人教版高中数学必修三课件：1.1.1 算法的概念
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解:b→a→c→d→e
考点类析
例2 写出解方程x2-2x-3=0的一个算法.
解:方法一,算法如下: 第一步,将等号左边因式分解,得(x-3)(x+1)=0①; 第二步,由①式得x-3=0或x+1=0; 第三步,解x-3=0得x=3,解x+1=0得x=-1,即x=3或x=-1.
考点类析
例2 写出解方程x2-2x-3=0的一个算法. 解:方法二,算法如下: 第一步,移项,得x2-2x=3①; 第二步,①式等号两边同时加1并配方,得(x-1)2=4②; 第三步,②式等号两边同时开方,得x-1=±2③; 第四步,解③式得x=3或x=-1.
预习探究
(4)不唯一性:求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个,也可以有不同 的算法,这些算法有繁简、优劣之分. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以通过设计合理的算法去解决.
预习探究
知识点三
算法的设计要求
设计算法的要求主要有以下几点: (1)写出的算法必须能解决一类问题,并且能够重复使用; (2)要使算法尽量简单、步骤尽量少; (3)要保证算法的各个步骤有效,计算机能够执行,且在有限步骤后能得到结果.
备课素材
累加、累乘问题的算法 解决一个问题的算法一般不是唯一的,不同的算法有优劣之别,保证得到正 确的结果是对每个算法的最基本的要求.另外,还要求算法的每个步骤都要 易于实现、易于理解,效率要高,通用性要好等.
备课素材
备课素材
[例2] 求1×3×5×7×9×11的值,写出其算法.
解:算法如下:
备课素材
[小结]
知识 1.算法的概念; 2.算法的特性; 3.算法的设计
方法
易错
1.根据具体的问题进行判断,是 给出问题,在书写步骤时,不能
否是算法;
注意算法的几个特征,而使设计
2.列出算法的步骤
的算法步骤无法进行计算
下节课预习问题:
1.程序框图符号的含义与作用; 2.程序框图由几部分组成.
考点类析
[解析] (2)A.利用数列的求和公式或累加,即
DHale Waihona Puke 可得到解决问题的算法;B.通过两式相加、相减即可得解,从而得到相
应的算法;
C.已知半径,根据圆的面积公式即可得到解决
问题的步骤,从而得到相应的算法;
D.由函数的图像可知在整个定义域R上,y=x2
不是单调函数,因此不能设计算法求解.
考点类析
①②③④
考点类析
[解析](3)①说明了从上海到拉萨的行程安排. ②给出了解一元一次不等式这类问题的解法. ③给出了求线段的中垂线的方法及步骤.
④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果.
显然⑤不是算法. 故①②③④都是算法.
考点类析
考点二 算法的设计 [导入]假设家中烧水泡茶有以下几个步骤:a.生火;b.将水倒入锅中;c.找茶 叶;d.洗茶壶、茶碗;e.用开水泡茶. 你能设计出一个在家中泡茶的算法吗?
通话信号,开始通话或挂机,结束通话;
②利用公式V=Sh计算底面积为3,高为4的
三棱柱的体积;
③x2-2x-3=0;
④求所有能被3整除的正数,即3,6,9,12,….
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
[解析] 算法通常是指按照一定规则 解决某一类问题的明确和有限的步 骤.①②都表达了某种算法;③只是 一个纯数学问题,不是一个明确步 骤;④的步骤是无限的,与算法步骤 的有限性矛盾.故选A.
预习探究
[讨论]算法的描述方式主要有哪些?
解:算法的描述方式主要包括自然语言、程序框图、计算机程序语言.
备课素材
1.算法概念的理解 (1)算法可以理解为按照一定规则解决某一类问题所构成的完整的解题步骤,或看成 按要求设计好的有限的确切的计算序列,并且这样的步骤或序列能够解决一类问题. (2)通俗点说,算法就是计算机解题的过程.在这个过程中,无论是形成解题思路还是编 写程序,都是在实施某种算法,前者是推理实现的算法,后者是操作实现的算法. (3)算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点,同时又有高度的抽象性、概括 性、精确性,所以算法在解决问题时更具有条理性、逻辑性等特点.通常把算法过程 称为“数学机械化”,其最大优点是可以让计算机来完成.
解:步骤如下: 第一步,人带两只狼过河. 第二步,人自己返回. 第三步,人带一只羚羊过河. 第四步,人带两只狼返回. 第五步,人带两只羚羊过河. 第六步,人自己返回. 第七步,人带两只狼过河. 第八步,人自己返回带一只狼过河.
新课导入
预习探究
知识点一
算法的概念
12世纪的算法 数学中的算法 现代算法
新课导入 【导入一】 1.假如你的朋友不会发邮件,你能教他 吗?请你写出步骤. 第一步,打开电子信箱. 第二步,点击“写邮件”. 第三步,输入发送地址. 第四步,输入主题. 第五步,输入信件内容. 第六步,点击“发送邮件”.
新课导入 【导入二】 1.一个人带三只狼和三只羚 羊过河,只有一条船,同船可 以容纳一个人和两只动物.没 有人在的时候,如果狼的数量 不少于羚羊的数量,狼就会吃 掉羚羊.试问怎样渡过河去? 请写出一个渡河方案.
考点类析 变式 给出求1+2+3+4+5+6+7的一个算法.
考点类析
[小结] 设计算法的步骤： （1）弄清算法要解决的问题是什么，需要用到哪些公式； （2）明确公式中需要哪些量，题目中已知什么量，还需要知道哪些中间量； （3）优先解决中间量； （4）套用公式，并用简洁的语言描述出来.
考点类析
拓展 已知正整数p为素数是指p 的所有约数只有1和p.例如,35不 是素数,因为35的约数除了1,35外, 还有5与7;29是素数,因为29的约 数就只有1和29.试设计一个能够 判断一个任意正整数n(n>1)是否 为素数的算法.
预习探究
[讨论] (2)解决一个问题的算法是唯一的吗? 解:(2)不唯一,如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元法两种, 但不同的算法有优劣之分.
预习探究
知识点二 算法的特征
算法是对解决问题过程的抽象而精确的描述,一般具备以下几个特征: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,它应在有限步操作之后停止. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的,并且能有效地执行且得到确定的 结果,而不应当是模棱两可的. (3)逻辑性:算法从初始步骤开始,分为若干个明确的步骤,前一步是后一步的 前提,只有完成前一步,才能进行下一步,而且每一步都是正确无误的,从而组 成具有很强逻辑性的步骤序列.
解:算法如下: 第一步,给出任意一个正整数n(n>1). 第二步,若n=2,则输出“2是素数”,判断结束;否 则,转到第三步. 第三步,令m=1. 第四步,将m的值增加1,仍用m表示. 第五步,若m≥n,则输出“n是素数”,判断结束;否 则,转到第六步. 第六步,判断m能否整除n,若能整除,则输出“n不 是素数”,判断结束;若不能整除,则转到第四步.
成了解二元一次方程组的算法
考点类析
考点一 算法概念的理解
例1 (1)下列关于算法的说法,正确的个 数为C( )
①求解某一类问题的算法是唯一的; ②算法必须在有限步操作之后停止; ③算法的每一步操作必须是明确的,不能
有歧义或模棱两可;
④算法执行后一定产生确定的结果.
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] (1)由算法具有有限性、确定 性等特点,可知②③④正确,而解决 某类问题的算法不一定唯一,从而① 错.故选C.
备课素材
2.算法与数学问题的解法的区别与联系
算法与数学问题的解法
区 算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称,也可理解为数学中的“通法通 别 解”;而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤,是具体解题过程
算法与解法是一般与特殊的关系,也是抽象与具体的关系,例如,教材先从分析一个 联 具体的二元一次方程组的求解过程(解法)出发,归纳出了二元一次方程组的求解步 系 骤,并且指出,这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组,这些步骤就构
第一步,先求1×3,得到结果3.
第二步,将第一步所得结果3再乘5,得到结果15. 第三步,再将15乘7,得到结果105. 第四步,再将105乘9,得到945. 第五步,再将945乘11,得到10 395,即是最后结果.
当堂自测
1.下列语句表达的是算法的有( ) A
①拨本地电话的过程为:提起话筒,拨号,等
第一章 算法初步
1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念
三维目标
【知识与技能】 （1）通过分析解决具体问题的过程与步骤，体会算法的基本思想. （2）了解算法的含义和特征. （3）会用自然语言表述简单的算法.
三维目标
【过程与方法】 通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二
【重点】 要会用自然语言描述算法，并写出相应的算法步骤. 【难点】 算法的应用.
教学建议 1.要注意向学生讲清求解某个问题的算法不一定是唯一的，同时算法的每一步都有唯 一的结果. 2.教学中不要求讲解算法的严格定义，也不要求学生记忆算法的“明确性”“逻辑 性”“有限性”“不唯一性”“普遍性”这五个特征，教师应注意从这五个特征去 解释算法的含义，并引导学生从这些方面去体会算法的含义. 3.在教学过程中，算法的通用性不宜过分强调，以避免一开始就把问题复杂化.在解 决具体问题的过程中，可以先引导学生针对具体问题设计算法，设计完成后再考虑 如何推广该算法以解决类似的问题，以达到通用性的要求.
考点类析
例2 写出解方程x2-2x-3=0的一个算法.
考点类析 例3 写出一个算法,求经过点M(-2,-1),N(2,3)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
考点类析
变式 给出求1+2+3+4+5+6+7的一个算法.
解:方法一:按照逐一相加的程序进行.算法如下: 第一步,计算1+2,得到3; 第二步,将第一步中的运算结果3与3相加,得到6; 第三步,将第二步中的运算结果6与4相加,得到10; 第四步,将第三步中的运算结果10与5相加,得到15; 第五步,将第四步中的运算结果15与6相加,得到21; 第六步,将第五步中的运算结果21与7相加,得到28.
元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法.由于思 考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法． 【情感、态度与价值观】
通过本节的学习，使学生对计算机的算法语言有一个基本的了解，认识到 计算机是人类征服自然的有力工具，同时激发学生探讨算法的乐趣，从而培养 学生对数学的学习兴趣.
重点难点
当堂自测
D
[解析] D中的求和不符合算法步 骤的有限性,所以它不可以用算 法求解,故选D.
当堂自测
C
当堂自测
4.补全作函数y=|x|图像的算法: 第一步,当x>0时,作出第一象限的角平分 线. 第二步,当x=0时,图像为原点. 第三步, 当x<0时,作出第二象限的角平分. 线
[解析] 依据算法解决的问题知,第三 步应为“当x<0时,作出第二象限的角 平分线”.
指的是用阿拉伯数字进行 算术运算的过程 通常是指按照一定规则解决某一类问题的 明确 和
有限 的步骤 通常可以编成计算机程序,让 计算机 执行并解决问题
预习探究
[讨论] (1)算法与数学中的解法有什么联系和区别?
解:(1)①联系:算法与解法是一般与特殊的关系,也是抽象与具体的关系,算 法的获取要借助一般意义上具体问题的求解方法,而任何一个具体问题都 可以利用这类问题的一般方法解决. ②区别:算法是解决某些问题所需要的程序和步骤的统称,也可以理解为数 学中的“通法通解”;而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤,是具体的 解题过程.
考点类析
例2 写出解方程x2-2x-3=0的一个算法.
解:方法一,算法如下: 第一步,将等号左边因式分解,得(x-3)(x+1)=0①; 第二步,由①式得x-3=0或x+1=0; 第三步,解x-3=0得x=3,解x+1=0得x=-1,即x=3或x=-1.
考点类析
例2 写出解方程x2-2x-3=0的一个算法. 解:方法二,算法如下: 第一步,移项,得x2-2x=3①; 第二步,①式等号两边同时加1并配方,得(x-1)2=4②; 第三步,②式等号两边同时开方,得x-1=±2③; 第四步,解③式得x=3或x=-1.
预习探究
(4)不唯一性:求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个,也可以有不同 的算法,这些算法有繁简、优劣之分. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以通过设计合理的算法去解决.
预习探究
知识点三
算法的设计要求
设计算法的要求主要有以下几点: (1)写出的算法必须能解决一类问题,并且能够重复使用; (2)要使算法尽量简单、步骤尽量少; (3)要保证算法的各个步骤有效,计算机能够执行,且在有限步骤后能得到结果.
备课素材
累加、累乘问题的算法 解决一个问题的算法一般不是唯一的,不同的算法有优劣之别,保证得到正 确的结果是对每个算法的最基本的要求.另外,还要求算法的每个步骤都要 易于实现、易于理解,效率要高,通用性要好等.
备课素材
备课素材
[例2] 求1×3×5×7×9×11的值,写出其算法.
解:算法如下:
备课素材
[小结]
知识 1.算法的概念; 2.算法的特性; 3.算法的设计
方法
易错
1.根据具体的问题进行判断,是 给出问题,在书写步骤时,不能
否是算法;
注意算法的几个特征,而使设计
2.列出算法的步骤
的算法步骤无法进行计算
下节课预习问题:
1.程序框图符号的含义与作用; 2.程序框图由几部分组成.
考点类析
[解析] (2)A.利用数列的求和公式或累加,即
DHale Waihona Puke 可得到解决问题的算法;B.通过两式相加、相减即可得解,从而得到相
应的算法;
C.已知半径,根据圆的面积公式即可得到解决
问题的步骤,从而得到相应的算法;
D.由函数的图像可知在整个定义域R上,y=x2
不是单调函数,因此不能设计算法求解.
考点类析
①②③④
考点类析
[解析](3)①说明了从上海到拉萨的行程安排. ②给出了解一元一次不等式这类问题的解法. ③给出了求线段的中垂线的方法及步骤.
④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果.
显然⑤不是算法. 故①②③④都是算法.
考点类析
考点二 算法的设计 [导入]假设家中烧水泡茶有以下几个步骤:a.生火;b.将水倒入锅中;c.找茶 叶;d.洗茶壶、茶碗;e.用开水泡茶. 你能设计出一个在家中泡茶的算法吗?
通话信号,开始通话或挂机,结束通话;
②利用公式V=Sh计算底面积为3,高为4的
三棱柱的体积;
③x2-2x-3=0;
④求所有能被3整除的正数,即3,6,9,12,….
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
[解析] 算法通常是指按照一定规则 解决某一类问题的明确和有限的步 骤.①②都表达了某种算法;③只是 一个纯数学问题,不是一个明确步 骤;④的步骤是无限的,与算法步骤 的有限性矛盾.故选A.
预习探究
[讨论]算法的描述方式主要有哪些?
解:算法的描述方式主要包括自然语言、程序框图、计算机程序语言.
备课素材
1.算法概念的理解 (1)算法可以理解为按照一定规则解决某一类问题所构成的完整的解题步骤,或看成 按要求设计好的有限的确切的计算序列,并且这样的步骤或序列能够解决一类问题. (2)通俗点说,算法就是计算机解题的过程.在这个过程中,无论是形成解题思路还是编 写程序,都是在实施某种算法,前者是推理实现的算法,后者是操作实现的算法. (3)算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点,同时又有高度的抽象性、概括 性、精确性,所以算法在解决问题时更具有条理性、逻辑性等特点.通常把算法过程 称为“数学机械化”,其最大优点是可以让计算机来完成.
解:步骤如下: 第一步,人带两只狼过河. 第二步,人自己返回. 第三步,人带一只羚羊过河. 第四步,人带两只狼返回. 第五步,人带两只羚羊过河. 第六步,人自己返回. 第七步,人带两只狼过河. 第八步,人自己返回带一只狼过河.
新课导入
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知识点一
算法的概念
12世纪的算法 数学中的算法 现代算法
新课导入 【导入一】 1.假如你的朋友不会发邮件,你能教他 吗?请你写出步骤. 第一步,打开电子信箱. 第二步,点击“写邮件”. 第三步,输入发送地址. 第四步,输入主题. 第五步,输入信件内容. 第六步,点击“发送邮件”.
新课导入 【导入二】 1.一个人带三只狼和三只羚 羊过河,只有一条船,同船可 以容纳一个人和两只动物.没 有人在的时候,如果狼的数量 不少于羚羊的数量,狼就会吃 掉羚羊.试问怎样渡过河去? 请写出一个渡河方案.
考点类析 变式 给出求1+2+3+4+5+6+7的一个算法.
考点类析
[小结] 设计算法的步骤： （1）弄清算法要解决的问题是什么，需要用到哪些公式； （2）明确公式中需要哪些量，题目中已知什么量，还需要知道哪些中间量； （3）优先解决中间量； （4）套用公式，并用简洁的语言描述出来.
考点类析
拓展 已知正整数p为素数是指p 的所有约数只有1和p.例如,35不 是素数,因为35的约数除了1,35外, 还有5与7;29是素数,因为29的约 数就只有1和29.试设计一个能够 判断一个任意正整数n(n>1)是否 为素数的算法.
预习探究
[讨论] (2)解决一个问题的算法是唯一的吗? 解:(2)不唯一,如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元法两种, 但不同的算法有优劣之分.
预习探究
知识点二 算法的特征
算法是对解决问题过程的抽象而精确的描述,一般具备以下几个特征: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,它应在有限步操作之后停止. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的,并且能有效地执行且得到确定的 结果,而不应当是模棱两可的. (3)逻辑性:算法从初始步骤开始,分为若干个明确的步骤,前一步是后一步的 前提,只有完成前一步,才能进行下一步,而且每一步都是正确无误的,从而组 成具有很强逻辑性的步骤序列.
解:算法如下: 第一步,给出任意一个正整数n(n>1). 第二步,若n=2,则输出“2是素数”,判断结束;否 则,转到第三步. 第三步,令m=1. 第四步,将m的值增加1,仍用m表示. 第五步,若m≥n,则输出“n是素数”,判断结束;否 则,转到第六步. 第六步,判断m能否整除n,若能整除,则输出“n不 是素数”,判断结束;若不能整除,则转到第四步.
成了解二元一次方程组的算法
考点类析
考点一 算法概念的理解
例1 (1)下列关于算法的说法,正确的个 数为C( )
①求解某一类问题的算法是唯一的; ②算法必须在有限步操作之后停止; ③算法的每一步操作必须是明确的,不能
有歧义或模棱两可;
④算法执行后一定产生确定的结果.
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] (1)由算法具有有限性、确定 性等特点,可知②③④正确,而解决 某类问题的算法不一定唯一,从而① 错.故选C.
备课素材
2.算法与数学问题的解法的区别与联系
算法与数学问题的解法
区 算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称,也可理解为数学中的“通法通 别 解”;而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤,是具体解题过程
算法与解法是一般与特殊的关系,也是抽象与具体的关系,例如,教材先从分析一个 联 具体的二元一次方程组的求解过程(解法)出发,归纳出了二元一次方程组的求解步 系 骤,并且指出,这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组,这些步骤就构
第一步,先求1×3,得到结果3.
第二步,将第一步所得结果3再乘5,得到结果15. 第三步,再将15乘7,得到结果105. 第四步,再将105乘9,得到945. 第五步,再将945乘11,得到10 395,即是最后结果.
当堂自测
1.下列语句表达的是算法的有( ) A
①拨本地电话的过程为:提起话筒,拨号,等
第一章 算法初步
1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念
三维目标
【知识与技能】 （1）通过分析解决具体问题的过程与步骤，体会算法的基本思想. （2）了解算法的含义和特征. （3）会用自然语言表述简单的算法.
三维目标
【过程与方法】 通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二
【重点】 要会用自然语言描述算法，并写出相应的算法步骤. 【难点】 算法的应用.
教学建议 1.要注意向学生讲清求解某个问题的算法不一定是唯一的，同时算法的每一步都有唯 一的结果. 2.教学中不要求讲解算法的严格定义，也不要求学生记忆算法的“明确性”“逻辑 性”“有限性”“不唯一性”“普遍性”这五个特征，教师应注意从这五个特征去 解释算法的含义，并引导学生从这些方面去体会算法的含义. 3.在教学过程中，算法的通用性不宜过分强调，以避免一开始就把问题复杂化.在解 决具体问题的过程中，可以先引导学生针对具体问题设计算法，设计完成后再考虑 如何推广该算法以解决类似的问题，以达到通用性的要求.
考点类析
例2 写出解方程x2-2x-3=0的一个算法.
考点类析 例3 写出一个算法,求经过点M(-2,-1),N(2,3)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
考点类析
变式 给出求1+2+3+4+5+6+7的一个算法.
解:方法一:按照逐一相加的程序进行.算法如下: 第一步,计算1+2,得到3; 第二步,将第一步中的运算结果3与3相加,得到6; 第三步,将第二步中的运算结果6与4相加,得到10; 第四步,将第三步中的运算结果10与5相加,得到15; 第五步,将第四步中的运算结果15与6相加,得到21; 第六步,将第五步中的运算结果21与7相加,得到28.
元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法.由于思 考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法． 【情感、态度与价值观】
通过本节的学习，使学生对计算机的算法语言有一个基本的了解，认识到 计算机是人类征服自然的有力工具，同时激发学生探讨算法的乐趣，从而培养 学生对数学的学习兴趣.
重点难点
当堂自测
D
[解析] D中的求和不符合算法步 骤的有限性,所以它不可以用算 法求解,故选D.
当堂自测
C
当堂自测
4.补全作函数y=|x|图像的算法: 第一步,当x>0时,作出第一象限的角平分 线. 第二步,当x=0时,图像为原点. 第三步, 当x<0时,作出第二象限的角平分. 线
[解析] 依据算法解决的问题知,第三 步应为“当x<0时,作出第二象限的角 平分线”.
指的是用阿拉伯数字进行 算术运算的过程 通常是指按照一定规则解决某一类问题的 明确 和
有限 的步骤 通常可以编成计算机程序,让 计算机 执行并解决问题
预习探究
[讨论] (1)算法与数学中的解法有什么联系和区别?
解:(1)①联系:算法与解法是一般与特殊的关系,也是抽象与具体的关系,算 法的获取要借助一般意义上具体问题的求解方法,而任何一个具体问题都 可以利用这类问题的一般方法解决. ②区别:算法是解决某些问题所需要的程序和步骤的统称,也可以理解为数 学中的“通法通解”;而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤,是具体的 解题过程.