13数列的极限
数列与级数的极限与收敛
数列与级数的极限与收敛数列与级数是数学中重要的概念，它们在各个学科中都有广泛的应用。
了解数列与级数的极限与收敛性质对于深入理解这些概念及其应用至关重要。
本文将介绍数列与级数的极限与收敛，并探讨它们的性质和应用。
一、数列的极限数列可以看作是有序的实数集合。
如果数列的项随着索引的增大而趋近于某个确定的数，我们称这个数为数列的极限。
数列的极限可以分为有限极限和无限极限两种情况。
1. 有限极限如果数列的项随着索引的增大而逐渐趋近于一个有限数，我们称这个有限数为数列的有限极限。
记作lim(a_n) = A，其中a_n为数列的第n项，A为有限极限。
例如，数列1/n的极限为0，可以表示为lim(1/n) = 0。
2. 无限极限如果数列的项随着索引的增大而逐渐趋近于正无穷或负无穷，我们称这个无穷数为数列的无限极限。
记作lim(a_n) = ±∞。
例如，数列n 的极限为正无穷，可以表示为lim(n) = ∞。
二、数列的收敛性数列的收敛性描述了数列的极限是否存在。
收敛的数列具有趋近性，而发散的数列没有明确的趋近性。
1. 收敛数列如果数列存在有限极限，我们称这个数列为收敛数列。
收敛数列的项随着索引的增大越来越接近极限值。
例如，数列1/n是一个收敛数列，其极限为0。
2. 发散数列如果数列不存在有限极限，我们称这个数列为发散数列。
发散数列的项随着索引的增大没有明确的趋近性。
例如，数列n是一个发散数列。
三、级数的极限级数是数列部分和的无穷累加。
如果级数的部分和随着项数的增加而趋近于一个确定的数，我们称这个数为级数的极限。
级数的极限可以分为收敛和发散两种情况。
1. 收敛级数如果级数的部分和存在有限极限，我们称这个级数为收敛级数。
记作Σ(a_n) = S，其中a_n为级数的第n项，S为收敛级数的和。
例如，调和级数Σ(1/n)是一个收敛级数。
2. 发散级数如果级数的部分和不存在有限极限，我们称这个级数为发散级数。
发散级数的部分和没有明确的趋近性。
求数列极限的十五种解法
求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111na a n--≤， 任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞． 解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!n n n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立． 例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列． 证：11111sin(1)sin 111112(122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛， 从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛． 注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n = ）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l =解得：l =l =；∴lim n n x →∞=4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=． 例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++；∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++．注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用． 5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()baJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦． 解：原式n n →∞→∞==112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12limlim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sinsinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰； 同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+； 由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=． 例9．求：11lim 1n n e n →∞-． 解：11001lim lim ()111n nx x n n e e e e n n=→∞→∞--'===-． 例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞； 另一方面，2221112221111(1)(1)(1n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+；由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1lim(1lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n ----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=； 由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=． 注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈． 解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p p p n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+． 注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞． 解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nknk n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1lim lim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >． 解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<， ∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵111()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()(1(1)x f x x x '==--； 而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题． 例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞． 证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+， 则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n nx f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+， 考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x Sl +→∞→∞=+=（存在）；对式子：12(1)2n n n x xx ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =或l =（舍负）；∴lim nn x →∞= 例15．证明：111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）． 证：设1111ln 23n a n n =++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n---； 对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理， 可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-； 因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛， 所以lim nn a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限． 例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞． 解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：2lim (arctan arctan )1n a an n n →∞-+，(0)a ≠． 解：设()arctan f x x =，在[, 1a an n+上应用拉格朗日中值定理， 得：21()()( [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列． 注：该引理说明，若lim nn x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列． 定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立． 定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim nn x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列； 由定理2的结论有：12lim n n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略．例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列， 故1211lim n n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤， 从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim 1()x f x g x →=，且当n →∞时，0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =-，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n→∞→∞===⋅=⋅=∑∑． 例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）． 解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~， 由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n→∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==；∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ． 注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点． 定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=． 例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞． 解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,2ax +∈， 易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, 22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<； 所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim nn x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a +的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =（n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =，[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：1f '<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==的解，解得：lim n n x →∞=本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．（2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-， 从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解． 解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n nn ax b x cx d --+=+； 逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn n n a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞． 例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫=⎪⎝⎭）； 矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()11111111111111120101n n n AP P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭； 于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-． 因为11α-<，所以lim(1)0nn α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-． 例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限． 解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ==，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫=⎪--⎭； 则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn nn n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-， 由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ， 再令n →∞，则有：1lim limn n n n n F x F →∞→∞+==． 注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。
极限存在准则和其应用
x2 x1
x
二 、极限存在准则的应用
1 1 1 1 例1 已知数列 xn , 其中 xn 1 1! 2! 3! n!
证明 此数列极限存在。
证：xn 显然单调递增，且
1 1 1 1 xn 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 n n 1 1- 1 1 1 2 1 1 2 n 1 1 1 2 2 2 1 2
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
bn
1 2 1.5 1.666666667 1.6 1.625 1.615384615 1.619047619 1.617647059 1.618181818 1.617977528 1.618055556 1.618025751
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。高（ 137米）与底边长（227米）之比为0.629,但这些金字塔底 面的边长与高之比都接近于0.618.
绘画艺术中的黄金分割
蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体 现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完 美.
大自然中的斐波那契数列
• 花瓣的数目
3 证： b1 1， b2 2， b3 2 Fn Fn 1 Fn 1 1 bn 1 1 Fn Fn bn 1
用数学归纳法容易证明：
并求此极限。
(n 1,2,)
数列 b2 n 是单调减少的。 数列b2 n-1 是单调增加的；
又对一切 n, 1 bn 2 成立，
海棠（2）
钱兰（3）
大自然中的斐波那契数列
• 花瓣的数目
1.3数列的极限
一、数列的极限
数列是以正整数为自变量的函数－－整标函数 yn f (n)
例：研究数列 1， 1 ，1 ， 1 ， ，(1)n1限增大时的变化趋势。
1
0
1
• • • •• •
•
y2 y4 y6 y7 y5 y3
y1
结论：n越来越大，函数值越来越接近0
1、定义（描述性定义）：当n无限增大时，如
果数列yn无限接近一个确定的常数A，则称数列
yn的极限为A
，记为：lim n
yn
A
或: yn A （ n ） （无限接近常数0）
1
0
1
• • • •• •
•
y2 y4 y6 y7 y5 y3
y1
此时也说数列yn收敛于A，如果数列yn没有极限，就说 数列yn是发散的。 书本：P20 1
用式子表示无限接近常数0：| yn－0 |无限小
lim
n
xn
a
或 xn an
注：定义并未给出求极限的方法，只给出了论证数列的
极限为a的方法—— N 论证法。
步骤：P18
例：证明 lim (1)n1 1 0
n
n
3、数列极限的数学定义：
对数列yn ，对 0 ，都 N ，当 n N 时，
有：| yn A |
二、收敛数列的性质： 1、极限唯一性:收敛数列的极限是唯一的。 2、有界性：收敛数列必为有界数列。
n足够大 的界限如 何确定？
| yn- 0|无限小的本质是：| yn- 0|小于任意小的正数。
| yn-A |无限小的本质是：| yn-A |小于任意小的正数。
对 0，当n足够大时，都有: | yn A |
数学《数列极限》讲义
第二章数列极限1. 教学框架与内容教学目标①掌握数列极限概念，学会证明数列极限的基本方法．②掌握数列极限的主要性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限．③掌握单调有界定理；理解柯西收敛准则．教学内容①数列极限的分析定义，数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念与几何意义；利用放缩法证明数列收敛或发散.②数列极限性质（唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则）的证明与应用，数列的子列及有关子列收敛的定理．③单调有界定理的证明及应用；柯西收敛准则，用柯西收敛准则判别数列的敛散性．2. 重点和难点①数列极限的Nε-语言，数列极限证明中N的存在性.②数列极限性质的分析证明, 数列极限性质的应用．③数列单调有界定理的证明和应用，利用柯西收敛准则判别数列的敛散性．3. 研究性学习选题● 数列极限证明的技巧将书后习题分类，首先自己总结数列极限证明的技巧，然后进行小组交流和讨论.● 如何利用单调有界原理求迭代数列的极限课后自己总结单调有界原理求极限的方法与步骤，选用经典习题小组讨论，进行讲解并评分.4. 综合性选题，尝试写小论文：★不等式技巧在数列极限证明中的应用.★数列极限存在的常用结论.5. 评价方法◎课后作业，计20分.◎研究性学习选题计30分.◎小论文计20分.◎小测验计30分§1数列极限概念一、数列若函数f 的定义域为全体正整数集合Z +(或N )，则称:f N R → 或()f n n N ∈为数列. 通常记为()n a f n =.或 12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ .数列表示法：通项、递推公式、1{}n n a ∞=或0{}n n a ∞=.特殊数列：常数数列、单调数列、有界数列、等比数列、等差数列. 二、数列极限------反映变量在某个变化过程中的变化趋势 [作图]1{}n、(1){}n n -、 {}n 、{(1)}n -、 {(1)}n n - 变化趋势： 1) 有一定的变化趋势; 无限接近于某数a ----收敛;震荡、无限增大、无限减小----定向发散;2) 无一定变化趋势----不定向发散.数列{}n a 收敛于a ，||0n a a -→(n a 与a 的距离越来越接近). 1、定义下面我们首先给出数列收敛及其极限的精确定义.定义1 ()N ε- 设{}n a 为数列, a 为一定数, 若对任给的正数0ε>，总存在 正整数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ，而a 称为{}n a 的极限. 记作 lim n n a a →∞= 或 n a a →(n →∞).若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛或发散, 也称{}n a 为发散数列.例1验证下列极限:1) 1lim 0n n →∞=;2) 1lim 02n n →∞=;3) lim 0n n q →∞=, ||1q <;4) 223lim 33n n n →∞=-.注1 ε的任意性.ε的作用在于刻画数列{}n a 与定数a 之间的接近程度.ε越小表示接近度越好，而正数ε—可任意小说明n a 与a 可以无限接近，ε虽具有任意性， 但一经给出，就可看作暂时固定的数,并由此确定N ,从而N 与ε有关系. 同时，ε主要用于刻画n a 与a 的逼近程度，因而n a a ε-<中的ε可用22εε,2,εk ε(0k >常数)等代替，同时n a a ε-<可改写成n a a ε-≤.注 2 N 的相应性. 前面说过N 与ε有关，可记作()N ε但并不意味着N 由ε唯一确定. 这里我们主要强调N 的存在性(一般来说,ε愈小,相应的N 越大)，同时n N ≥时(对大于N 的任一n )有n a a ε-<.如对11,1000n a n ε==，相应的1001, 1002N =都可.例2 1) 0n →∞=;2) 1(1)n a =>;3) 1n =;4) 2lim 04n n n →∞=.思考 考虑1n =, 3lim 04n n n →∞=?2、几何意义 当n N >时,n a a ε-<d⇔所有下标大于N 的项n a 都落在a 的 邻域(,)U a ε内，而在(,)U a ε之外，数列{}n a 至多只有有限项(至多N 项). 定义1’任给0ε>，若在(,)U a ε之外{}n a 至多只有有限项，则称{}n a 收敛于a . 例3 改变或去掉数列的有限项，不改变数列的敛散性.例4 设n a a →,则n k a a +→. 这里k 为某固定的正整数.例5 设lim lim n n n n x y a →∞→∞==， 作数列{}n z 1122,,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅验证: lim n n z a →∞=. 思考 用N ε-定义如何证明?3、收敛的否定n a a →0, , ||dn N n N a a εε⇔∀>∃∀>-<：;0, (,)U a εε⇔∀>之外至多有{}n a 的有限项.n a →a 00000,, ||n N n N a a εε⇔∃>∀∃>-≥：; ⇔存在某00ε>,使数列{}n a 有无穷多项落在邻域0(,)U a ε之外.{}n a 收敛, 0, , ||n a R N n N a a εε⇔∃∈∀>∃∀>-<：. {}n a 发散0000, 0, , ||n a R N n N a a εε⇔∀∈∃>∀∃>-≥：.例6 验证 1) lim 01n nn →∞≠+;2) 2{}, {}n n (-1)为发散数列.4、N ε-定义的一些等价形式(变形)1D ：20,, , (n N n N a a k εεε∀>∃≥-<：或. (k 为常数)2D ：0(),, n c N n N a a εεε∀><∃>-<：. 3D ：0,, n N n N a a εε∀>∃>-<有理数：. 4D ：1,, n m N N n N a a m∀∈∃>-<：. 5、无穷小数列定义 若lim 0n n a →∞=，则称{}n a 为无穷小数列.定理 n a a →{}n a a ⇔-为无穷小数列.注 3 ||00n n a a →⇔→.例7 证明: 若lim n n a a →∞=，则lim ||||n n a a →∞=. 但反之未必成立，即||||n a a →⇒n a a →.习 题1. 用N -ε定义验证1) lim 12n nn →∞=+; 2) 2233lim 212n n n n →∞-=+;3) !lim 0n n n n →∞=; 4) limsin 0n nπ→∞=;5) lim cos1n nπ→∞=; 6) lim02nn n→∞=;2. 指出下列数列哪些是无穷小数列.; ; 11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭; 32n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭; {}n n q α(,||1)R q α∈<.3. 证明：若a a n n =∞→lim ，则对任一正整数k , 有a a k n n =+∞→lim .4. 试用定义1'证明：1) 数列}1{n不以1为极限； 2) 数列}{)1(n n -发散.§2 收敛数列的性质一、收敛数列的性质1、唯一性 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限.2、有界性 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列. 即0, , n M n N a M ∃>∀∈≤使得. (画图分析) 推论 无界数列必发散.注 1 有界数列未必是收敛的(定理2.3的逆未必成立).3、保号性 若lim 0 (0)n n a a →∞=><或，则对任何(0,)r a ∈(,0))a ∈（或r ， 存在N ，使得n N >时，0 0n n a r a r >><<（或）.推论 若lim 0n n a a →∞=>，则存在N ，n N >时，0n a > (保符号).若lim 0n n a a →∞=≠，则存在N ，n N >时，||||02n a a >>. 注 2 由lim 0n n a →∞≥不能推出 , , 0n N n N a ∃>≥.4、保不等式性 设{}n a 和{}n b 为收敛数列，若存在,,N n N >使得时n n a b ≤，则lim lim n n n n a b →∞→∞≤. [直接证明或反证法]定理 设lim , lim , n n n n a a b b a b →∞→∞==>, 则存在N ,n N >时，n n a b >.注 3 在定理2.5中，不等式若为n n a b <, 则不能推出a b <.例1 设0, 1,2,n a n ≥=⋅⋅⋅. 若n a a →.5、迫敛性 若数列{}n a 、{}n b 和{}n c 满足n n n a c b ≤≤,n N ∀∈,, n n a a b a →→, 则n c a →.注 4 用得较多的是0, 0 0n n n n c b b c ≤≤→⇒→.例2 1) 1lim sin 0n n n →∞=2) lim 3n →∞= .... 一般形式?思考 上述定理中若{},{}n n a b 均发散, 能否推出{}n c 发散? 6、四则运算定理 若, n n a a b b →→，则1) n n a b a b +→+， 2) n n a b a b ⋅→⋅，3) 若还有0,0n b b ≠≠,则n n a ab b→.思考 若{},{}n n a b 均发散或其中之一发散, 上述结论又如何?例3 求 11101110lim , , 0, 0m m m m m k k k n k k a n a n a n a m k a b b n b n b n b ---→∞-++⋅⋅⋅++≤≠≠++⋅⋅⋅++.例4 求 lim 1nn n a a →∞+ (1a ≠-).例5 求 1) (31)(5)lim (12)(25)n n n n n →∞++-+;2) 268n ;3) n .例6 求1) 21)sin(21)n n →∞+;2) 1lim nn i →∞=;3)1)21n n →∞⋅⋅⋅++.二、子列的收敛性定义(子列) 设{}n a 为一数列，{}k n N ⊂为无限子集，且12k n n n <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅， 则数列 12,,,,k n n n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 称为数列{}n a 的一个子列，记作{}k n a .注 5 {}k n a 选自{}n a 中且保持{}n a 中的顺序不变, 注意k n a 为{}k n a 中的第k 项， 是{}n a 的第k n 项，故k n k ≥. 注意子列的子列仍为子列. 例 7 数列{(1)}n -，奇子列21{}k a +与偶子列2{}k a .注 6 平凡子列是指数列{}n a 本身或者去掉有限项得到的数列,易见平凡子列与 数列{}n a 本身的性质(态)完全一样.定理 数列{}n a 收敛⇔{}n a 的任一子列(非平凡子列)均收敛.⇔{}n a 的任一子列(非平凡子列)均收敛于同一个数.注 7 我们通常用上述定理来证明数列{}n a 不收敛，只需找到某个发散子列或某两个子列收敛但极限不同. 如{(1)}n -. 三、利用上述性质讨论极限*例8 证明: 数列2(1){}31n n nn +-⋅+发散.例9 1) 22231lim(12...)n n n→∞+++; 2) n ;3) n 11lim ()n nn n n a b a b a b++→∞+≠-+.例10 1) 1321lim 242n n n →∞-⋅⋅⋅⋅⋅⋅; 2) lim[(1)]n n n αα→∞+- 01α<<;3) 22lim(1)(1)(1)nn ααα→∞++⋅⋅⋅+ 1α<.例11 设1,...,m a a 为m个正数，则1max{,,}m n a a =⋅⋅⋅.例12 设lim nn na b →∞存在，则若0n b →，必有0n a →.例13 若1||||n n a q a +≤，01q <<，则lim 0n n a →∞=.例14 若0n a >，1lim1nn n a L a →∞+=>，则lim 0n n a →∞=, 并利用其求2lim 4n n n →∞, 3lim n n n q →∞以及213lim 22n →∞+ 212n n -+⋅⋅⋅+. 一般常用结论: 若1lim ||1n n na l a +→∞=<, 则lim 0n n a →∞=.习题1. 求下列数列的极限1) limn→∞(n2) limn→∞3) limn→∞(1n4) limn→∞11(2)3(2)3n nn n++-+-+5) limn→∞212232n nnn++++6) limn→∞12()22n nn+++-+7)limn→∞8) limn→∞11(1)nkk k=+∑2. 设{}n a为无穷小数列, {}n b为有界数列, 证明: {}n na b⋅为无穷小数列.3. 求下列极限1)122lim(2sin cos)nnn n→+∞+2)1lim(arctan)nnn→+∞3) 11lim(1)n n n→∞- 4) 22)nn →∞⋅5) 1!2!!lim!n n n →∞+++ 6) 1321lim 242n n n→∞-⋅⋅⋅4. 说明下列数列发散1) (1)1nn n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭ 2) {}(1)n n- 3) sin 4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭5. 证明: 若0>n a , 且1lim 1>=+∞→l a a n nn , 则.0lim =∞→n n a6．设a a n n =∞→lim , 证明:1) a nna n n =∞→][lim;2) 若0,0>>n a a , 则1lim =∞→n n n a .§3 数列极限存在条件考察数列极限问题，首先应考察其极限是否存在 (极限存在性问题)， 若极限存在，则应考虑如何求极限值(极限的计算问题). 一、单调有界原理 (充分条件)定理 (单调有界定理) 有界的单调数列必有极限.[上(下)有界的单调递增(递减)数列必有极限且极限为其上(下)确界] 例1 设111123n a nααα=+++⋅⋅⋅+, (2)α≥, 证明: {}n a 收敛.例2 设12,n a a a ==⋅⋅⋅=n 重根号)， 证明：{}n a 单调有界, 并求其极限.注 1 在具递推关系式的数列{}n a 中，如1()n n a f a +=，若要求其极限，则我们可首先假定极限存在设为a ,则有()a f a =.由此方程解出a (此值一般即为极限), 其次一方面可考察n a a -(考虑用N ε-定义);另一方面,可考察是否有n a a ≤ (或n a a ≥)? 若n a a ≤，则一般证n a 递增(如n a a ≥，则证n a 递减)，此时应考察1n n a a +-的符号(或1n na a +与“1”的大小关系).例3 设1, 0a x >，11()2n n nax x x +=+，n N ∈, 求证: {}n x 收敛,并求其极限.例4 证明: 极限1lim (1)n n n→+∞+存在，并利用其来求下列极限1) 1lim (1)n k n n +→+∞+ 2) 31lim (1)2n n n →+∞+3) 1lim (1)n n n -→+∞- 4) 1lim (1)n n n →-∞+5) 3lim ()2n n n n →+∞++ 6) 31lim (1)2n n n→+∞-.二、Cauchy 准则定义 (Cauchy 列) 如果数列{}n a 满足：0,,,:m n N m n N a a εε∀>∃>-<，则称 数列{}n a 为Cauchy 列或基本列.注 2 {}n a 为Cauchy 列0,,,:dn p n N n N p N a a εε+⇔∀>∃∀>∀∈-<. 定理 (Cauchy 准则) {}n a 收敛⇔{}n a 为Cauchy 列.注 3 Cauchy 准则方便之处在于无需知道具体极限值的情况下，就可以直接 判断{}n a 是否收敛.例6 利用Cauchy 准则证明：{}n a 收敛, 其中22211112n a n =++⋅⋅⋅+.例7 利用Cauchy 准则叙述{}n a 发散的条件, 并证明1112n a n =++⋅⋅⋅+发散.例8 利用Cauchy 准则证明limsin n n →∞不存在.三、邻域的语言*a R ∈,a 的邻域，(,)U a a εε=-+; ∞的邻域，(,)M -∞-⋃(,)M +∞，0M ∀>+∞的邻域, (,)M +∞,0M ∀> -∞的邻域，(,)M -∞-,0M ∀>lim n n a a →∞=0,,:n N n N a a εε⇔∀>∃>-<.⇔对a 的任一邻域U ，∃+∞的邻域V ，:n n N V a U ∀∈⋂∈.lim n n a →∞=+∞0,,:n M N N n N a M ⇔∀>∃∈>>.⇔对+∞的任一邻域U ，∃+∞的邻域V ，:n n N V a U ∀∈⋂∈.lim n n a →∞=-∞⇔……记*{,}R R =⋃-∞+∞，*a R ∈.*lim n n a a R →∞=∈⇔对a 的任一邻域U ，存在+∞的邻域V ，:n n N V a U ∀∈⋂∈.习 题1. 证明}{n a 收敛，并求其极限，，其中11n a a +==1,2,n =.2. 设c a =1)0(>c , 11,2...n a n +==, 证明数列}{n a 极限存在并求其值.3. 求下列极限1) 1lim(1)nn n→∞-; 2) 21lim(1)n n n →∞+; 3) 241lim ()2n n n n +→+∞++.4. 证明: 若单调数列}{n a 含有一个收敛子列, 则}{n a 收敛.5. 证明: 若}{n a 为递增(递减)有界数列, 则{}{}).(inf sup lim n n n n a a a =∞→又问逆命题成立否?7. 应用Cauchy 准则证明{}n x 收敛，其中 1) 2sin1sin 2sin 222n n nx =++⋅⋅⋅+2) 0.90.090.0009n x =++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅（n 个0）8. 利用Cauchy 准则叙述数列}{n a 发散的充要条件,并用它证明下列}{n a 发散:1) n a nn )1(-=; 2) 2sinπn a n =.习题课一、知识复习1、n a a →d⇔0,,:n N n N a a εε∀>∃>-< ⇔{}n a 的任一子列均收敛于a ⇔{}n a 的奇偶子列均收敛于a . n a a →⇔2、 {}n a 收敛 ⇔{}n a 的任一子列均收敛⇔{}n a 的任一子列均收敛并且收敛于同一个数.⇔0,,,:n m N m n N a a εε∀>∃>-<. {}n a 发散⇔3、单调有界数列必收敛 1lim(1)n n e n →∞+=.4、n a a →的几何意义.5、收敛数列的性质及其证明. 二、典型方法 1、求极限的方法 1) 利用定义a) 观察确定极限值，利用定义验证.b) 对递推数列，可先假定极限存在，利用递推关系，求得极限，再用定义验证.2) 利用10nα→ (0)α>，0n a → (1)a <, 1(0)a →>,1及四则运算法则.3) 利用已知极限，如1lim(1)n n e n →∞+=.4) 利用单调有界原理(如何求极限).5) 利用适当的变换或变形(拆项、插项、裂项).2、证明极限存在方法 1) 用定义(先求极限值). 2) 利用单调有界原理. 3) 利用Cauchy 准则.3、证明极限不存在的方法 1) 定义.2) 找一个发散子列或两个收敛子列但极限不等. 3) 利用Cauchy 准则.4、一些常用结论1) lim 0n n a →∞=，{}n b 有界，则lim 0n n n a b →∞=.2) limnn na b →∞存在，且lim 0n n b →∞=，则lim 0n n a →∞=. 3) 设1lim ||1n n na l a +→∞=<，则lim 0n n a →∞=.4) 若数列满足{}n a 满足1n n a a q a a +-≤-, 01q <<，则lim n n a a →∞=.5) 若{}n x 满足11n n n n x x q x x +--≤- 01q <<，则{}n x 收敛. 6) 1,...,m a a 为m个正数，则1lim max{,,}m n a a =⋅⋅⋅.思考: 设{}n a为有界正数列，则?n =. 7) 设n n x a y ≤≤，0n n x y -→，则,n n x a y a →→.8) 设{}n x ↑，{}n y ↓, 0n n x y -→, 则{},{}n n x y 均收敛,且极限相同. 9) 0,n n a a b b →>→，则n b b n a a →.10) , n n a a b b →→，则max{,}max{,}n n a b a b →, min{,}min{,}n n a b a b →. 11) 设lim n n a a →∞=，则i) 12limnn a a a a n→∞++⋅⋅⋅+=，ii) 若0n a >，则n a =.并考察下列极限(教材43页第四题)(1)1112n n ++⋅⋅⋅+(2) 0)a >(3)……12) (Stolz 定理) 设{},{}n n x y 满足i) 1n n y y +>， ii) lim n n y →∞=+∞，iii)11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，(l 为有限数)， 则lim n n nxl y →∞=.并利用Stolz 定理求下列极限 i) 设n x a →，求1222limnn x x nx n →∞++⋅⋅⋅+.ii) 112lim p p pp n n n +→∞++⋅⋅⋅+ (0)p >.iii)113(21)lim p p pp n n n+→∞++⋅⋅⋅+- (0)p >.利用单调有界原理或Cauchy 准则考察下列命题.13) 设10x >，13(1)3n n n x x x ++=+，证明: lim n n x →∞存在并求极限.14) 证明: 若}{n a 为递增数列，}{n b 为递减数列，且0)(lim =-∞→n n n b a ， 则n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 都存在且相等.15) 设011>>b a , 记 211--+=n n n b a a , 11112----+=n n n n n b a b a b .,3,2 =n 证明: 数列}{n a 与}{n b 的极限都存在且等于11b a .16) 给定正数1a 与)(111b a b >,作出等差中项2112b a a +=与等比中项112b a b =, 一般地令 21n n n b a a +=+, n n n b a b =+1, ,2,1=n . 证明: n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 皆存在且相等.17) 设0,0>>σa ,1111(), (), 1,2,.22n n n n a a a a n a a σσ+=+=+=证明: 数列}{n a 收敛, 且其极限为σ.18) 设数列}{n a 满足: 存在正数M , 对一切n 有 .12312M a a a a a a A n n n ≤-++-+-=-证明: 数列}{n a 与}{n A 都收敛.19) 若单调数列有一子列收敛，则该数列收敛.20) 若S 为有界集，则存在数列{}n x S ⊂，使得sup n x S →.21) 若S 为有界集，如果sup S S ∉，那么存在严格递增数列{}n x S ⊂，使得sup n x S →.22) 设S 为无界集，则存在{}n x S ⊂,使得n x →∞23) 若S 为无上界集, 则存在严格增的{},n n x S x ⊂→+∞.24) 证明: 任一数列必有单调子列.25) 证明: 任一有界数列必有收敛子列.。
数列与级数的极限与无穷大问题
数列与级数的极限与无穷大问题在数学中，数列和级数的极限与无穷大问题是一门重要的分支，在实际应用中有着广泛的应用。
本文将从数列的极限、级数的收敛和发散以及数列与级数的无穷大问题三个方面进行论述。
一、数列的极限数列是按照一定的规律排列的一系列数值，它的极限是指随着项数的增加，数列中的数值逐渐接近某个固定值。
用符号表示，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an-a|<ε成立，则称数列{an}的极限为a，记作lim(n→∞)an=a。
数列的极限在分析问题、解决实际应用中起着重要的作用。
例如在物理学中，速度的极限就是数列的极限。
二、级数的收敛与发散级数是指无穷多个项的数列求和的结果，记作S=∑_(n=1)^∞an，其中an表示级数的第n项。
如果数列数列{Sn}={∑_(n=1)^∞an}的极限存在，那么称级数收敛，极限值为S。
否则，称级数发散。
判断级数的收敛与发散，可以通过级数的部分和序列来进行分析。
如果部分和序列{Sn}收敛，则级数收敛；如果部分和序列{Sn}发散，则级数发散。
级数的收敛与发散性质是数学分析中的重要内容，对于处理和求解实际问题具有重要意义。
例如，在金融和经济领域，利润、股票收益等指标往往涉及级数的收敛与发散。
三、数列与级数的无穷大问题当数列中的元素随着项数的增加趋于无穷大，我们称该数列为无穷大数列。
类似地，当级数的部分和序列随着项数的增加趋于无穷大时，我们称该级数为无穷大级数。
数列与级数的无穷大问题在数学证明和实际应用中非常重要。
例如，在计算机科学中，算法的时间复杂度经常需要涉及数列与级数的无穷大问题。
在研究数列与级数的无穷大问题时，我们可以利用数列与级数的性质进行讨论。
例如，对于数列来说，如果对于任意的正实数M，都存在正整数N，使得当n>N时，有an>M成立，则称数列{an}为无穷大数列。
类似地，对于级数来说，如果对于任意的正实数M，都存在正整数N，使得当n>N时，有Sn>M成立，则称级数为无穷大级数。
数列与级数的极限
数列与级数的极限数列（Sequence）是一系列按照一定规律排列的数的集合，级数（Series）则是数列的和。
数列和级数的极限是数学中重要的概念，它们在各个学科领域中都有广泛的应用。
本文将重点讨论数列与级数的极限及其相关概念。
一、数列的极限1. 逐项求极限对于一个数列{a₁, a₂, a₃, ...}，如果存在一个数 L，使得对于任意给定的正数ε，存在正整数 N，使得当 n > N 时，|aₙ - L| < ε 成立，则称数列的极限为 L，记作lim(n→∞) aₙ = L。
2. 收敛与发散若数列存在极限，则称该数列是收敛（Convergent）的；若数列不存在极限，则称该数列是发散（Divergent）的。
3. 数列的性质对于收敛的数列：- 极限唯一性：数列的极限是唯一的。
- 有界性：收敛的数列是有界的，即存在两个常数 M 和 N，使得对于任意的 n，都满足 aₙ > M 和 aₙ < N。
4. 常见数列的极限常见的数列及其极限包括：- 等差数列：aₙ = a₁ + (n-1)d，极限为 a₁。
- 等比数列：aₙ = a₁ * r^(n-1)，当 0 < |r| < 1 时，极限为 0。
- 斐波那契数列：aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂，极限为黄金分割比 1.618。
二、级数的极限级数是数列进行求和的结果，即 Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ。
级数也可以分为收敛与发散两种情况。
1. 部分和的极限对于一个级数 {S₁, S₂, S₃, ...}，如果存在一个数 L，使得对于任意给定的正数ε，存在正整数 N，使得当 n > N 时，|Sₙ - L| < ε 成立，则称级数的极限为 L，记作lim(n→∞) Sₙ = L。
2. 级数的性质对于收敛的级数：- 极限唯一性：级数的极限是唯一的。
- 柯西收敛原理：级数收敛的充分必要条件是对于任意给定的正数ε，存在正整数 N，使得当 m > n > N 时，|Sₙ - Sₙ| < ε 成立。
§1.3 数列的极限
例3
证明 lim
n
n→ ∞
a = 1, 其中 a > 0.
n
证 任给 ε > 0, 要使
n
a − 1 < ε,
n
ln a , 若a < 1, 只要 1 − a < ε, a > 1 − ε, 即 : n > ln(1 − ε ) ln a ], 取N 1 = [ ln(1 − ε ) ln a n n , 若a > 1, 只要 a − 1 < ε , a < 1 + ε , 即 : n > ln(1 + ε ) ln a ], N = max{ N 1 , N 2 }, 则当 n > N时, 取N 2 = [ ln(1 + ε )
第三节
数列的极限
1
一、数列的极限的概念
1、数列的定义 、
定义:按 自 数 定义 按 然 1,2,3,L 号 次 列 一 数 编 依 排 的 列
x1 , x2 ,L, xn ,L
(1)
称为无穷数列 简称数列.其中的每个数称为数 称为无穷数列,简称数列 其中的每个数称为数 无穷数列 简称数列 的 , 列(1)记 列 项 xn 称 通 (一 项 数 为 项 一 项).数 般 列 记 { xn }. 为
xk +1 = 6 + xk > 6 + xk +1 = xk + 2
故由归纳法，对一切正整数 ， 故由归纳法，对一切正整数n，都有 x n > x n +1 即 {xn }为单调减少数列，且xn > 0, ( n = 1, 2, L) 为单调减少数列， 所以 lim x n 存在为 ， a = 6 + a a ≥ 0 存在为a 有 解得 lim xn = 3. n→ ∞
数列与函数的极限公式概念
极限与连续一、数列的极限定义：1、给定数列{x n }，如果当n A ，则称数列{x n }以A 为极限，记作：lim n→∞x n =A 或者x n →A (n →∞)2、当数列{x n }以实数A 为极限时，称数列{x n }收敛于A ，否则称数列{x n }发散。
二、数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一，若 lim n→∞x n =a ，则lim n→∞x n+1=a2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3）数列的极限：如数列： ,12,,432,322,212++n n则它的极限为3即：3121lim 2lim )12(lim =+=++=++∞→∞→∞→n nn n n n n三、几个需要记忆的常用数列的极限 01lim =∞→n n 11lim =+∞→n n n 0lim =∞→n n q )1(<q )(lim 为常数a a a n =∞→四、运算法则：如果 A a n =∞→lim B b n =∞→lim则： B A b a n ±=±∞→)(lim B A b a n ⋅=⋅∞→)(lim )0(,lim≠=∞→B BA b a n二、函数极限：▪函数极限lim x→∞f(x)=A 的充分必要条件是lim x→−∞f(x)=lim x→+∞f(x)=A▪函数极限lim x→x 0f(x)=A 的充分必要条件是lim x→x 0−f(x)=lim x→x 0+f(x)=A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关. 即 lim x→x 0f (x )存在⇌ lim x→x 0−f (x )= lim x→x 0+f (x )▪函数极限的性质：1)极限的惟一性：若函数f(x)当x →x 0（或x →∞）时有极限，则其极限惟一.▪极限运算法则： 设limf(x)=A,limg(x)=B,则 1)lim[f(x)±g(x)]=A ±B 2)lim[f(x)g(x)]=AB 3)当B ≠0时，lim f(x)g(x) =AB 4)lim[cf(x)]=climf(x) (c 为常数) 5）lim[f(x)]k = [limf(x)]k (k 为常数)▪小结．．：．当a 0≠0, b 0≠0时，有lim x→∞a 0x n +a 1x n−1+⋯+a nb 0x m +b 1x m−1+⋯+b m= {a 0b 0 当n =m 时 0 当 n <m 时 ∞ 当n >m 时▪复合函数运算法则：lim x→x 0f[φ(x )]=lim u→u 0f (u )▪数列的夹逼准则：设有3个数列{x n }{y n }{z n },满足条件： 1）y n ≤x n ≤z n （n=1,2,…）；2）lim n→∞y n =lim n→∞z n =a ，则数列{x n }收敛，且lim n→∞x n =a▪函数夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点x 0的某去心邻域内有定义，且满足条件： 1）g(x) ≤f(x) ≤h(x);2) lim x→x 0g(x)=A, lim x→x 0h (x )=A . 则极限lim x→x 0f (x )存在且等于A.▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.▪两个重要的极限： ▪重要极限Ⅰ：lim x→0sinx x=1▪重要极限Ⅱ：lim x→∞(1+1x )x=e , lim x→0(1+x )1x=e▪无穷小的性质：1)有限个无穷小的代数和为无穷小. 2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小. 3)常量与无穷小的乘积为无穷小. 4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小. 5)有限个无穷小的积为无穷小.▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A 的充要条件是f(x)=A+α(x). 其中α(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.▪无穷小的比较：设α=α(x) ，β=β(x)都是自变量同一变化过程中的无穷小. 1.若lim βα=c (c ≠0,是常数)，则称β与α是同阶无穷小. 2.若lim βα=1，则称β与α是等价无穷小，记作β~α. 3.若lim βα=0，则称β与α是高阶无穷小，记作β=o(α) 4.若lim βαk =c(c ≠0,k 是正整数), 则称β与α是k 阶无穷小.5.α~β的充要条件为α-β是α(或β)的高阶无穷小,即β−α=o (α)或β=α+o(α)6.α,β, α′,β′,都是自变量同一变化过程中的无穷小,且 α~α′,β~β′,lim β′α′存在，则有lim βα= lim β′α′ ▪常用等价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能] x →0时，x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ e x −1; 1-cosx~x 22；(1+x )a -1~ax(a ≠0) ;a x-1~xlna(a >0,a ≠1);√1+x n- 1~ xn常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-√1+x - 1~ 12x~,(1)1~x x x αα+-．▪无穷大：函数无穷大 ⇀↚无界 x ⟶x 0时，若f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；x⟶x0时，若f(x)为无穷小，且在x0的某去心邻域内f(x) ≠0, 则1为无穷大.f(x)[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]▪初等函数：连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.f(x)=f(x0).如果f(x)是初等函数，x0是其定义区间内的点，则limx→x0最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) ≠f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数μ，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)= μ.零点定理(根的存在性定理)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a)∙f(b)<0)，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=01、0/0型：方法：将分子分母分解因式（消去公因子）或者将分子有理化（有理化），再求极限。
高等数学基础第二章
第二章 极限与连续
1.极限的概念 2.极限的运算 3.两个重要极限 4.函数的连续性
第一节 极限的概念
一、数列的极限
首先看下面三个无穷数列 a n
（1）1,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
…
1 n
…
（2） 0, 12，32，43， ..， .nn1，…
（3）
1,1,1, 1 2 4 8 16
f
(x)
1
2 x
x0 0 x2 x2
在x=0和x=2处的极限是否存在(图2-7为函数图像)。
解 在x=0处左极限
lim f(x)li( m x 1 ) 1
x 0
x 0
右极限 lim f(x)lim 11
x 0
x 0
可见，左、右极限存在且相等，所以，极限 limf x 1 x1
在x=2处左极限
（1）
1 lxi mx
00
（2） limqx 0 q 1 x
（3） limCC （C是任意常数） x
x x0
f x
我们讨论当 x无限趋近于1 时，函数 fx2x1的变化趋势。为此列出表2-2， 并画出函数 fx2x1的图象（如图2-6）。
f(x)2x1 f(x)2x1
f(x)2x1 3
lim (2x1)3
可约去不为零的因子 x2 ，所以
lim x 2 lim x 2 lim 1 1 x 2x 2 4x 2(x 2 )x ( 2 ) x 2x 24
例4 求
3x2 5x lim x x2 1
解 当 x 时，分子、分母都趋向无穷大，这类极限称为 型未定式，
当然商的极限法则不适用，通常需要把式子变形。用分子、分母的
第八章 数列与无穷级数 1
从而必有： | 从而必有：an − L |=| f ( n) − L |< ε成立 ,
故, lim an = L.
n→ ∞
8
讨论下列数列的敛散性, 并求收敛数列的极限. 例1. 讨论下列数列的敛散性 并求收敛数列的极限
e (1){ n }; ( 2){ 2 }; ( 3) {sin nπ }. n (1) 令， f ( x ) = x x，则 f ( n) = n n = a n , 解:
注意 : 定理 2中的 L为 ∞ ( −∞ , 或 + ∞ )时 , 结论仍然成立 .
10
e ( 2){ 2 }. n
n
lim 解: n→∞ sin nπ = n→∞ 0 = 0.
注意： 若令 f ( x ) = sin xπ , 注意：
不能由 lim f ( x ) = lim sin xπ不存在 ,
17
若对任意的正整数n, 都有: 定义 若对任意的正整数 都有 an≤an+1, (或an+1≤an) 或 则称数列{a 是单调增加 或是单调减少)数列 是单调增加(或是单调减少 数列。 则称数列 n}是单调增加 或是单调减少 数列。 定理7 单调有界数列必有极限. 定理 单调有界数列必有极限 单调增加有上界数列必有极限, 单调增加有上界数列必有极限 和单调减少有下界数列必有极限。 和单调减少有下界数列必有极限。
( 2)若 lim a n = L, 且存在正整数 N , 使得 n > N时 ,
n→ ∞
必有： 必有： an > 0(或an < 0), 则L ≥ 0(或L ≤ 0).
14
1 . 计算下列极限: 例2. 计算下列极限 (1) lim 2 n→ ∞ n + n + 1 − n
高三数学数列的极限
3
6 12 24 48 96 192 384 …
8 …
2.3 数列的极限
新授课 分析当n无限增大时，下列数列的项 a n的变化趋势及 共同特征: 1 1 1 1 ， 3， ， n ， （1） 10， 2 10 10 10
1 2 3 n ， ， ， ， ， （2） 2 3 4 n1
2.3 数列的极限
定量分析
1 圆的半径 R 2
项号 边数
1 2 3 4 5 6 7
内接多边形周长
2.598076211353 3.000000000000 3.105828541230 3.132628613281 3.139350203047 3.141031950891 3.141452472285 3.141557607912 …… ……
2.3 数列的极限
练习： 课后练习：1，2 课堂小结 数列极限的定义和求法 ，极限的符号表示方法和它的意 义． 作业：
P78 习题2.3 1，2，3
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人忽然变得十分平静/原来疼成壹团の他平躺在地上/嘴里振振有词但听别懂他讲啥啊/眼神浊浊直视上方/明明眼前没什么人/左中又却似乎在他眼中看出咯壹各人/神主？左中又意外の觉得她对那各词很耳熟//您看/是那各//左中又从 口袋拿出来壹张十块钱/那是昨天她在街上买东西老板找の零钱/皱巴巴の纸面上赫然印着壹行黑色粗体字：神主/信仰/入我神主教/赎您罪恶身/经常会有类似那种组织将那种鼓吹反社会思想印刷在纸币上面/以市场流通性来传播那些 思想//啥啊神主/就是各邪教骗子//左中又晓得那各神主教/国内十大邪教之壹/邪教是壹种精神传/销/他们以煽动性の理论鼓吹/将愚昧无知の人纠集在壹起/自封为神/煽动群众反国家反社会骗取钱财/是社会发展の毒瘤//那么看来/ 三古
数列与级数的极限计算
数列与级数的极限计算在数学中，数列和级数的极限计算是一项基础而重要的概念。
通过计算数列和级数的极限，我们可以更深刻地了解数列和级数的性质和特点。
本文将介绍数列与级数的概念，并探讨如何计算它们的极限。
一、数列的极限计算数列是一系列按照一定规律排列的数字。
我们可以用以下符号表示数列：{a₁, a₂, a₃, ... , aₙ, ...}，其中a₁, a₂, a₃, ...是数列的各个项。
对于一个数列来说，如果随着项数的增加，数列的所有项趋于某个定值L，那么我们称L为该数列的极限，记作lim┬(n→∞)〖aₙ=L〗。
要计算数列的极限，可以采用以下方法：1. 直接计算法：根据数列的规律，计算出数列的前几项，观察它们的趋势，推测极限的值，并进行验证。
2. 递推关系法：如果数列的递推关系已知，可以通过递推关系推导数列的极限。
3. 数列极限的性质：利用数列极限的性质，如极限的四则运算法则、夹逼定理等，求解极限。
二、级数的极限计算级数是数列各项的和。
我们可以用以下符号表示级数：∑┬(n=1)aₙ=a₁+a₂+a₃+...+aₙ+...，其中a₁, a₂, a₃, ...是级数的各个项。
对于一个级数来说，如果随着项数的增加，级数的部分和趋于某个定值S，那么我们称S为该级数的极限，记作lim┬(n→∞)〖∑┬(k=1)aₙ=S〗。
要计算级数的极限，可以采用以下方法：1. 部分和逼近法：计算级数的前几项的部分和，观察它们的趋势，并推测级数的极限。
2. 奇偶分解法：将级数的项按奇偶进行分解，然后利用数列的极限计算方法求解。
3. 级数极限的性质：利用级数极限的性质，如级数收敛的四则运算法则、级数的比较判别法、级数的积分判别法等，求解极限。
通过以上方法，我们可以相对准确地计算数列和级数的极限。
在实际应用中，数列与级数的极限计算广泛应用于微积分、数学分析、概率论等领域，为进一步研究和应用数学提供了基础。
综上所述，数列与级数的极限计算是数学中重要而基础的概念。
第十三章 第二节 数列的极限(理)
2．若 ． A．|a|＜ ． ＜ C．a＞ ． ＞ 解析： 解析： 答案： 答案： C
＝ 0，则a的取值范围是 ( ， 的取值范围是 B．a＜1 ． ＜ D．a＝1 ． ＝ ＜1，解得 ＞ ，解得a＞
)
3. A. B.
＝ C．1 ． D．2 ．
(
)
解析：解析：原式＝ 解析：解析：原式＝ 答案： 答案： B
三、常用的几个极限 1．若C为常数，则 ． 为常数， 为常数 2． C为常数 2．若C为常数，则 为常数， 3．若|a|＜1，则 ． ＜ ， C＝ C ； ＝ ＝0； an＝ 0 ；
4．如果等比数列{an}的首项为 1，公比满足 ＜1且q≠0， ．如果等比数列 的首项为a 公比满足|q|＜ 且 的首项为 ， Sn为其前n项和，则 项和， 为其前 项和 Sn＝
求下列极限： 求下列极限： (1) (2) (3)
(4)
【解】 (1)
(2)
(3)
(4)
1．计算下列极限： ．计算下列极限：
原式＝ 解：(1)原式＝ 原式
(2)原式＝ 原式＝ 原式
(3)原式＝ 原式＝ 原式
＝
(1－0)＝ － ＝
高考对数列极限考查的落脚点是求数列的极限． 高考对数列极限考查的落脚点是求数列的极限．求数列的
2．(1)若 ． 若 (2)
的值； ＝0，求a和b的值； ， 和 的值 的取值范围． 求a的取值范围． 的取值范围
解：(1)∵ ∵
－an－b －
＝
＝ ( －an－b)＝0， － ＝ ， ＝－1. 即a＝1，b＝－ ＝ ， ＝－
由已知
得
(2)∵ ∵
∴
＝0， ，
∴
＜1，∴－4＜a＜2. ， ＜ ＜
数列的上极限和下极限
EDUCATION TEACHING FORUM 第8期NO.8数列的上极限和下极限收稿日期：2016-10-09基金项目：华侨大学高层次人才引进项目（15BS309）作者简介：尹海燕，女，华侨大学数学科学学院。
在数学分析课程中，数列的敛散性判别非常重要，而证明数列收敛的方法也有很多方法[1]，比如ε-N 定义、柯西收敛准则、两个重要准则、归结原理和子列原理等。
但是有时也可以用上极限和下极限来判断。
本文主要介绍数列上极限和下极限的定义，性质以及其应用。
数列聚点的定义[2]：如果在a ∈R 的任何邻域内都有数列x n {}的无限项，称a 为数列x n {}的一个聚点。
例1：数列{（-1）nn n+1}的聚点是±1；例2：数列{sin n π4}的聚点是±1，±2√2和0；例3：数列1n{}有聚点0；例4：数列12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…的聚点是整个闭区间［0，1］；例5：数列1，1，2，12，3，13，…，n ，1n，…的聚点是0。
注：（1）收敛数列的聚点必唯一，为数列的极限（证明见定理2），如例3。
反之不真，如例5。
一般情况下，数列的聚点是不唯一的，如例1、例2、例4。
（2）数列的聚点和数集的聚点是有区别的。
数{sin n π4|n ∈Ν+}的聚点是空集；数集{（-1）n n n+1|n ∈Ν+}的聚点为±1。
容易证明：聚点的等价定义[3]：若数列x n {}的子列x n k{}有极限a ，则称a 为数列x n {}的一个聚点。
聚点的存在性定理[2]：有界数列x n {}至少有一个聚点，且存在最大聚点和最小聚点。
下面是数列上、下极限的定义：上极限和下极限的定义[2]：有界数列x n {}的最大聚点a 与最小聚点a 称为数列x n {}的上极限和下极限，记作a=lim n →∞x n a=lim n →∞x n .上极限和下极限的等价定义1[2]：若x n {}为有界数列，则∀ε>0，（1）若存在N ∈Ν，使得当n>N 时，有x n <a+ε；（2）存在子列x n k{}，x n k>a-ε，k=1，2，3，…则称a 为数列x n {}的上极限。
数列的极限和无穷级数
数列的极限和无穷级数数学中有一个重要的概念是数列的极限和无穷级数。
数列是一系列按照一定规律排列的数字，而数列的极限表示当数列中的数字趋向于某个值时，该值就是数列的极限。
而无穷级数则是将数列中的所有数字相加得到的结果。
1. 数列的极限数列的极限是指当数列中的数字逐渐增大或逐渐减小并且无限接近于某个值时，该值就是数列的极限。
数列的极限可以分为两种情况：有界数列和无界数列。
1.1 有界数列有界数列是指数列中的数字在一定范围内变动，不会无限增大或无限减小。
对于有界数列来说，它的极限存在且唯一。
我们可以通过观察数列中的数字是否逐渐趋于某个固定值，或者通过数学推导来判断数列的极限。
1.2 无界数列无界数列是指数列中的数字逐渐无限增大或无限减小。
对于无界数列来说，它的极限可能不存在，或者说极限可以是正无穷大（+∞）或负无穷大（-∞）。
我们可以通过观察数列中的数字是否无限增大或无限减小来判断数列的极限。
2. 无穷级数无穷级数是指将数列中的所有数字进行加法运算得到的结果。
无穷级数可以表示为S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...，其中a₁, a₂, a₃, ...为数列中的数字。
无穷级数可以分为两种情况：收敛和发散。
2.1 收敛级数当无穷级数的部分和Sₙ在n趋于无穷大时趋于一个有限的值，即极限存在且有限时，我们称该无穷级数为收敛级数。
我们可以通过数学方法，如比值判别法、根值判别法等来判断一个无穷级数是否收敛。
2.2 发散级数当无穷级数的部分和Sₙ在n趋于无穷大时趋于无限大，即极限不存在或为无穷大时，我们称该无穷级数为发散级数。
对于发散级数，它没有一个确定的和。
3. 数列的极限与无穷级数之间的关系数列的极限与无穷级数有着密切的关系。
事实上，无穷级数的和就是数列的极限。
如果一个数列的极限存在且有限，则这个数列可以看作是一个无穷级数，并且这个无穷级数收敛于该极限值。
而对于一个无穷级数，要判断它是否收敛，实际上就是在判断其部分和序列是否收敛。
§1.3 数列的极限
lim n
xn
a.
22
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1,
n n2 1
n
1
1 n2
子数列(子序列).
数列对应着数轴上一个点列.可看作一动
点在数轴上依次取点: x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn
数列的几何意义.
数列是整标函数 xn f (n).
3
2、数列的极限
观察数列 {1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
an1 an
0或
an1 an
1
。
• 根据第一、第二项的大小关系，确定单调性，并用归
纳法证明.
21
2. 夹逼准则（P64）
定理 4 如果数列 xn , yn及zn满足下列条件:
(1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn有上界 ;
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
xn21
lim(3
13微积分公式
4．如何判断数列 1，-1，1，-1， … ，(-1)n+1， …
是发散的？
二、数列的极限
数列的极限的通俗定义：
对于数列{xn}，如果当n 无限增大时，数列的一般项xn无限
地接近于某一确定的数值a ，则称常数a 是数列{xn}的极限，或
称数列{xn}收敛a ．记为
lim
n
xna．
如果数列没有极限，就说数列是发散的．
例如
lim
n
n
n
1
1,
lim
n
1 2n
0,
lim
n
n (-1)n-1 n
．
而{2n}，{ (-1)n1}，是发散的．
对无限接近的刻划：
“当n无限增大时，xn无限接近于a” 等价于：当n无限增大
时，|xn-a |无限接近于0；或者说，要|xn-a |有多小，只要n足够
大， |xn-a |就能有多小．
比如，当n无限增大时，xn=
一切xn，不等式
|xn-a |<
都成立，则称常数a 是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛 于a ，记为
lim
n
xn
a,
或
xn a (n )．
如果数列没有极限，就说数列是发散的．
数列极限的几何意义：
对于任意给定的正数，总存在正整数N ，使得对于n >N 时的一切xn，不等式 |xn-a |< 都成立．从几何上说，就是任意 给定a的邻域(a- , a+)，总存在正整数N ，使得当n >N 时， 所有的点xn都落在区间(a- , a+)内，而只有有限(至多只有 N个)在区间(a- , a+)以外.
斐波那契数列极限证明
斐波那契数列是一个著名的数列，由0和1开始，之后的斐波那契数是前两个数的和。
数列如下：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……
对于斐波那契数列的极限，我们可以这样证明：
首先，我们观察到，随着数列的递增，每一个后续的斐波那契数与前一个数之差越来越接近于黄金分割比（φ = (1 + √5) / 2）。
事实上，我们可以看到，随着数列的增加，相邻两个斐波那契数之间的比值越来越接近于黄金分割比。
假设我们有一个斐波那契数列中的两个相邻的数，F(n) 和 F(n+1)，那么他们的比值就是：
F(n+1) / F(n) = F(n) / F(n-1) * F(n-1) / F(n-2) * … * F(2) / F(1) * F(1) / F(0)
根据斐波那契数列的定义，我们知道每一个相邻两个数的比值都接近于黄金分割比。
因此，随着n的增大，F(n+1) / F(n)的值将越来越接近于黄金分割比。
进一步，我们知道黄金分割比是一个无理数，这意味着它不能被一个有限的分数所表示。
因此，斐波那契数列的每一个相邻两个数的比值随着n的增大而越来越接近于一个无理数，这个无理数就是黄金分割比。
所以，我们可以证明斐波那契数列的极限是黄金分割比。
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n? ?
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证
xn ? a ?
n2 ? a2 ? 1 ? n2 ? a2 ? n
n
n
a2 ?
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n ( n2 ? a2 ? n) n
任给? ? 0 , 要 xn ? 1 ? ? ,
只要 a2 ? ? ,
n
即
a2 n?
, 所以, 取N ? [a2 ],
则当n ? N时,
?
?
就有n ? a2 , 即 n 2 ? a2 ? 1 ? ? 所以 lim
n
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通过上面演示实验的观察 :
当
n
无限增大时 ,
xn
?
1?
(? 1)n?1 n
无限接近于
1.
问题1: 当 n无限增大时 ,任意数列 x n 是否能无限接
近于某一确定的数值 ?如果是,如何确定 ?
问题2: “无限接近”意味着什么 ?如何用数学语言 刻划它？
“无限接近”的含义： 只要 n 足够大，
xn
23
n
n
3, 3 ? 3,? , 3 ? 3 ? ? ? 3 ,?
注意： 1.从几何上看，数列可以看作一个动点 在数轴上的运动．
x3 x1 x2 x4 xn
2.从函数的角度看，数列是整标函数
xn ? f (n). n ? N ?
3.数列极限的定义 观察数列 {1 ? (? 1)n?1 }当 n ? ? 时的变化趋势 .
则
x1 ?
1 2
x2
?
1 22
,?
xn
?
1 2n
,?
从这种截棒过程中可以看出：
棒长剩余量无限变小，当天数无限增大时，棒 长剩余量无限接近于 0
2、刘徽的割圆术 (参见光盘演示 )
2.数列的定义
定义:按自然数1,2,3,? 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 ,? , xn ,?
(1)
称为无穷数列 ,简称数列.其中的每个数称为数
4.引入符号 ? : 每一个或任给的 ; ? : 至少有一个或存在 .
? ? N定义 :
lim
n? ?
xn
?
a
?
? ? ? 0, ? N ? 0,使n ? N时, 恒有 x n ? a ? ?.
几何解释 :
a? ?
2? a ? ?
x2 x1 xN ?1 a x N ?2 x3 x
当n ? N时, 所有的点 xn都落在 (a ? ? , a ? ? )内,
要使 | xn ? 若取 N ?
1| ? ? ,
只要
1 n
?
?
,
?1
??
??,
则当
n
?
N
时,
就有 n ? (? 1)n?1 ? 1 ? ? . 即
n
lim
n ??
n
?
(? 1)n?1 n
?
1.
小结:
1.用定义证明数列极限存 在时，关键是对于
任意给定的 ? ? 0, 寻找到N (不必是最小的 ), 使得当n ? N时，| xn ? a |? ?成立.
列的项,x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{x n }.
例如 2,4,8,? ,2n ,? ;
1 2
,
1 4
,
1 8
,?
,
1 2n
,?
;
{2n }
1
{ 2
n
}
1,? 1,1,? ,(? 1)n? 1 ,? ; {(? 1)n? 1 }
2, 1 , 4 ,? , n ? (? 1)n?1 ,? ; {n ? (? 1)n?1 }
? n ? ln ? , ln q
取N ? [ ln ? ], ln q
则当n ? N时,
就有 qn ? 0 ? ?, ? lim qn ? 0. n? ?
二、收敛数列的性质
1、唯一性
性质1 收敛数列的极限是唯一的 .
证 (反证法 )
设
lim
n? ?
xn
?
a,又 lim n? ?
xn
?
b,
由定义 ,
只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法 .
显然:常数列的极限等于同一常数 .即 lim c ? c
例1
证明
lim
n??
n
?
(? 1)n?பைடு நூலகம் n
?
1.
n? ?
证
由 | xn ? 1 |?
n
?
(? 1)n?1 n
?
1
?
1 n
故对任给
即
n
?
1
?
.
? ? 0,
所以,
1.3 数列的极限
教学要求：理解数列极限的概念；了解收 敛数列的性质并会加以简单的应用 重点内容：
1 数列极限的定义(解析定义)
2 数列极限的性质
3 常用数列的极限
一、数列极限的定义
1.引例
1、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”
若用 x1 , x 2 ,? x n ? 表示对应的第
1,2 , ? , n , ? 天剩余的棒长，
?
n
n? ?
n2 ? n
a2
?
1.
例3 证明 lim qn ? 0, 其中q ? 1. n? ?
证 若q ? 0, 则lim qn ? lim 0 ? 0;
n? ?
n? ?
若0 ? q ? 1, 则对任给? ? 0, (不妨设? ? 1),
x n ? 0 ? qn ? ?, n ln q ? ln ?,
?
?
?
0,? N 1 , N 2 .使得 当n
?
N
时恒有
1
xn
?
a
?
?;
当n ? N 2时恒有 x n ? b ? ?; 取N ? max?N 1 , N 2?,
那末就称常数 a 是数列 x n 的极限,或者称数列 x n 收敛于a ,记为
lim
n? ?
xn
?
a,
或 x n ? a (n ? ? ).
如果数列没有极限 ,就说数列是发散的 .
注意：
1.不等式 x n ? a ? ?刻划了x n与a的无限接近;
2.不等式 n ? N 刻划了n ? ? 的过程;
3.N与任意给定的正数 ?有关 . N ? N (? )
?1
? (? 1)n? 1 1
n
?
1 n
可以小于任意给定的正数 (不管多小 )
xn ? 1 ?
(? 1)n ?1 1 ? 1 nn
给定 1 , 100
要使
xn ? 1
?
1, 100
由1 ? n
1 , 只要 n 100
?
100时,
给定 1 , 1000
只要 n ? 1000时,
有
xn
?
1
?
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n ? 10000时,
有
xn
?
1
?
1, 10000
给定 ? ? 0,
只要 n ?
N (? [ 1])时, ?
有
xn ? 1 ? ?成立.
定义 如果对于任意给定的正数 ?(不论它多么小),
总存在正数 N ,使得对于n ? N 时的一切 x n, 不等式 x n ? a ? ?都成立,
2. 为找到上述 N，必要时可以适当放大 | xn ? a |,
如 | x n ? a |? ? (n),然后令? (n) ? ? , 并从中求出
n ? ? (? ), N即可取为N ? [? (? )]
3. 有时为了方便，在不影 响?可以任意小的 情况下，可以先设定 ?小于某一给定常数 .
例2 证明 lim n 2 ? a 2 ? 1.