椭圆中的焦点三角形(好)
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解: 设 PF1 m， PF2 n，由余弦定理得
m n 2mn cos F1 F2
2 2 2
4c 2 ①
由椭圆定义得m n 2a② 2(a 2 c 2 ) 2b 2 由①得：mn 1 cos 1 cos 1 sin 2 2 S F1PF2 mn sin b b tan 2 1 cos 2
Ex.1
x2 y 2 变式（ : 04湖北） 已知椭圆 1的左、右焦点分别是F1、F2， 16 9 点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点， 则点P到 x 轴的距离为（ ） 9 A. 5 9 7 B. 7 9 C. 4 9 9 7 D. 或 4 7
性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦) 2b 最短，通径为 。 a
为 F1 , F2 , 设焦点三角形 PF1 F2 中 F PF , 1 2 则 cos 1 2e 2 .
（当且仅当动点为短轴端点时取等号）
变式 :（09江西） 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1 MF2 0
的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 _______
2
x2 y 2 (2007天津) 设椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别为F1，F2， a b 1 A是椭圆上的一点，AF2 F1F2，原点O到直线AF1的距离为 OF1 ． 3 （Ⅰ）证明a 2b；（Ⅱ）略
拓展
1. 双曲线中的焦点三角形问题
如 : SF1PF2 b ctg
x2 y 2 例3 已知椭圆 2 2 1(a b 0)的两焦点分别为F1 , F2 , a b 若椭圆上存在一点P, 使得F1 PF2 1200 , 求椭圆的离心率e 的取值范围。
由前面考点二的分析，你能得出cos
F1 PF2
与离心率e的关系吗？
性质二：已知椭圆方程为
x2 y2 2 1(a b 0), 两焦点分别 2 a b
2. 已知F1、F2是椭圆 x2 y 2 1的左, 右焦点, 点P在 25 9 椭圆上运动,则 PF1 PF2 的最大值是_______
考点2 有关角的问题：
例2
x2 y 2 (2000全国)椭圆 1的焦点为Fl、F2， 点P为 9 4 其上动点， 当Fl PF2为钝角时， 点P横坐标的取值 范围是 ________ 。
“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ 解三角形中我们常用的理论依据是什么？
cos
PF1 PF2 F1 F2 2 PF1 PF2
2
2
2
m2 n2 4c 2 2mn
(m n)2 2mn 4c2 4a2 2mn 4c2 4b2 2mn 2b2 1 2mn 2mn 2mn mn
x2 y2 1 的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当 9 4
探究: 椭圆
F1 PF2 为直角时，点P的横坐标是_______。
而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？
F1 PF2由锐角变成直角， 性质一：当点P从右至左运动时，
又变成钝角,过了Y轴之后,对称地由钝角变成直角 再变成 F1 PF2 达到最大。 锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时， 椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点 对椭圆两焦点所成张角中最大的角
6
，则 PF1 F2的面积等于 _______ 。
x2 二：P是椭圆 y 2 1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点， 4 若F1 PF2
3
，则PF1 F2的面积等于 _______ 。
x2 y2 若F、F 1 2是椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0)的两个焦点， a b P是椭圆上一点，且∠FPF 1 2 =θ，求椭圆的面积。
2
2
2. 椭圆的焦点改为其它的定点 (如长轴两端点) 3. 焦点弦四边形(如面积的最值)
归纳小结:
焦点三角形
基本概念
性质及应用
思想方法
考点1 有关周长和距离问题：
x2 y 2 例1 (08浙江)已知F1、F2为椭圆 1的两个焦点,过F1的直线 25 9 交椭圆于A、B两点,若 F2 A F2 B 12, 则 AB _______
变式：
1. （2006四川） 如图把椭圆的长轴AB分成8分， 过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分 于P 1, P 2 , P 7 七个点，F是椭圆的一个焦点， 则P 1F P 2 F P 7 F _________
昨日重现.mp3
考纲要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 3.能解决直线与椭圆的位置关系等问题. 4.理解数形结合的思想. 5.了解椭圆的简单应用.
定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。 其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰 三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形
考点4 有关面积的问题：
例4
xHale Waihona Puke Baidu y 2 P是椭圆 1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点， 5 4
若F1 PF2
3 怎样改动，使上面不是一个错题？
, 则PF1 F2的面积等于 _______ 。
x2 y2 一：P是椭圆 1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点， 5 4 若F1 PF2
2b 2b 1 2 1 mn 2 a ( ) 2
(当且仅当m n,即P点与短轴端点重合时" "成立)
2
2
变式: (2004湖南卷) F1 , F2是椭圆C :
x y 1的焦点, 8 4
2
2
在C上满足PF1 PF2的点 P的个数为______
考点3 有关离心率的问题：
m n 2mn cos F1 F2
2 2 2
4c 2 ①
由椭圆定义得m n 2a② 2(a 2 c 2 ) 2b 2 由①得：mn 1 cos 1 cos 1 sin 2 2 S F1PF2 mn sin b b tan 2 1 cos 2
Ex.1
x2 y 2 变式（ : 04湖北） 已知椭圆 1的左、右焦点分别是F1、F2， 16 9 点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点， 则点P到 x 轴的距离为（ ） 9 A. 5 9 7 B. 7 9 C. 4 9 9 7 D. 或 4 7
性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦) 2b 最短，通径为 。 a
为 F1 , F2 , 设焦点三角形 PF1 F2 中 F PF , 1 2 则 cos 1 2e 2 .
（当且仅当动点为短轴端点时取等号）
变式 :（09江西） 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1 MF2 0
的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 _______
2
x2 y 2 (2007天津) 设椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别为F1，F2， a b 1 A是椭圆上的一点，AF2 F1F2，原点O到直线AF1的距离为 OF1 ． 3 （Ⅰ）证明a 2b；（Ⅱ）略
拓展
1. 双曲线中的焦点三角形问题
如 : SF1PF2 b ctg
x2 y 2 例3 已知椭圆 2 2 1(a b 0)的两焦点分别为F1 , F2 , a b 若椭圆上存在一点P, 使得F1 PF2 1200 , 求椭圆的离心率e 的取值范围。
由前面考点二的分析，你能得出cos
F1 PF2
与离心率e的关系吗？
性质二：已知椭圆方程为
x2 y2 2 1(a b 0), 两焦点分别 2 a b
2. 已知F1、F2是椭圆 x2 y 2 1的左, 右焦点, 点P在 25 9 椭圆上运动,则 PF1 PF2 的最大值是_______
考点2 有关角的问题：
例2
x2 y 2 (2000全国)椭圆 1的焦点为Fl、F2， 点P为 9 4 其上动点， 当Fl PF2为钝角时， 点P横坐标的取值 范围是 ________ 。
“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ 解三角形中我们常用的理论依据是什么？
cos
PF1 PF2 F1 F2 2 PF1 PF2
2
2
2
m2 n2 4c 2 2mn
(m n)2 2mn 4c2 4a2 2mn 4c2 4b2 2mn 2b2 1 2mn 2mn 2mn mn
x2 y2 1 的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当 9 4
探究: 椭圆
F1 PF2 为直角时，点P的横坐标是_______。
而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？
F1 PF2由锐角变成直角， 性质一：当点P从右至左运动时，
又变成钝角,过了Y轴之后,对称地由钝角变成直角 再变成 F1 PF2 达到最大。 锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时， 椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点 对椭圆两焦点所成张角中最大的角
6
，则 PF1 F2的面积等于 _______ 。
x2 二：P是椭圆 y 2 1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点， 4 若F1 PF2
3
，则PF1 F2的面积等于 _______ 。
x2 y2 若F、F 1 2是椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0)的两个焦点， a b P是椭圆上一点，且∠FPF 1 2 =θ，求椭圆的面积。
2
2
2. 椭圆的焦点改为其它的定点 (如长轴两端点) 3. 焦点弦四边形(如面积的最值)
归纳小结:
焦点三角形
基本概念
性质及应用
思想方法
考点1 有关周长和距离问题：
x2 y 2 例1 (08浙江)已知F1、F2为椭圆 1的两个焦点,过F1的直线 25 9 交椭圆于A、B两点,若 F2 A F2 B 12, 则 AB _______
变式：
1. （2006四川） 如图把椭圆的长轴AB分成8分， 过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分 于P 1, P 2 , P 7 七个点，F是椭圆的一个焦点， 则P 1F P 2 F P 7 F _________
昨日重现.mp3
考纲要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 3.能解决直线与椭圆的位置关系等问题. 4.理解数形结合的思想. 5.了解椭圆的简单应用.
定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。 其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰 三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形
考点4 有关面积的问题：
例4
xHale Waihona Puke Baidu y 2 P是椭圆 1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点， 5 4
若F1 PF2
3 怎样改动，使上面不是一个错题？
, 则PF1 F2的面积等于 _______ 。
x2 y2 一：P是椭圆 1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点， 5 4 若F1 PF2
2b 2b 1 2 1 mn 2 a ( ) 2
(当且仅当m n,即P点与短轴端点重合时" "成立)
2
2
变式: (2004湖南卷) F1 , F2是椭圆C :
x y 1的焦点, 8 4
2
2
在C上满足PF1 PF2的点 P的个数为______
考点3 有关离心率的问题：