材料力学—— 扭转ppt课件
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扭转的概念和实例 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 切应力互等定理与剪切胡克定律 圆轴扭转横截面的应力,强度条件 圆轴扭转时的变形，刚度条件 非圆截面杆扭转的概念
例工 程 实
扭转的概念和实例
例工 程 实
例工 程 实
例工 程 实
对称扳手拧紧镙帽
扭转变形的受力特点
一组外力偶的作用，且力偶的作用面与杆件的轴线垂直；
M ：外力偶矩
变形特点：
变形特点：
任意两横截面绕轴线发生相对转动；
轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 一.外力偶矩的计算 ——直接计算
M=Fd
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M
电机每秒输入功： WP 1000(N.m)
d
dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
目录
2. 物理关系：
虎克定律： G
代入上式得： G G d d xG d d x
Gddx
3. 静力学关系：
dA
T A dA
O
A G 2
d dx
dA
G
d dx
A
2d A
TGIp
d
dx
令 Ip A2dA
空心圆截面的扭转切应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
圆轴扭转时的破坏
圆轴扭转时的破坏
塑性材料（低碳钢）
脆性材料（铸铁）
圆轴扭转时的强度计算
强度条件： 对于等截面圆轴：
max[]
Tmax Wt
[ ]
([] 称为许用切应力。)
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形;
3表明： 横截面上只有切于截面的切应力；
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
5、薄壁圆筒的扭转切应力
AR0 dAT
T
2R02T
dA
R0
dθ
T
2 R02
R0：薄壁圆筒横截面的平均半径;
外力偶作功： W M 2 60n
M 60P(KW) 9549 P(Nm)
2n(r/ min)
n
二、扭转变形横截面的内力
扭矩的符号规定：
右手螺旋法则 “T”矢量离开截面为正，反之为负。
扭矩图：扭矩沿杆件轴线各横截面上变化规律的图线。
的目
①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置（危险截面）。
等圆截面杆；
2.在材料的比例极限范围内
截面的极惯性矩和抗扭截面系数计算 实心圆截面：
Ip A2dA
dA2d
D
Ip
2 0
22d
IP
D 4
32
Wt
D 3
16
空心圆截面：
Ip A2dA
dA2d
Ip d2D 2 22d32(D4 d4 )
(
d D
)
Ip
D4 (14
32
)
Wt
D3
16
(14
)
实心轴与空心轴 Ip 与 Wt 对比
n=300r/min
M C9.5 5(Nm ), M D15 .2(N 9m ),
B
C
A
D
2、求内力 M B
MB
T3 B
MC
MD
I C
I
T1MB0
T1
T 1 M B 6.7 ( 3 N m )
T2MBMC0
T2
T 2 M B M C 1.2 5 (N 9 m )
T3MD0
T 3M D15 .2(N 9m )
观察小方格的变化
小方格
平行四边形
基本假设
平面假设 横截面在变形后 仍然保持为平面； 大小、 形状、 间距不变； 半径 仍保持为直线；
结论
横截面： 像刚性平面一样， 只是绕轴线旋转了一个角度。
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1. 变形几何关系：
tgG d1G xd d x
二、切应力互等定理
切应力互等定理
mz 0
dydxdxdy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现； 且数值相等； 两者都垂直于两平面的交线；
方向： 共同指向或共同背离该交线；
三、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例 极限时（τ ≤τp)，
切应力与切应变成线形关系；
d
dx
T GIp
代入物理关系式 Gddx 得：
T
Ip
切应力与半径成正比
T
Ip
切应力与扭矩同向的顺流
纵向面内切应力
Fra Baidu bibliotek
T
Ip
横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式
危险点的位置
圆截面边缘处；
max
T
Ip
T R Ip
令
Wt
IP R
抗扭截面系数
max
T Wt
（实心截面）
讨论
公式的适用范围 1.仅适用于各向同性、线弹性材料， 在小变形条件下的
m
m
T
x
危险面 处处是危险面
例1 :图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经 由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速 n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置 更换放置是否合理？
B
C
A
D
1 传递的外力偶矩
B、C、D: 2、3、5KW
MA9549P nA318.3(Nm) MB9549P nB63.7(Nm)
15.29
AD段
31.38
因此将A、D轮的位置更换不合理。
作扭矩图
3KNm 2KNm 1KNm
切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆筒的扭转切应力
薄壁圆筒：
壁厚
t
1 10
rm
rm：为平均半径
1、观察圆筒变形
纵向线发生了倾斜；
2、观察现象
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小、间距均未改变； 只是绕轴线作了相对转动；
强度计算三方面：
① 校核强度：
max
Tmax Wt
[]
② 设计截面尺寸：
Wt
Tmax
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（ 3 14）
③ 计算许可载荷： TmaxWt[]
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
[例1] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转
II A
II
III D
III
3、绘出扭矩图： T 16.7 3(Nm) T 215 .2(N 9m ) T315.2(9Nm)
B
C
A
D
T Nm
159.2
63.7
15.29
Tmax15 .2(9 Nm )
在CA段和AD段
4 将A、D轮的位置更换
B
C
D
A
T Nm
63.7
Mn,ma x31.38(Nm)
a
´
c
´
b
d t
G
G材料剪切弹性模量，单位：GPa。
对各向同性材料有
G
E
21
圆轴扭转横截面上的应力 ·强度条件
一、等直圆杆扭转实验
观察不变量
通过变形观察现象
1、各圆周线的大小、形状、间距
保持不变
半径仍保持 直线
横截面在变形前后都
保持为平面
2. 轴向 无伸缩；
3. 纵向线变形后 仍近似为直线， 只是倾斜了一个角度；
例工 程 实
扭转的概念和实例
例工 程 实
例工 程 实
例工 程 实
对称扳手拧紧镙帽
扭转变形的受力特点
一组外力偶的作用，且力偶的作用面与杆件的轴线垂直；
M ：外力偶矩
变形特点：
变形特点：
任意两横截面绕轴线发生相对转动；
轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 一.外力偶矩的计算 ——直接计算
M=Fd
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M
电机每秒输入功： WP 1000(N.m)
d
dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
目录
2. 物理关系：
虎克定律： G
代入上式得： G G d d xG d d x
Gddx
3. 静力学关系：
dA
T A dA
O
A G 2
d dx
dA
G
d dx
A
2d A
TGIp
d
dx
令 Ip A2dA
空心圆截面的扭转切应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
圆轴扭转时的破坏
圆轴扭转时的破坏
塑性材料（低碳钢）
脆性材料（铸铁）
圆轴扭转时的强度计算
强度条件： 对于等截面圆轴：
max[]
Tmax Wt
[ ]
([] 称为许用切应力。)
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形;
3表明： 横截面上只有切于截面的切应力；
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
5、薄壁圆筒的扭转切应力
AR0 dAT
T
2R02T
dA
R0
dθ
T
2 R02
R0：薄壁圆筒横截面的平均半径;
外力偶作功： W M 2 60n
M 60P(KW) 9549 P(Nm)
2n(r/ min)
n
二、扭转变形横截面的内力
扭矩的符号规定：
右手螺旋法则 “T”矢量离开截面为正，反之为负。
扭矩图：扭矩沿杆件轴线各横截面上变化规律的图线。
的目
①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置（危险截面）。
等圆截面杆；
2.在材料的比例极限范围内
截面的极惯性矩和抗扭截面系数计算 实心圆截面：
Ip A2dA
dA2d
D
Ip
2 0
22d
IP
D 4
32
Wt
D 3
16
空心圆截面：
Ip A2dA
dA2d
Ip d2D 2 22d32(D4 d4 )
(
d D
)
Ip
D4 (14
32
)
Wt
D3
16
(14
)
实心轴与空心轴 Ip 与 Wt 对比
n=300r/min
M C9.5 5(Nm ), M D15 .2(N 9m ),
B
C
A
D
2、求内力 M B
MB
T3 B
MC
MD
I C
I
T1MB0
T1
T 1 M B 6.7 ( 3 N m )
T2MBMC0
T2
T 2 M B M C 1.2 5 (N 9 m )
T3MD0
T 3M D15 .2(N 9m )
观察小方格的变化
小方格
平行四边形
基本假设
平面假设 横截面在变形后 仍然保持为平面； 大小、 形状、 间距不变； 半径 仍保持为直线；
结论
横截面： 像刚性平面一样， 只是绕轴线旋转了一个角度。
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1. 变形几何关系：
tgG d1G xd d x
二、切应力互等定理
切应力互等定理
mz 0
dydxdxdy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现； 且数值相等； 两者都垂直于两平面的交线；
方向： 共同指向或共同背离该交线；
三、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例 极限时（τ ≤τp)，
切应力与切应变成线形关系；
d
dx
T GIp
代入物理关系式 Gddx 得：
T
Ip
切应力与半径成正比
T
Ip
切应力与扭矩同向的顺流
纵向面内切应力
Fra Baidu bibliotek
T
Ip
横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式
危险点的位置
圆截面边缘处；
max
T
Ip
T R Ip
令
Wt
IP R
抗扭截面系数
max
T Wt
（实心截面）
讨论
公式的适用范围 1.仅适用于各向同性、线弹性材料， 在小变形条件下的
m
m
T
x
危险面 处处是危险面
例1 :图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经 由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速 n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置 更换放置是否合理？
B
C
A
D
1 传递的外力偶矩
B、C、D: 2、3、5KW
MA9549P nA318.3(Nm) MB9549P nB63.7(Nm)
15.29
AD段
31.38
因此将A、D轮的位置更换不合理。
作扭矩图
3KNm 2KNm 1KNm
切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆筒的扭转切应力
薄壁圆筒：
壁厚
t
1 10
rm
rm：为平均半径
1、观察圆筒变形
纵向线发生了倾斜；
2、观察现象
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小、间距均未改变； 只是绕轴线作了相对转动；
强度计算三方面：
① 校核强度：
max
Tmax Wt
[]
② 设计截面尺寸：
Wt
Tmax
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（ 3 14）
③ 计算许可载荷： TmaxWt[]
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
[例1] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转
II A
II
III D
III
3、绘出扭矩图： T 16.7 3(Nm) T 215 .2(N 9m ) T315.2(9Nm)
B
C
A
D
T Nm
159.2
63.7
15.29
Tmax15 .2(9 Nm )
在CA段和AD段
4 将A、D轮的位置更换
B
C
D
A
T Nm
63.7
Mn,ma x31.38(Nm)
a
´
c
´
b
d t
G
G材料剪切弹性模量，单位：GPa。
对各向同性材料有
G
E
21
圆轴扭转横截面上的应力 ·强度条件
一、等直圆杆扭转实验
观察不变量
通过变形观察现象
1、各圆周线的大小、形状、间距
保持不变
半径仍保持 直线
横截面在变形前后都
保持为平面
2. 轴向 无伸缩；
3. 纵向线变形后 仍近似为直线， 只是倾斜了一个角度；