全等几何模型讲解

常见的几何模型

一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。

这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。

1.绕点型（手拉手模型）

遇600旋600，造等边三角形

遇900旋900，造等腰直角

（1）自旋转：自旋转构造方法

遇等腰旋顶角，造旋转全等

遇中点旋1800，造中心对称

例题讲解：

1. 如图所示，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2，PB=2 3，PC=4，求△ABC的边长。

A

P

B C

2.如图，O是等边三角形ABC内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA、

OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？

A

O

B C

3.如图，P是正方形ABCD内一点，且满足PA：PD：PC=1：2：3，则∠APD=.

4.如图（2-1）：P是正方形A BCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别

为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。

（2）共旋转（典型的手拉手模型）

模型变形：

等边三角形共顶点

共顶点等腰直角三角形

共顶点等腰三角形

共顶点等腰三角形

例题讲解：

1.已知△ABC

为边作菱形为等边三角形，

点

ADEF(按A,D,E,F

D为直线BC上的一动点（点D不与

逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.

B,C 重合），

以

AD

(1)如图1，当

点

D在边BC 上时，求证：

①

BD=CF?②AC=CF+CD.

(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD

不成立，请写出 AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

是否成立？若

(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，

CD之间存在的数量关系。补全图形，并直接写

出

AC、CF、

2.（13北京中考）

在△ABC中，AB=AC，∠BAC= （0 60），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得

到线段BD。

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。

2.半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

例题：

1.在等腰直角△ABCD的斜边上取两点M,N,使得∠MCN45,记AM=m,MN=x,BN=n，

求证以m，x，n为边长的三角形为直角三角形。

C

m x n

A

B

M N

2.如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2，求PCQ的度数。

D C

Q

A P B

3.E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF 45，AH EF，H为

垂足，求证：AH AB． A D

F

H

BE C

4.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交

CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠ MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH=AB；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）

5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或

它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．

(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关

系?写出猜想，并加以证明．

(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关

系?请直接写出你的猜想．

6.(14房山2模).边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.

（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；

（3）如图3，设MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？

请证明你的结论.

7.(2011石景山一模)已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD为对角线，将∠BAC绕顶点A逆

时针旋转α°（0＜α＜45），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC，CD于

点E、点F，连接EF，EQ．

（1）在∠BAC的旋转过程中，∠AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；

（2）探究△APQ与△AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明．

8．已知在△ABC中，ACB 90，CA CB 62，CD AB于D，点E在直线CD

上，DE 1CD

，点F 在线

段

AB上，M 是DB的中点，直线AE与直线CF 交

于

N 点. 2

（1）如图1，若点E在线段CD上，请分别写出线段

关系：___________，___________；

AE和CM 之间的位置关系和数量

（2）在（1）的条件下，当点 F 在线

段AD 上，

且

AF 2FD 时，求证：CNE 45 ；

（3）当点 E 在线段CD 的延长线上时，在线段AB 上是否存在点 F ，使得CNE 45 ．若存在，请直接写

出

AF 的长度；若不存在，请说明理由．