函数的凹凸性

函数的凹凸性专题

一、函数凹凸性的定义

1、凹函数定义：设函数)(x f y =在区间I 上连续，对I x x ∈∀21,，若恒有2

)()()2(

2121x f x f x x f +<+，则称)(x f y =的图象是凹的，函数)(x f y =为凹函数； 2、凸函数定义：设函数)(x f y =在区间I 上连续，对I x x ∈∀21,，若恒有2

)()()2(

2121x f x f x x f +>+，则称)(x f y =的图象是凸的，函数)(x f y =为凸函数. 二、凹凸函数图象的几何特征

1、形状特征

如图，设21,A A 是凹函数)(x f y =图象上两点，它们对应的横坐标)(,2121x x x x <，则111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点122

x x +作x 轴的垂线交函数图象于点A ，交21A A 于点B . 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方； 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方. 简记为：形状凹下凸上.

2、切线斜率特征

凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而增大即)(x f y =的二阶导数0)('

'≥x f ； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而减小即)(x f y =的二阶导数0)('

'≤x f . 简记为：斜率凹增凸减.

3、增量特征