(含详答)2018年上海春考数学试卷

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2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试

数学试卷

一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)

1.不等式||1x >的解集为__________. 2.计算:31

lim

2

n n n →∞-=+__________.

3.设集合{|02}A x x =<<,{|11}B x x =-<<,则A B =__________.

4.若复数1z i =+(i 是虚数单位),则2

z z

+

=__________. 5.已知{}n a 是等差数列,若2810a a +=,则357a a a ++=__________.

6.已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4,则动点P 的轨迹为

__________.

7.如图,在长方形1111B ABC A C D D -中,3AB =,4BC =,15AA =, O 是11AC 的 中点,则三棱锥11A AOB -的体积为__________.

第7题图 第12题图

8.某校组队参加辩论赛,从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩.若其中学生

甲必须参赛且不担任四辩,则不同的安排方法种数为__________.

9.设a R ∈,若9

22x x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭与9

2a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等,则a =__________.

10.设m R ∈,若z 是关于x 的方程22

10x mx m -+=+的一个虚根,则||z 的取值范围

是__________.

11.设0a >,函数()2(1)sin()f x x x ax =+-,(0,1)x ∈,若函数21y x =-与()

y f x =

的图象有且仅有两个不同的公共点,则a 的取值范围是__________.

12.如图,正方形ABCD 的边长为20米,圆O 的半径为1米,圆心是正方形的中心,点 P 、Q 分别在线段AD 、CB 上,若线段PQ 与圆O 有公共点,则称点Q 在点P 的“盲

区”中.已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动,同时,点Q 以1米/秒的速

度 从C 出发向B 移动,则在点P 从A 移动到D 的过程中,点Q 在点P 的盲区中的时长约 为__________秒(精确到0.1)

二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)

13.下列函数中,为偶函数的是( ) (A )2y x -= (B )13

y x =

(C )12

y x

-

=

(D )3

y x =

14.如图,在直三棱柱111AB A B C C -的棱所在的直线中,与直线1BC 异面的直线条数为( ) (A )1 (B )2

(C )3

(D )4

15.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的( ) (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件

(C )充要条件

(D )既非充分也非必要条件

16.已知A 、B 为平面上的两个定点,且||2AB =.该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q , 满足||5AP ≤,6AB AP ⋅=,2AQ AP =-,则动线段PQ 所形成图形的面积为( ) (A )36

(B )60

(C )81

(D )108

三、解答题(本大题共有5题,满分76分,第17~19题每题14分,20题16分,21题18分)

17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

已知cos y x =.

(1)若3

(1)f α=

,且[0,]απ∈,求()3f π

α-的值;

(2)求函数(2)2()y f x f x =-的最小值.

18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 已知a R ∈,双曲线22

2:1x y a

Γ-=.

(1)若点(2,1)在Γ上,求Γ的焦点坐标;

(2)若1a =,直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点,且线段AB 中点的横坐标为1,

求实数k 的值.

19.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)

利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面,所得截线是抛物线”的几何原理,某快餐店用两

个射灯(射出的光锥视为圆锥)在广告牌上投影出其标识,如图1所示,图2是投影出的抛物线的平面图,图3是一个射灯的直观图,在图2与图3中,点O 、A 、B 在抛物线上,OC 是抛物线的对称轴,OC AB ⊥于C ,3AB =米, 4.5OC =米. (1)求抛物线的焦点到准线的距离;

(2)在图3中,已知OC 平行于圆锥的母线SD ,AB 、DE 是圆锥底面的直径,求

圆锥的母线与轴的夹角的大小(精确到0.01°).

图1 图2 图3 20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)

设0a >,函数1

()12

x

f x a =

+⋅.

(1)若1a =,求()f x 的反函数1

()f

x -;

(2)求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值(用a 表示);

(3)设()()(1)g x f x f x =--.若对任意(,0]x ∈-∞,)(()0g x g ≥恒成立,求a 的

取值范围.

21.(本题满分18分,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分)

若{}n c 是递增数列,数列{}n a 满足:对任意*n N ∈,存在*m N ∈,使得

1

0m n

m n a c a c +-≤-,

则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”. (1)设2n c n =,1n a n =+,证明:数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”;

(2)设4n c n =-,n S 是{}n c 的前n 项和,31n n d c -=,判断数列{}n S 是否是数列{}

n d 的分隔数列,并说明理由;

(3)设1

n n c aq

-=,n T 是{}n c 的前n 项和,若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列,求实数a 、

q 的取值范围.

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