《数学分析》第十一章反常积分1

lim ln(ln 2) ln(ln(1 )) 0
.
故原广义积分发散.
3
例8 计算广义积分
dx 2.
0 ( x 1)3
x 1瑕点
解
3 dx
0
2
( x 1)3
1
3
( )
dx
2
0 1 ( x 1)3
1 dx
1 dx
0
2
( x 1)3
lim 0
0
2 3 ( x 1)3
b
f ( x)dx
a a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
设函数 f ( x) 在区间(,)上连续,如果
广义积分 0
f
(
x
)dx
和
0
f
( x)dx
都收敛，则
称上述两广义积分之和为函数 f ( x) 在无穷区间
(
,
)
上的广义积分，记作
f
(
x
)dx
.
0
f ( x)dx f ( x)dx 0 f ( x)dx
例 4 证明广义积分 e pxdx 当p 0 时收敛， a
当 p 0时发散.
证
e pxdx a
lim
b
b
e
px
dx
a
e px b blim p a
lim e pa e pb
b p
p
e
ap
p
,
,
p0 p0
即当 p 0时收敛，当p 0 时发散.
二、无界函数的广义积分
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x) 在区间[a, b)上连续，
而在点b 的左邻域内无界.取 0 ，如果极限
lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x)
0 a
在区间[a, b)上的广义积分，
b
记作 f ( x)dx lim
定义 2 设函数 f ( x) 在区间(a, b]上连续，而在
点a 的右邻域内无界．取 0 ，如果极限
b
lim
f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x)
0 a
在区间(a, b]上的广义积分，记作ab f ( x)dx .
b f ( x)dx lim b f ( x)dx
a
0 a
0 a 2 x 2 0 0
a2 x2
lim0arcsin
x a
a
0
lim
0
arcsin
a
a
0
. 2
例6
证明广义积分01
1 xq
dx
当q
1
时收敛，当
q 1时发散.
证 (1) q 1,
1
0
1 xq
dx
1
0
1 dx x
ln
x
1 0
,
(2) q 1,
1
0
1 xq
dx
x1q 1 1 q0
3 dx
1
2
( x 1)3
lim 0
3 dx
1
2
( x 1)3
3 3 2,
3 dx
0
2
( x 1)3
3(1 3
2).
三、小结
无穷限的广义积分
f ( x)dx
b
f
( x)dx
a
f
( x)dx
无界函数的广义积分（瑕积分）ab f ( x)dx
（注意：不能忽略内部的瑕点）
b
a
第十一章 反常积分 §1 反常积分概念
一、无穷限的广义积分
定义 1 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，取
b
a
，如果极限
lim
b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极
限为函数 f ( x) 在无穷 区间[a,) 上 的广义 积
分，记作 a
f
( x)dx .
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a
x0a
lim arctan
b
x
b
0
lim arctana a
lim arctanb b
2
2
.
例2
计算广义积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
blimcos
1、广义积分 dx 当_______时收敛；当______ 时
, 1 1 q
,
q q
1 1
因此当q 1时广义积分收敛，其值为 1 ； 1q
当q 1时广义积分发散.
例7
计算广义积分
2 dx . 1 x ln x
解
2 dx
2 dx
1
x ln x
lim 0
1
x ln x
wenku.baidu.comim 0
2 1
d(ln x) ln x
lim ln(ln
0
x)
2 1
1 b
cos
2
1.
例3
证明广义积分 1
1 xp
dx
当
p
1
时收敛，
当 p 1时发散.
证
(1)
p
1,1
1 xp
dx
1
1 x
dx
ln
x
1
,
(2)
p
1,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p1
,
p
1
1
,
p1 p1
因此当 p 1时广义积分收敛，其值为 1 ； p1
当 p 1时广义积分发散.
a
b a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x) 在区间(, b] 上连续，取
a
b
，如果极限 lim a
b
a
f
(
x)dx
存在，则称此极
限为函数 f ( x) 在无穷区间(, b] 上的广义积
分，记作 b
f
( x)dx.
b
f ( x)dx lim
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
思考题
积分
1
0
ln x x1
dx
的瑕点是哪几点？
思考题解答
积分
1
0
ln x x1
dx
可能的瑕点是
x
0,
x1
lim ln x lim 1 1, x 1 不是瑕点, x1 x 1 x1 x
1
0
ln x dx 的瑕点是
x1
x
0.
练习题
一、填空题：
b f ( x)dx .
a
0 a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
设函数 f ( x)在区间[a,b]上除点c (a c b)外连
续，而在点c 的邻域内无界.如果两个广义积分
c
a
f
(
x
)dx
和 b c
f
( x)dx 都收敛，则定义
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
0
b
lim a a
f
(
x
)dx
lim
b
0
f ( x)dx
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
例1
计算广义积分
1
dx x
2
.
解
dx
0 dx
dx
1 x2 1 x2 0 1 x2
lim a
0
a1
1 x2
dx
lim
b
b1 0 1 x2 dx
lim arctan
c
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
0 a
0 c
否则，就称广义积分ab f ( x)dx 发散.
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
a dx
例5 计算广义积分 0
a2 x2
解
lim 1 , xa0 a2 x2
(a 0).
x a 为被积函数的无穷间断点.
a dx lim a dx