排队论大学课件9多服务窗排队模型

(m-1) (m-2) 2
2
服务窗还有空闲
n个服务窗全忙
22
4 多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m
求平稳分布
0 1...k 1 pk p0 （1 ） 12 ..源自文库 k
m(m 1)...(m k 1) k k k p C 0 k n 1 1 0 m 1 p0 1 2 3... k k C m ( m 1)...( m k 1) k k mk ! p 1 0 1 p0 k n k n k n n !n n !n
m
21
4 多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m
E {0,1, 2,...m} k (m k ) k k n
m 0 1
0 k m 1 0k n nk m
(m-n+1) n-1 3 (n-1) n n n (m-n) n+1 n n m
1n1
2
p0
平均服务队长
L服 kpk n pk ... n 1 k 0 k n
n 1
12
2 多服务窗等待制排队模型M/M/n
平均系统队长
Ls Lq L服 (n 1)!(n 1 )
1n1
2
p0 1
平均等待时间
(n-1)
n
n
服务窗还有空闲
n个服务窗全忙
17
3 多服务窗混合制排队模型M/M/n/m
平稳分布
令1 , n
1k nk k p0 p0 k! k! pk k n 1 p n k p 0 0 n! n !n k n 0k n nk m
... npn n 1
称为爱尔兰等待公式，又称爱尔兰C公式，欧洲 人称为爱尔兰第二公式
14
等待制排队模型比较
0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 0.4 0.3*3 0.4 0.4
0.4*3
0.3*3
M/M/3 p0 0.0748
3个M/M/1 0.25(每个子系统）
1个M/M/1 0.25
4 多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m
外线利用率

L服 n
外线损失系数，（空闲、浪费系数）
q ( n) 1
L服 n
1
27
5 M/M…排队系统的输出过程
输出是与输入同强度的泊松流 设排队系统为M/M/n/m(1nm )，设到 达的顾客流是参数为的泊松流（在等待制 时，进入系统的流是参数为的泊松流；在 混合制与损失制时，进入系统的流是参数 为(1-pm)的泊松流），如果把混合制与损 失制时的损失流也看作系统的输出，则系 统的输出是参数为的泊松流。 证明略
p
k 0
m
k
1
n 1
k C k! k p0 [ Cm 1k m k n 1k ]1 k 0 k n n !n
23
4 多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m
目标参量
Lq (k n) pk
k n m m
Ls kpk
k 0
L服 Ls Lq A L服 , A E[(m ls ) ] (m Ls ) e Wq Ws Lq
1
平均系统队长
Ls Lq l服
20
4 多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m
顾客源有限——m
顾客源m=系统最大顾客数m，任何的需求都可以得到 满足，P损=0 闭合式排队系统：排队系统内顾客与顾客源中顾客总数 是固定的
m-c个顾客源 (m-c) c个顾客
n
举例D/D/1排队系统
假定顾客到达间隔时间= 1 服务时间= 并且到达的间隔时间大于服务时间 到达的顾客不需要等待，所以有：
p0 1, pn 0 (n 1, 2,3...)
1
系统中最多有一个顾客， p0 1 , p1 pn 0 (n 2,3...)
因系统满员造成顾客损失

2
1 多服务窗损失制排队模型M/M/n/n

E {0,1, 2,..., n} k k 0,1, 2,..., n 1 k k k 1, 2,3,..., n
k k
0 1
2

k-1


n-1 (n-1)
0k n kn
p
k 0

k
1
n 1
p0 [
k 0
1k
1 1 ] k ! n! 1
11
1n
2 多服务窗等待制排队模型M/M/n
目标参量
P损=0 A= Q=1 平均等待队长
Lq (k n) pk ...
k n
(n 1)!(n 1 )
顾客等候概率
Lq Ls Ws Wq
0.57
1.7 3.95 4.39 1.89
0.75
6.75（整个系统） 9.00 （整个系统） 10 7.5
0.75
2.25 3.00 3.33 2.5
15
3 多服务窗混合制排队模型M/M/n/m
顾客到达间隔时间——负指数分布，参数为 顾客接受服务的时间——负指数分布，参数为
e e
Ls
24
4 多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m
例题（120页）内线占用外线，内线上产生 电话呼叫，如果外线有空闲的则占有外线， 如果没有空闲的外线则排队等待 有m条内线和n条外线，采用BCD （Blocked Call Delayed）排队规则
内线平均空闲时间： 1 t 内线平均空闲概率
p 看到D/D/1排队系统中：n pn
30
到达与离开时的队长分布的关系
下面我们研究三种时刻队长分布的关系 pn-=P(顾客到达时系统中已有n个顾客) Pn=P(N=n)=平稳分布队长为n的概率 pn+=P(顾客离开系统时系统还有n个顾客的 概率)
31
到达与离开时的队长分布的关系
p
k 0

k
1
n 1 1k 1n 1－ m n 1 1 ] [ 1 k 0 k ! n ! p0 k n n 1 n 1 [ ( m n 1)] k 0 k ! n !
1 1
18
3 多服务窗混合制排队模型M/M/n/m
G/G/1系统pn- =pn+
N(t)
n+1 n
t 跟踪N(t)实际走过的一条路线
32
到达与离开时的队长分布的关系
假定从状态n上跳到状态n+1的次数为An(t) 从状态n+1下跳到状态n的次数为Dn(t) 由于到达与离去是一个一个发生的，并且n->n+1与n+1>n是交错发生的。所以到t时刻为止，An(t)与Dn(t)至多相 差1 设A(t)、D(t)为从任何状态开始上跳一步的总次数和下跳 一步的总次数，在统计平衡条件下，有：
多服务窗排队模型总述
M/M/n…的排队模型
服务窗个数为多个 假定单个服务窗的服务率为，则系统在某状态 下的消亡率为j，j是此状态下正在忙的服务窗个 数


1
1 多服务窗损失制排队模型M/M/n/n
顾客到达的间隔时间——负指数分布，参数为 顾客接受服务的时间——负指数分布，参数为 系统有n个服务窗 系统最多容纳顾客n个
1k
k!
]1
pk
k !
k 0
1k n 1k
k!
4
1 多服务窗损失制排队模型M/M/n/n
目标参量
1n / n ! P损 n 1k
k!
k 0
1n / n ! B(n, ) B(n, 1 ) n k 1
k!
k 0
称为爱尔兰损失公式，又称爱尔兰B公式，欧洲人称 为爱尔兰第一公式
6
7
1 多服务窗损失制排队模型M/M/n/n
e (1 pn )
服务窗占用的均值：
n
e Ls L服 kpk ... k 0 Ls W服 e e
服务窗的效率（劳动强度）

L服 n
e n
8
2 多服务窗等待制排队模型M/M/n
28
队长分布与顾客到达时刻看到的队长分布 的关系
设统计平衡条件下，顾客到达时看到的队长为ls（不包括到达的这个顾客）， ls-与平稳队长ls的 分布相同吗？
排队系统
平稳分布记做： pn P(ls n)
pn P(ls n)
29
队长分布与顾客到达时刻看到的队长分布 的关系
0 1 2

n-1
n n
n+1 n
n+2 n

2
3
(n-1)
n
服务窗还有空闲
n个服务窗全忙
10
2 多服务窗等待制排队模型M/M/n
求平稳分布
令1 , ， 1 n
1k nk k p0 p0 k! k! pk k n n 1 p k p 0 0 n! n !n k n
目标参量
nn m p0 系统的损失概率 P损＝ pm n!
n m n 系统的相对通过能力 Q 1 pm 1 p0 n!
单位时间内损失的顾客数及平均进入系统的顾客数 nn m L pm p0 n! nn m e Q (1 pm ) (1 p0 ) n!
m Ls t p m t Ws
25
内线m条（顾客源）
外线n条（服务窗）
4 多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m
内线被占用的概率
Ls 1 p m
内线占用、不占用的循环周期
Wcycle t Ws
Lq m
忙 闲
内线处于等待状态概率
r ( m)
Ws
t
Wcycle
26
19
3 多服务窗混合制排队模型M/M/n/m
平均服务队长
L服 服 W服
e
平均等待队长
nn n 1 mn m n 1 p [1 ( m n 1) ( m n ) ] n !(1 ) 2 0 Lq n n (m n)(m n 1) p 1 0 2n !
Wq Lq


(n 1)!(n 1 )
1n p0
2

n n!(1 )2
1n p0
平均系统内逗留时间
Ws Ls

Ws Wq W服 Wq
1

13
2 多服务窗等待制排队模型M/M/n
来到系统的顾客必须排队等待的概率
nn k C (n, ) C ( n, 1 ) pk p0 k n k n n !
n n
2
3
(k-1)
M/M/n/n排队模型的状态流图
3
1 多服务窗损失制排队模型M/M/n/n
求平稳分布
k 1 k p p 1 p0 0 k k k ! k! n p 1 k k 0 p0 [
k 0 n
1
(offered load )
顾客到达的间隔时间——负指数分布，参数为 顾客接受服务的时间——负指数分布，参数为 系统有n个服务窗 系统最多容纳顾客个


9
2 多服务窗等待制排队模型M/M/n
E {0,1, 2,...} k k k n k n k n
5
1 多服务窗损失制排队模型M/M/n/n
爱尔兰B公式的广泛性：
我们把一个具有泊松输入的损失制排队系统称为 爱尔兰损失制系统，这种损失制系统对于任何服 务时间分布，它在统计平衡条件下的状态概率都 相同与M/M/n/n相同。 即M/M/n/n排队系统的平稳分布＝M/G/n/n排队系 统的平稳分布
n m-n
m
16
3 多服务窗混合制排队模型M/M/n/m
E {0,1, 2,...m}
k
0 k m 1 k 0 k n k n n k m
0 1 2

n-1
n n
n+1 n

m
2
3