空间向量与空间角

解 ：建 立 空 直 角 坐 系 A - xyz如 所 示 ,
S
A (0,0,0), C (- 1,1,0), D (0,1 , 0), S (0, 0,1)
B
C
易知面SBA的法向量n1
2 AD
(0,
1
, 0)
CD (1, 1 , 0), SD (0, 1 , 1) 2
xA D y
2
2
设平面SCD的法向量 n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD, 得：
立体几何中的向 量方法
第3课时—空间向量与空间角
1.若a (a1, a2 , a3 )，b (b1, b2 , b3 ), 则：
数量积： a b | a | | b | cos a , b
a1b1 a2b2 a3b3
夹角公式：cos a b a b
a1b1 a2b2 a3b3
解 以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所 在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则 A(1，0，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)， 设 E(1，t，0)(0≤t≤2)，则D→1A＝(1，0，－1)，C→E＝(1，t －2，0)， 根 据 数 量 积 的 定 义 及 已 知 得 ： 1 ＋ 0×(t － 2) ＋ 0 ＝ 2
| a | | b | a12 a22 a32 b12 b22 b32
2.若 A( x1, y1, z1 ), B ( x2 , y2 , z2 )， 则 ：
AB ( x2 x1, y2 y1, z2 z1 )
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
思考：
A D1 B
义.Βιβλιοθήκη Baidu（回到图形）
求 BD1与 AF1所 成 的 角 的 余 弦 值 . F1C1
B1
A1
D1 C
B
A
题型一：线线角
解 所：示A以，(1点 设, 0C, 0为),坐B则C(标0C：,原11, 0点)1,建立空间直角坐F标1C系1 zC
x如yz图
B1
1
11
F1( 2 , 0, a), D1( 2 , 2 ,1)
A1
D1 C
A1 B1
D1 C1
A B
D C
题型三：二面角
二面角的范围： [0, ]
n2
A
O
B n1
n2 n1
cos | cos n1, n2 |
cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
题型三：二面角
方向1 直接求二面角的余弦值
例3 如图所示，ABCD是一直角梯形，ABC=900 ,
cos |cos CD, AB |
2.直线与平面所成角：
sin |cos n, AB |
3.二面角：
cos | cos n1, n2 | cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
C
D
A D1
B
A
n
B O
n2 n1
当解决立体几何问题时，若几何法难进行,可以尝试运用 空间向量(或坐标)来处理(三步曲):
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N 在线段A1D上，
A1D AN . (1)求 证 ： A1D AM .
z
（2）求AD与平面ANM 所成的 角的正弦值.
A1 B1 M
N C1
D1
A
Dy
xB
C
题型二：线面角
【练习2】 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C所成的角的正弦值.
∴
y
2
x
,令
m AB 0 x=1,则 m =(1,
2,0) ,
( x, y, z) ( 2,1, 0) 0 z 0
设平面
PBC
的法向量为 n
( x,
y, z)
,
则
n
CB
0
( (
x, x,
y, y,
z) z)
( 2,0,0) 0 (0, 1,1) 0
∴
x y
0 z
令
y
n
所以：
AF1
(
1 2
,
0,1),
A
BD1
(
1 2
,
1 2
,1)
cos
A F1 ,
BD1
|
AF1 BD1 AF1 || BD1
|
x
1 1 4
53
30 10
By
42
所以 BD与1 A所F成1 角的余弦值为
30 10
【 练 习 1 】 如 图 ， 在 长 方 体 ABCD － A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E 是棱AB上的动点.若异面直线AD1与EC所成 角为60°，试确定此时动点E的位置.
1,
CP
n
0
(0, 1,
1)
∴cosm,n m n
3
,∵二面角为锐角∴二面角 A-PB-C 的余弦值为
3
| m || n | 3
3
练习3: 2.正三棱柱 ABC A1B1C1 中，D是AC的中点,
当 AB1 BC1时，求二面角 D BC1 C 的余弦值.
2
C1
B1 A1
2
C D
B A
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题 转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；
（化为向量问题或向量的坐标问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位 置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意
解:建立坐标系如图,
y
则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
AP =(0,0,1), AB (
2,1, 0), CB (
2,
0,
x
0),
CP
(0,
1,1)
,
设平面
PAB
的法向量为
m
=(x,y,z),则
m
AP
0
∴
( x, y, z) (0, 0,1) 0
CD, AB 与的关系？
DC, AB 与的关系？
结论： cos |cos CD, AB |
题型一：线线角
例1： Rt ABC中 ， BCA 900 , 现 将 ABC 沿 着
平 面 ABC的 法 向 量 平 移 到 A1B1C1位 置 ， 已 知
BC CA CC1，取 A1B1、 A1C1的 中 点 D1、 F1，
× 1＋（t－2）2·cos 60°， 所以 t＝1，所以点 E 的位置是 AB 的中点.
题型二：线面角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
2
An
思考：
B O
n, BA 与的关系？
结论： sin | cos n, AB |
题型二：线面角
例2： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5， AD 8,
题型三：二面角
方向 2 二面角中的探究性问题 例 4 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，
在线段 AB 上是否存在一点 E，使二面角 C－DE－C1 的余弦 值为 36？若存在，求出 AE 的长；若不存在，说明理由.
解 假设存在点 E，设 AE＝a.如图，以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Dxyz，则有 E(3，a，0)， C1(0，4，2)，D(0，0，0).设平面 DEC1 的法向量为 n＝(x， y，z)，D→C1＝(0，4，2)，D→E＝(3，a，0)， 故nn⊥ ⊥DD→→CE1，⇒43yx＋ ＋2azy＝＝00，.
令 y＝1，得 x＝－a3，z＝－2，即 n＝－a3，1，－2，又易知
平面 DEC 的法向量为 m＝(0，0，1)，∴co〈s m，n〉＝
－2 ， 19a2＋5
由题意知
2＝ 19a2＋5
36，解得
a＝3，所以在线段
AB
上存在
点
E，AE＝3，使二面角
C－DE－C1
的余弦值为
6 3.
小结：
1.异面直线所成角：
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD与面SBA 2
所成二面角的余弦值.
z
S
B
C
A
x
Dy
例3 如图所示， ABCD是一直角梯形，ABC=900 ,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 , 求面SCD与面SBA
2z
所成二面角的余弦值.
x
y 2
0
y 2
z
0
x
z
y 2 y 2
任取 n2 (1, 2,1)
cos
n1, n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
6 3
即所求二面角得余弦值是
6 3
【练习3】
1.如图,PA⊥平面 ABC, AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 , 求二面角 A-PB-C 的余弦值.
z
y
x
.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=z1, BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.