g习题课(定积分的应用)

(3) 求弧长
y = f (x)
y
(t)
x (t ) y (t )
( )

0
a
b
x
0 ( )
( )
(t )


.
l
b
a
1 f ( x )dx l α φ (t ) ψ (t )dt
2
2 2
β
l


2 ( ) 2 ( )d
3
1
例 2 求三条圆曲线 x 2 y 2 4， ( x 2) 2 y 2 4, ( x 1) 2
( y 3 ) 2 4 所 围 成的 圆 内 公 共 部 分 图 形 面 的积 。
y
解： 方法 I.
先画图. S S 3 S弓 主要是求S弓 .
3
用极坐标：
设水的比重为 9.8千牛/米 3 .
2米

x [0, 1].
0
x
x+dx
将这薄层水抽到来自百度文库面
y
上所消耗的功近似地为：
dW 9.8π y 2 dx ( x 1)
= 9.8 (1 x 2 )( x 1)dx
1
x
= 9.8 (1 x x 2 x 3 )dx
2 3
π 2 π 3
2π (1 cos2 )d 3. 3
还有别的方法吗？
例 2 求三条圆曲线 x 2 y 2 4， ( x 2) 2 y 2 4, ( x 1) 2
( y 3 ) 2 4 所 围 成的 圆 内 公 共 部 分 图 形 面 的积 。
y
解： 方法 II.
例 3 求由星形线 x a cos3 , y a sin3 所 围 成的 平 面
图形的面积。
y a
解： 由对称性
3 3 x a cos ， y a sin 作变 量代换 :
S 4 ydx
0
a
–a
0
a
x
S 4 π a sin 3 td(acos 3 t )
1o 已知平行截面面积为A(x)的立体体积
V A( x )dx
a
b
A(x)
a
x
b
x
2o 绕 x 轴旋转的旋转体体积
曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴
a
f(x)
.
V π f ( x )dx
2 a
b
.x
b
x
3o 绕 y 轴旋转的旋转体体积
y
d
V π g ( y )dy
= ( )
= , =
d
图形
a
S
c
b
S


S

面积公式
S | f ( x ) | dx
a
b
.
S | ( y ) | dy
.
c
d
1 2 S ( )d . 2
例 1. 求 曲 线 y x 2 1， 直 线x y 3和 x轴 、y轴 所 围
y
解法 II： 选择图示坐标系.
y [1, 0],
2米

将这薄层水抽到地面上所消耗的功
0
y+dy
x
近似地为：
y
dW 9.8π x 2 dy (1 y)
= 9.8 (1 y 2 )(1 y )dy
–1
= 9.8 (1 y y 2 y 3 )dy
W = 9.8
2
0
–a
12a 2 sin 4 tcos 2 tdt
.
1 3 π 1 3 5 π 3π a 2 . 12a 2 4 2 2 4 6 2 8
2
12a 2 (sin 4 t sin 6 t )dt
π 2 0 π 2 0
(2) 求体积
W = 9.8

1
0
(1 x x x )dx 9.8
.
.
11π 28.2(千焦). 12
2米 深 处 埋 有 一 半 径 为 1 米 的 半 球 形 容 器 ， 容内 器 例8 离 地 面 装 满 水 。 求 将 容 器 中水 的全 部 抽 到 地 面 上 所耗 消的 功 。
第六部分 定积分的应用

第六部分
一. 基本要求：
定积分的应用
1.深刻理解定积分的基本思想，熟练运用公式计算平面图形的面积、 平行截面面积已知的立体体积、旋转体体积和侧面积、曲线弧长等。 2.初步掌握运用“元素法”解决物理、力学及应用中的某些问题。
二. 重点、难点与例子（共11例）.
1. 几何应用方面： (1) 求面积 (2) 求体积 (3) 求弧长 (4) 求侧面积

0
1
(1 y y 2 y 3 )dy 28.2(千焦).
.
例8 离 地 面 2米 深 处 埋 有 一 半 径 为 1 米 的 半 球 形 容 器 ， 容内 器 装 满 水 。 求 将 容 器 中水 的全 部 抽 到 地 面 上 所耗 消的 功 。
y
解法 III：选择图示坐标系.
b
x

b
a
F ( x )dx
a
一般情况下，力函数F(x)需要自己寻找。 如下例：
2米 深 处 埋 有 一 半 径 为 1 米 的 半 球 形 容 器 ， 容内 器 例8. 离 地 面 装 满 水 。 求 将 容 器 中水 的全 部 抽 到 地 面 上 所耗 消的 功 。
解法 I： 选择图示坐标系.
曲线绕 y 轴旋转有类似的结果。
. .
例 7 求 曲线x 2 ( y b) 2 a 2 (a b)绕x轴 旋转 而 成的 圆 环 面 的面 积A .
解：
y
曲线用极坐标：
b
x a cos t y b a sint
x
0 t 2π
b–a
0
由已知公式：
侧面积 A 2 π (t ) 2 (t ) 2 (t ) dt
2. 元素法
(1) 怎样的量 U 可以用定积分计算？ 1o 量 U 与给定区间[a, b]有关；
2o 量 U 对区间[a, b]具有可加性.
(2) 计算步骤： 1o 根据实际问题，选取坐标系、积分变量和积分区间[a, b] ； 2o x [a, b],求小区间[x, x+dx]上的部分量 dU ; 称 dU= f (x)dx为元素 . 3o
.
y [0, 1],
2米

将这薄层水抽到地面上所消耗的功
1
y+dy
近似地为：
y
dW 9.8π x 2 dy (2 y)
x
0
=9.8 [1 ( y 1) 2 ](2 y )dy
=9.8 (4 y 4 y 2 y 3 )dy
W = 9.8
围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转的 体体积。
y
解： 方法 1：绕 y 轴.
由柱壳法的公式：
xy a
S2
1
1 2
V 2π xf ( x )dx. .
a
b
S1
a 2a
0
x
2π
2a
a
a 2 2 π a . x dx x
显然柱壳法简便。
.
分块儿求, 怎么分？ 方 法2：
1 a 2 2 1 2 1 2 1 π ( ) d y π a 2π a 2 . V V1 V2 π ( 2a ) π a 1 2 2 2 2 y
x 1 sin dx n
π

π
0
n 1 sint dt n0
| cost | 1 sint
dt
n
π 2 0
cost 1 sint
π 2 0
dt nπ
π
cost 1 sint
π
dt
2
n
d(1 sint ) 1 sint
dt n π
d(1 sint ) 1 sint


2 π (b a sint ) a 2 sin2 t a 2 cos2 t dt
0
2π
4 π 2 ab .
.
2. 物理应用方面
.
(1) 求平行力 F ( x ) 作功：
平行力：指大小变而方向不变的力。 一般变力（大小、方向都变）的作功问题用第二型 曲线积分解决。
F(x)
0
W
得A(1,1), B(–1,1)
OA

记圆的周长为 l圆 , 1 1 AB l圆 2π 2 4 4

2π 2
1
0
1 x ( y )dy 0
2
1
9 4 1 9 9 1 ydy 1 y d(1 y ) 4 9 0 4 4
13 13 8 . 27
26 13 16 l 2OA AB 27

2π . .. 2 .
例 6 求曲线 y 解：

x n 0
n sin d 的全长.(0 x nπ , n为正整数）
dy dx
l
b a
x si n n
1 f ( x )dx 0
2
nπ
令
x t n
计算定积分U

b
a
f ( x )dx .
(3) 计算中的关键和难点： 找到 f (x) . f (x)的表示式与选择的坐标系有关。
二. 重点、难点与例子.
1. 几何应用方面
(1) 求面积
直 角 坐 标 系 边界 函数 y=f(x)
x = a, x = b, y = 0
极坐标系
x = (y)
y = c, y = d, x = 0
π 3
( x 2) 2 y 2 4 即 r 4 cos .
1 2 x
0
1 2 S弓 π ( 4 cos ) 2 d 2 3
π
r = 4 cos
.
4
S S 3 S弓
.
1 2π 2 3 3( 3 ) 2(π 3 ). 2 3
dt 4n .
2
.
(4) 求旋转体侧面积 A .
曲线 y= f (x) 绕 x 轴旋转,
b
a xb
侧面积 A 2 π f ( x ) 1 [ f ( x )]2 dx
a
x (t ) 曲线 绕 x 轴旋转 , y (t )

t
侧面积 A 2 π (t ) 2 (t ) 2 (t ) dt
成的 区 域 的 面 积 。
y
3 2 1 0
解： 先画图.
需分块儿！
联立，解交点：
y x2 1 x y 3
S1
1

1 2
x 1 y 2
S2
3 x
1 S S1 S 2 ( x 1)dx 2 2 0 2
.
10 x . x 2 3 3 0
(a < b )
( < )
( < )
.
例 5 求由曲线y 3 x 2及 y 2 x 2 所围成的图形的周长 l.
y C B
y x
3 2
解： 先作图 . 图形关于 y 轴对称.
A
l 2OA AB
–1
0
1
x
3 2 y x 解交点： 2 y 2 x
(2) 由于定积分是一维的积分，所以只能解决截面面积已知的立体 求体积问题。
旋转体是其中一种，所以各种旋转体的体积问题基本可以解决。
一般立体的求体积问题以后用二重积分或三重积分可以解决。 (3) 利用弧微分（在局部，用切线长 ds 近似曲线长 s），可以解 决任意平面曲线（曲线函数已知）求弧长的问题。 一般空间曲线的求弧长问题以后用第一型曲线积分可以解决。 (4) 通过弧微分，求旋转体的侧面积问题也可以用定积分解决。 求一般曲面的面积问题以后用第一型曲面积分可以解决。
2 c
d
.
c
0
x=g(y)
x
4o 用柱壳法求绕 y 轴旋转的旋转体体积 曲边梯形 y= f (x), x = a, x = b,
y
..
f (x)
y = 0 绕 y 轴.
V 2π xf ( x )dx
a
b
如下例：
0
a
b
x
例4：用柱壳法求旋转体体积. 求 曲 线xy a(a 0)与 直 线x a , x 2a 及 y 0所
2. 物理应用方面： (1) 求平行力作功
3. 定积分其他应用: (1)求函数平均值 三. 课堂练习(共7题) 四. 综合题(共3题)
(2) 求压力
(2) 实际问题 综合题解答
一. 基本要求
1. 定积分的几何应用 (1) 因为平面图形都是由曲边梯形或曲边扇形组成，所以定积分能
解决任意（边界是已知函数的）平面图形求面积的问题。
S S 3 S弓
3
主要是求S弓 .
用初等方法求图示部分：
π 3
0
1
2
x
S弓 S扇 S
1 2 π 1 2 2 3 2 3 2 2π 3. 3
.
S S 3 S弓
1 2π 2 3 3( 3 ) 2(π 3 ). 2 3