【高考数学精品】微专题8-基本不等式的向量形式

高考精品复习资料

微专题八 基本不等式的向量形式

[思维扩展]

波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位．

我们知道，a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )以及a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)是两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？

由(a －b )2＝|a －b |2≥0不难得到a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 但将a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)简单地类比为a ＋b 2≥a ·b 就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．

注意到a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)⇔⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ＋)，而不等式⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥a ·

b 左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a ＋b )2＝(a －b )2＋4a ·b ＝|a －b |2＋4a ·b ≥4a ·b 可得⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥a ·

b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 这样，我们就得到如下两个结论：

定理1 设a ，b 是两个向量，则a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 定理2 设a ，b 是两个向量，则⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥a ·

b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 例1 若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________．

答案 －98

解析 方法一 由定理1得

32≥|2a －b |2＝(2a －b )2

＝(－2a )2＋b 2－4a ·b

≥2·(－2a ·b )－4a ·b ＝－8a ·b ，

所以a ·b ≥－98

，当且仅当b ＝－2a 时等号成立， 故a ·b 的最小值是－98

. 方法二 由定理2得