泰勒公式例题
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例3.1求极限 .
分析：此为 型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将 和 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
解由 , 得
,
于是
.
例3.2极限 .
分析：此为 型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将 和sinx, 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
解：由
,
于是
例3.3利用泰勒展开式再求极限 。
无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；
解因为
,
所以
,
所以
故该级数是正向级数.
又因为
,
所以
.
因为 收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.
3.4 利用泰勒公式证明根的唯一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在性
例3.4设f(x)在 上二阶可导,且 ,对 ,证明： 在 内存在唯一实根.
分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论 的根有困难,由题设f(x)在 上二阶可导且 ,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.
解先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：
,
其中 （ 在0与x之间）.
令 ,要使
则取 即可.
因此
当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.
例3.8求 的近似值,精确到 .
解因为 中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求 的近似值.
(i)若 ,则 在 取得极大值.
(ii) 若 ,则 在 取得极小值.
证明由条件，可得f在 处的二阶泰勒公式
.
由于 ,因此
.(*)
又因 ,故存在正数 ,当 时, 与 同号.所以,当 时,(*)式取负值,从而对任意 有
,
即 在 取得极大值.同样对 ,可得 在 取得极小值.
3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式
在u=0的泰勒公式为
,
从而
,
而g(u)中的泰勒展开式中含 的项应为 ,从g(u)的展开式知 的项为 ,因此
,
.
3.9 利用泰勒公式求行列式的值
若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.
例 3.10求n阶行列式
D= （1）
解： ，
【注解】
现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处
因为 ，从而
当 时， ，应为
3.2 利用泰勒公式证明不等式
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.
例3.2当 时,证明 .
证明取 , ,则
带入泰勒公式,其中 =3,得
，其中 .
解记 ,按泰勒公式在z处展开：
, （2）
易知
（3）
由（3）得, .
根据行列式求导的规则,有
于是 在 处的各阶导数为
,
,
…………
把以上各导数代入（2）式中,有
若 ,有 ,
若 ,有 .
4总结
本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.
当 =0时,（2）式变成
称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.
常见函数的展开式：
.
.
.
.
.
定理2.1 (介值定理)设函数 在闭区间 上连续,且 ,若 为介于 与 之间的任何实数,则至少存在一点 ,使得
.
3泰勒公式的应用
3.1 利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.
故
当 时, .
3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性
当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.
3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性
例3
由于 收敛，所以
例3.3讨论级数 的敛散性.
分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到 ,若将其泰勒展开为 的幂的形式,开二次方后恰与 相呼应,会使判敛容易进行.
利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.
例3.6求 的幂级数展开式.
解利用泰勒公式
3.7 利用泰勒公式进行近似计算
利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为
,
其误差是余项 .
例3.7计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001
２预备知识
定义2.1 若函数 在 存在 阶导数,则有
（1）
这里 为佩亚诺型余项,称(1)f在点 的泰勒公式.
当 =0时,（1）式变成 ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.
定义2.2 若函数 在 某邻域内为存在直至 阶的连续导数,则 ,
（2）这里 为拉格朗日余项 ,其中 在 与 之间,称（2）为 在 的泰勒公式.
泰勒公式及其应用
等价无穷小在求函数极限中的应用及推广
泰勒公式及其应用
１引言
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.
证明因为 ,所以 单调减少,又 ,因此x>a时, ,故f(x)在 上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公式有
由题设 ,于是有 ,从而必存在 ,使得 ,又因为 ,在 上应用连续函数的介值定理,存在 ,使 ,由f(x)的严格单调性知 唯一,因此方程 在 内存在唯一实根.
3.5 利用泰勒公式判断函数的极值
例3.5 (极值的第二充分条件)设 在 的某邻域 内一阶可导,在 处二阶可导,且 , .
在 的展开式中以 代替 x得
逐项积分,得
上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项 的估计式知
3.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值
如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项 的系数正是 ,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.
例3.9求函数 在x=1处的高阶导数 .
解设x=u+1,则
, ,
分析：此为 型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将 和 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
解由 , 得
,
于是
.
例3.2极限 .
分析：此为 型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将 和sinx, 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
解：由
,
于是
例3.3利用泰勒展开式再求极限 。
无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；
解因为
,
所以
,
所以
故该级数是正向级数.
又因为
,
所以
.
因为 收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.
3.4 利用泰勒公式证明根的唯一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在性
例3.4设f(x)在 上二阶可导,且 ,对 ,证明： 在 内存在唯一实根.
分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论 的根有困难,由题设f(x)在 上二阶可导且 ,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.
解先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：
,
其中 （ 在0与x之间）.
令 ,要使
则取 即可.
因此
当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.
例3.8求 的近似值,精确到 .
解因为 中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求 的近似值.
(i)若 ,则 在 取得极大值.
(ii) 若 ,则 在 取得极小值.
证明由条件，可得f在 处的二阶泰勒公式
.
由于 ,因此
.(*)
又因 ,故存在正数 ,当 时, 与 同号.所以,当 时,(*)式取负值,从而对任意 有
,
即 在 取得极大值.同样对 ,可得 在 取得极小值.
3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式
在u=0的泰勒公式为
,
从而
,
而g(u)中的泰勒展开式中含 的项应为 ,从g(u)的展开式知 的项为 ,因此
,
.
3.9 利用泰勒公式求行列式的值
若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.
例 3.10求n阶行列式
D= （1）
解： ，
【注解】
现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处
因为 ，从而
当 时， ，应为
3.2 利用泰勒公式证明不等式
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.
例3.2当 时,证明 .
证明取 , ,则
带入泰勒公式,其中 =3,得
，其中 .
解记 ,按泰勒公式在z处展开：
, （2）
易知
（3）
由（3）得, .
根据行列式求导的规则,有
于是 在 处的各阶导数为
,
,
…………
把以上各导数代入（2）式中,有
若 ,有 ,
若 ,有 .
4总结
本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.
当 =0时,（2）式变成
称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.
常见函数的展开式：
.
.
.
.
.
定理2.1 (介值定理)设函数 在闭区间 上连续,且 ,若 为介于 与 之间的任何实数,则至少存在一点 ,使得
.
3泰勒公式的应用
3.1 利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.
故
当 时, .
3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性
当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.
3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性
例3
由于 收敛，所以
例3.3讨论级数 的敛散性.
分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到 ,若将其泰勒展开为 的幂的形式,开二次方后恰与 相呼应,会使判敛容易进行.
利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.
例3.6求 的幂级数展开式.
解利用泰勒公式
3.7 利用泰勒公式进行近似计算
利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为
,
其误差是余项 .
例3.7计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001
２预备知识
定义2.1 若函数 在 存在 阶导数,则有
（1）
这里 为佩亚诺型余项,称(1)f在点 的泰勒公式.
当 =0时,（1）式变成 ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.
定义2.2 若函数 在 某邻域内为存在直至 阶的连续导数,则 ,
（2）这里 为拉格朗日余项 ,其中 在 与 之间,称（2）为 在 的泰勒公式.
泰勒公式及其应用
等价无穷小在求函数极限中的应用及推广
泰勒公式及其应用
１引言
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.
证明因为 ,所以 单调减少,又 ,因此x>a时, ,故f(x)在 上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公式有
由题设 ,于是有 ,从而必存在 ,使得 ,又因为 ,在 上应用连续函数的介值定理,存在 ,使 ,由f(x)的严格单调性知 唯一,因此方程 在 内存在唯一实根.
3.5 利用泰勒公式判断函数的极值
例3.5 (极值的第二充分条件)设 在 的某邻域 内一阶可导,在 处二阶可导,且 , .
在 的展开式中以 代替 x得
逐项积分,得
上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项 的估计式知
3.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值
如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项 的系数正是 ,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.
例3.9求函数 在x=1处的高阶导数 .
解设x=u+1,则
, ,