泰勒中值定理

f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
((
x
x0
)n
)
注意:
1.当n 0时, 泰勒公式变成拉氏中值定理
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( 在x0与x之间)
2.取x0 0, 在0与x之间， 令 x (0 1)
则余项Rn ( x)
一、问题的提出
计算机的时代迫切要求数学中的计算可以 在计算机上得以实现。
我们知道一些无理数的参与运算无疑增添 了误差。我们们所考虑的是如何将误差减到 最小，而使得运算在计算机上得以实现。
比如在作战中就需要误差绝对的小。
全体复数可分为:代数数和超越数两部分。
如一个复数是某个系数不全为0 的整 式多项式的根，则称此复数为代数数。
中的系数 a0 , a1, a2 , , an
二、n 次多项式函数 Pn(x) 和误差 Rn(x) 的
确定（即系数 a0 , a1, a2 , , an 的确定）
分析:
近 1.若在 x0点相交 y
似 程 度
Pn ( x0 ) f ( x0 )
2.若有相同的切线
越 来 越 好
Pn( x0 ) f ( x0 )
f (n)(0) sin( n )
2
2
f (0) 0, f (0) 1, f (0) 0, f (0) 1,
开始循环f (4) (0) 0, f (5)(0) 1,
f
(n)
(0)
0, n (1)k1 ,
2k 1 n 2k
代入公式,得
sin x x x3 x5 x7 3! 5! 7!
以下便是整个多项式逼近函数的思想
如果能将有理分式函数，特别是无理 函数和初等超越函数用一个简单、容易 计算的函数近似代替，而误差又能满足 要求（要多小就有多小），显然，这对 函数性态的研究和函数值的近似计算都 有着重要的意义。
我们从众多初等函数中选择了最简单 的函数—n次多项式函数Pn ( x)来近似较复 杂的函数f ( x).
下面探求一般函数的近似求函数值问题。
1.设函数f ( x)在x0处连续，则有：
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
[ f ( x) f ( x0 ) ]
f ( x) f ( x0 ),
2.设函数f ( x)在x0处可导，则有：
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ),
x)
误差： Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含
有 x0的某个开区间(a, b)内具有直到(n 1)
阶的导数,则当 x 在(a, b)内时, f ( x)可以
表示为( x x0 )的一个n次多项式与一个余
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f (n) ( x0 ) ( x n!
x0 )n
称为f ( x)按( x x0 )的幂展开的n次近似多项式,
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn
(
x)
称为f ( x)按( x x0 )的幂展开的n次泰勒公式。
n次多项式函数具有很好的性质： 1.具有任意阶的高阶导数； 2.只包含有限次的加、减、乘三种运算，
函数易计算； 3.误差容易估计。
那么一个函数具备什么条件才能用 多项式函数近似代替呢？这个多项式函 数的各项系数与这个函数有什么关系呢？ 用多项式函数近似代替这个函数误差又 怎样呢？这些问题是我们要研究的，也 是泰勒定理解决的问题。
f (n)(0) cos( n )
2
2
f (0) 1, f (0) 0, f (0) 1, f (0) 0,
开始循环f (4) (0) 1, f (5) (0) 0,
f
(n) (0)
(1)k 1 ,
n 2k 1
0, n 2k
代入公式,得
x2 x4 x6
cos x 1
,
P (n) n
(
x0
)
n!an
P (k) n
(
x0
)
k
!ak
f (k ) ( x0 )
得
ak
1 k!
f
(k ) ( x0 )
(k 0,1, 2, , n)
ak
1 k!
f
(k ) ( x0 )
(k 0,1, 2, , n)
代入Pn ( x)得：
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
误差： Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
f ( x) Pn ( x) Rn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( 2
x0 !
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (
(0 1)
Rn( x)
f (n1) ( x) xn1 M x n1
(n 1)!
(n 1)!
2.带有皮亚诺余项的麦克劳林公式：
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 2!
f (n)(0) xn ( xn )
n!
四、简单的应用
例1 求f ( x) ex的n阶麦克劳林公式。
3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )o
x0
y f (x) x
Pn ( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2
an ( x x0 )n
满足条件Pn(k ) ( x0 ) f (k ) ( x0 ) k 0,1, 2, , n
Pn( x0 ) a0 , Pn( x0 ) 1 a1 , Pn( x0 ) 2! a2
解 f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
f (n1) ( x) xn1
(n 1)!
(0 1)
f (n) ( x) (e x )(n) e x ,
f (0) f (0) f (0) f (n)(0) 1
且 f (n1) ( x) e x
就可以使得7次多项式函数与y e x的误差
小于104.
ex 1 x x2
xn
2!
7!
例2 求f (x) sin x的n阶麦克劳林公式。
解 f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (0) x3
2!
3!
f (n)(0) xn ( xn )
n!
f (n)( x) (sin x)(n) sin( x n ),
2! 4! 6!
(1)n x2n o( x2n ) (2n)!
常用函数的麦克劳林公式
ex 1 x x2 x3 xn (xn)
2! 3!
n!
x3 x5 sin x x
(1)n
x2n1 o( x2n1 )
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x 2 x4 x6 (1)n x 2n o( x 2n )
-1
-0.5
o 0.5
1
当 x 很小时，ln(1 x) x
0.4 y x
0.2
-0.4
-0.2
o 0.2
0.4
-0.2
-0.4
y ln(1 x) -0.6
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计.
问题: 寻找函数P( x)，使得f ( x) P( x),
误差R( x) f ( x) P( x)可估计.
2!
n!
其误差
Rn
e
(n 1)!
3. (n 1)!
通过这个例子我们看一下，误差的估计 （是不是可以控制的要多小就有多小）。
如果我想让误差 3
Rn (n 1)!
Rn
(
x
) 3
0.0001 104
104
(n 1)!
(n 1)! 30000 n 7
于是，我们将麦克劳林公式，应用到n 7,
f ( (n1) x) x n1
(n 1)!
泰勒公式中取x0 0,变成麦克劳林公式
麦克劳林(Maclaurin)公式
1.带有拉格朗日余项的麦克劳林公式：
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
(
xห้องสมุดไป่ตู้
x0
)n1
及 0 lim x x0
Rn ( x) ( x x0 )n
lim
x x0
M (n 1)!
(
x
x0
)n1
( x x0 )n
M
(n
1)!
lim (
x x0
x
x0 )
0.
即 Rn( x) o(( x x0 )n ). 皮亚诺形式的余项
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
代入公式,得
ex 1 x x2 2!
xn e x xn1 n! (n 1)!
(0 1).
由公式可知 e x 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn ( x)
e x xn1 (n 1)!
ex xn1(0
(n 1)!
1).
取x 1, e 1 1 1 1
常用近似公式 ( x 很小时)
(1) n 1 x 1 1 x; n
(2) sin x x ( x为弧度); (3) tan x x ( x为弧度); (4) e x 1 x; (5) ln(1 x) x.
例如，当 x 很小时，n 1 x 1 1 x; n
1.2
1
1 0.8 y 1 x
( x0 , x)(或( x, x0 ))
x0
(x
x0 ) ( x0 ,
x)(或( x,
x0
))
(0,
1)
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ( x x0 ))( x x0 ),
(0,1)
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ),
[ f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]
2! 4! 6!
(2n)!
1 1 x x2 xn o( xn ) 1 x
ln(1 x) x x2 x3 (1)n xn1 o( xn1 )
23
n1
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1) (m n 1) xn o( xn ) n!
项 f(
Rn (
x)
x ) 之和:
f ( x0 )
f
(
x0
)(
x
x0
)
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn
(
x)
其中Rn ( x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x0
)n1，(
在x0与x之间)
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
(1)k1 x2k1 ( x2k1 )
(2k 1)!
练习
求f (x) cos x的n阶麦克劳林公式。
解 f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 2!
f (n)(0) xn ( xn )
n!
f (n)( x) (cos x)(n) cos( x n ),
误差的估计
Rn ( x)
f
(n1) ( )
n1 !
(
x
x0
)n1
( 在x0与x之间)
拉格朗日形式的余项
若f (n1)( x)在(a, b)连续,则f (n1)( x)在x0 , x构成 的区间上连续，故而存在最大最小值。
Rn( x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x0
)n1
M (n 1)!
首先我们做如下假设： 设函数f ( x)在含有x0的开区间(a, b)内具有 直到(n 1)阶导数，Pn ( x)为n次多项式函数。
Pn ( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n
误差： Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
下面需要我们确定的就是多项式函数
5 0.6
0.4
y 5 1 x
0.2
-1
-0.5
o
0.5
1
例如，当 x 很小时，sin x x;
1.5
y x
1 0.5
y sin x -1.5 -1 -0.5
o 0.5
1
1.5
-0.5
-1
-1.5
例如，当 x 很小时，e x 1 x
（如下图）
2.5
2
1.5
y ex 1
0.5
y 1 x
不是代数数的复数称为超越数。
超越数如：三角函数 sin ,cos , tan ,cot 若 0，1 ln是超越数
代数函数：含有代数数的函数。
无理分式函数
3 x5 x1 y
5 x 1 x2
超越函数：含有超越数的函数。
如：三角函数y sin x,对数函数y ln x
y e ( x1)
这些函数的函数值又如何计算呢？ 如何找到一个比较精确的数值？