人教版高数必修五第6讲：等比数列的概念、性质(教师版)

等比数列的概念、性质

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教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系

1. 等比数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q ()0q ≠表示。 2. 等比数列的通项公式

11n n a a q -=

3. 等比中项

如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中2

G xy = 4. 等比数列的性质

（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为

q

（2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则m n p q a a a a =

（3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是以1

q 为公比的等比数列

（4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列 （5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列

5. 等比数列与指数函数的关系

等比数列{}n a 的通项公式1

11n n

n a a a q

q q

-==

当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q

=

则n

n a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数x

y cq =的图像上的一群孤立的点。

根据指数函数的性质，我们可以得到等比数列的增减性的下列结论： （1） 等比数列{}n a 递增⇔

{

101

a q >> 或

{

1001

a q <<< （2） 等比数列{}n a 递减⇔

{

1001

a q ><< 或

{

101

a q <>

（3） 等比数列{}n a 为常数列⇔1q = （4） 等比数列{}n a 为摆动数列⇔0q <

类型一： 等比数列的判定及通项公式的求解

例1.（2014重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（） A.数列{}1n a +不可能是等比数列

B.数列{}n ka （k 为常数） 一定是等比数列

C.若0n a >，则{}ln n a 一定是等差数列

D.数列{}

2n a 是等比数列，其公比与数列{}n a 的公比相等

解析：A 项，若数列{}n a 为非-1的常数列，则{}1n a +是非零的常数列，显然是公比为1的等比数列，故该选项不正确；B 项，若0k =，则0n ka =，此时数列{}n ka 不是等比数列，所以该选项不正确；D 项，因为

2

2

112

n n n n a a a a ++⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，所以若数列{}n a 为等比数列，则数列{}2n a 是等比数列，其公比为数列{}n a 的公比的平方，所以该选项不正确，所以选C 答案：C

练习1.对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（） A.139,,a a a 成等比数列

B.236,,a a a 成等比数列

C.248,,a a a 成等比数列

D.369,,a a a 成等比数列 答案：D

练习2.已知数列{}n a 中，()111,212n n a a a n -==+≥ （1） 证明：数列{}1n a + 是等比数列 （2） 求n a

答案：（1）数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列

（2）21n

n a =-

例2.已知等比数列{}n a 中，0,n a >且1322,4a a a ==+，求 n a 解析：设等比数列{}n a 的公比为q

0,0n a q >∴>由1322,4,a a a ==+得2224,q q =+即

220,q q --= 解得2q = 或1q =-（舍去），因此2q =所以{}n a 的通项公式为

()1222n n n a n N -+=⋅=∈

答案：()1

22

2n n n a n N -+=⋅=∈

练习3.已知等比数列{}n a 中，3103,384a a ==，求7a 答案：748a =

练习4.若等比数列{}n a 满足116,n

n n a a += 则公比为 （）

A.2

B.4

C.8

D.16 答案：B

类型二： 等比数列的性质

例3.（2015广东梅州摸底）在等比数列{}n a 中，0,n a >且21431,9,a a a a =-=-则45a a += （） A.27 B.16 C.81 D.36

解析：设公比为q 由已知得0q > 因为12341,9,a a a a +=+=所以2

34

12

9,a a q a a +=

=+ 解得3q =或

3-（舍）

，故 ()3

451227a a a a q +=+⋅=