第七章 非线性系统的分析方法1_2

x 2 n x n x 0
2

dx/dt x
0
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点

x 2 n x n x 0
2

j
dx/dt
s
s 平面
x
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
例：试确定二阶非线性系统的奇点并分析奇 点的运动性质
继电+死区
饱和+死区
e e0 e e e e e0 e e0
M , f (e) 0, e M ,
M , e e 0, f ( e) e e ke, e M , e
间隙特性
f(e) +M -e -e0 k +M -e 0 -M f(e) +e e 0 f(e) e
相轨迹方程

x d x f ( x)dx


例：二阶系统如下，试绘制其相平面图

x x 0
2 0
解：

f ( x) x
2 0
x d x x dx
2 0

相平面
x
x 0
得椭圆方程
x x c2
2 2 2 0
等倾线法作图 x f ( x , x ) 0
a a a 2 N(X) [arcsin 1 ( ) ], X X X 2k
t
X a
2. 非线性系统的描述函数分析
闭环频率特性
R(s) e 本质非线性特性 +M -M 固有特性
f(e)
C(s) G0 (s)
N ( X )Go ( j ) C( j ) R( j ) 1 N ( X )Go ( j )
Im
Re X G(j) a 0
1 N(X )
例：已知死区继电非线性系统如图
R(s) + +M - -M
460 ( j )(0.01 j 1)(0.005 j 1)
C(s)
. 继电参数： M 17 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
解：1. 死去继电特性的描述函数
x0 0 x0 0
邻域
f ( x, x) x
x0 0 x0 0
0.5
2 x 1 x0 0 1
x0 0
线性化方程为
特征根为
0.5x x 0 x
s1, 2 0.5 j 3.75 2
奇点类型为不稳定焦点
6. 极限环
解：1. 作相平面图
线性部分 误差方程
c(t ) 1(t ) e(t ) c(t ) e(t )

T c c Km


e(t ) r (t ) c(t )
T e e Km
ct ) e (t ) (

非线性部分
M , m M ,


思路：以切线代替曲线
相轨迹的斜率方程

dx f ( x, x ) dx x

则
x f ( x, x ) 0



相轨迹的等倾线方程
x

f ( x, x)


x

f ( x, x)

A
如何画出所有相轨迹？

x

f ( x, x)

给定一个斜率值，由等倾线方程，便可以 在相平面上画一条线，在这条线上的所有的 点的切线的斜率是相同的，均为 ，因此该 线称为等倾线。改变的值，便可以作出若 干条等倾线充满整个相平面。
+
闭环特征方程
描述函数 固有特性
1 N ( X )Go ( j ) 0
1 G o ( j ) N(X)
R(s) + -
C(s) N(X) G0 (s)
非线性系统的稳定性描述 当 Go ( j ) 曲线不包围 该非线性系统是稳定的。
1 N(X )
X G(j)
1 N(X )
稳态误差ess ↑ 电动机，仪表
抑制系统发散 容易导致自振 开关特性
非线性控制系统的分析方法
1）小扰动线性化 2）非线性系统研究方法
相平面法 描述函数法—研究自持振荡 反馈线性化法 微分几何方法
3）仿真方法 全数字仿真
半实物仿真
§7.2 相平面分析法
1.相平面与相平面图(相轨迹) 二阶微分方程

y1 (t ) Y11 Y1 N (Δ ) 1 x(t ) X0 X A12 B12 X tan
1
A1 B1
说明: 1)以幅值与相位变化来描述，类 似频率特性。 2)略去高频信号，只考虑基频， 因此不同于线性系统的频率特性。
2. 非线性环节的描述函数
继电特性
M, y( x) M , x0 x0

dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点

x 2 n x n x 0
2

dx/dt x
0 1
稳定焦点
相轨迹振荡趋于原点，该奇点为 稳定焦点

x 2 n x n x 0
2

dx/dt x
1 0
不稳定焦点
相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点

x
x 0
x
x 0
x
x 0
在相平面上闭合的相轨迹表现为 非线性系统的自持振荡
相平面图分析
1、分区作出系统的相平面图。 2、分析系统的稳定性。 3、分析系统是否具有极限环。 4、参考线性系统的性能指标来考虑该非线 性系统的调节时间与超调量等。
例：继电控制系统，阶跃信号作用下，试 用相平面法分析系统运动。
x f ( x, x) 0
相轨迹


系统变量
x x
x
系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。
x 0
相平面
例：一阶线性系统
x ax 0, 画出其相平面图。 解：


x0 b
x
x b
0
a<0
a>0

x
b x
0
2.相轨迹作图
解析法作图（适用方程不显含

x
）
x f ( x) 0
(0,-10)
4. 相轨迹的奇点
定义：二阶系统

x f ( x, x) 0
x0 f ( x, x ) 0

在相平面上满足
的点
在奇点上相轨迹的斜率不定，为

dx f ( x, x ) 0 dx 0 x
由奇点可以引出不止一条相轨迹
5. 奇点邻域的运动性质
3.相轨迹的运动特性 相轨迹的运动方向
上半平面的相轨迹 右行； 下半平面的相轨迹 左行； 过实轴相轨迹斜率 为。


右行
x
增幅、增速 增幅、恒速 增幅、减速
减幅、增速 增幅、恒速 减幅、减速
0
垂直穿越 左行
x

f ( x, x)


x
相轨迹的对称性
• x 轴对称
若
f ( x, x) f ( x, x)
典型非线性环节
M
M
饱和
死区(不灵敏区)
间隙
继电特性
M
M
2.典型的非线性特性
继电特性
M , f (e) M , e0 e0
饱和特性
e e0 M , f (e) ke , e0 e e0 M , e e0
f(e) +M k -e0 0 +e0 -M e
第七章 非线性系统分析
目的
掌握非线性控制系统的初步分析方法
内容
作相平面图 相平面分析法
§7.1非线性控制系统概述
1.本质非线性特性的基本特征
不满足叠加定理
不能采用线性化方法处理问题
稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输 入， 初条件有关，平衡点可能不唯一 自持振荡问题— 非线性系统特有的运动形式


x
x 0
则相轨迹对称于x 轴 • x 轴对称
若 f ( x, x) f ( x, x)



x
x 0
则相轨迹对称于 x 轴

• 原点对称 若
f ( x, x) f ( x, x)


x
x 0
则相轨迹对称于原点
相平面
x/ 0
x 0


(0,10)
x
x
0
相平面
4M 2 N(X) 1 ( ) X X
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1 N(X)
X
2 4 M 1 ( ) X
3. 绘制线性部分的极坐标图 4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
1 N(X )
X X 130 120 G(j) -1.56 B A 140 -0.646 300 -1 400 -0.5
e
+M -M
f(e)
C(s) G0 (s)
前提：固有特性 G0(s) 一般具有低通特性， 近似认为信号的高频分量不能传递到输出端。
非线性环节
y f ( x)
x(t ) X sint
输入
输出信号为周期非正弦信号，展开付氏级数
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
e0 e0

x f ( x, x)


e 0 时，运动方程为
等倾线方程为

T e e KM

e 0 时，运动方程为
T e e KM

KM / T e 1/ T
=0
e
KM
e
=0wenku.baidu.com
I 区:e>0
等倾线方程为
KM / T e 1/ T
趋于奇点
远离奇点 包围奇点
dx/dt
例：二阶线性定常系统

x
2
x 2 n x n x 0

试分析其奇点运动性质。
稳定节点

x 2 n x n x 0
2

dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点

x 2 n x n x 0
2
曲线时，
Im
Re 0
当 Go ( j ) 曲线包围 该非线性系统不稳定。
1 N(X )

1 N(X )
曲线时，
Im
Re X 0 G(j )
当 Go ( j ) 曲线与
者是自持振荡的

1 N(X )
曲线相
交时，系统可能是稳定的、发散的，或
自持振荡点 a 振荡幅值=X a 振荡频率= a
n 1
若 y (t ) 为奇函数，则
An
A0 0

1
2
0
y(t ) cos nt d (t ) Bn

1
2
0
y(t ) sin nt d (t )
Y1 A12 B12
A1 1 arctan B1
基波分量
定义：输出信号的基波分量与输入正弦信号 之比，为非线性环节的描述函数。
+e0 e 0 + e -M
饱和间隙
继电间隙
齿轮间隙
当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入 量得变化超出间隙值
典型非线性环节
M
M
饱和
死区(不灵敏区)
间隙
继电特性
非线性特性的定性分析
饱和 死区 继电特性
非线性特性
等效K*
对系统的 影响
举 例
振荡性↓，s↓ 限制跟踪速度
晶体管特性
滤除小幅值干扰

-KM
II 区:e<0
2.给定初值 (0, e0 ) 作相轨迹

e
3.系统性能分析
运动是分区的组合， e 0 为翻转条件， 运动连续，有 振荡
=0
KM
Mp
B A
e0
e
=0
-KM
II 区:e<0 I 区:e>0
补充： 描述函数法
1. 描述函数的定义
本质非线性 固有特性
R(s) + -
(0.5 3x 2 ) x x x 2 0 x
解：由 奇点为
x0 f ( x, x ) 0
x 0 x 0
x0 x 1
在奇点邻域，其线性化方程为
在奇点
f ( x, x) x
x 0 x 0
R(s) + Gc(s) -
e
+M k -M
f(e) Go (s)
C(s)
死区（不灵敏区）
死区特性
f(e) - e k e +M -e 0 +e -M f(e) e +M -e -e0 f(e) +e0 k e
0 + e
0 + e -M
线性+死区
0, f (e) ke, e e e
+M -M y x +M -M y(t) t
描述函数
x(t)
Y1 4M N ( X ) 1 X X
t
饱和特性
y
M, y ( x ) kx M ,
xa a x a x a
-M
-a
+M k x a
y(t) +M -M a1
t
a1
x(t)
描述函数
例7-1：二阶线性定常系统

x x x 0

试用等倾线法作该系统的相平面图。 解：
等倾线方程为
1 x x 1

1 x x 1

α
-1
-2
1
-3
1/2
0
-1
1
2
等倾线斜率 ∞
-1/2 -1/3

-1
x
-5/4
-3/2
-5/3 -2
=
-3/7 -3 -5 x - 3 1 1/3 0 -3/4 -1/2 -1/3