轴对称性质的应用

轴对称性质的应用

我思故我在

——轴对称与最短距离

房延华

题目 如图1，牧童在A 处放牛，其家在B 处，牧童从A 处把牛牵到

河边饮水后再回家，试问：在何处饮水，所走路程最短？

分析：要求最短距离，可联系“两点之间，线段最短”这一性质解题，

借助轴对称的性质，将不在同一直线上的线段和转化为两点之间的距离，

需作出其中一点关于小河l 的对称点．

解：作法：①作点A 关于l 的对称点A ′．

②连接A ′B 交l 于点M ，则点M 即为所求的点．理由如下：

在l 上任取一点M ′，连接AM ′，A ′M ′，BM ′.

因为直线l 是A ，A ′的对称轴，M ，M ′在l 上，所以AM ′＝A ′M ′，AM ＝A ′M ,所以AM ＋BM ＝A ′M ＋BM ＝A ′B ．

在△A ′M ′B 中，因为BM ′＋A ′M ′＞A ′B ，所以BM ′＋A ′M ′＞AM ＋BM ，即AM ＋BM 最小．

解题反思：这类作图题一般给出两个定点与一条直线，然后在直线上求作一点，使该点到两个定点距离之和最小.这类题的作法可归纳为作其中任一定点关于直线的对称点，然后与另一定点连接，交直线于一点，该点即为所求．

变式拓展：如图2，已知牧马营地在点M 处，每天牧马人

要赶着马群到河边饮水饮完水后，需再到草地吃草，然后回

到营地，试设计出最短的牧马路线图．

分析：作如图3所示的示意图，直线a （小河边）、b （草地

边）间有一点M ，问题转化为分别在a ，b 上求出两点，使M

点与这两点构成的三角形的周长最短．要求周长最短，即要

求三条线段的和最小，结合题意可利用轴对称的性质转化为

两点之间线段最短的问题．

解：如图3，分别作点M 关于a （小河边）、b （草地边）的对称点A ，B ，连接AB ，分别交a ，b 于点C ，D ，则最短的牧马路线为M →C →D →M ．

解题反思：这类作图题的特点是条件中给出两条直线与一个定点，然后在两条直线上各找一点与定点构成三角形使周长最短.这类题的作法可归纳为分别作定点关于两直线的对称点．

图2 图1