四、随机变量的数字特征(问题详解)
预备知识4： 随机变量的数字特征
市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和 市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3, 如果立即 2/3 扩展， 扩展，则利润的期望值是 1 2 328 × + ( −80) × = 56 (万元 ) 3 3 如果他决定下一年再扩展， 如果他决定下一年再扩展，则利润的期望值为
1 2 160 × + 16 × = 64 (万元 ) 3 3
E( X) = ∫ xf ( x)dx
−∞
+∞
19
例5
设随机变量X的概率密度函数为 设随机变量 的概率密度函数为
3 x 2 , 0 < x < 1 f ( x) = 其它 0 , 的数学期望。 求X的数学期望。 的数学期望
解
E( X ) = ∫
=∫
+∞ −∞
1 0
xf ( x ) dx
乙：
8 × 0.2 N + 9 × 0.5 N + 10 × 0.3 N = 9.1 , N
5
可见甲的水平高些。 可见甲的水平高些。
定义 设离散型随机变量 的概率分布为 设离散型随机变量X的概率分布为
P{ X = x k } = pk ， = 1,2, ⋯ k
若级数
∑x
k=1
∞
k
pk
绝对收敛， 绝对收敛，
E( X ) = ∑ k ⋅ C p q
k =0 k n k
n
n− k
15
2. 二项分布 X ~ B(n, p)
令 i = k −1
P{ X = k} = C p q
k n k
n k n k
n−k
, k = 0,1,2,⋯, n (q = 1 − p )
四随机变量的数字特征-文档资料
考点与例题分析
考点一：数学期望和方差的计算 考点二：随机变量函数的数学期望与方差 考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性
考点一：数学期望和方差的计算
1.对分布已知的情形，按定义求； 2.对由随机试验给出的随机变量，先求出分布， 再按定义计算； 3.利用期望、方差的性质以及常见分布的期望和 方差计算； 4.对较复杂的随机变量,将其分解为简单随机变量, 特别是分解为(0,1)分布的随机变量和进行计算.
例1 一台设备由三大部件构成,在设备运转中各
部件需要调试整的概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各 部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部
件数,试求X的E(X)和D(X).
（二）方差 1.定义 D(X)=E{[X-E(X)]2}
均方差或标准差：(X)D (X)
2.计算 (1) 离散型： D (X ) [x k E (X )2p ]k.
(2)连续型： D (X )k [xE (X )]2f(x)d x.
(3) 常用计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).
(5)(6) XY 1; (6)(7)XY 1 X与Y以概率1线性相关,即存在a,b
且a≠0,使 P (Y a X b ) 1 .
(8)
1 P (Ya X b ) 1 (a0 ), XY
1 P (Ya X b ) 1 (a0 ), XY
（四）矩与混合矩
3.随机变量函数的数学期望
（1）X为随机变量，y=g(x)为实变量x的函数.
离散型：E (Y)E [g(X )] g(xk)p k;
连续型：E (Y ) E [g (X )] k g (x )f(x )d x .
随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征一、填空题1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-X e X E 。
2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且3.0)42(=<<X P ，则________)0(=<X P 。
3. 已知离散随机变量X 服从参数为2的泊松分布，即 ,2,1,!2)(2===-k e k k X P k ，则23-=X Z 的数学期望___________)(=Z E 。
4. 已知连续型随机变量X 的概率密度为1221)(-+-=x xe xf π，则________________,__________==DX EX 。
5. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则________________,__________==DX EX 。
6. 设离散随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数，如果在这些试验中事件发生的概率相同，并且已知,9.0=EX 则________=DX 。
7. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为4.0，则2X 的数学期望_____________2=EX 。
8. 设随机变量X 与Y 相互独立，4,2==DY DX ，则______________)2(=-Y X D 。
（12）9.若随机变量321,,X X X 相互独立，且服从相同的两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010，则∑==31i i X X 服从_________分布，___________________,__________==DX EX 。
10.设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为：⎩⎨⎧≤≤=其他,010,2)(x x x ϕ，⎩⎨⎧>=--其他,05,)()5(y e y y ϕ，则_______________)(=XY E 。
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征第3章随机变量的数字特征1，在下列句⼦中随机地取⼀单词，以X 表⽰取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .“They found Peking greatly changed ”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意⼀个。
它们的字母数分别为4，5，6，7，7。
所以分布律为5/29)77654(51)(=++++=X E .2，在上述句⼦的29个字母中随机地取⼀个字母，以Y 表⽰取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。
解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。
这时，字母数更多的单词更有可能被取到。
分布律为29/175)147665544(291)(=?+?+?+?=Y E .3，在⼀批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。
解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221312110222==C C C p 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台=?+?+?=E 。
4，抛⼀颗骰⼦，若得6点则可抛第⼆次，此时得分为6+（第⼆次所抛的点数），否则得分就是第⼀次所抛的点数，不能再抛。
求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。
解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，⽽且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第⼀次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分⼩于6。
分布律为得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点=++++++++++=E 。
5，（1）已知)(~X λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。
（2）设随机变量X 的分布律为Λ,4,3,2,1,6}{22--===k k k X P π，问X 的数学期望是否存在？解：（1）根据)(~X λπ，可得}6{!6!5}5{65=====--X P e e X P λλλλ，因此计算得到6=λ，即)6(~X π。
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=22Y X -=，则34） A C 5A 6、)1=（C ） A ．34?B ．37C ．323?D ．326 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ．-13?B ．15C ．19?D ．238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）A ．6?B ．22C ．30?D ．469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ．31?B ．1C ．310?D ．1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A.E （X ）=1?B.D （X ）=3?C.P （X=1）=0?D.P （X<1）=0.511A ．C ．12、XY ρ=（D 13x =(B)A ．14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ）A ．91-?B ．0 C ．91?D ．3117、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}22εσεμn n X P ≥<-?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ．{}221εσεμn X P -≤≥-?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91?B ．31C ．98?D ．124、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A25A 1234且5x =710 67、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ- 10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2,则E?(?Y?)=-0.5 121314、3=，则cov(X 1516大于1724}=0.6826 附：18、-0.5，19的期望E?(Y)=4,D?(Y?)=9,又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P XP ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y。
概率论与数理统计随机变量的数字特征
第四章随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数, 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.但在许多实际问题中, 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只要知道它的某些数字特征即可.例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量;又如, 在评价一批棉花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大, 偏离程度小, 则质量就较好. 等等实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩.第一节数学期望内容分布图示★引言★离散型随机变量的数学期望★例1 ★例2 ★例3★连续型随机变量的数学期望★例4★例5 ★例6 ★例7★随机变量函数的数学期望★例8★例9 ★例10 ★例11★数学期望的性质★例12 ★例13 ★例14★内容小结★课堂练习★习题4-1 ★返回内容要点：一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征, 它对评判事物、作出决策等具有重要作用.定义设X是离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{===ipxXP ii如果∑∞=1iiipx绝对收敛, 则定义X的数学期望(又称均值)为.)(1∑∞==iiipxXE二、连续型随机变量的数学期望定义设X是连续型随机变量, 其密度函数为)(xf,如果⎰∞∞-dxx xf) (绝对收敛, 定义X 的数学期望为 .)()(⎰∞∞-=dx x xf X E三、 随机变量函数的数学期望设X 是一随机变量, )(x g 为一实函数,则)(X g Y =也是一随机变量, 理论上, 虽然可通过X 的分布求出)(X g 的分布, 再按定义求出)(X g 的数学期望)]([X g E . 但这种求法一般比较复杂. 下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.定理1 设X 是一个随机变量, )(X g Y =,且)(Y E 存在, 则（1） 若X 为离散型随机变量, 其概率分布为,2,1,}{===i p x X P i i则Y 的数学期望为.)()]([)(1∑∞===i i i p x g X g E Y E（2） 若X 为连续型随机变量, 其概率密度为)(x f , 则Y 的数学期望为.)()()]([)(⎰∞∞-==dx x f x g X g E Y E注: (i)定理的重要性在于:求)]([X g E 时, 不必知道)(X g 的分布, 只需知道X 的分布即可. 这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便;(ii) 上述定理可推广到二维以上的情形, 即有定理2 设),(Y X 是二维随机向量, ),(Y X g Z =,且)(Z E 存在, 则 （1）若),(Y X 为离散型随机向量, 其概率分布为),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i则Z 的数学期望为,),()],([)(11∑∑∞=∞===j i ij j i p y x g Y X g E Z E（2） 若),(Y X 为连续型随机向量, 其概率密度为),(y x f 则Z 的数学期望为.),(),()],([)(⎰⎰∞∞-∞∞-==dx y x f y x g Y X g E Z E四、数学期望的性质1. 设C 是常数, 则;)(C C E =2．若k 是常数，则);()(X kE kX E =3. );()()(2121X E X E X X E +=+4. 设Y X ,独立, 则)()()(Y E X E XY E =;注: (i) 由)()()(Y E X E XY E =不一定能推出Y X ,独立，例如，在例10中，已计算得 49)()()(==Y E X E XY E ， 但 81}0{},431{,0}0,1{=======Y P X P Y X P ，显然}0{}1{}0,1{=⋅=≠==Y P X P Y X P 故X 与Y 不独立(ii) 这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形.例题选讲：离散型随机变量的数学期望例1 (讲义例1) 甲, 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为21,X X , 它们的分布律分别为,8.02.002101i p X1.03.06.02102ip X试评定他们的成绩的好坏.例2 (讲义例2) 某种产品的每件表面上的疵点数服从参数8.0=λ的泊松分布, 若规定疵点数不超过1个为一等品, 价值10元; 疵点数大于1个不多于4个为二等品, 价值8元; 疵点数超过4个为废品. 求:(1) 产品的废品率; (2) 产品价值的平均值.例3 按规定，某车站每天8:00~9:00和9:00~10:00之间都恰有一辆客车到站, 但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立. 其规律为一旅客8:20连续型随机变量的数学期望例4 (讲义例3) 已知随机变量X 的分布函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=4,140,4/0,0)(x x x x x F , 求).(X E例5 (讲义例4) 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为X (以年计), 规定:.3000,3;2500,32;2000,21;1500,1元一台付款元一台付款元一台付款元一台付款>≤<≤≤X X X X设寿命X 服从指数分布, 概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,00,10110/x x e x f x试求该商店一台电器收费Y 的数学期望.例6 (讲义例5) 设随机变量,127)(),(~=X E x f X 且 ⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f求a 与b 的值, 并求分布函数)(x F .例7 有2个相互独立工作的电子装置, 它们的寿命)2,1(=k X k 服从统一指数分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(/x x e x f x θθ,.0>θ若将这2个电子装置串联联接组成整机, 求整机寿命(以小时计)N 的数学期望.随机变量函数的数学期望例8 (讲义例6) 设),(Y X 的联合概率分布为:求).(),(),(XY E Y E X E例9 (讲义例7) 设随机变量X 在],0[π上服从均匀分布, 求)(),(sin 2X E X E 及.)]([2X E X E -例10 (讲义例8) 设随机变量),(Y X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧><<=.,0,1,1,23),(23其它x x y x yx y x f 求数学期望.1),(⎪⎭⎫⎝⎛XY E Y E例11 (讲义例9) 设某商店经营一种商品, 每周的进货量X 和顾客对该种商品的需求量Y 是两个相互独立的随机变量, 均服从[10,20]上的均匀分布. 此商店每售出一个单位的商品可获利1000元, 若需求量超过进货量, 可从其他商店调剂供应, 此时售出的每单位商品仅获利500元. 求此商店经销这种商品每周获利的期望.例12 设)(),(2X E X E 均存在，证明222)]([)()]([X E X E X E X E -=-. 例13 （二项分布的数学期望）若),,(~p n b X 求).(X E 数学期望的性质例14 (讲义例10) 一民航送各车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X 表示停车的次数, 求E (X ) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).课堂练习1. 设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏, 假定游戏的规则不公正, 以致两人获胜的概率不等,甲为p , 乙为q ,,q p >1=+q p . 为了补偿乙的不利地位, 另行规定两人下的赌注不相等, 甲为a , 乙为b , b a >. 现在的问题是: a 究竟应比b 大多少, 才能做到公正?2. 某种新药在400名病人中进行临床试验有一半人服用，一班人未服，经过5天后，有210人痊愈，其中190人是服了新药的.试用概率统计方法说明新药的疗效.3. 把数字n ,,2,1 任意地排成一列, 如果数字k 恰好出现在第k 个位置上, 则称为一个巧合, 求巧合个数的数学期望.第二节 方差随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价, 而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标.内容分布图示★ 引言 ★ 方差的定义★ 方差的计算 ★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7★ 方差的性质 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ 补充说明 ★ 例11 ★ 例12 ★ 条件期望与条件方差简介★ 例13★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题4-2 ★ 返回内容要点：一、 方差的定义定义1 设X 是一个随机变量, 若2)]([(X E X E -存在,则称它为X 的方差, 记为.)]([)(2X E X E X D -=方差的算术平方根)(X D 称为标准差或均方差, 它与X 具有相同的度量单位, 在实际应用中经常使用.方差刻划了随机变量X 的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.从方差的定义易见:(1)若X 的取值比较集中,则方差较小; (2)若X 的取值比较分散,则方差较大;(3)若方差0)(=X D , 则随机变量X 以概率1取常数值,此时X 也就不是随机变量了.二、 方差的计算若X 是离散型随机变量,且其概率分布为,2,1,}{===i p x X P i i则 ;)]([)(12∑∞=-=i i i p X E x X D若X 是连续型随机变量,且其概率密度为),(x f 则.)()]([)(2⎰∞∞--=dx x f X E x X D i利用数学期望的性质, 易得计算方差的一个简化公式:22)]([)()(X E X E X D -=.三、方差的性质1. 设C 常数, 则0)(=C D ;2. 若X 是随机变量, 若C 是常数, 则);()(2X D C CX D =3. 设Y X ,是两个随机向量,则)));())((((2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --±+=± 特别地, 若Y X ,相互独立, 则).()()(Y D X D Y X D +=±注: 对n 维情形, 有: 若n X X X ,,,21 相互独立, 则.)(,)(12111∑∑∑∑=====⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n i i i n i i i n i i n i i X D C X C D X D X D四、 条件数学期望和条件方差简介由于随机变量之间存在相互联系, 一个随机变量的取值可能会对另一随机变量的分布产生影响, 这种影响会在数字特征上得到反映. 下面要讨论的是：在某个随机变量取某值的条件下，求另一个与之相关的随机变量的数字特征. 作为简介，这里我们直接给出它们的定义.1. 设),(Y X 是离散型随机向量, 其概率分布为),,2,1,,2,1(},{ =====j i p y Y x X P ijj i定义2 (i) 称}|{)|(i j jj i x X y Y P y x X Y E ====∑（绝对收敛）为在 i x X =条件下Y 的条件数学期望.类似地，称 }|{)|(j i ii i y Y x X P x y Y X E ====∑（绝对收敛）为在 i y Y =条件下X 的条件数学期望;(ii) 称}|{)]|([)|(2i j ji j i x X y Y P x X Y E y x X Y D ===-==∑（绝对收敛）为在 i x X =条件下Y 的条件方差.类似地，称}|{)]|([)|(2j i ij i i y Y x X P y Y X E x y Y X D ===-==∑（绝对收敛）为在j y Y =条件下X 的条件方差.2．设),(Y X 是连续型随机向量, )|(|x y f X Y 是在x X =条件下的概率密度，)|(|y x f Y X 是在y Y =条件下X 的概率密度.定义3 (i) 称 ⎰+∞∞-==dy x y yf x X Y E X Y )|(]|[|（绝对收敛）为在 x X =条件下Y 的条件数学期望;类似地，称⎰+∞∞-==dx y x xf y Y X E Y X )|(]|[|（绝对收敛）为在 y Y =条件下X 的条件数学期望;(ii) 称dy x y f x X Y E y x X Y D X Y )|()]|([)|(|2⎰+∞∞-=-==（绝对收敛）为在x X =条件下Y 的条件方差;类似地，称dx y x f y Y X E x y Y X D Y X )|()]|([)|(|2⎰+∞∞-=-==（绝对收敛）为在y Y =条件下X 的条件方差.例题选讲:方差的计算例 1 (讲义例1) 设随机变量X 具有数学期望,)(μ=X E 方差.0)(2≠=σX D 记,*σμ-=X X 则;0])([1)(1)(*=-=-=μσμσX E X E X E.1])[(1])[()]([)()(222222*2**==-=-=-=σσμσσμX E X E X E XE X D即σμ-=X X *的数学期望为0, 方差为1. *X 称为X 的标准化变量.例2 (讲义例2) 设随机变量X 具有)10(-分布, 其分布律为,}1{,1}0{p X P p X P ==-==求),(X E ).(X D例3 (讲义例3) 设),(~λP X 求),(X E ).(X D 例4 (讲义例4) 设),,(~b a U X 求),(X E ).(X D例5 (讲义例5) 设随机变量X 服从指数分布, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,1)(/x x e x f x θθ其中,0>θ 求).(),(X D X E例6 (讲义例6) 设随机变量X 服从几何分布, 概率函数n k p p k X P k ,,2,1,)1(}{1 =-==-其中10<<p , 求)(),(X D X E .例7 (讲义例7) 设随机变量Y X ,的联合点分布在以点(0,1), (1,0), (1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布, 试求随机变量Y X Z +=的期望与方差.方差的性质例8 (讲义例8) 设,,)()(2R x x X E x f ∈-= 证明当)(X E x =时, )(x f 达到最小值. 注：本例子说明了数学期望)(X E 是随机变量X 取值的集中位置, 反映了X 的平均值. 例9 (讲义例9) 设),(~p n b X , 求).(),(X D X E 例10 (讲义例10) 设),,(~2σμN X 求).(),(X D X E例11 (讲义例11) 设活塞的直径（以cm 计）,40.22(~N X )03.02,气缸的直径,50.22(~N Y ),04.02 Y X ,相互独立, 任取一只活塞, 任取一只气缸, 求活塞能装入气缸的概率.例12 设随机变量X 和Y 相互独立, 试证).()]([)()]([)()()(22X D Y E Y D X E Y D X D XY D ++=条件数学期望和条件方差简介例 13 (讲义例12) 设),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，求),|(x X Y E = )|(x X Y D =.课堂练习1. 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,021,210,)(其它x x x x x f 求).(X E2. 设随机变量X 的概率分布律为4/112/16/16/13/1212/101i p X -试求1+-=X Y 及2X Z =的期望与方差.第三节 协方差及相关系数对多维随机变量, 随机变量的数学期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没能反映随机变量之间的关系. 本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间依赖关系的一个数字特征.内容分布图示★ 引言★ 协方差的定义★ 协方差的性质★ 例1 ★ 例2★ 相关系数的定义 ★ 相关系数的性质★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 矩的概念 ★ 协方差矩阵 ★ n 维正态分布的概率密度★ n 维正态分布的几个重要性质 ★ 例7★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题4-3 ★ 返回内容要点：一、 协方差的定义定义 设),(Y X 为二维随机向量,若)]}()][({[Y E Y X E X E --存在, 则称其为随机变量X 和Y 的协方差, 记为),(Y XC o v ,即 )]}.()][({[),cov(Y E Y X E X E Y X --=按定义, 若),(Y X 为离散型随机向量,其概率分布为),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i则 ∑--=ji j i Y E y X E x E Y X ,)]}.()][({[),cov(若),(Y X 为连续型随机向量, 其概率分布为),,(y x f 则⎰⎰+∞∞-+∞∞---=dxdy y x f Y E y X E x E Y X ),()]}()][({[),cov(.此外, 利用数学期望的性质, 易将协方差的计算化简.).()()()()()()()()()()]}()][({[),cov(Y E X E XY E Y E X E X E Y E Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X -=+--=--=特别地, 当X 与Y 独立时, 有 .0),cov(=Y X二、协方差的性质1. 协方差的基本性质 );(),cov()1(X D X X = );,cov(),cov()2(X Y Y X =),cov(),cov()3(Y X ab bY aX =,其中b a ,是常数; C X C ,0),cov()4(=为任意常数;).,cov(),cov(),cov()5(2121Y X Y X Y X X +=+(6) 若X 与Y 相互独立时,则.0),cov(=Y X2. 随机变量和的方差与协方差的关系),,cov(2)()()(Y X Y D X D Y X D ++=+ 特别地, 若X 与Y 相互独立时, 则)()()(Y D X D Y X D +=+.三、相关系数的定义与性质定义 设),(Y X 为二维随机变量,,0)(,0)(>>Y D X D 称)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ为随机变量X 和Y 的相关系数.有时也记XY ρ为ρ. 特别地，当0=XY ρ时，称X 与Y 不相关. 相关系数的性质1. ;1||≤XY ρ2. 若X 和Y 相互独立, 则0=XY ρ.3. 若0,0>>DY DX ,则1||=XY ρ当且仅当存在常数).0(,≠a b a 使1}{=+=b aX Y P , 而且当0>a 时, 1=XY ρ;当0<a 时, 1-=XY ρ.注: 相关系数XY ρ刻画了随机变量Y 与X 之间的“线性相关”程度. ||XY ρ的值越接近1, Y 与X 的线性相关程度越高; ||XY ρ的值越近于0, Y 与Y 的线性相关程度越弱.当1||=XY ρ时, Y 与X 的变化可完全由X 的线性函数给出. 当0=XY ρ时, Y 与X 之间不是线性关系.4. 设,)]([2b aX Y E e +-=称为用b aX +来近似Y 的均方误差,则有下列结论. 设,0)(,0)(>>Y D X D 则)()(,)(),cov(000X E a Y E b X D Y X a -==使均方误差达到最小.注: 我们可用均方误差e 来衡量以b aX +近似表示Y 的好坏程度, e 值越小表示b aX +与Y 的近似程度越好.且知最佳的线性近似为.0b X a +而其余均方误差)1)((2XY Y D e ρ-=. 从这个侧面也能说明. ||XY ρ越接近1, e 越小.反之, ||XY ρ越近于0, e 就越大.Y 与X 的线性相关性越小.四、矩的概念定义 设X 和Y 为随机变量, l k ,为正整数, 称)(k X E 为k 阶原点矩(简称k 阶矩阵); ))](([k X E X E - 为k 阶中心矩; )|(|k X E 为k 阶绝对原点矩; )|)((|k X E X E - 为k 阶绝对中心矩; )(l k Y X E 为X 和Y 的l k +阶混合矩;})]([)]({[l k Y E Y X E X E -- 为X 和Y 的l k +阶混合中心矩;注: 由定义可见:(1) X 的数学期望)(X E 是X 的一阶原点矩; (2) X 的方差)(X D 是X 的二阶中心矩;(3)协方差),(Y X Cov 是X 和Y 的二阶混合中心矩.五、协方差矩阵将二维随机变量),(21X X 的四个二阶中心矩)]}.()][({[)]},()][({[},)]({[},)]({[1122212211122222221111X E X X E X E c X E X X E X E c X E X E c X E X E c --=--=-=-=排成矩阵的形式: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22211211c c c c （对称矩阵），称此矩阵为),(21X X 的协方差矩阵. 类似定义n 维随机变量),,,(21n X X X 的协方差矩阵.若n j i X E X X E X E X X Cov c j j i i j i ij ,,2,1,)]}()][({[),( =--==都存在, 则称⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c cc c c C212222111211 为),,,(21n X X X 的协方差矩阵.六、n 维正态分布的概率密度七、n 维正态分布的几个重要性质例题选讲：协方差的性质例1 (讲义例1) 已知离散型随机向量),(Y X 的概率分布为求),cov(Y X .例2 (讲义例2) 设连续型随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,010,8),(y x xy y x f求),cov(Y X 和)(Y X D +.相关系数的性质例3 (易知,0)(=X E 于是XY 不相关. 这表示Y X ,不存在线性关系. 但},1{}2{0}1,2{=-=≠==-=Y P X P Y X P 知Y X ,不是相互独立的. 事实上, X 和Y 具有关系: ,2X Y =Y 的值完全可由X 的值所确定.例4 (讲义例4) 设θ服从],[ππ-上的均匀分布, ,sin θ=X θcos =Y 判断X 与Y 是否不相关, 是否独立.例5 (讲义例5) 已知)3,1(~2N X , ),4,0(~2N Y 且X 与Y 的相关系数 .21-=XY ρ 设,23YX Z -=求)(Z D 及.XZ ρ 例6 (讲义例6) 设),(Y X 服从二维正态分布, 它的概率密度为,)())((2)()1(21exp 121),(2222212121212221⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-------=σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f 求X 和Y 的相关系数XY ρ.注：在上一章中我们已经得到：若),(Y X 服从二维正态分布, 那么X 和Y 相互独立的充要条件为0=ρ. 现在知道ρ即为X 与Y 的相关系数, 故有下列结论:“若),(Y X 服从二维正态分布，则X 与Y 相互独, 立当且仅当X 与Y 不相关”.n 维正态分布的几个重要性质例7 (讲义例7) 设随机变量X 和Y 相互独立且),.2,1(~N X )1,0(~N Y ，试求32+-=Y X Z 的概率密度.课堂练习1. 对不同品牌的某种机械的两项重要指标评分, 设21,X X 为其所得分数(百分制). 已知,9.68)(1=X E 8.72)(2=X E ; ,81)(1=X D ;49)(2=X D .36),cov(21=X X现以服从正态分布的综合分21167169X X Y +=来决定各参评品牌的名次 .(1) 试求Y 的分布; (2) 如果对综合分85≥Y 的品牌颁奖, 试计算获奖者的百分比.第四节 大数定理与中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性. 例如, 大量的抛掷硬币的随机试验中, 正面出现频率; 在大量文字资料中, 字母使用频率; 工厂大量生产某种产品过程中, 产品的废品率等. 一般地, 要从随机现象中去寻求事件内在的必然规律, 就要研究大量随机现象的问题.在生产实践中, 人们还认识到大量试验数据、测量数据的算术平均值也具有稳定性. 这种稳定性就是我们将要讨论的大数定律的客观背景. 在这一节中，我们将介绍有关随机变量序列的最基本的两类极限定理----大数定理和中心极限定理.内容分布图示★大数定理的引入 ★依概率收敛 ★切比雪夫不等式 ★例1 ★例2★切比雪夫大数定理 ★例3★泊努力大数定理★辛钦大数定理 ★例4★例5大数定理★中心极限定理的引入 ★林德伯格—勒维定理★棣莫佛—拉普拉斯定理 ★例6 ★例7 ★例8 ★例9★例10 ★例11 ★用频率估计概率的误差 ★例12 ★李维普诺夫定理★高尔顿钉板试验中心极限定理★内容小结 ★课堂练习 ★习题4-4★返回内容要点：一、依概率收敛与微积分学中的收敛性的概念类似, 在概率论中, 我们要考虑随机变量序列的收敛性. 定义1 设 ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列, a 为一个常数,若对于任意给定的正数ε,有 ,1}|{|lim =<-∞→εa X P n n 则称序列 ,,,,21n X X X 依概率收敛于a , 记为).(∞→−→−n a X Pn定理1 设,,b Y a X Pn P n −→−−→−又设函数),(y x g 在点),(b a 连续, 则),(),(b a g Y X g Pn n −→−.二、切比雪夫不等式定理2设随机变量X 有期望μ=)(X E 和方差2)(σ=X D ,则对于任给0>ε, 有22}|{|εσεμ≤≥-X P .上述不等式称切比雪夫不等式.注：(i) 由切比雪夫不等式可以看出,若2σ越小, 则事件}|)({|ε<-X E X的概率越大, 即, 随机变量X 集中在期望附近的可能性越大. 由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度.(ii) 当方差已知时,切比雪夫不等式给出了X 与它的期望的偏差不小于ε的概率的估计式.如取,3σε= 则有.111.09}3|)({|22≈≤≥-σσσX E X P故对任给的分布,只要期望和方差2σ存在, 则随机变量X 取值偏离)(X E 超过σ3的概率小于0.111.三、大数定理1．切比雪夫大数定律定理3 (切比雪夫大数定律)设 ,,,,21n X X X 是两两不相关的随机变量序列,它们数学期望和方差均存在, 且方差有共同的上界, 即,,2,1,)( =≤i K X D i 则对任意0>ε, 有1)(11lim 11=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-∑∑==∞→εn i i n i i n X E n X n P 注: 定理表明: 当n 很大时,随机变量序列}{n X 的算术平均值∑=ni i X n 11依概率收敛于其数学期望∑=ni i X E n 1)(1.2．伯努利大数定理定理4 (伯努利大数定律)设A n 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数, p 是事件A 在每次试验中发生的概率, 则对任意的0>ε, 有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-→∞εp n n P A n 或 0l i m =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-→∞εp n n P A n . 注：(i) 伯努利大数定律是定理1的推论的一种特例, 它表明: 当重复试验次数n 充分大时, 事件A 发生的频率nn A依概率收敛于事件A 发生的概率p .定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性. 在实际应用中, 当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来近似代替事件的概率.(ii) 如果事件A 的概率很小，则由伯努利大数定律知事件A 发生的频率也是很小的，或者说事件A 很少发生. 即“概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生”，这一原理称为小概率原理，它的实际应用很广泛. 但应注意到，小概率事件与不可能事件是有区别的. 在多次试验中，小概率事件也可能发生.3．辛钦大数定理定理5 (辛钦大数定律) 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望,,2,1,)( ==i X E i μ 则对任意0>ε, 有11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i n X n P . 注: (i) 定理不要求随机变量的方差存在;(ii) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况;(iii) 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 例如, 要估计某地区的平均亩产量, 可收割某些有代表性的地块, 如n 块,计算其平均亩产量, 则当n 较大时,可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计. 此类做法在实际应用中具有重要意义.四、中心极限定理在实际问题中, 许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成, 其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的. 这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 以一门大炮的射程为例, 影响大炮的射程的随机因素包括: 大炮炮身结构的制造导致的误差, 炮弹及炮弹内炸药在质量上的误差, 瞄准时的误差, 受风速、风向的干扰而造成的误差等. 其中每一种误差造成的影响在总的影响中所起的作用是微小的, 并且可以看成是相互独立的, 人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的总影响. 因此需要讨论大量独立随机变量和的问题.中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题, 其结论表明: 当一个量受许多随机因素(主导因素除外) 的共同影响而随机取值, 则它的分布就近似服从正态分布.1．林德伯格—勒维定理定理6 (林德伯格—勒维) 设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列, 且,,,2,1,)(,)(2n i X D X E i i ===σμ则 ⎰∑∞--=∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-x t n i i n dt e x n n X P 2/1221lim πσμ 注: 定理6表明: 当n 充分大时, n 个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布. 虽然在一般情况下, 我们很难求出n X X X +++ 21的分布的确切形式,但当n 很大时, 可求出其近似分布. 由定理结论有.1),/,(~)1,0(~/1)1,0(~1211∑∑∑====⇒-⇒-n i i ni i ni i X n X n N X N nX n N n n X σμσμσμ近似近似故定理又可表述为: 均值为μ, 方差的02>σ的独立同分布的随机变量 ,,,,21n X X X 的算术平均值X , 当n 充分大时近似地服从均值为μ,方差为n /2σ的正态分布. 这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础.2. 棣莫佛—拉普拉斯定理在第二章中，作为二项分布的正态近似，我们曾经介绍了棣莫佛—拉普拉斯定理，这里再次给出，并利用上述中心极限定理证明之.定理7（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量n Y 服从参数p n ,)10(<<p 的二项分布, 则对任意x , 有)(21)1(lim 22x dt e x p np np Y P x tn n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--⎰∞--∞→π注: 易见，棣莫佛—拉普拉斯定理就是林德伯格—勒维定理的一个特殊情况.3．用频率估计概率的误差设n μ为n 重贝努里试验中事件A 发生的频率, p 为每次试验中事件A 发生的概率,,1p q -=由棣莫佛—拉普拉斯定理,有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-pq n npqnp pq nP p n P n n εμεεμ .12-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈pq n pq n pq n εεε这个关系式可用解决用频率估计概率的计算问题:4. 李雅普诺夫定理定理8（李雅普诺夫定理） 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 它们具有数学期望和方差: ,2,1,0)(,)(2=>==i X D X E kk k k σμ，记.122∑==nk k nB σ 若存在正数δ, 使得当∞→n 时,,0}|{|1122→-∑=++nk k knXE Bδδμ则随机变量之和∑=n k k X 1的标准化变量:nnk kn k kn k k n k k nk k n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111μ的分布函数)(x F n 对于任意x , 满足).(21lim )(lim 2/112x dt e x B X P x F x t n n k k n k k n n n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎰∑∑∞--==∞→∞→πμ注：定理8表明, 在定理的条件下, 随机变量.11nnk kn k kn B X Z ∑∑==-=μ当n 很大时,近似地服从正态分布)1,0(N . 由此, 当n 很大时,∑∑==+=nk k n n nk k Z B X 11μ近似地服从正态分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21,n n k k B N μ.这就是说,无论各个随机变量),2,1( =k X k 服从什么分布,只要满足定理的条件,那么它们的和∑=nk k X 1当n 很大时,就近似地服从正态分布.这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因.在很多问题中,所考虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和,例如,在任一指定时刻,一个城市的耗电量是大量用户耗电量的总和;一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差所合成的,它们往往近似地服从正态分布.例题选讲：切比雪夫不等式例1 (讲义例1) 已知正常男性成人血液中, 每一毫升白细胞数平均是7300, 均方差是700. 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.例2 (讲义例2) 在每次试验中, 事件A 发生的概率为0.75, 利用切比雪夫不等式求: 事件A 出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90? 切比雪夫大数定律例3 (讲义例3) 设}{k X 为相互独立的随机变量序列, 且,212112120212212++--k kk kk k pX ,2,1=k 试证}{k X 服从大数定律.辛钦大数定理例4 (讲义例4) 设}{k X 为相互独立且同分布的随机变量序列, 并且k X 的概率分布为),,2,1(2}2{ln 2 ===--i X P ii i k试证}{k X 服从大数定律.中心极限定理例5 在一个罐子中，装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码. 设⎩⎨⎧=否则次取到号码第,00,1k X k , n k ,2,1=问对序列}{k X 能否应用大数定律？例6 (讲义例5) 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100g 标准差是10g, 一盒螺丝钉的重量超过10.2kg 的概率.例7 (讲义例6)一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 3的概率为,3/1=p 若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500~30500次纵摇角度大于 3的概率是多少？例8 对于一个学校而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量, 设一个学生无家长, 1名家长, 2名家长来参加会议的概率分别0.05, 0.8, 0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数X 超过450的概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.例9 (讲义例7)（供电问题）某车间有200台车床, 在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工作等常需停车. 设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的, 且在开工时需电力1千瓦. 问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?例10 设有1000人独立行动, 每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9. 以95%概率估计, 在一次行动中:(1)至少有多少人能进入掩蔽体; (2)至多有多少人能进入掩蔽体.例11 (讲义例8) 设一大批产品中一级品率为10%, 现从中任取500件.(1) 分别用切比雪夫不等式估计和中心极限定理计算: 这500件中一级品的比例与10%之差的绝对值小于2%的概率;(2) 至少应取多少件才能使一级品的比例与10%之差的绝对值小于2%的把握大于95%?用频率估计概率的误差例12 (讲义例9 现从某厂生产的一批同型号电子元件中抽取395件, 由于次品率未知,需要通过次品的相对频率来估计, 这时估计的可靠性大于95%. (1)求绝对误差ε;(2)如果样品中有十分之一是次品, 应对p 怎样估计?李雅普诺夫定理例13 (讲义例10高尔顿钉板试验如图4-4-2是高尔顿钉板, 常常在赌博游戏中见到, 庄家常常在两边放置值钱的东西来吸引顾客, 现在可用中心极限定理来揭穿这个赌博中的奥秘.设n 为钉子的排数, 记随机变量。
概率统计 第四章 随机变量的数字特征
i1 j1
E(Z ) E(g(X ,Y ))
g(xi , y j ) pij
i1 j1
(2)设(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，则当
g(x, y) f (x, y)dxdy
绝对收敛时，Z的数学期望存在，且
E(Z ) E(g(X ,Y ))
g(x, y) f (x, y)dxdy
此定理说明，在求随机变量X的函数Y=g(X)的期
望时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布即可。
定理4.1.2设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，g(•,•)是 连续函数。
(1)设(X,Y)是离散型随机变量，分布律为
P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…
则当 g(xi , y j ) pij 绝对收敛时，Z的数学期望存在，且
解 设Xj为第j组的化验次数，j=1,2,…,10， X为1000人的化验次 数，则Xj的可能取值为1，101，且
Xj
1
101
Pj (99%)100 1-(99%)100
EX j 0.99100 (101)(1 0.99100 )
10
10
E(X ) E( X j ) E(X j )
j 1
第四章 随机变量的数字特征、极限定理
数学期望
几种重要分布的数学期望与方差 矩、协方差和相关系数 分位点、众数与其它数字特征
3.1数学期望
1.数学期望的定义 一、离散型随机变量的数学期望
例3.1 甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击 中命中环数与次数记录如下：
甲 环数 8 9 10
乙 环数 8 9 10
因此从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。
概率教材第4章随机变量的数字特征
第4章随机变量的数字特征前面我们讨论的随机变量的分布函数，能够完整地描述随机变量的统计规律性，但是在许多实际问题中，人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只要知道它的某些特征即可.例如，评定射击运动员的射击水平时，常感兴趣的是他命中的环数的平均值，以及命中点的集中程度．命中环数的平均值越大，说明运动员的水平越高；命中点越集中，说明运动员水平越稳定．这些与随机变量有关的数值，我们称之为随机变量的数字特征，这些数字特征在概率论与数理统计中起着重要的作用．本章主要介绍随机变量的数学期望和方差、随机变量的矩以及两个随机变量的协方差和相关系数.4.1随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最重要的数字特征之一，已经广泛应用于社会生活和生产实践的各个领域，它对评判事物、做出决策等具有重要作用.例如，在某次教师技能大奖赛上，七位评委为某选手打出的分数如下：9.5，8.9，9.5，9.8，9.6，9.5，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，该教师的平均分是多少？如果用随机变量X表示有效分数，则X的概率分布为：X9.59.69.7P0.60.20.2这时该选手的平均分为：39.519.619.75⨯+⨯+⨯=0.69.50.29.60.29.79.56⨯+⨯+⨯=这个平均分数称为随机变量的数学期望，不难看出，它等于随机变量的取值与对应概率乘积的和，下面我们把这个现象用分析的语言描述出来.定义1设离散型随机变量X 的概率分布为：X 1x 2x …n x …P1p 2p …np …即{},1,2,i i P X x p i ===…，若级数11221iin n i x px p x p x p ∞==++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑绝对收敛（即1iii x p∞=<+∞∑），则称其和为X 的数学期望，简称期望，也叫均值，记作EX ，即1i ii EX x p ∞==∑(4.1)否则，称X 的数学期望不存在.例1设随机变量X 服从参数为p 的0—1分布，求EX .解由题设知，X 的概率分布为：于是0(1)1EX p p p =⋅-+⋅=.例2一批产品中有一、二、三等品及废品四种，相对应的比例分别为%%%60，20，10和%10，若各等级产品对应的产值分别为6元，4.8元，4元和0元，求产品的平均产值.X 01P1p-p解设产品的产值为X 元，根据题意X 的概率分布为：X 04 4.86P0.10.10.20.6于是40.1 4.80.260.6 4.96EX =⨯+⨯+⨯=（元）.例3设随机变量~(,)X B n p ，求EX .解因为~(,)X B n p ，所以X 的概率分布为：{}(1),0,1,2,,.k kn k n P X k C p p k n -==-= 于是00!(1)(1)!()!nnkkn kk n knk k kn EX kC p p p p k n k --===-=--∑∑1(1)(1)1(1)!(1)(1)![(1)(1)]!k n k nk np n p p k n k ----=--=----∑1[(1)]n np p p np -=+-=．例4设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求EX .解根据题意，X 的概率分布为：{},0,1,2,,.!m e P X m m n m λλ-=== 于是101!(1)!m m m m e EX m e e e m m λλλλλλλλλ--∞∞--======-∑∑．二、连续型随机变量的数学期望定义2设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若()xf x dx +∞-∞⎰绝对收敛（即()xf x dx +∞-∞<+∞⎰），则称()xf x dx +∞-∞⎰为X 的数学期望，记作EX ，即()EX xf x dx+∞-∞=⎰(4.2)否则，称X 数学期望不存在.例5设随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，求EX .解根据题意得1,,~()0,a xb X f x b a⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他,于是1()baEX xf x dx x dx b a+∞-∞==⋅-⎰⎰2122b ax a bb a +==-.该例表明，一维均匀分布的期望为该随机变量取值区间的中点.例6设随机变量X 服从参数0λλ>（）的指数分布，求EX .解根据题意得,0,~()0,x e x X f x λλ-⎧>=⎨⎩其他,于是()x EX xf x dx xe dxλλ+∞+∞--∞==⎰⎰xx xe e dx λλ+∞+∞--=-+⎰+011xeλλλ∞-=-=．例7已知连续型随机变量X 的分布函数0,01(),0221,2x F x x x x ≤⎧⎪⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩，求EX .解根据题意随机变量X 的密度函数为1,02,()()20,x f x F x ⎧<≤⎪'==⎨⎪⎩其他,所以222001()124x EX xf x dx x dx +∞-∞==⋅==⎰⎰.例8已知随机变量X 的概率密度为：,01()0,ax b x f x +≤≤⎧=⎨⎩其他且7=12EX ，求a 与b 的值.解根据题意1()()12af x dx ax b dx b +∞-∞=+=+=⎰⎰1207()()3212a b EX xf x dx ax bx dx +∞-∞==+=+=⎰⎰解关于a 与b 的方程组得，1a =，1=2b .定义3在考虑n 维随机向量12(,,,)Tn X X X 时，若每个iEX (1,2,,)i n = 都存在，则称12(,,,)T n EX EX EX 为n 维随机向量12(,,,)T n X X X 的数学期望或均值.三、随机变量函数的数学期望设X 是随机变量，()g x 为实函数，则()Y g X =也是随机变量.理论上，可以通过X 的分布求出()Y g X =的分布，再按定义求出数学期望[()]E g X ，但是这种求法一般比较复杂，下面的定理给出了一种直接求解方法.定理1设X 是随机变量，Y 是随机变量X 的函数，()Y g X =，其中()y g x =是一元连续函数.(1)若X 为离散型随机变量，其概率分布为{}i i P X x p ==，1,2,i = ，如果无穷级数1()iii g x p∞=∑绝对收敛，即1|()|iii g x p∞=<+∞∑，则Y 的数学期望为1[()]()i i i EY E g X g x p ∞===∑.(4.3)(2)若X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分()()g x f x dx +∞-∞⎰绝对收敛，即|()|()g x f x dx +∞-∞<+∞⎰，则Y 的数学期望为[()]()()EY E g X g x f x dx +∞-∞==⎰.(4.4)根据定理1，求随机变量()Y g X =的数学期望时，只需知道X 的分布，无需求Y 的分布，这给我们计算提供了极大的方便.上述定理可以推广到二元或二元以上随机变量函数的情形.定理2设(,)X Y 是二维随机向量，Z 是关于随机向量X 和Y 的函数，(,)Z g X Y =，其中(,)Z g x y =是二元连续函数.(1)若(,)X Y 是二维离散型随机向量，其概率分布为{,}i j ij P X x Y y p ===，,1,2i j = ，，并且11|(,)|i j ij i j g x y p ∞∞==<+∞∑∑，则11[(,)](,)i j ij i j EZ E g X Y g x y p ∞∞====∑∑.(4.5)(2)若(,)X Y 是二维连续型随机向量，其概率密度为(,)f x y ，并且|(,)|(,)g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞<+∞⎰⎰，则[(,)](,)(,)EZ E g X Y g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞==⎰⎰.(4.6)定理1和定理2的证明超出本书范围，略.例9设(,)X Y 的概率分布为：Y X 0123103838031818求EX ，EY ，2EX 和()E XY .解关于X 和Y 的边缘分布为：于是31313442EX =⨯+⨯=，13313=0+1+2+3=88882EY ⨯⨯⨯⨯22231=1+3=344EX ⨯⨯，331()(10)0(11)(12)(13)0(30)88819(31)0(32)0(33).84E XY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=例10随机变量X 服从区间],0[π上的均匀分布，求EX ，2EX ，)(sin X E 及2)]([X E X E -解1()2EX xf x dx x dx πππ+∞-∞==⋅=⎰⎰，22221()3EX x f x dx x dx πππ+∞-∞==⋅=⎰⎰，0112(sin )sin ()sin (cos )0E X xf x dx x x πππππ+∞-∞==⋅=-=⎰⎰X 13i p ⋅3414Y 0123jp ⋅18383818222201[()]()()2212E X E X E X X dx πππππ-=-=-⋅=⎰.例11假定国际市场对我国某种商品的需求量是随机变量X (单位：吨)，它服从区间[2000，4000]上的均匀分布，每销售出一吨该商品，可为国家赚取外汇3万元，若销售不出去，则每吨商品需贮存费1万元，问如何计划出口量，能使国家收益最大？解设计划年出口量为t 吨，国家年收益Y 万元，根据题意20004000t ≤≤，且有120004000,~()20000,x X f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它，3,=()4,t X t Y g X X t X t ≥⎧=⎨-<⎩，，于是由（4.4）式有400020001()()()2000EY g x f x dx g x dx +∞-∞==⎰⎰400020001(4)32000tt x t dx tdx ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰()26170004101000t t =-+-⨯易得当3500t =时，EY 达到最大，所以计划出口量为3500吨时，国家年收益最大.例12已知随机变量X 表示某电子元件的使用寿命(单位：小时)，并且服从参数为0.001的指数分布，若规定使用寿命X 在500小时以下为废品，产值为0元；在500到1000小时之间为次品，产值为10元；在1000到1500小时之间为二等品，产值为30元；在1500小时以上者为一等品，产值为40元，求该电子元件的平均产值.解设该电子元件的产值为Y 元，由题设知0.0010.001,0,~()0,0,x e x X f x x -⎧>=⎨≤⎩0,500,10,5001000,()30,10001500,40,1500.X X Y g X X X <⎧⎪≤<⎪==⎨≤<⎪⎪≥⎩于是由（4.4）式有()()EY g x f x dx +∞-∞=⎰50010000.0010.00105000(0.001)10(0.001)x x e dx e dx --=⋅+⋅⎰⎰15000.001100030(0.001)xedx -+⋅⎰0.001150040(0.001)x e dx+∞-+⋅⎰15.65≈(元).该例表明，在利用定理1求[()]E g X 时，允许函数()y g x =不连续.例13设,01,01,(,)~(,)0,x y x y X Y f x y +≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他,求2EX ，()E X Y +及()E XY .解由(4.6)式，有11222005(,)()12EX x f x y dxdy x x y dxdy +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰，112007()()(,)()6E X Y x y f x y dxdy x y dxdy +∞+∞-∞-∞+=+=+=⎰⎰⎰⎰，11001()(,)()3E XY xyf x y dxdy xy x y dxdy +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰.四、数学期望的性质设,,a b c 为常数，X 和Y 是随机变量，且EX 和EY 都存在，则数学期望有下列性质：性质1Ec c =.(4.7)性质2()E aX b aEX b +=+.(4.8)性质1请读者自己证明，下面给出性质2的证明.证明令Y aX b =+，因为y ax b =+是单调的，所以可以排除X 是连续型随机变量而Y 却是离散型随机变量的可能，也就是说只需分两种情况来证明，即X 与Y 都是离散型随机变量或者X 与Y 都是连续型随机变量.1.当X 为离散型随机变量时，设X 的概率分布为{}1,2,i i P X x p i === ，.则Y 的概率分布为{}i i P Y ax b p =+=，1,2i = .于是1()()i ii EY E aX b ax b p ∞==+=+∑11i i i i i a x p b p ∞∞===+∑∑aEX b =+.2.当X 为连续型随机变量时，设~()X X f x ，并且不失一般性地假设0a ≠(显然Eb b =)，则1~()()Y X y bY f y f a a-=.于是()()Y EY E aX b yf y dy +∞-∞=+=⎰1[(X y by f dy a a+∞-∞-=⎰()()X y ax b ax b f x dx +∞-∞=++⎰令()()X X a xf x dx b f x dx+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰aEX b =+.性质3()E X Y EX EY ±=±.(4.9)性质3可以推广到任意有限个随机变量的情况，即1212()()()()n n E X X X E X E X E X ±±⋅⋅⋅±=±±⋅⋅⋅±.(4.10)性质4设X 与Y 相互独立，则()E XY EX EY =⋅.(4.11)性质4可以推广到任意有限个相互独立的随机变量的情况，即设12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立，则1212()()()()n n E X X X E X E X E X ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅.(4.12)下面我们来证明性质3和性质4.证明仅就(,)X Y 为二维连续型随机向量的情形加以证明.设二维连续型随机向量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，其关于X 和关于Y 的边缘概率密度分别为()X f x 和()Y f y ，则()()(,)E X Y x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞±=±⎰⎰(,)(,)xf x y dxdy yf x y dxdy+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞=±⎰⎰⎰⎰EX EY =±.性质3得证.又若X 与Y 相互独立，此时(,)()()X Y f x y f x f y =⋅.于是()(,)E XY xyf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰()()X Y xf x dx yf y dy +∞+∞-∞-∞=⋅⎰⎰EX EY =⋅.性质4得证.注意到：只要将证明中的“积分”用“和式”代替，就能得到(,)X Y 为二维离散型随机向量情形的证明.性质4的逆命题不成立，即由()E XY EX EY =⋅不能得到X 与Y 一定独立.例如，在例9中，我们已经计算得()94E XY EX EY =⋅=，但{1,0}0,P X Y ==={1}3{0}18,P X P Y ====显然{1,0}{1}{0}P X Y P X P Y ==≠=⋅=，故X 与Y 不独立.例14已知X 与Y 的概率分布分别为并且()8.5E X Y +=，求(1)EX ，(2)E X ，EY ；(2)2(23)E Y +.解(1)10.320.530.2 1.9EX =⨯+⨯+⨯=.由(4.8)式及(4.9)式，有(2)22 1.9 3.8E X EX ==⨯=，()8.5 1.9 6.6EY E X Y EX =+-=-=.(2)由于60.40.6 6.6EY a =⨯+⨯=，故7a =.由(4.3)式，有222(23)(263)0.4(273)0.690.6E Y +=⨯+⨯+⨯+⨯=.这里我们也可以利用定义1计算(2)E X 和2(23)E Y +，只是需要先求出2X 和223Y +的概率分布.例15设(,)X Y 等可能地取(1,0)-，(0,1)-，(1,0)和(0,1)，试判断(1)()E XY 与EX EY ⋅是否相等；(2)X 与Y 是否独立．解由题设知(,)X Y 的概率分布为：Y X 1-011-0140014014114X 123P0.30.50.2Y 6a P0.40.6()(1)(1)0E XY =-⨯-⨯11(1)0(1)100(1)00044+-⨯⨯+-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯1014+⨯⨯1(1)0+⨯-⨯11011004+⨯⨯+⨯⨯=，11(1)0(1)(1)0044EX EY ==-⨯+-⨯+-⨯+⨯1000104+⨯+⨯+⨯111004+⨯+⨯=，于是()E XY EX EY =⋅.(2)由于{0,0}0P X Y ===，并且111{0}{0}0442P X P Y ====++=，于是{0,0}{0}{0}P X Y P X P Y ==≠=⋅=，故X 与Y 不独立.这里已知(,)X Y 的概率分布，也可以利用期望的定义4.1计算()E XY ，EX 和EY .4.2随机变量的方差上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它主要用来描述随机变量的平均特征，但是在许多实际问题中，仅仅知道平均值是不够的，为此本节我们引入方差的概念，用它来描述随机变量取值的离散程度.一、方差的概念先看一个例子.设甲、乙两位射击运动员打中靶的环数分别为1X ，2X ，其概率分布为：1X 78910P0.40.30.20.12X 05610计算两位运动员打中靶的环数的期望为170.480.390.2100.18EX =⨯+⨯+⨯+⨯=200.0450.1660.2100.68EX =⨯+⨯+⨯+⨯=虽然两位运动员打中靶环数的期望相同，但是比较两组数据可知甲射手比乙射手技术稳定，因此甲打中靶的环数比较集中.可见在实际问题中，仅仅靠期望来描述随机变量的分布特征还不够完善，还需要进一步研究其离散程度，通常人们关心的是随机变量X 对均值EX 的离散程度.定义4如果随机变量X 的数学期望EX 存在，则称X EX -为随机变量X 的离差.显然，随机变量X 离差的期望为零，即()=0E X EX -.(4.13)这样，如果用()E X EX -来度量X 与EX 的偏差，结果是正负偏差相互抵消，为了消除离差X EX -的符号，通常用2()E X EX -来度量X 与EX 的偏差.定义5设X 是一个随机变量，若2()E X EX -存在，则称其为X 的方差，记作DX 或VarX ，即2()DX E X EX =-.(4.14)为X 的标准差或均方差.由定义5知，方差实际上就是随机变量函数2()X EX -的数学期望，所以可以用求随机变量函数2()X EX -的数学期望的方法来求随机变量X 的方差.1.设X 为离散型随机变量，其概率分布为{}i i P X x p ==，1,2,,i = P 0.040.160.20.6若21()ii i x EX p +∞=-<+∞∑，则21()i i i DX x EX p +∞==-∑.(4.15)2.设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，若2()()x EX f x dx +∞-∞-<+∞⎰，则2()()DX x EX f x dx +∞-∞=-⎰.(4.16)可见，随机变量的方差是一个非负数.当X 的可能值密集在它的期望值EX 附近时，方差较小，反之则方差较大.因此，方差刻画了随机变量的取值的离散程度.由方差的定义式容易得到下面的常用计算式22()DX EX EX =-．(4.17)证明2()DX E X EX =-22[2()]E X X EX EX =-⋅+222()EX EX EX EX =-⋅+22()EX EX =-.(4.17)式表明2EX 不小于2()EX ，而且提供了一种计算方差的主要方法，即它把方差的计算归结为计算两个容易求得的期望EX 和2EX .例16设随机变量X 服从参数为p 的0—1分布，求DX .解由题设知，X 的概率分布为X 01P1p-p由例1知，EX p =，再由（4.3）式2220(1)1EX p p p =⋅-+⋅=，于是222()(1)DX EX EX p p p p =-=-=-.例17在本节开始所举甲、乙两位射击运动员射击一例中，求1DX 及2DX .解前面已经计算过128EX EX ==，又22222170.480.390.2+100.165EX =⨯+⨯+⨯⨯=22222200.0450.1660.2+100.671.2EX =⨯+⨯+⨯⨯=，所以22111()1DX EX EX =-=，22222()7.2DX EX EX =-=.例18设X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，求DX .解由题设知1,,~()0,a xb X f x b a⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他.由(4.4)式，有222221()3ba a ab b EX x f x dx x dx b a +∞-∞++==⋅=-⎰⎰，由例5知，2a bEX +=，于是222222()()()3212a ab b a b b a DX EX EX +++-=-=-=.*例19设随机变量~()X P λ，其中0λ>，求DX .解X 的概率分布为{}!m P X m e m λλ-==，(0,1,2,...)m =.由例4可知=EX λ，根据(4.3)式2201(11)!(1)!m m i i EX m e m em m λλλλ∞∞--====-+-∑∑21(2)!(1)!m m m m e e m m λλλλ∞∞--===+--∑∑2122010(2)!(1)!m m m m e e m m λλλλλλ--∞∞---=-==+--∑∑2λλ=+.因此利用（4.17）式有2222()()DX EX EX λλλλ=-=+-=.即=EX DX λ=.例20设X 服从参数为λ的指数分布，即X 的概率密度为,0,()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他.其中0λ>，求DX .解由例6可知1=EX λ，再由(4.4)式，有2220()x EX x f x dx x e dxλλ+∞+∞--∞==⎰⎰220xx x e xe dxλλ+∞--+∞=-+⎰22λ=.因此，利用(4.17)式有2221()DX EX EX λ=-=.*例21设随机变量2~(,)X N μσ，即X的概率密度为22()2(),x f x μσ--=(x -∞<<+∞)，其中μ，σ为实数，并且0σ>，求,EX DX .解根据题意得22()2()x EX xf x dx dxμσ--+∞+∞-∞-∞==⎰⎰令x y μσ-=，则dxdy σ=，由泊松积分221y dy -+∞-∞=⎰，有22y EX dy-+∞-∞=⎰2222y y yedyμ--+∞+∞-∞-∞=+⎰μ=.由(4.16)式，有2()()DX x EX f x dx+∞-∞=-⎰22()22x e dxμσ--+∞-∞=⎰2222y y e d y-+∞-∞⎰=222y de σ-+∞-∞=-⎰222222y y ye dyσ--+∞-∞+∞=+-∞⎰2σ=.特别地，若~(0,1)X N ，则0EX =，1DX =.定义4.6在考虑n 维随机向量12(,,,)Tn X X X 时，若每个i DX (1,2,)i = 都存在，则称12(,,,)T n DX DX DX 为n 维随机向量12(,,,)T n X X X 的方差.二、方差的性质关于方差，我们有下面几个重要性质.设X ，Y 是随机变量，a ，b ，c 为实值常数，则性质10Dc =.(4.18)性质22()D aX a DX =.(4.19)性质3()D X b DX +=.(4.20)性质1到性质3的证明留给读者自己完成.性质42()D aX b a DX +=.(4.21)证明222()[()()][()]D aX bE aX b E aX b E a X EX +=+-+=-222()a E X EX a DX =-=.性质5若X 与Y 相互独立，则()D X Y DX DY ±=+.(4.22)证明由(4.17)式，有22()()[()]D X Y E X Y E X Y ±=±-±2222(2)[()2()]E X XY Y EX EX EY EY =±+-±⋅+2222[2()][()2()]EX E XY EY EX EX EY EY =±+-±⋅+2222[()][()]2[()]EX EX EY EY E XY EX EY =-+-±-⋅2[()]DX DY E XY EX EY =+±-⋅.由X 与Y 独立，有()E XY EX EY =⋅.于是()D X Y DX DY ±=+.性质5的逆命题不成立，即由()D X Y DX DY ±=+，不能得到X 与Y 相互独立.但是它可以推广到任意有限个相互独立的随机变量的情形，即若12,,,n X X X 相互独立，则11()n niii i D X DX===∑∑.(4.23)例22设随机变量~(,)X B n p ，求DX .解根据题意{}ii n in P X i C p q-==，(0,1,,)i n = ，则X 可以理解为n 重伯努利试验中“成功”的次数.若令1,1,2,,,0,i i X i n i ⎧==⎨⎩ 第次成功,第次失败,则12n X X X X =++⋅⋅⋅+，并且(1,2,,)i X i n = 相互独立同服从参数为p 的0—1分布，于是i EX p =，i DX pq =，(1,2i = ，).由(4.10)式及(4.23)式，有11()nni ii i EX E X EXnp =====∑∑，11()nni ii i DX D X DXnpq =====∑∑．例23设随机变量X 与Y 相互独立，并且0EX EY ==，2DX DY σ==，求2()E X Y -.解由(4.9)式，有()0E X Y EX EY -=-=，由X 与Y 独立，得222()2D X Y DX DY σσσ-=+=+=，于是2222()()[()]202E X Y D X Y E X Y σσ-=-+-=+=.4.3常用分布及其数学期望与方差表为了方便今后查询，现将七种常用分布的期望与方差总结为下表.表4—1常用分布及其数学期望与方差总结表4.4协方差与相关系数前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，本节将讨论反映多维随机变量的两个分量之间关系的强弱的数字特征．一、协方差在证明方差的性质时，我们已经知道，在X 与Y 相互独立的条件下，有[()()]0E X EX Y EY --=，可知，当[()()]0E X EX Y EY --≠时，X 与Y 一定不独立．这说明[()()]E X EX Y EY --在一定程度上反映了随机变量X 与Y 之间的关系．定义7设(,)X Y 为二维随机向量，EX 和EY 均存在，若数学期望[()()]E X EX Y EY --存在，则称数值[()()]E X EX Y EY --为X 与Y的协方差，记作cov(,)X Y ，即cov(,)[()()]X Y E X EX Y EY =--.(4.24)显然，cov(,)X X DX=(4.25)由定义7知，X 与Y 的协方差实际上就是二元随机变量函数()()X EX Y EY --的数学期望，因此由定理2有(1)设(,)X Y 是二维离散型随机向量，其概率分布为{,}i j ij P X x Y y p ===，,1,2,i j = ，并且|()()|ij ijijx EX y EY p--<+∞∑∑，则cov(,)()()i j ij ijX Y x EX y EY p =--∑∑.(4.26)(2)设(,)X Y 是二维连续型随机向量，其概率密度为(,)f x y ，并且|()()|(,)x EX y EY f x y dxdy +∞+∞-∞-∞--<+∞⎰⎰，则cov(,)()()(,)X Y x EX y EY f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=--⎰⎰.(4.27)此外，协方差还有下面常用性质：1.cov(,)()X Y E XY EX EY =-⋅.(4.28)证明cov(,)()()X Y E X EX Y EY =--()E XY XEY YEX EX EY =--+⋅()E XY EX EY =-⋅.公式(4.28)提供了一种计算协方差的主要方法，即它将协方差的计算归结为计算三个数学期望EX ，EY 和()E XY .2.cov(C,X)0,=C 为任意常数．3.cov(X,X)DX =．4.设X 与Y 独立，则cov(,)0X Y =.5.()2cov(,)D X Y DX DY X Y ±=+±.(4.29)6.对称性cov(,)cov(,)X Y Y X =.(4.30)7.齐次性cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =.(4.31)8.可加性cov(,)cov(,)cov(,)X Y Z X Z Y Z ±=±.(4.32)性质2至性质8的证明留给读者自行完成．二、相关系数和相关性协方差在一定程度上反映了X 与Y 相互间的关系，但它还受X 与Y 本身度量单位的影响．例如，kX 和kY 之间的统计关系与X 和Y 之间的统计关系应该是一样的，但协方差却扩大了2k 倍，即2cov(,)cov(,)kX kY k X Y =为了克服这一缺点，可将每个随机变量标准化，即取*X=*Y =并将**cov(,)X Y 作为X 和Y 之间相互关系的一种度量，而********cov(,)()()()()X Y E X Y E X E Y E X Y =-=E===此结果表明，可利用标准差对协方差进行修正，从而得到一个新的数字特征—相关系数．定义8设(,)X Y 为二维随机向量，0DX >，0DY >，则称为X 与Y 的相关系数，记作XY ρ，也可简记为ρ，即XYρ==(4.33)显然，XY ρ的协方差.定理3设X 与Y 是两个随机变量，并且XY ρ存在，则有||1XY ρ≤.证明由定义8知，只需证明2cov (,)X Y DX DY ≤⋅.由于任何随机变量的方差都是一个非负实数，所以对任意实数k ，恒有()D Y kX -2()E Y kX EY kEX =--+222[()2()()()]E Y EY k Y EY X EX k X EX =----+-0≥，即22cov(,)0DY k X Y k DX -+≥.上面不等式的左边是一个关于k 的一元二次函数，因此该不等式成立的充分必要条件为判别式0∆≤，即2[2cov(,)]40X Y DX DY ∆=--⋅≤，于是2cov (,)X Y DX DY ≤⋅.定理4设Y 是随机变量X 的线性函数：Y aX b =+，则当0a >时，1XY ρ=；当0a <时，1XY ρ=-.证明由定义7知cov(,)()()X Y E X EX Y EY =--()[()()]E X EX aX b E aX b =-+-+2()aE X EX =-aDX =.因为2()DY D aX b a DX =+=，所以||||XY aDX aa DX a ρ===，即当0a >时，1XY ρ=；当0a <时，1XY ρ=-.以上两个定理表明，当Y aX b =+时，XY ρ的绝对值达到最大值1.事实上，还可以证明定理4的逆命题也是成立的.因此，X 与Y 的相关系数XY ρ反映了X 与Y 线性关系的密切程度.定义9设XY ρ为X 与Y 的相关系数.(1)如果0XY ρ≠，则称X 与Y 是相关的(实为一定程度的线性相关).其中当||1XY ρ=时，称X 与Y 是完全相关的；当0XY ρ>时，称X 与Y 正相关；当0XY ρ<时，称X 与Y 负相关.(2)如果0XY ρ=，则称X 与Y 不相关(实为线性无关).显然，若X 与Y 相互独立，则0XY ρ=.例24设(,)X Y 的概率分布为Y X 1231-0.10.20.1000.20.110.20.1求X 与Y 的协方差及相关系数.解由(,)X Y 的概率分布，不难得到其关于X 和关于Y 的边缘概率分布为于是(1)0.400.310.30.1EX =-⨯+⨯+⨯=-，10.320.530.2 1.9EY =⨯+⨯+⨯=.由(4.3)式及(4.5)式，有222(1)0.410.30.7EX =-⨯+⨯=，222210.320.530.2 4.1EY =⨯+⨯+⨯=，()(1)10.1(1)20.2(1)30.1010020.2E XY =-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯030.1110.2120.11300.4+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=-.于是222()0.7(0.1)0.69DX EX EX =-=--=，222() 4.11.90.49DY EY EY =-=-=，cov(,)()0.40.11.90.21X Y E XY EX EY =-⋅=-+⨯=-，0.210.360.830.7XY ρ-===-⨯.例25已知随机变量X 服从区间[0,2]π上的均匀分布，并且sin Y X =，sin()Z X k =+，k 为常数，求Y 与Z 的相关系数YZ ρ.解由题设知1,[0,2],~()20,X x X f x ππ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他.由(4.4)及(4.6)式，有201(sin )sin 02EY E X xdx ππ===⎰，X 1-01P0.40.30.3Y 123P0.30.50.2201[sin()])02EZ E X k x k dx ππ=+=+=⎰，222201(sin )sin 0.52EY E X xdx ππ===⎰，222201[sin ()]sin ()0.52EZ E X k x k dx ππ=+=+=⎰，()[sin sin()]E YZ E X X k =+201sin sin()2x x k dx ππ=+⎰201[cos cos(2)]4k x k dxππ=-+⎰1cos 2k =.于是22()0.5DY EY EY =-=，22()0.5DZ EZ EZ =-=，cov(,)()Y Z E YZ EY EZ =-⋅1cos 2k =，1cos 2cos YZ k k ρ==.若2k π=，则0YZ ρ=，此时221Y Z +=.但由于Y 与Z 满足关系221Y Z +=，所以Y 与Z 不独立.例26对于二维随机向量(,)X Y ，设X 服从[1,1]-上的均匀分布，并且2Y X =，证明0XY ρ=.证明由题设知1,[1,1],~()20,X x X f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其他.于是0EX =.由(4.4)式及(4.28)式，有13311()02E X x dx -==⎰，cov(,)()X Y E XY EX EY =-⋅3()0E X ==，因此0XY ρ=.但由于X 与Y 满足关系2Y X =，所以X 与Y 不独立.上两例表明，X 与Y 不相关，但它们不独立.因此，由X 与Y 不相关不能得到X 与Y 相互独立.事实上，X 与Y 不相关是指没有线性关系，但并不排除存在其他关系，如平方关系.*例27设二维随机向量1212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，求X 与Y 的相关系数XY ρ.解根据二维正态分布的边缘概率密度知221212,,,EX EY DX DX μμσσ====而12cov(,)()()(,)X Y x y f x y dxdyμμ+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰12()()x y μμ+∞+∞-∞-∞=--⎰222112211()exp 2y x x dxdy μμμρσσσ⎡⎤⎫---⎥⨯--⎪⎥⎭⎦令211211,,y x x t u μμμρσσσ⎛⎫---=-=⎪⎭则有222()/21121cov(,)()2ut X Y u e dtduσσρσσπ+∞+∞-+-∞-∞=+⎰⎰2221222()()2u tu e du e dt ρσσπ+∞+∞---∞-∞=⎰⎰2222)()u tue du te dt +∞+∞---∞-∞⎰⎰12ρσσ==于是XYρρ==．注 1.二维正态分布随机向量(,)X Y 的概率密度中的参数ρ是X 与Y 的相关系数，X 和Y 的各自的数学期望、方差及它们的相关系数可以确定二维正态随机向量的分布；2．在第三章已经讲过，若(,)X Y 服从二维正态分布，则X 和Y 相互独立的充分必要条件为0ρ=．现知XY ρρ=，故对于二维正态随机向量(,)X Y 来讲，X 和Y 不相关与X 和Y 相互独立是等价的．4.5矩、协方差矩阵与相关矩阵本节在推广随机变量的期望、方差和两个随机变量的协方差、相关系数等数字特征基础上，引入矩、协方差矩阵和相关矩阵这些概念.一、矩定义10设X 为随机变量，若1,2,k EX k =，…存在，则称其为X 的k 阶原点矩，（简称k 阶矩），也记作k v .若()2,3,k E X EX k -=，…存在，则称其为X 的k 阶中心矩，也记作k μ.若2,3,kE X EX k -=，…存在，称其为X 的k 阶绝对中心矩.对于二维随机向量X Y （，），若(,1,2,k l E X Y k l =)，…存在，则称其为X 和Y 的+k l 阶混合矩.若[()(),1,2,k l E X EX Y EY k l --=]，…存在，则称其为X 和Y 的+k l 阶混合中心矩.注1.随机变量X 的数学期望EX 是X 的一阶原点矩；2.随机变量X 的方差DX 是X 的二阶中心矩.二、协方差矩阵与相关矩阵定义11设12(,,,)n X X X 是n 维随机向量，并且(1,2,,)i DX i n = 存在，则以cov(,)i j X X 为元素的n 阶矩阵111212122212.....................n n n n nn v v v v v v V v v v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，ii i v DX =，cov(,)ij i j v X X =，,1,2,,i j n = 称为该n 维随机向量的协方差矩阵，记作V .显然，协方差矩阵V 是对称矩阵，即ij ji v v =，,1,2,,i j n = .定义12设12(,,,)n X X X 是n 维随机向量，其任意两个分量i X 与j X 的相关系数ij ρ(,1,2,,i j n = )都存在，则以ij ρ为元素的n 阶矩阵111212122212.....................n n n n nn R ρρρρρρρρρ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为该n 维随机向量的相关矩阵，记作R .由于cov(,)i i i X X DX =，1,2,,i n =，因此1ii ρ==，(1,2,,i n = )，ij ρ==(,1,2,,i j n = ).对于协方差矩阵和相关矩阵，我们主要讨论2n =的情况．例28已知二维随机向量(,)X Y 的协方差矩阵为251236a V ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求参数a 以及相关矩阵R .解根据题意知11221ρρ==，1221120.456ρρ====⨯又由对称性知12a =，因此10.40.41R ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.例29已知随机变量X 的方差2DX σ=，并且32Y X =-，求(,)X Y 的协方差矩阵及相关矩阵.解211v DX σ==，222(32)4v DY D X σ==-=.由于32Y X =-为线性函数，所以1XY ρ=-，即12211ρρ==-.于是2122112cov(,)2XY v v X Y ρρσ===-.因此222221222424V σσσσσ-⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，1111R -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.例30计算例24中(,)X Y 的协方差矩阵V .解由于110.69v DX ==，220.49v DY ==，12cov(,)0.21v X Y ==-，因此0.690.210.210.49V -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.例31设(,)X Y 的概率密度为221,1,(,)0,x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他,求(,)X Y 的相关矩阵R .解由(4.6)式，有11()()0E XY dy -==⎰11()0EX EY dy -===⎰于是cov(,)()0X Y E XY EX EY =-⋅=显然0DX DY =>，所以120ρ==于是1001R ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.习题四1.盒中有5个球，其中有3个白球、2个黑球，从中一次任取两个球，求取得白球数X 的数学期望与方差.2.设随机变量X 的概率分布为{}1(2,4,,18,20),10P X k k ===…求EX .3.袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，现从中一次任取3个，用X 表示取出的3个球中最大编号，求EX .4.设随机变量X 的概率分布为求EX ，2EX 和2(35)E X +.5.连续型随机变量X 的概率密度为,01()0,kx x f x α⎧<<=⎨⎩其他，,0k α>（），且0.75EX =，求(1),k α；(2)DX .6.一个螺丝钉的重量是随机变量，平均重10克，标准差为1克，求100个同型号螺丝钉重量的数学期望和方差.7.设随机变量X 的概率密度为110()1010x x f x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩，，，其他，求EX 和DX .8.设随机变量||1~()0x X f x <=⎩，其他，求EX 和DX .X 2-02P0.40.30.39.设随机变量X 的概率密度为0()00,x e x f x x -⎧≥=⎨<⎩，，，求：（1）2Y X=的数学期望；（2）2XY e-=的数学期望.10.设随机变量X 与Y 相互独立，概率密度分别为01()0,X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩2，，，其他和55()05,y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩，，，求()E XY .11.设随机变量X 与Y 相互独立，概率密度分别为01()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩1，，，其他和0()00,y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩，，，求()E X Y +.12.设随机变量X 服从柯西分布，即其概率密度为21()(),(1)f x x x π=-∞<<+∞+试证明X 的数学期望不存在.13.设随机变量X 的分布函数为10()0x e x F x λ-⎧->=⎨⎩，，其他，求EX 和DX .14.一台实验仪器中有3个元件，各元件发生故障是相互独立的，其概率分别为0.2，0.3，0.4，求发生故障的元件数的数学期望及方差.15.同时掷2颗骰子，设随机变量X 表示出现点数的最大值，求EX 和DX .16.把4只球随机的投入4个盒子中，设X 表示空盒子的个数，求EX 和DX .17.一批零件中有9个合格品和3个废品，在安装机器时，从这批零件中任取1个，如果取出的是废品就不再放回去.求在取得合格品以前，已经取出废品数的数学期望和方差.18.调查结果表明：某地区的科技人员年龄X 具有如下概率密度4(24)(84),2484,()0,k x x x f x ⎧--≤≤=⎨⎩其他,(1)求常数k 的值；(2)计算该地区科技人员的平均年龄.19.设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，并且Y =，求Y 的数学期望与方差.20.设随机变量X 服从区间[0，2]上的均匀分布，并且|1|Y X =-，求EY 和DY .21.对某一目标进行射击，每次射击相互独立并且击中概率为p ，(1)若直到击中为止，求射击次数的数学期望与方差；(2)若直到击中k 次为止，求射击次数的数学期望与方差.22.设X 服从参数为2的泊松分布，32Y X =-，试求,,EY DY cov(,)XY X Y ρ及.23.设随机向量(,)X Y 的概率密度为1(),02,02(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩，其他，试求,,cov(,)()XY EX EY X Y D X Y ρ+，，.24.设随机向量(,)X Y 的概率密度为(),0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩其他，求cov(,)X Y .25.设随机变量X 的方差16DX =，随机变量Y 的方差25DY =，又X 与Y 的相关系数0.5XY ρ=，求()D X Y +与()D X Y -.26.设随机向量(,)X Y 服从单位圆域{}22(,)1x y x y +≤上的均匀分布，试证明X ，Y 不相关.27.将3个球随机地放入4个盒子，记(1,2)i X i =表示第i 个盒子内球的个数，求随机向量12(,)X X 的协方差矩阵.28.设随机变量X 的概率密度为0.5,02()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，求随机变量X 的1至4阶原点矩和中心距.29.设随机变量X 服从拉普拉斯分布，即其概率密度为1(),2xf x e x λλ-=-∞<<+∞，其中0λ>为常数，求X 的k 阶中心距.30.设随机向量21.502,01(,)~(,)0xy x y X Y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩，，其他，求随机向量(,)X Y 的均值和协方差矩阵.31.设随机向量22[(5)8(5)(3)25(3)](,)~(,)x x y y X Y f x y Ae -+++-+-=，试确定A 的值，并求X 与Y 的相关矩阵.32.设二维随机向量(,)X Y 的概率密度为sin()(,)(,)0A x y x y Df x y +∈⎧=⎨⎩，，其他，其中D 为矩形区域(,)0,022x y x y ππ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭.(1)求系数A ；(2)求EX EY DX 及DY ；(3)求cov(,)X Y 及XY ρ；(4)求协方差矩阵C 及相关系数矩阵R .选做题四1.某流水生产线上每个产品部合格的概率为01p p <<（），各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ，求X 的数学期望E X （）和方差D X （）.2.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格产品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品．从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数X 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.3.设随机变量X 的概率密度函数为()1cos ,0,220,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望.4.设两个随机变量,X Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为12的正态分布，求随机变量X Y -的方差.5.假设二维随机向量,X Y （）在矩形(){},02,01G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布，记0,,1,X Y U X Y ≤⎧=⎨⎩若若＞，0,2,1,2,X Y V X Y ≤⎧=⎨>⎩若若（1）求U V 和的联合分布；（2）求U V 和的相关系数γ.6.箱中装有6个球，其中红、白、黑球个数分别为1，2，3，现从箱中随机地取出2个球，记X 为取出红球的个数，Y 为取出白球的个数.(1)求随机向量,X Y （）的概率分布；(2)求Cov(,)X Y .7．设二维离散型随机向量,X Y （）的概率分布为Y X 012014014101302112112（1）求{}2P X Y =；（2）求Cov(,)X Y Y -.8.设A B 和为随机事件，且()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，令110X Y ⎧⎧==⎨⎨⎩⎩， A发生，， B发生，0，A不发生，，B不发生.（1）求二维随机向量(),X Y 的概率分布；（2）求X Y 和的相关系数XY ρ.9.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行.假设一游客在早晨8点的第X 分钟到底层候梯处，且X 在[0,60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望.10.两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度f t ()、数学期望和方差.11.一商店经销某种商品，每周进货的数量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布，商品每销售出一单位商品获得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获得利润500元，试计算此商点经销该种商品每周所得利润的期望值.12.设,A B 是两个随机事件，随机变量111,1,A B X Y A B ⎧⎧==⎨⎨--⎩⎩，若出现，，若出现，若不出现，若不出现，试证明：随机变量X Y 和不相关的充分必要条件是A B 与相互独立.13.假设随机变量U 在区间[2,2]-上服从均匀分布，随机变量11111,11,1U U X Y U U ≤-≤⎧⎧==⎨⎨->-->⎩⎩，若，，若，若，若，试求：（1）X Y 和的联合概率分布；（2）()D X Y +.14.设随机变量X 的概率密度为()1,10,21,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩，其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机向量(),X Y 的分布函数，求：（1）Y 的概率密度()Y y f ；（2）()Cov ,X Y ；（3）1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
第四章--随机变量的数字特征(第1----4节)
每一种试开的可能性相同，
则平均试开数为
E(X)12 n n 1
n
2
几个服从常用分布的随机变量的数学期望
(1)设 X~(01)分, 布 则 E(X)p (2 )设 X~b (n ,p),则 E(X)np
(3 )设 X ~(),则 E(X)
(4 )设 X ~U (a,b ),则E(X)ab 2
第四章 随机变量的数字特征
前面我们讨论了随机变量的概率分布。对于 一个随机变量来说，知道了它的概率分布也就知 道了它的全部统计特征。然而在许多实际问题中， 随机变量的概率分布往往不易求得，也有不少实 际问题并不要求我们知道随机变量的全部统计特 性。如要比较电子元件的寿命，但寿命的长短不 能一个一个进行比较，而是用它们的寿命的平均 值来作比较；其次要比较各个元件的寿命的“离散 程度”，离散程度大，说明生产不稳定，反之，说 明生产比较稳定。
第一节 数学期望
对于随机变量，时常要考虑它平均取什么值。 先来看一个例子：一批钢筋共有10根，抗拉强度指 标为120和130的各有2根，125的有3根，110，135， 140的各有1根。 则它们的平均抗拉强度指标为：
( 1 1 1 0 2 2 1 0 2 3 1 5 3 2 1 0 3 1) 5 4 10 10
F m(ix n )1[1F (x)2] 1e2 x x0
0
x0
因而 N 的概率密度为：
fmin(x)2ex x0
0
x0
所E (以 N ) xm f(ix n )dx02xe2xdx
2
.
例3. 若有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一 把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设取 到每把钥匙是等可能的。若每把钥匙试开一次后除 去。试用下面两种方法求试开次数 X 的数学期望。 (1) 写出X的分布律；(2) 不写出X的分布律。
(完整)第四章随机变量的数字特征总结,推荐文档
随机变量的数字特征——总结第四章 随机变量的数字特征㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置．1、数学期望的定义(1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为{}⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞∞- d )( )()( ，，连续型离散型x x xf x X x X kk k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在．①常见的离散型随机变量的数学期望1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为，若，则称级数为随机变量的数学期望（或称为均值），记为, 即2、两点分布的数学期望 设服从0—1分布，则有，根据定义，的数学期望为. 3、二项分布的数学期望 设服从以为参数的二项分布，，则。
4、泊松分布的数学期望 设随机变量服从参数为的泊松分布，即，从而有。
①常见的连续型随机变量的数学期望1)均匀分布设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a ，b ] (a <b ),它的概率密度函数为:随机变量的数字特征——总结= 则=∴ E(ξ)=(a+b)/2．即数学期望位于区间的中点．2)正态分布设随机变量ξ服从正态分布，ξ～N(μ,σ2)，它的概率密度函数为:(σ>0，- <μ<+)则令得∴ E(ξ)=μ .3)指数分布设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为 ，则.(2) 随机变量的函数的数学期望设为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变)(xgy=量，则随机变量的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出的概)(XgY=Y率分布再求其数学期望；对于二元函数，有类似的公式：),(YXgZ=(){}⎪⎩⎪⎨⎧===⎰∑∞∞．；（连续型）离散型－d)()()()(xxfxgxXxgXgY kkkPEE()(){}()()()()⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰∑∑∞∞-∞∞-．；连续型离散型dd,,,,,yxyxfyxgyYxXyxgYXgZi jjijiPEE设(,)X Y为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),,1,2,,i j ijP X a Y b p i j====如果级数(,)i j ijj ig a b p∑∑绝对收敛，则(,)X Y的函数(,)g X Y的数学期望为随机变量的数字特征——总结[(,)](,)ijijjiE g X Y g a b p =∑∑； 特别地();()i ijj ijiij iE X a p E Y b p==∑∑∑∑.设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分 ()()g x f x dx+∞-∞⎰绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为[()]()()E g X g x f x dx+∞-∞=⎰．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分(,)(,)g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰；特别地()(,)E x xf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰,()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰.注：求E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数Z= E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。
《概率论与数理统计》习题四参考答案 随机变量的数字特征(熊万民、杨波版)
所以Y X N 1, 42 ，从而 Y X 1 N 0,1 4
于是
Px
y
Py
x
0
P
y
x 4
1
1 4
1 4
1
1 4
0.4013
19.解：
设 X Bn, p, Y n,q,q 1 p ，则
EX np, DX npq, EY nq, DY nqp npq
XY
E X
E X Y E Y
为求 P{X=1}，考虑 {X=1} 的对立事件：{1 号盒中没有球}，其概率为
33 ，因此 43
PX
=1
1
33 43
4 3 3 43
3
{X=2} 表示 {1 号盒中没有球，而 2 号盒中至少有一个球}，类似地得到：
PX =2
33
23 43
于是
PX
=3
23 13 43
PX
=
4
13 43
E（X）=1
0
1
0 (ax b)dx 1 1.2,b 0.4
EX 2 1 x2 (ax b)dx 13
0
30
DX EX 2 (EX )2 13 0.62 11
30
150
14.
E[(X Y )2 ] E( X 2 2XY Y 2 ) EX 2 2E( XY ) E(Y )2 DX (EX )2 DY (EY )2 2EXEY 10
XY
Cov X, Y
DX DY
0
因此 X 与 Y 不相关
2）fX x
f x, ydy
x 1, fX x 0
x 1, fX
1 x2
1 1 x2
1
天津理工大学概率论与数理统计第四章习题答案详解.doc
第 4 章随机变量的数字特征一、填空题1、设X为北方人的身高，Y 为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于E( X ) E(Y)2、设X为今年任一时刻天津的气温，Y 为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于D(X) D(Y) .3、已知随机变量X 服从二项分布，且E(X ) 2.4, D(X) 1.44 ，则二项分布的参数n= 6 , p= .4、已知X服从(x ) 1 e x2 2x 1，则 . E(X)=1 , D(X)=1/2.5、设X的分布律为X 1 0 1 2P 1 1 1 1 8 4 2 8则 E(2X 1) 9/4 .6、设X ,Y相互独立，则协方差cov( X ,Y ) 0 .这时， X ,Y 之间的相关系数XY 0 .7 、若XY是随机变量 (X,Y)的相关系数，则 | XY| 1的充要条件是P Y aX b 1 .8、XY是随机变量 ( X ,Y ) 的相关系数，当XY 0时，X与Y 不相关，当| XY | 1 时，X 与 Y 几乎线性相关 .9、若D(X) 8, D(Y ) 4 ，且X ,Y相互独立，则 D (2X Y ) 36 .10、若a, b为常数，则D (aX b) a2 D ( X ) .11、若X ,Y相互独立，E( X ) 0, E(Y) 2 ，则 E(XY ) 0 .12、若随机变量X 服从[0,2 ]上的均匀分布，则E( X )π.13、若D(X) 25, D(Y ) 36, XY 0.4 ，则 cov( X ,Y ) 12 ， D(X Y) 85，D ( X Y ) 37 .14、已知E( X ) 3，D(X) 5，则E(X 2)2 30 .15、若随机变量X 的概率密度为e x x 0，(x)x，则 E(2X ) 20 0E (e 2 X ) 1/3 .二、计算题1、五个零件中有 1 个次品，进行不放回地检查，每次取 1 个，直到查到次品为止。
第4章随机变量的数字特征
⎧ax + b, 0 ≤ x ≤ 1 2. 设随机变量 X 的密度函数 f ( x ) = ⎨ ，且 E ( X ) = 7 / 12 ，则（ 其它 ⎩ 0,
9. 二维随机向量 ( X , Y ) 满足 E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) ，则（ (A) D ( XY ) = D ( X ) D (Y ) (C) X 与 Y 独立
） ．
(B) D ( X + Y ) = D ( X − Y ) (D) X 与 Y 不独立
） ．
10. 设 X ~ N(3,2),Y ~ U(2,8) ，且 X 与 Y 相 5 (C) 11 (D) 1
） ．
(A) -1 (B) 4 (C) 2 (D) 7 ． 4. 如果随机变量 X 存在二阶原点矩，则下列表达式正确的是（ ） (A) E ( X 2 ) < [ E ( X )] 2 (C) E ( X 2 ) ≥ E ( X ) (B) E ( X 2 ) ≥ [ E ( X )] 2 (D) E ( X 2 ) < E ( X )
Y=
1 n ∑ X i ，则（ n i =1
(A) Cov( X 1 , Y ) =
） ．
σ2
n
(B) Cov( X 1 , Y ) = σ 2
(C) D( X 1 + Y ) =
n+2 2 σ n
(D) D( X 1 − Y ) =
04第四讲 随机变量的数字特征
第四讲 随机变量的数字特征考纲要求1.理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数），会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.2.会求随机变量函数的数学期望. 一、随机变量的数字特征问题1 叙述随机变量的数学期望的定义、性质及随机变量函数的数学期望公式. 答 随机变量的数学期望是随机变量的平均值，它反映随机变量取值的中心位置. 1.定义与公式⑴离散型随机变量X 的概率分布为{}(1,2,)i i P X x p i ===,i i iEX x p =∑；⑵离散型随机变量X 的概率分布为{}(1,2,)i i P X x p i ===，()()i i iEg X g x p =∑；⑶二维离散型随机变量(,)X Y 的概率分布为{},(,1,2,)i j ij P X x Y y p i j ====，(,)(,)i j ij ijEg X Y g x y p =∑∑；⑷连续型随机变量X 的概率密度为()f x ,()EX xf x dx +∞-∞=⎰；⑸连续型随机变量X 的概率密度为()f x ,()()()Eg X g x f x dx +∞-∞=⎰；⑹二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y ,(,)(,)(,)Eg X Y g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰.2性质⑴Ec c =；⑵EkX kEX =； ⑶()E X c EX c +=+； ⑷()E X Y EX EY +=+；⑸若X 与Y 相互独立，则()E XY EX EY =⋅； 问题2 叙述随机变量的方差的定义与性质.答 随机变量的方差反映随机变量取值的离散程度.1.定义 随机变量X 的方差2()DX E X EX =-2.性质 ⑴()0D c =； ⑵2()D kX k DX =；⑶()D X c DX +=；⑷若X 与Y 相互独立，则()D X Y DX DY ±=+； ⑸22()DX EX EX =-.问题3 叙述随机变量的矩的定义.答 随机变量X 的k 阶原点矩k k a EX =，k 阶中心矩()k k b E X EX =-.显然，随机变量的数学期望是一阶原点矩，随机变量的方差是二阶中心矩. 问题4 如何求随机变量的数字特征？答 随机变量的数字特征是重点，也是常考点，读者务必在理解概念的基础上，熟练掌握计算数字特征的方法：⑴利用定义（6个公式）⑵用性质，计算时，要充分利用独立性条件. 例1.设随机变量X 在[]2,1-上服从均匀分布，令随机变量1,0,1,Y ⎧⎪=⎨⎪-⎩0,0,0,X X X >=<则方差=DY .【98，提示：先求Y 的分布，再利用公式22()DY EY EY =-】2.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：⑴乙箱中次品数X 的数学期望；⑵从乙箱中任取一件产品是次品的概率p .【⑴23=EX ⑵14】 3.设随机变量X 的概率密度为,()0,ax b f x +⎧=⎨⎩]1,0[]1,0[∉∈x x 且已知127=EX ，则=a ，=b .【提示：10()()1f x dx ax b dx +∞-∞=+=⎰⎰，17()()12xf x dx x ax b dx +∞-∞=+=⎰⎰】 4.设某种商品每周的需求量X 是服从区间]30,10[上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间]30,10[中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可以从外部调剂供应，此时每 一单位商品仅获利300元,为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量.解 X 服从区间]30,10[上均匀分布，概率密度1,1030,()200,.x f x else ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩设进货量为a ，则当10X a ≤≤时，利润500100()600100Y X a X X a =--=- 当30a X <≤时，利润500300()300200Y a X a X a =+-=+故600100,10,()300200,30,X a X a Y g X X a a X -≤≤⎧==⎨+<≤⎩利润期望值令9280EY ≥，解得21a = 5.已知随机变量X 的概率密度函数221()xx f x-+-=，则EX = ，DX = .【1；12】 问题5 叙述协方差、相关系数的定义与性质 答1.协方差定义 随机变量X 与Y 的协方差(,)()()Cov X Y E X EX Y EY =--. 协方差具有如下性质： ⑴(,)(,)Cov X Y Cov Y X =； ⑵(,)(,)Cov aX bY abCov X Y =； ⑶(,)(,)Cov X k Y h Cov X Y ++=；⑷(,)(,)(,)Cov X Y Z Cov X Y Cov X Z +=+； ⑸(,)Cov X X DX =；⑹(,)Cov X Y EXY EX EY =-⋅； ⑺()2(,)D X Y DX DY Cov X Y ±=+±.2.相关系数相关系数刻画两个随机变量X 与Y 的线性相关程度. 定义 随机变量X 与Y 的相关系数XY ρ=. 若0XY ρ=，则称随机变量X 与Y 不相关.相关系数具有如下性质： ⑴1XY ρ≤；⑵{}11XY P Y aX b ρ=⇔=+=，特别：若Y aX b =+，则当0a >时，1XY ρ=，当0a <时，1XY ρ=-.问题6 设0,0DX DY ≠≠，证明下列命题等价： ⑴X 与Y 不相关； ⑵(,)0Cov X Y =； ⑶EXY EX EY =⋅； ⑷()D X Y DX DY +=+. 证 由XY ρ=知，命题⑴和⑵等价；由(,)Cov X Y EXY EX EY =-⋅知，命题⑵和⑶等价； 由()2(,)D X Y DX DY Cov X Y +=++知，命题⑵和⑷等价； 由等价关系的传递性知，这四个命题等价.问题7 随机变量的独立性与相关性有何关系？ 答 若X 与Y 独立，则X 与Y 一定不相关.证明如下：X 与Y 独立⇒EXY EX EY =⋅⇒(,)0Cov X Y =⇒0XY ρ=，即X 与Y 一定不相关.若X 与Y 不相关，则X 与Y 不一定独立. 例如二维随机变量),(Y X 服从单位圆}1),{(22≤+=y x y x G 上的均匀分布，则X 和Y 不相关，且X 与Y 不独立.注意 若X 与Y 的联合分布为二维正态分布，则X 与Y 独立的充要条件是X 与Y 不相关.例1.设随机变量X 与Y 独立同分布，且X 的概率分布为{}213P X ==，{}123P X ==，max(,)U X Y =，min(,)V X Y =，求U 与V 的协方差(,)Cov U V .【481】2.设Y X ,独立且都服从))21(,0(2N ，求Y X -的期望与方差.2π-】3.对40个人的血液进行化验时，将每4个人并为一组化验一次，如果合格，则4个人只化验一次，若不合格，再对这组4个人逐个进行化验，共化验5次。
第四章-随机变量的数字特征PPT课件
k 1
k 1
变量X的数学期望，记为E(X),即
EX xk pk k1
§4.1 数学期望
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与
一般的算术平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值.
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各 项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望 是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的 排列次序而改变.
❖ 例3：设 X(),求 E (X)。
解 ： X 的 分 布 律 为 ： P ( X k ) k e k 0 , 1 , 0 k ! X的 数 学 期 望 为 ：
E(X) k ke
k0 k!
e
k1
k1
(k 1)!
ee
即E(X)
§4.1 数学期望
三、连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量X 的概率密度为f ( x), 若积分
§4.2 方差
(2) 利用公式计算
D (X ) E (X 2 ) [E (X )2 .] 证明 D (X ) E {X [ E (X )2 } ]
E { X 2 2 X ( X ) E [ E ( X )2 } ] E ( X 2 ) 2 E ( X ) E ( X ) [ E ( X )2] E (X 2)[E (X )2] E (X2)E 2(X).
§4.1 数学期望
❖ 例2：某车站每天8:00—9:00,9:00—10:00都恰有一 辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间 相互独立。其规律为
8:10 8:30 8:50
到站时刻
9:10 9:30 9:50
第四章随机变量的数字特征(有答案)
第四章随机变量的数字特征1. (2016)设随机变量X 的概率密度函数2,01(),0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他 则2()E X =0.5 .2. (2016)设随机变量X 与Y 满足()1,()2,()4,()9,0.5XY E X E Y D X D Y ρ=====, 则()E XY = 5 .3. (2016)设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为(1) 求,X Y 的边缘分布律; (2) 求,X Y 的相关系数XY ρ; (3) 判断,X Y 是否相关、是否独立？ 解答: （1）X 与Y分分（2）2()()3E X E Y ==, 4()()9D X D Y ==, 2()9E XY =, 因此 故 1.2XY ρ===- …...................................4分（3）X 与Y 相关, 不独立. ...............................................................................2分4.(2016)设A 与B 是两个随机事件, 随机变量1,,0,A X A ⎧=⎨⎩出现不出现 1,,0,B Y B ⎧=⎨⎩出现不出现证明: 随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立.证明: X故 ()()E X P A =, 同理, ()()E Y P B =.XY故 ()()E XY P AB =. ...........................................................................................3分XY ρ==因此 X 与Y 不相关0XY ρ⇔=()()()E XY E X E Y ⇔=()()()P AB P A P B ⇔= 即 X 与Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立. ..................................2分 5. (2015)设随机变量X 服从参数为2的泊松分布, 则期望2[(1)]E X +=11 . 6. (2015)设随机变量X 服从正态分布2(1,3)N , Y 服从正态分布2(0,4)N , X 与Y的相关系数12XY ρ=-, 设32X YZ =+, 求:(1) Z 数学期望()E Z 及方差()D Z ;(2) X 与Z 的协方差cov(,)X Z 及相关系数XZ ρ. 解答：（1）111()()()323E Z E X E Y =+=;()()32X YD Z D =+1111()()29432XY D X D Y ρ=++⋅⋅2211111342()34394322=⋅+⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅=. …...................................…6分（2）cov(,)cov(,)32X YX Z X =+ 11cov(,)cov(,)32X X X Y =+11()32XY D X ρ=+21113(0322=⋅+-=. 故 0XZ ρ=. ............................................................................................……...4分 7. (2014)对球的半径做近似测量, 设测量值均匀分布在区间(2,3)上, 则球的体积的数学期望为653π . 8. (2014)设随机变量X 与Y 的方差均为4, 相关系数12XY ρ=, 2Z X Y =+, 则协方差cov(,)X Z = 8 .9. (2014)设X ,Y 为随机变量, 下列选项中, 不是()()()E XY E X E Y =的充要条件的是 D . (A) cov(,)0X Y = (B) ()D X Y DX DY -=+ (C) X 与Y 不相关(D) X 与Y 独立10. (2014)设连续型随机变量X 的概率密度函数为,01()0,Ax x f x <<⎧=⎨⎩，其他. （1）求常数A ;（2）设随机变量2Y X =, 求Y 的概率密度函数()Y f y ;（3）设随机变量11,,210,.2X Z X ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩, 求()E Z .解答：（1）+-()d 1f x x ∞∞=⎰，即+d 1Ax x ∞-∞=⎰，得2A =. ……………………3分（2）法1：2y x =的反函数为x =(01,()0,X XYf f yf y⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它.0,01,0,y⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它.1,01,0,y<<⎧=⎨⎩其它.…………………4分法2：2(){}{}YF y P Y y P X y=≤=≤当0y≤时：()0YF y=，当01y<<时：(){dYF y P X x x y=≤≤==⎰，当1y≥时：()1YF y=.因此1,01,()()0,Y Yyf y F y<<⎧'==⎨⎩其它.……………………………………4分（3）11213{1}{}2d24P Z P X x x==≥==⎰，故3()4E Z=. ………………………3分11.(2014)设某厂生产的某种设备的寿命（单位: 年）X服从指数分布, 其概率密度函数为141e, 0,()40,0.xxf xx-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩工厂规定: 若出售的设备在一年内损坏, 则可予以调换. 工厂售出一台设备后, 若在一年内未损坏, 厂方可获利100元, 若在一年内损坏, 厂方则亏损200元.试求厂方售出一台设备的平均利润.解答：设Y为厂方售出一台设备的利润，有114411{1}e d1e4xP X x--<==-⎰，……………………3分则Y平均利润111444()100e200(1e)300e200E Y---=--=-. (3)分。
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当 时， 最小，最小值为108。
（2）要使随机变量 与 相互独立，则
由于
所以 。
概率论与数理统计练习题
系专业班学号
第五章大数定律与中心极限定理
一、选择题：
1．设 是n次重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则对任意的 均有 [A]
（A） （B） （C） （D）不存在
4．设正态分布Y的密度函数是 ，则 1/2
三、计算题：
1．设随机变量X的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3 , 0.5 , .02，求： 的期望与方差；
解：
2．设随机变量 ，试求 、 、 与
解： =
= 1
所以
= 0
= 3
3．设随机变量X的分布密度为 ，已知 ，求：（1）常数A，B，C的值； （2）方差 ； （3）随机变量 的期望与方差。
1．设维随机变量 服从 ，则 13
2．设 与 独立，且 ， ，则 27
三、计算题：
0
1
0.125
0.125
0.125
0
0.125
0
0.125
1
0125
0.125
0.125
1．已知二维随机变量 的分布律如表：
试验证 与 不相关，但 与Y不独立。
解：X的分布律为:
X 0 1
P0.375 0.25 0.375
解：（1）
得
得
得
所以 解得
概率论与数理统计练习题
系专业班学号
第四章随机变量的数字特征（三）
一、选择题：
1．对任意两个随机变量 和 ，若 ，则[B]
（A） （B）
（C）X与Y相互独立 （D）X与Y不相互独立
2．由 即可断定[A]
（A）X与Y不相关 （B）
（C）X与Y相互独立 （D）相关系数
二、填空题：
（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？
（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？
解：（1）令 为第 个病人治愈成功，反之则
令
（2）令 为第 个病人治愈成功，反之则
令
4．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。某天售出300只蛋糕。
2．设随机变量X，若 ，则一定有[B]
（A） （B）
（C） （D）
3． 是同分布相互独立的随机变量， ，则下列不正确的是[D]
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题：
1．对于随机变量X，仅知其 ，则可知
2．设随机变量 和 的数学期望分别为 和 ，方差分别为 和 ，而相关系数为 ，则根据契比雪夫不等式
概率论与数理统计练习题
系专业班学号
第四章随机变量的数字特征（一）
一、选择题：
1．设随机变量X，且 存在，则 是[B]
（A）X的函数 （B）确定常数 （C）随机变量 （D）x的函数
2．设X的概率密度为 ，则 [C]
（A） （B） （C） （D）1
3．设 是随机变量， 存在，若 ，则 [D]
（A） （B） （C） （D）
（1）求收入至少400元的概率；
（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。
解：（1）设Xi(i=1,2,3…,300)为蛋糕的价格，其分布律为:
记
记Y为售出蛋糕的价格为1.2元的数量，则
（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？
（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 ？
解：（1）
（2） .
根据 的单调性得 ，故
所以 最多为 个数相加.
3．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。
三、计算题：
1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？
解：设第 件零件的重量为随机变量 ，根据题意得
2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在 上服从均匀分布。
Y的分布律为:
X 0 1
P0.375 0.25 0.375
= 0
所以 与 不相关。
≠
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所以X与Y不相互独立。
2．设 ，求：
解：
，
3．设 ，且X，Y相互独立，求：
解： ， ， ，
,
,
4．设X，Y相互独立，其密度函数分别为 ， ，求
解：
5．（1）设随机变量 。
求常数a使 为最小，并求 的最小值。
（2）设随机变量 服从二维正态分布，且有 ，证明当 时，随机变量 与 相互独立。
2．设 ，则有[D]
（A） （B）
（C） （D）
3．设 服从参数为 的泊松分布， ，则[D]
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题：
1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 0.45
2．设随机变量X的密度函数为 ，则 2
3．随机变量X服从区间[0，2]上的均匀分布，则 1/3
解：X的可能取值为3，4，5
，
2．设随机变量X的密度函数为 ，求
解：
3．设随机变量 ，求
解：
4．设随机变量X的密度函数为 ，试求下列随机变量的数学期望。
（1） （2） （3）
解：（1）
（2）
（3）
概率论与数理统计练习题
系专业班学号
第四章随机变量的数字特征（二）
一、选择题：
1．已知 ，则 [B]
（A）9 （B）6 （C）30 （D）36
二、填空题：
1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 0.5
2．设X为正态分布的随机变量，概率密度为 ，则 9
3．设随机变量X的概率分布 ，则 116/15
4．设随机变量X的密度函数为 ，则 0
三、计算题：
1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中最大编号，求