界条件，则有:
U”形金属导
L = 0.50m。

一根质量为m= 0.50kg
恰好围成一个正方形。

该轨道平面ab
棒的电阻为R= 0.10 Q,其他各
(2)若从t = 0开始，使磁感应强度的大小从
增加。

求经过多长时间ab棒开始滑动？此时通过导
轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等)
B
B0开始使其以=0.20T/S的变化率均匀
t
ab棒的电流大小和方向如何？( ab棒与解析：(1 )当t = 0 时，F1 3N, F1 F f ma
当t = 2s 时，F2= 8N
F2 F f B0 B0 Lat
L ma R
a (F2 F1)R
2 2
B0L t
2
4m / s , F f F-i ma
空L2
B—t L F f
R
B
则B 4T, B B O, t 17.5s
三、单杆在磁场中变速运动
例3. (2005年上海高考)如图3所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1m，导轨平面与水平面成=37°角，下端连接阻值为R的电阻。

匀速磁
场方向与导轨平面垂直。

质量为0.2kg、电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并
保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25。

(1 )求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小；
(2)当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，求该速度的大小；
(3)在上问中，若R= 2 ，金属棒中的电流方向由a到b，求磁感应强度的大小与方向。

(g = 10m/s2，sin37 ° = 0.6，cos37°= 0.8)
解析：(1)金属棒开始下滑的初速为零，根据牛顿第二定律
mg sin mg cos ma ①
由①式解得 a 4m/ s2②
(2)设金属棒运动达到稳定时，速度为V，所受安培力为F，棒在沿导轨方向受力平衡:
mg sin mg cos F 0 ③
此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R消耗的电功率
Fv P ④
由③、④两式解得：
v 10m/s ⑤
(3)设电路中电流为I，两导轨间金属棒的长为I，磁场的磁感应强度为B
vBl I R P I2R ⑦
四、变杆问题
例4. (2005年肇庆市模拟)如图4所示，边长为L = 2m的正方形导线框ABCD和一金
属棒MN由粗细相同的同种材料制成，每米长电阻为R o= 1 /m,以导线框两条对角线交
点O为圆心，半径r= 0.5m的匀强磁场区域的磁感应强度为 B = 0.5T,方向垂直纸面向里且
垂直于导线框所在平面，金属棒MN与导线框接触良好且与对角线AC平行放置于导线框上。

若棒以v = 4m/s的速度沿垂直于AC方向向右匀速运动，当运动至AC位置时，求(计算结
果保留二位有效数字)：
图4
(1 )棒MN上通过的电流强度大小和方向；
(2)棒MN所受安培力的大小和方向。

解析：(1 )棒MN运动至AC位置时，棒上感应电动势为E B2r • v
线路总电阻R (L .. 2 L) R0。

MN棒上的电流I 旦
R
将数值代入上述式子可得：
I = 0.41A，电流方向：N T M
(2)棒MN所受的安培力：
F A B2rI 0.21N , F A方向垂直AC向左。

说明：要特别注意公式E= BLv中的L为切割磁感线的有效长度，即在磁场中与速度方向垂直的导线长度。

［模型要点］
(1 )力电角度：与“导体单棒”组成的闭合回路中的磁通量发生变化T导体棒产生感应电动势T 感应电流T导体棒受安培力T合外力变化T加速度变化T速度变化T感应电动势变化T……，循环结束时加速度等于零，导体棒达到稳定运动状态。

由⑥、⑦两式解得B
「PR
vl
磁场方向垂直导轨平面向上。

0.4T ⑧
(2 )电学角度：判断产生电磁感应现象的那一部分导体(电源)T利用 E N——或
t
E BLv求感应电动势的大小T利用右手定则或楞次定律判断电流方向T分析电路结构T 画等效电路图。

(3)力能角度：电磁感应现象中，当外力克服安培力做功时，就有其他形式的能转化为电能；当安培力做正功时，就有电能转化为其他形式的能。

［误区点拨］
正确应答导体棒相关量(速度、加速度、功率等)最大、最小等极值问题的关键是从力电角度分析导体单棒运动过程；而对于处理空间距离时很多同学总想到动能定律，但对于导体单棒问题我们还可以更多的考虑动量定理。

所以解答导体单棒问题一般是抓住力是改变物
体运动状态的原因，通过分析受力，结合运动过程，知道加速度和速度的关系，结合动量定理、能量守恒就能解决。

［模型演练］
1. (2005年大联考)如图5所示，足够长金属导轨MN和PQ与R相连，平行地放在水平桌面上。

质量为m的金属杆ab可以无摩擦地沿导轨运动。

导轨与ab杆的电阻不计，导轨宽度为L,磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过整个导轨平面。

现给金属杆ab一个瞬时冲量I o,使ab杆向右滑行。

(1 )回路最大电流是多少？
(2)当滑行过程中电阻上产生的热量为Q时，杆ab的加速度多大？
(3)杆ab从开始运动到停下共滑行了多少距离？
答案：(1)由动量定理I o mv00得v0丄0
m
由题可知金属杆作减速运动，刚开始有最大速度时有最大E m BLv0,所以回路最大电
流：
I BLv°BL| °
1 m
R mR
(2)设此时杆的速度为v,由动能定理有：
—mv2— mvo 而Q= W A
2 2
由牛顿第二定律F A BIL ma及闭合电路欧姆定律
BLv
R
B2L2V B2L2 I；2Q
a—
mR.. 2
mR ■. m m
（3
）
对全过程应用动量定理有:
Bl j L •t 0 1。

而I i • t q所以有q I 0
BL
E BIx
又q I • t t t
R R t R R
其中x为杆滑行的距离所以有x
I o R。

B2L2
2. （2005年南通调研）如图6所示，光滑平行的水平金属导轨MNPQ相距I，在M点
和P点间接一个阻值为R的电阻，在两导轨间OO j O/O'矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为d的匀强磁场，磁感强度为B。

一质量为m,电阻为r的导体棒ab,垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d°。

现用一大小为F、水平向右的恒力拉ab棒，使它由静止开始运动，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab与导轨始终保持良好的接触，导轨电
阻不计）。

求：
（1 ）棒ab在离开磁场右边界时的速度；
（2）棒ab通过磁场区的过程中整个回路所消耗的电能；
（3）试分析讨论ab棒在磁场中可能的运动情况。

解析：（1）ab棒离开磁场右边界前做匀速运动，速度为V m，则有:
E BlV m，I
解之V
■'Io 2Q
\ m2m
do
图6
对ab棒F BIl = 0，解得v m F(R r)
B2|2
(2)由能量守恒可得:
1 2
F(d o d) W t^mv m
解得：W电F(d0 d)
mF2(R r)2
(3)设棒刚进入磁场时速度为
1
F • d0mv2可得：v
2
v 由: m
2Fd o
4, 4 2B l
棒在进入磁场前做匀加速直线运动，在磁场中运动可分三种情况讨论:
①若2Fd o
m
F(R r)
B2|2
(或
2d B41 4
0B 1
2),则棒做匀速直线运动;
m(R r)
②若..2Fd o
飞m F(R r)
B2|2
(或
2d
°
B 1
2),则棒先加速后匀速;
m(R r)
③若F(R r)
B2|2
(或
2d
°
B 1
2),则棒先减速后匀速。

m(R r)。