高等数学利用球坐标计算三重积分

D
xD
y
17
例1. 求由曲面 z x2 y2 与 z 2 ( x2 y2 )
所围立体 的体积 V .
提示: 先求曲面的交线在 xoy 面上的投影域 D.
由
z x2 y2
z 2 ( x2 y2 )
z2 2 ( x2 y2 ) 2 z
消去 z 得D 的边界 x2 y2 1
和
所围成的体积 V 和表面积 S .
解: (1) 易求出
利用二重积分,得
30
(2)
31
所截
A
D
1
zx2
z
2 y
dxd y
D 1 x2 y2 dxdy
2
d
R
1 r 2 r dr
0
0
2
[ (1
R
2
)
3 2
1) ]
3
26
例2 求球面 x2 y2 z2 a2，含在圆柱体 x2 y2 ax内部的那部分面积.
解 由对称性知 A 4A1,
D1： x2 y2 ax ( x, y 0)
z0
V (z2 z1)d D (2 r2 r2)rdrd
z1 x2 y2 o
1y
x
D
2
d
2
2
1r3dr 0
2
18
D
例2. 求球体 x2 y 2 z 2 R2与 x2 y 2 z 2 2Rz
公共部分体积.
解：求两球交线的投影. 由
x2 y2 z2 R2
x2 y2 z2 2Rz 消去 z 得 x2 y2 3 R2 D
dv r2 sin drd d
5
5
例3. 设由锥面
和球面
所围成 , 计算
提示:
I (x2 y2 z2 2 xy 2 yz 2 xz) dv
z 2
利用对称性
(x2 y2 z2 ) dv
4
oy
用球坐标
x
2 d
0
4 0
sin d 2r 4 d r 0
32 2
5
2
6
例4：计算 I z x2 y2 d v
zR R
2
4
投影域 D : x2 y2 3 R2 4
Do x
y
V R2 x2 y2 D
2
2 d
3 2
R
0
0
R2 r2 r dr R
d 5 R3
D 12
19
例3. 求曲面
任一点的切平面与曲面
所围立体的体积 V .
解: 曲面 S1在点
的切平面方程为
z 2x0 x 2 y0 y 1 x02 y02
z
n
SM
处小切平面的面积 d A 无限积累而成.
o
设它在 D 上的投影为 d , 则
d cos d A n fx , f y ,1
cos
1
x
d y
nz
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
dA
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
M d
称为面积元素
它与曲面
的交线在 xoy 面上的投影为
(x x0 )2 ( y y0 )2 1 (记所围域为D )
V
D
2x0
x
2
y0
y
1
x02
y02
x2
y2d
x
d
y
D1 (x x0 )2 ( y y0 )2 d x d y
令 x x0 r cos , y y0 r sin
r2 r d r d
0
0
0
r
y
2 a3 3
2 sin cos d 1
0
3
a3
x
dv r2 sindrd d
4
例2. 计算三重积分
其中
与球面
所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR
z rR
:
0
4
0 2
4
( x2 y2 z2 )dxdydz
2
d
4 sin d
Rr4 dr
oy x
0
0
0
1 R5(2 2)
d dr
r d
o
x
y
d
其中 F(r, ,) f (r sin cos , r sin sin , r cos )
适用范围:
1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;
积分域是由球面、锥面所围成。
2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.
被积函数中含有 x2 y2 z2 的因子。
3
例1.求曲面 (x2 y2 z2 )2 a3z (a 0)所围立体体积.
23
故有曲面面积公式
A D 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
即
A D
1 (z)2 (z)2 d xd y x y
若光滑曲面方程为 x g( y, z) , ( y, z) Dy z ,则有
Dy z
24
若光滑曲面方程为 y h (z, x) , (z, x) Dz x ,则有
解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部, 且关于 xoz
yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为
: 0 r a 3 cos , 0 2 ,
0 2
z
利用对称性, 所求立体体积为 r a 3 cos a
V d v
4 2 d
2 sin d
a 3 cos r 2 d r
r
: 0 0 2
则立体体积为
xo y
d v r 2 sind d dr
V
dxdydz
2
0
d
0 sin
d
2acos r 2 d r
0
16 a3 cos3 sin d 4 a3 (1 cos4 )
30
3
22
二、曲面的面积
设光滑曲面
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z)
0
0
0
15
7
例4：计算 I z x2 y2 d v
其中 是由锥面 z x2 y2 和平面z＝1所围成。
解法二：采用先一后二计算
: x2 y2 z 1 Dx y :x2 y2 1
1
I
x2 y2 d x d y x2y2 z d z
Dx y
1 x2 y2 1 x2 y2 d x d y 2 Dx y
D
2 d
0
1 0
r
3
d
r
2
20
例4. 求由平面 及旋转抛物面
截得的立体的体积V . 解:
所围成的柱体被平面
z 6
D
x+ y=1
y
x
y
1
x+ y =1
D
O
1
21
x
例5. 求半径为a 的球面与半顶角为 的
z
内接锥面所围成的立体的体积.
2a
解: 在球坐标系下空间立体所占区域为
M
0 r 2a cos
曲面方程 z a2 x2 y2 ,
于是
1
z x
2
z y
2
z
a
,
o
y
a2 x2 y2
2a
x
27
面积 A 4 1 zx2 z y2dxdy
D1
a
4
D1
dxdy a2 x2 y2
4a
2 d
a cos
1
rdr
0
0
a2 r2
z
2a2 4a2.
o
y
2a
x 28
例4. 求由曲面
A
1 (y )2 (y )2 d zd x
Dz x
z
x
若光滑曲面方程为隐式
且
则
z Fx , z Fy , x Fz y Fz
(x, y) Dx y
A
Fx2 Fy2 Fz 2 dx d y
Dx y
Fz
25
例1. 计算双曲抛物面
被柱面
出的面积 A .
解: 曲面在 xoy 面上投影为 D : x2 y2 R2, 则
1
2
d
20
1
r
0
1 r2
rdr
2
15
z
oy x
8
例4：计算 I z x2 y2 d v
其中 是由锥面 z x2 y2 和平面z＝1所围成。
z 解法三：采用先二后一在 z (0 z 1) 处用垂直于
轴的平面去截 ,得到截面域 DZ : 2 0
rM
o
y x
r 常数
常数
球面
M (r, ,)
半平面
r sin z r cos
常数
锥面
2
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 z
d v d r r d r sin d
d v r 2 sind rd d
因此有 f (x, y, z)dxdydz F(r, ,) r2 sin d r d d
其中 是由锥面 z x2 y2 和平面z＝1所围成。
解法一：采用球坐标计算
0
r
1
cos
z
:
0
4
0
2
o x
x rsin cos y r sin sin y x2 y2 r sin
I r cos r sin r2 sin d r d d
2
d
1
4 sin 2 cosd cos r 4d r 2
x2 y2 d xd y
0
Dz
1
2
zd z d
0
0
z r2 d r 2
0
15
Dz
oy
x
9
例5. 计算 分析：若用“先二后一”, 则有
其中 由 所围成.
计算较繁! 采用“先一后二”较好.
10
例5. 计算 解:
其中 由 所围成.
11
例6. 计算 I
1 1x
dx dy
1
x
y
(1
y)
e(1
y
z)
2
dz
00
0
解: 积分域为平面 x + y + z =1 与三个坐标面所围四
面体 , 交换积分顺序， 得
I
(1
y)
e(1 yz)2
1 yz
dydz dx
Dy z
0
z
1
Dy z
1
1y
1
(1
1 y
y)dy (1
y z) e(1 yz)2 dz
x
1
0
0
4e
练习 计算
I
1
x
dx
y
dy
sin 1
z z
dz
000
13
作业
习题册第九章第三节
14
第四节 重积分的应用
一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力
第十章
15
1. 能用重积分解决的实际问题的特点
所求量是
分布在有界闭域上的整体量 对区域具有可加性
2. 用重积分解决问题的方法 • 用微元分析法 (元素法) • 从积分定义出发 建立积分式
高等数学
第十六讲
3. 利用球坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3, 其柱坐标为(, , z), 令 OM r,
ZOM , 则(r, ,) 就称为点M 的球坐标.
直角坐标与球面坐标的关系
z z
x rsin cos y r sin sin z r cos
坐标面分别为
0 r
3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便
16
一、立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面
则其体积为
V D f (x, y)dxdy
zz f ( x, y)
y xD
z z2 (x, y)
z
2、一般立体的体积
z z1(x, y)
V (z2( x, y) z1( x, y))d