数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子

数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子

例1：求极限 .1sin ...212sin 1sin lim ⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣

⎡++++++∞→n n n n n n n πππ [分析]由于是求数列的极限，即∑=∞→+

n

i n i

n n i 1

1sin

lim

π

，其分子和分母

同时都在变化，这时可以尝试把分母变成不变的，即此题中将分母中含有i 的项略去，同时配合放缩法进行求解。由于原数列

分母随着i 趋向到n ，分母都会小于()1+n ,他的倒数，即

()

11

+n 小于除了第一项的其他项，所以

∑∑==∞→∞→+≤+n i n i n n i

n n i n n i 11

1sin

lim 1sin lim ππ。 同理，原数列分母随着i 趋向到n ，分母都会大于()n ，他的倒

数，即()n 1

都会大于其他项，所以∑∑==∞→∞→≤+n i n i n n n n i i

n n i 11sin

lim 1sin lim ππ

由于是无穷多项进行相加，运算过程可以相当于积分的运算即：

令n i x =，1

1

+=n dx (最左边的式子)，n dx 1=(最右边的式

子)，得：⎰∑⎰≤+≤=∞→1

01

10)sin(1sin lim )sin(dx x i

n n i dx x n i n πππ 即：πππ21sin lim 21

≤

+

≤∑=∞→n i n i

n n i 所以原题的极限为：π2.

例2：利用夹逼定理证明().211 (2)

111lim 2+=⎪⎭⎫

⎝⎛+--+-+-∞→k k k n n n n k n n [分析]观察到括号中的表达式：⎪⎭

⎫

⎝⎛+--+-+-k n n n n k 1...2111都是连续减的形式，一般情况是想办法把它变换成加的形式。观察到表达式：⎪⎭⎫

⎝⎛+--+-+-k n n n n k 1 (2)

111中有k 个n 1

相加，所以可以分别和

后面k 个相减项相结合可以得到：

⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-k n n n n n n 11

...211111，所以可以得到：()∑=+k

i i n n i

1

，同上面例题一样，分子和分母同时都在变动，可以尝试把分母固定不变。所以可得：

()()()∑∑∑===+≤+≤+k

i k i k

i n n i

i n n i k n n i 1111

所以可得：

()()()

∑∑∑===+⋅≤+⋅≤+⋅k

i k i k

i n n i

n i n n i n k n n i n 1212121 ()()()

∑∑∑=∞→=∞→=∞→+⋅≤+⋅≤+⋅k

i n k i n k

i n n n i n i n n i n k n n i n 12

1212

1lim lim lim ()()()

()()12

1lim lim 21lim 2122

++⋅≤+⋅≤++⋅∞→=∞→∞→∑n n k

k n i n n i n k n n k

k n n k

i n n ()()

()211lim lim 21lim 12

k k n n i n n i n k k k n n n k

i n n +⋅+≤+⋅≤+⋅+∞→=∞→∞→∑ ()()()()()

()21lim 2121111lim lim 2111

lim 1212k

k i n n i n k k k k n

i n n i n k

k n k k i n n k

i n n +≤+⋅≤++⋅+

≤+⋅

≤+⋅+∑∑=∞→∞→=∞→∞→ 所以根据夹逼定理可以得到：原式的极限为：

()2

1k

k +