chaptere03矩阵序列与矩阵级数

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广义矩阵函数 背景:
利用前面的定理3.6及其推论的结果，对于可以展开 成幂级数形式的解析函数f(z),它的矩阵函数的定义方 式就是在它的幂级数形式中用矩阵A替代z,就得到了 由矩阵幂级数形式的矩阵函数f(A)的定义。但是，对 于任意给定的函数f(z)能够展开成收敛幂级数形式的 要求条件很强，一般不容易满足，例如f(z)=ln(z) 就不 满足。借助于前面讨论的矩阵函数若当标准形求法的 公式(*)和(**)， 我们可以拓宽矩阵函数的定义如下.
由此有，基于Sylvster插值公式的矩阵求值算法：
方法2： 基于广义Newton 插值公式 的矩阵函数求值
Taylor展开式：
牛顿展开式：
(b) 数项级数求和法
给定A后，确定首1多项式g(l)，满足g(A)=0。(特
征多项式或最小多项式均可) Am b1Am1 bm1A bm I 0.
令
a11 A
an1
a12
x1(t )
b1(t )
, x(t) ,b(t) ,
ann
xn(t )
bn(t )
则可以写成矩阵形式：
非齐次微分方程 x(t) A x(t) b(t) 齐次微分方程 x(t) A x(t)
定理3：齐次微分方程 x(t) A x(t) 的通解为： x(t) etAc,
这表明Am可以用Am-1,…,I线性表出。 A的更高次幂也可以用Am-1,…,I线性表出。
例2 设
0 0 0
A
0 0
0 1
,
求sinA。
0
(c) 对角形法
假设A可对角化，即存在非奇异矩阵P，使得
P 1 AP
l1
,
ln
则
f (l1)
f ( A) P
P 1.
f (ln )
4 6 0 例3 设 A 3 5 0 , 求eA，etA和cosA。
t
t0 A
B
d
t
t0
A
d
t
t0
B
d ;
(2)
t
t0 A
B
d
A
t t0
B
d
;
t t0
A
B
d
t t0
A
d
B;
(3)
d dt
t
t0
A
d
A t ;
(4)
t1 t0
A
d
At1
At0 .
3. 其他微分概念
4. 应用
性质3：若矩阵级数是绝对收敛的，则它一定是收 敛的，并且任意调换其项的顺序所得到的级数仍 然是收敛的，且其和不变。
性质4：矩阵级数 A(k) 是绝对收敛的充要条件
k0
是 A(k) 收敛。
k0
性质5：若矩阵级数 A(k) 是收敛(绝对收敛)的，
k0
那么 PA(k)Q 也是收敛(绝对收敛)的，且
由此可得
3.3 矩阵的微分与积分
1. 矩阵的微分 2. 矩阵的积分 3. 其他微分概念 4. 应用
1. 矩阵的微分
如果矩阵A(t)=(aij(t))∈Cm×n的每个元素aij(t)都是t 的可微函数，则A(t)关于t的导数(微商)定义为：
dAt At dt
aij t
.
mn
例(逆矩阵的导数): d (A(t)1) A(t)1 d(A(t)) A(t)1
第三章 矩阵分析及其应用
3.1 矩阵序列与矩阵级数 3.2 矩阵函数 3.3 矩阵的微分与积分
3.1 矩阵序列与矩阵级数
1. 矩阵序列 2. 矩阵级数
1. 矩阵序列
设有矩阵序列{A(k)=(aij(k))}，若对所有的i和j，当k 趋于无穷时，aij(k)趋于aij，则称{A(k)}收敛，并称 矩阵A=(aij)是{A(k)}的极限，记做
x(t) x1(t) x2(t), 其中 x1(t)=etAc 是对应齐次微分方程的通解，x2(t) 是原非齐次微分方程的一个特解。常向量c由初始 条件确定。
如何计算一个特解？常向量变易法，即设 x2(t ) etAc(t ),
带入原非齐次微分方程有 etAc'(t) b(t),
由此可以解出一个c(t)，即得到一个特解。
dt
dt
证明： 根据逆矩阵定义
A(t)A(t)1=
E n
等式两边求导，根据性质2可得
d ( A(t )) A(t )1 A(t ) d ( A(t )1 ) 0
dt
dt
因此
d ( A(t)1) A(t)1 d ( A(t)) A(t)1
dt
dt
注意,性质3.4.4中的f (z)为一元的解析函数，它不 是多元函数，和后面的多元函数矩阵要加以区别。
lim A(k) A.
k
若对某一组i和j，aij(k)不收敛，则称{A(k)}发散。
定理1：设A(k)∈Cm×n，设||||为任意广义矩阵范数，则 (1) A(k)趋于0的充要条件是||A(k)||趋于0； (2) A(k)趋于A的充要条件是||A(k)-A||趋于0。
性质1：设A(k)和B(k)分别收敛到A和B，则
其中c是任意常向量。若再加上初始条件x(t0)=x0， 则其解为
x(t ) e(tt0 ) A x0 .
例8 设矩阵 1 1 0
A 0 1 0, 0 0 2
求满足x(0)=[1 0 1]T的齐次微分方程 x(t) A x(t) 的解。
定理4：非齐次微分方程 x(t) A x(t) b(t) 的通 解可以表示为：
分和I+A+…+AN与和(I-A)-1之间的误差为：
N
I A 1 Ak
A N 1 .
k0
1 A
证明：
定理6：设幂级数 ck zk 的收敛半径为r。如果方
k0
阵A满足r(A)<r，则矩阵幂级数 ck Ak 绝对收敛；
若r(A)>r，则矩阵幂级数发散。k0
3.2 矩阵函数
1. 矩阵函数的概念 2. 矩阵函数值的求法
lim A(k) B(k) A B,
k
lim A(k)B(k) AB.
k
性质2：设A(k)收敛到A，且A(k)和A都可逆，则
lim A(k) 1 A1.
k
定义: 设A为方阵，且当k趋于无穷时，Ak趋于0， 则称A为收敛矩阵。
定理2(迭代法基本定理)：A是收敛矩阵的充要条
件是r(A)<1。
例9 设
1 1 0
1
A 0 1 0 , b(t) 0 ,
0 0 2
e2t
1 求满足初始条件 x(0) 1 的非齐次微分方程
0
x(t) A x(t) b(t) 的解。
1. 矩阵函数的概念
设一元函数f(z)能展开成z的幂级数：
f (z) ck zk , | z | r,
k0
则当n阶方阵A满足r(A)<r时，矩阵级数 ck Ak 收
敛，其和称为矩阵函数，记为
k0
f ( A) ck Ak .k02. 矩阵函数值的求法
(a) 待定系数法
给定A后，确定首1多项式g(l)，满足g(A)=0。(特
k0
PA(k )Q
P
A(
k
)
Q.
k0
k0
性质6：若两个矩阵级数都绝对收敛，分别收敛到 A,B，则其Cauchy乘积绝对收敛，且收敛到AB。
定理4：方阵A的幂级数 Ak 收敛的充要条件是
k0
r(A)<1，且收敛时的和为(I-A)-1。
定理5：若方阵A对某一矩阵范数有||A||<1，则部
定理3：A是收敛矩阵的充要条件是存在某种矩阵 范数满足||A||<1。
2. 矩阵级数 矩阵级数 A(k) 收敛到S，是指它的部分和序列 N k0 SN A(k) 收敛，且极限为S。 k0
显然矩阵级数收敛指每个元素对应的级数收敛。
2. 矩阵级数 矩阵级数 A(k) 绝对收敛到S，是指它的部分和 序列 N k0 SN A(k) 绝对收敛，且极限为S。 k0 即:每个元素对应的数项级数都是绝对收敛的，则 称矩阵级数是绝对收敛的。
在微分方程中的应用：
x1 '(t ) a11 x1(t ) a12 x2(t )
x2
'(t )
a21 x1(t )
a22 x2(t )
xn
'(t )
an1 x1(t )
an2 x2(t)
a1n xn(t ) b1(t ) a2n xn(t ) b2(t ) ann xn(t ) bn(t )
注意,性质4中的f (z)为一元的解析函数，它不是 多元函数，和后面的多元函数矩阵要加以区别。
2. 矩阵的积分
如果矩阵A(t)=(aij(t))∈Cm×n的每个元素aij(t)都在
[t0,t]上可积，则称A(t)可积，记为
t
t
A d
t0
a t0 ij
d
.
mn
(1)
征多项式或最小多项式均可)
设f(l)=g(l)q(l)+r(l)，利用待定系数法确定r(l)。
则f(A)=r(A) 。
例1 设 2 0 0
A 1 1 1, 1 1 3
求eA和etA。
零化多项式(l)的基本假设：
带导数的插值问题：
方法1. 基于Sylvster插值公式的矩阵函数求值
定理 其中：