牛顿迭代法的基本思想

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1）当用 Newton 法求ｍ重根时，不妨设
f（x）= x x* mgx
g x* 0
f （x）=m x x* m1gx x x* m gx
= x x* m1mgx x x *gx
xk1 x* xk
f x k f x k
x*
=
xk
x*
由（1）式知 xk1 是点 (xk , f (xk )) 处 y f (x) 的切线 是y说x ，f (xxk新k )的 近f (似xk值) 与xkX轴1 是的用交代点替的曲横线坐y标=f（(x如)的图切）线。与也x就
轴相交得到的。继续取点 (xk1, f (xk1)) ,再做切线与x轴相
交，又可得xk2 , 。由图可见，只要初值取的充分靠
在 f(x)=0的根 的某个邻域 R( x ) 内, f (x) 0
f (x) • f (x)
(x) f (x)2 L 1
在 的邻域R 内，对任意初值 x0 ，应用由公式（1）来解方程的方
法就称为牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一.
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牛顿法的几何意义
设 f (xk ) 0 ,令其解为 xk1 ,得
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
这称为f(x)=0的牛顿迭代格式。
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它对应的迭代方程为 x x f (x) 显然是f(x)=0的同解方程， f (x)
故其迭代函数为
(x) x f (x) f (x)
( f (x) 0)
近 ,这个序列就会很快收敛于 。
Newton迭代法又称切线法
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y
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牛顿迭代法的步骤
步一、准备。选定初始近似值 x0，计算 f0 f (x0 )
f0 f (x0 )
步二、迭代。按公式 x1 x0
f0 f 0
迭代一次，得到新的近
似值x1，计算 f1 f (x1), f1 f (x1)
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2)修正Newton法求m重根迭代公式
xk 1
xk
m
f (xk ) f (xk )
注：若 x* 是方程 f (x) 0 的m重根，而 f (m)(x)在 x* 的 某一邻域内连续，则修正 Newton法是局部收敛的，并具
有至少二阶的收敛速度。
因为：考察函数 (x) 用定义求导
f ( x*) hf ( x*) h m1 f (m) ( x*) O(h m )
(m 1)!
1 m h
h m f (m) ( x*) O(h m1 ) m! h m1 f (m) ( x*) O(h m )
(m 1)!
1
m h
h m
(1
O(h))
O(h)
0
(h 0)
所以 (x*) 0 由定理2知至少是二阶收敛
xm
f (x) f (x)
在x * 处的导数
x * h m f (x * h) x *
(x * h) (x*)
f (x * h)
h
h
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1 m f (x * h) h f (x * h)
Tailor展开
1 m h
f ( x*) hf ( x*) h m f (m) ( x*) O(h m1 ) m!
f1 0 则方法失败；否则以 (x1, f1, f1)代替(x0 , f0 , f0)转
步二继续迭代。
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例题
例1:用牛顿法求下面方程的根f (x) x3 2x210x 20 解 因 f (x) 3x2 4x 10 ,所以迭代公式为
xn1 xn (xn3 2xn2 10xn 20) /(3xn2 4xn 10) 选取x0 1,计算结果 列于下表
由牛顿迭代公式
迭代结果
xk+1= xk-ƒ(xk)/ƒ'(xk)= xk/2+0.78265/2xk
k0
1
2
3
xk 0.880000 0.884688 x n 1 x n f ( x n ) / f ( x0 )
0.884675
0.884675
满足了精度要求 0.7826上5 一页=0.8下84一67页5
n
1
2
3
4
xn
1.411764706 1.369336471 1.368808189 1.368808108
从计算结果可以看出,牛顿法的收敛速度是很快的,进行了
四次迭代就得到了较满意的结果.
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例2 计算 0.78265 的近似值。 =10-6 x0=0.88
解： 令x= 0.7826源自文库 问题转化为求ƒ(x)= x2-0.78265=0的正根
mgxk xk x* gxk mgxk xk x* gxk
lim k
xk1 x* xk x*
= lim
k
mgxk xk x* gxk mgxk xk x* gxk
m 1g x* = mg x*
m 1 0 m
此时，Newton 法具有线性敛速。
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判别Newton 法收敛的充分条件
设(x )在有根区间 (a,b)上存在二阶导数，且满足 （1）(a)(b)<0； （2）`(x)0，x(a,b)； （3）``(x)不变号，x(a,b)； （4）初值x0 (a,b)；且使(x0)``(x0)>0。 则牛顿迭代序列{xi}收敛于 (x)=0 在 (a,b) 内唯一的根。
Newton迭代法的基本思想
设 X
K
是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在
X
K
处作泰勒展开
f
(x)
f (xk )
f
(xk )(x
xk )
f
(xk ) (x 2!
xk )2
若取前两项来近似代替f(x)(称为f(x)的线性化)，则得近似的线性
方程
f (x) f (xk ) f (xk )(x xk ) 0
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牛顿迭代法的优缺点
1、优点：牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代 过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代 法比简单迭代法优越的地方。 2、缺点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能的不 到收敛的结果。再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次 迭代除计算函数值外还要计算微商值。
步三、控制。如果x1满足 1。 则终止迭代，
以 x1作为所求的根；否则转步四。此处 1 是允许误差,
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而
x1 x0 ,当.. x1 c时；。其中c是取绝对值或相对误差
x1
x0 x1
，当... x1
c时。
的控制常数，一般可取c=1。
步四、修改。如果迭代次数达到预定指定的次数N，或者