19-20 第10章 10.2 事件的相互独立性

第十章 概 率
10.2 事件的相互独立性
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学习目标
核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个 1.通过学习两个随机事件独立性
随机事件独立性的含义．(重点、 的含义，培养学生数学抽象素
易混点)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ养．
2．结合古典概型，利用独立性计 2．通过利用随机事件的独立性计
算概率．(重点、难点)
算概率，培养学生数学运算素养.
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[解]
(1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A，则P(A)＝
1 3
×
1 4
×1－13＝118. (2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事
件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲
队至少得3分”为B ∪C，
则P(B ∪C)＝P(B)＋P(C)＝31×1－41＋14×1－13＋31×14＝152＋112
从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是
．
1 2
[由题意知P＝8＋8 4×6＋6 6＋8＋4 4×6＋6 6＝12.]
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合作探究 提素养
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相互独立事件的判断 【例1】 判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立 事件． (1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件 N：“出现的点数为偶数”． (2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现 3点或6点”．
＝21.
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用相互独立事件的乘法公式解题的步骤： (1)用恰当的字母表示题中有关事件； (2)根据题设条件，分析事件间的关系； (3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件 的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)； (4)利用乘法公式计算概率．
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2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲 对A，乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分 别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名队员 获胜的概率．
＝0.6×0.5×(1－0.5)＋0.6×(1－0.5)×0.5＋(1－0.6)×0.5×0.5 ＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是( )
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．对立事件
D．不相互独立事件
D [由于事件A1是否发生对事件A2发生的概率有影响，所以A1 与A2是不相互独立事件．]
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相互独立事件概率的计算 【例2】 在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环 赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0 分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率 为14，乙胜丙的概率为13. (1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率； (2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
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自主预习 探新知
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1．相互独立事件的定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B) 成立，则称事 件A与事件B相互独立，简称为独立．
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2．相互独立事件的性质
当事件 A，B 相互独立时，则事件_A_与事件_－B__相互独立，事件 _－A__与事件_B_相互独立，事件_－A__与事件_－B__相互独立．
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1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示 “第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为 C，那么事件A与B，A与C的关系是( )
A．A与B，A与C均相互独立 B．A 与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
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A [由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二 次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与 B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A.]
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思考：(1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形 吗？
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？
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[提示] (1)对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事 件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1， A2，…，An相互独立．
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1， A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件 发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
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2．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他
连续做对第1题和第2题的概率是( )
A．0.64
B．0.56
C．0.81
D．0.99
C [Ai表示“第i题做对”，i＝1,2，则P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝ 0.9×0.9＝0.81.]
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3．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，
以同时发生，因此，A，B不是互斥事件．
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判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)． (2)利用性质：A与B相互独立，则A与 B ， A 与B， A 与 B 也都相 互独立．
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1．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表
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[解] 记甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件D，E，F，则甲不胜 A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件－D ，－E ，－F .根据各盘比赛结果相 互独立，可得红队至少两名队员获胜的概率为
P＝P(D∩E∩－F )＋P(D∩－E ∩F)＋P(－D ∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＝ P(D)P(E)P(－F )＋P(D)P(－E )P(F)＋P(－D )P(E)P(F)＋P(D)P(E)P(F)
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[解] (1)∵二者不可能同时发生，∴M与N是互斥事件．
(2)样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件A＝{2,4,6}，事件B＝
{3,6}，事件AB＝{6}，
∴P(A)＝
3 6
＝
1 2
，P(B)＝
2 6
＝
1 3
，P(AB)＝
1 6
＝
1 2
×
1 3
，即P(AB)＝
P(A)P(B)．故事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B可