一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则

dy | x x0 , 或df | x x0 , 即 dy | x x0 A x.
定理3.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且 有 dy f ( x)dx .
dy 由于 f ( x) ，即函数的导数等于函数的微 dx 分与自变量微分之比，因此导数也称微商.
证
d(u v) (u v)dx (u v)dx
udx vdx du dv.
d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
v udx u vdx vdu udv.
u 定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 可微, v u vdu udv 且有 d ( ) . 2 v v
(a 0,a 1).
d tan x sec2 xdx.
d cot x csc xdx.
2
d sec x sec x tan xdx. d csc x csc x cot xdx.
1 d arsin x dx. 2 1 x 1 d arccos x dx. 2 1 x
当立方体的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的体 积增量
3 2 2 V ( x0 x) 3 x0 3 x0 x (3x0 (x) 2 (x) 3 ).
函数增量 V 分成两部分，一部分是 x 的线性部分
2 3x0 x, 一部分是关于 x 的高阶无穷小
1 d arctan x dx . 2 1 x 1 d arccot x dx . 2 1 x
三、微分的四则运算法则
定理3.8 设u=u(x)，v=v(x)可微 ，则 u v , u , v可微， 且有
d(u v) du dv, d(uv) vdu udv.
1 1.4 0.04 1.414 3. 2 1.4
微分dy的几何意义，就是曲线y=f(x)在点M 0 处
的切线的纵坐标的增量.
二、微分的基本公式
微分的基本公式：
dc 0 (c为常数).
dx a ax a 1dx(a为常数) . da a ln a dx (a 0,a 1).
x x
de x e x dx. 1 1 d log a x dx x ln a 1 d ln x dx. x d sin x cos xdx . d cos x sin xdx.
tan x dx xd( tan x) cos xdx
tan x dx x sec x dx cos x dx
(tan x x sec 2 x cos x)dx.
注意，当然也可以直接用公式 dy y dx求微分.
2
d( x tan x sin x) ( x tan x sin x)dx
(tan x x sec x cos x)dx.
2
2 y x ln x，求dy. 例3 设
解 dy d ( x 2 ln x)
( x 2 ln x)dx
1 (2 x ln x x )dx x
2
(2 x ln x x)dx.
四、微分形式的不变性
设y=f(u),u=g(x)都可微，则复合函数y=f(g(x))也
增量 x x x0)，则有
x f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) o( x x0 ).
当x很接近 x0 时，即| x || x x0 | 很小时，就有近 似公式
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )，
( x 2 1)dx ( x 1) 2 xdx ( x 2 1) 2 1 2x x2 ( x 1)
2 2
dx.
例2 设y=x tan x－sin x，求dy.
解 dy d( x tan x sin x)
d( x tan x) d(sin x)
微分及其运算
一、微分的定义
二、微分的基本公式
三、微分的四则运算法则
四、微分形式的不变性 五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的面积
增量 S ( x0 x) 2 x0 2 2 x0 x (x) 2 .函数增量 S 分成两部分，一部分是 x 的线性部分 2 x0 x ，一部 分是关于 x 的高阶无穷小 (x) 2 o(x).
可微，此时有 dy y x dx f (u ) g ( x )dx f (u )du.
可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变
量，总有 dy f (u )du ，这就是微分形式的不变性.利
用微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分.
例4 设 y ( x 3 1) 4 , 求dy. 解 令y u 4 , u x 3 1 ，则
dy 4u 3du
4u 3 3x 2 dx 12 x 2 ( x 3 1) 3 dx.
如果不引入中间变量u，则可
dy 4( x 3 1) 3 d( x 3 1)
4( x 3 1) 3 3 x 2 dx 12 x 2 ( x 3 1) 3 dx.
x sin x 例5 设 y e ，求dy.
3x0 (x) 2 (x) 3 o(x).
定义 设y=f(x)在点 x0 的某邻域内有定义， x0 x 属于 该邻域.若
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x),
其中A与 x无关，而 o(x) 是关于 x 的高阶无穷小， 则称y=f(x)在x0 可微，而 A x 称为y=f(x)在点 x0 处的 微分，记为
解
dy e x sin x d( x sin x)
e x sin x (sin x x cos x)dx.
当然，也可以直接用公式 dy y x dx 来求微分，
即求出 y x 后再乘以dx得到dy.
五、微分在近似计算中的应用
设y=f(x)在 x0 可导，当自变量从 x0 变到x(即取得
即
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ).
当 f ( x0 ), f ( x0 ) 容易计算时，就可以用上述的
近似公式来计算 x0 附近点的函数值.
例6 计算 2的近似值.
解
1.96 1.4, 令 f ( x) x , 则 2 f (2) f (1.96) f ' (1.96) (2 1.96)
u u 证 d ( ) ( )dx v v u v uv dx 2 v v u dx u v2 v
x 1 例1 设 y 2 ，求dy. x 1
x 1 解 dy d ( 2 ) x 1 ( x 2 1)d( x 1) ( x 1)d( x 2 1) ( x 2 1) 2