2 误差理论(第二章第一节随机误差)-2015版

i i 0
式中： i 1,2,, n
。
《误差理论与数据处理》
第 9页
第一节 随机误差
二、正态分布
正态分布N(0,σ2)
分布密度 f ( ) ： 分布函数 F ( ) ：
f ( ) 1
(2-2)
e
2 /( 2 2 )
2
1 F ( ) 2



e
2 ( 2 2 )
νi li x
残余误差代数和性质：
证明：
v
i=1
n
i
0
v
I 0
N
i
v1 v2 (l1 l2 0
vn ln x ln ) nx
l1 x l2 x
第一节 随机误差
三、算术平均值
残差的简便计算见书p12。
x0
l
i 1
方差的平方根值称为标准差或均方差，标准差与随机 变量X具有相同的量纲，记： X D X
《误差理论与数据处理》 第 6页
第一节 随机误差
一、随机误差产生的原因
对同一测量值进行多次等精度(相同测量条件,相 同仪器,相同测量方法)的重复测量； 得到一系列不同的测量值（常称为测量列），每 个测量值都含有误差； 这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据 出现后，不能预测下一个数据的大小和方向； 误差整体而言，却明显具有某种统计规律；
《误差理论与数据处理》
第 7页
第一节 随机误差
一、随机误差产生的原因
随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小 因素构成，主要有以下几方面： ① 测量装置方面的因素 ② 环境方面的因素 ③ 人为方面的因素
零部件变形及其不稳 定性，信号处理电路 的随机噪声等。 温度、湿度、气压的 变化，光照强度、电 磁场变化等。 瞄准、读数不稳定， 人为操作不当等。
i
n
v
i 1
n
i
0
2 2 v 2 v n v n i x i x i 1
第一节 随机误差
四、测量的标准差
单次测量的标准差-贝塞尔(Bessel)公式
在实际测量中，只能用残余误差vi计算出标准偏差的估计 值，称为单次测量标准差的估计值。 算术平均
i li L0
1 l1 x x L0 2 l2 x x L0 n ln x x L0
曲线右半 部面积 平分线 图为正态分布曲线和 各精度参数在图中的坐标
《误差理论与数据处理》
第12页
第一节 随机误差
二、正态分布
符合正态分布的随机误差具有如下特征： ① 绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误 差的对称性；
f (δ) 0, f ( δ ) f ( δ )
② 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为 误差的单峰性；
第一节 随机误差
三、算术平均值
• 证明： X 是被测量真值a的无偏估计 EX a
1 EX E{ (l1 l2 ln )} n 1 ( El1 El2 Eln ) n 1 (a a a ) n
a
第一节 随机误差
三、算术平均值
残差：
一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按 i li Lo 求得 随机误差，用算术平均值代替被测量的真值。此时的随机误差 称为残余误差。
n
i
n
用残余误差代数和校核算术平均值及其残余误差 参见书p13。
x
l
i 1
n
i
n

(l
i 1
n
o
li )
n

l
i 1
n
i
nlo
n
l0
l
i 1
n
i
n
l0 x0
第一节 随机误差
例 2-1 测量某物理量10次，得到结果见表2-1，求算术平均值。
测 序 1 2 3 4 5 6 7 8为 L0=1879.65 选取的任意值 9 10 li 1879.64 1879.69 1879.60 1879.69 1879.57 1879.62 1879.64 1879.65 1879.64 1879.65
δ 0时, f (δ ) 1 为最大值，f ( δ)<f (0) σ 2
《误差理论与数据处理》
第13页
第一节 随机误差
二、正态分布
符合正态分布的随机误差具有如下特征： ③ 虽然函数 f(δ)的存在区间是[-∞,+∞]，但实际上, 随机误差δ 只是出现在一个有限的区间内，即[-kσ,+kσ],称为误差的有界性 ； ④ 随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零： 这称为误差的补偿性。
第一节 随机误差
三、算术平均值
• 算术平均值的无偏性
• 想要通过测量得到数学期望与方差，必须做无穷多次重复实验，即 获得测量值总体； • 实际上，只能取有限次，即用“样本”来求得数学期望与方差。（ 2 求EX， σ 的估计)； • 无偏性：未知参数的估计值的数学期望等于未知参数本身；
• 待求的未知参数是量的真值a，估计值 X，期望值 EX， EX a 故 则称 X 是a的无偏估计，或 X 具有无偏性。
D X E X 2 E X
2
随机变量X的方差表达了X的取值与其数学期望的偏 离程度，是衡量X取值分散程度的一个标尺。
• 若D(X)较小，则说明X的取值比较集中； • 若D(X)较大，则说明X的取值比较分散。
《误差理论与数据处理》 第 5页
第一节 随机误差
残差
值的误差
1 v1 x 2 v2 x n vn x
x 称为算术平均值的误差。
第一节 随机误差
四、测量的标准差
1 v1 x 2 v2 x 各式相加得 n vn x
《误差理论与数据处理》 第 4页
第一节 随机误差
复习数学相关知识
方差
定义：设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存 在，则称E{[X-E(X)]2}为X的方差，即为D(X)或 者Var(X)，记：
D X Var X E X E X

2

D(X)的计算：
重庆大学 光电工程学院 本科课程
之
误差理论与数据处理
李伟红 副教授 2015/4/24
第二章 误差的基本性质与处理
第一节 第二节 第三节 第四节 随机误差 系统误差 粗大误差 测量结果的数据处理
《误差理论与数据处理》
第2页
第一节 随机误差
一、随机误差产生的原因
二、正态分布 三、算术平均值 四、测量的标准差 五、标准偏差的几种计算方法 六、测量的极限误差 七、不等精度测量 八、随机误差的其他分布
《误差理论与数据处理》
第 8页
第一节 随机误差
二、正态分布
随机误差的分布可以是正态分布，也有在非正态 分布，而多数随机误差都服从正态分布。
我们首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。 设被测量值的真值为 L0，一系列测得值为 l i ，则测量列的随 机误差 i 可表示为： (2-1) l L
《误差理论与数据处理》 第3页
第一节 随机误差
复习数学相关知识
数学期望（均值）
定义:设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积 分 xf x dx 绝对收敛，则称上述积分值为随机变 量X的数学期望，记为E(X)

EX


xf x dx
数学期望的性质
设C是常数，则有：E(C)=C 设X是一个随机变量，C是常数，则有：E(CX)=CE(X) 设X，Y是两个随机变量，则有：E(X+Y)=E(X)+E(Y) 设X，Y是相互独立的随机变量，则:E(XY)=E(X)E(Y)
d
(2-3)
式中：σ-标准差（或均方根误差） e -自然对数的底，基值为2.7182……。
数学期望E： 方差σ2：
E f ( )d 0


(2-4) (2-5)
第10页
f ( )d
2 2
《误差理论与数据处理》

第一节 随机误差
二、正态分布
平均误差 （曲线右半部面积重心点的横座标） ：
| 1 | | 2 | | n | n 对于连续型随机变量 | | f ( )d

4 | | f ( )d 0.7979 则平均误差 ： 5

或然误差(几率误差)ρ：指测量误差落在±ρ以内和落在±ρ 以外的概率相等（平分曲线右半部分面积）
复习数学相关知识
方差的性质
设C是常数，则有：D(C)=0; 设X是随机变量，C是常数，则:D(CX)=C2D(X); 设X，Y是两个随机变量，则有： D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}
特别的，若X，Y相互独立，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)
标准差（均方差）



2 f ( )d 0.5 0.6745 3
《误差理论与数据处理》 第11页
第一节 随机误差
二、正态分布
• σ值为曲线上拐点A的横坐 标 • θ值为曲线右半部面积重心 B 的横坐标 • ρ值的纵坐标线则平分曲线 右半部面积
拐点A的 横坐标 右半部面 积重心B 的横坐标
即

i 1
n
i
l i nLo
i 1
n
Lo
l
i 1
n来自百度文库
i
n


i 1
n
i
n
n
由前面正态分布随机误差的第四特征(补偿性)可知
x
lim

i 1
n
i
n
0
l
i 1
n
i
n
L0
由于实际上都是有限次测量，因此只能把算术平均值近似地作为被测量的真 值。
《误差理论与数据处理》 第16页
三、算术平均值
li li l0
l i
-0.01 +0.04 -0.05 +0.04 -0.07 -0.03 -0.01 0 -0.01 0
x0
10
vi 0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01
x 1879.65 0.01 ＝ 1879.64
将上式中n等式平方后相加： 2 i2 vi2 2 x vi x
n i 1 2 i n i 1 2 i n i 1 2 x
i vi n x
i 1 i 1
n
n
v
i 1
n
i
0
x
v
i 1 i
n
n
n

i 1
i
n


i 1
n
l
i 1
i
10
0.01
v
i 1
n
i
0.01
第一节 随机误差
四、测量的标准差
标准偏差σ：
随机误差的评定尺度
1 2 f ( ) exp[ ] 2 2 ( 2 )
• σ值反映测量值或随机误差 的散布程度，因此σ值可作 为随机误差的评定尺度。 • σ值愈大，函数 f(δ) 曲线低 而平坦；σ值愈小，f(δ)曲 线高而陡(形态高瘦)，即测 量到的精密度愈高。 • 任一单次测得值的随机误 差 δ，一般都不等于σ。 • 对同一被测量进行两个系 列的等精度测量，其标准 差也不相同。
l1 l 2 l n 1 n x li n n i 1
《误差理论与数据处理》
第15页
第一节 随机误差
三、算术平均值
当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。
i li Lo
1 2 n (l1 l2 l n ) nLo
第一节 随机误差
四、测量的标准差
单次测量的标准差:
在等精度的测量列中，即同一条件下所得一系列测值中， 各随机误差平方和平均值的平方根，即
= n
2 1 2 2

2 n


i=1
n
2 i
n
即是数理统计中标准差的定义
存在问题：
• 因其中的 表示“真差”（即实际测得值与真值之差），因为在一 般情况下真值未知，所以不能直接按定义求出值。 • 上述定义只是数学理论意义上的定义，无法利用上式来计算单次测 量的标准偏差。
lim

i 1
n
i
n
n
0
《误差理论与数据处理》
第14页
第一节 随机误差
三、算术平均值
对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机 误差，因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算 术平均值作为最后的测量结果。
算术平均值的意义 设 l1 , l2 ,, ln 为n次测量所得的值，则算术平均值为: