大学高等数学课件第四章2平面图形面积旋转体体积计算

解 如图所示 x (0, h) 直线OP的方程为 y r x
y
h
任取 x (0, h) ，形成区间 x, x dx
体积元素为
dV

y 2 dx


r h
2
x


dx
o
P(h,r) x x+dx x
所求体积为
V
h 0


r h
x
2

dx

1 3

r
2h
18
x2 y2 例3 求椭圆 a2 b2 1 的面积。
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。
（1）y x, y x
1
A
x x dx 1
0
6
（2）y e, y ex , x 0 A 1 e ex dx 1 0
（3）
平面图形的面积 旋转体的体积
◆定积分的元素法
复习曲边梯形的面积计算方法（演示）
定积分的元素法分析（演示）
定积分的元素法（演示） 一般地：若所求量U与变量的变化区间[a , b]有关，且关于
[a , b]具有可加性，在[a , b]中的任意一个小区间[x , x+dx]上 找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式
b
A a f (x) dx
(a b)
2、由x=a ， x=b ,y=f (x) 及 y=g (x) 所围平面图形的面积为
b
A a f (x) g(x) dx
(a b)
3、 由y= c ， y= d ,x=0 及 x=φ (y) 所围平面图形的面积为
d
A c ( y) dy
◆旋转体的体积例题选举
2
2
2
例2 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋转构成旋转
体的体积。
A1
例3 计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面图形绕 y 轴旋转
一周而成的立体的体积。
解 如图所示
Vy V1 V2

1

0
x12
dy

1

0
x2
2dy

1
ydy
1

y
4
dy

3

0
0
10
V1
V2
返回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 y x3, x 1, y 0
绕x轴旋转一周
Vx
1

x6
dx

1
0
7
2 y x3, y 1, x 0
1
Байду номын сангаас
绕x轴旋转一周
Vx
1
dx
0
1

x
梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 d
Vy
d x2dy
c
d

c
g( y) 2 dy
c
x=g (y)
◆旋转体的体积计算公式
例 1 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，直线 x=h及 x轴围 成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为 r，高 为 h的圆锥体，计算圆锥体的体积。
1、旋转轴为 x 轴（演示）
由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a< b, f (x)>0)所围成的曲边
梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为
y=f (x)
Vx
b y2dx
a
b f (x)2 dx
a
2、旋转轴为 y 轴（演示）
a
b
由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c< d, g (y)>0)所围成的曲边
0

a
sin
3
t
d
a cos3 t
2
12a2
0

sin
4
t
cos2
t
dt
3a2

2 sin2 2t sin2 t dt
0
3a2
2
2 1 cos 4t 1 cos t dt
40
偶次方化倍角
3a2

2 1 cos 4t
cos t
cos 4t cos t dt
1
绕y轴旋转一周
y
Vy
1

0
3 y 2 dy 3
5
5 y x3, x 1, x轴
绕y轴旋转一周
Vy
1

0
3 y 2 dy 2
5
y
y=x3 1
y=x3 1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
2
绕y轴旋转一周
1
2
2
2
定积分元素法
返回
平面图形的面积（直角坐标）
返回
求面积例题 1
返回
面积例题 2
返回
求面积例题 3
返回
例 4 求椭圆面积
返回
旋转体概念
返回
旋转体实例圆锥
返回
旋转体实例圆柱
返回
旋转体体积推导
返回
体积例题 3
返回
体积例题 2
返回
体积例题 5
返回
轴 A 1 3 2x x2 dx 32
3
3
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。
（4）
A 3 2x 3 x2 dx 1
8 3
（5） y x2 , y x, y 2x
A 12x x dx 2 2x x2 dx
6dx

6
0
7
y=x3 x1
y=x3
x
1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
绕x轴旋转一周
V 2
1

x2 1 2 dx 22
2 1
0

2 x4dx
32 2 3 2


0
15
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
4 y x3, y 1, y 轴

2

3 2 1
4x
1 dx

2 3
4

2

2
x

dx


42 3
例 5 求由下列给定曲线所围成的图形面积。
星形线
x a cos3 t

y

a
sin3
t
2
2
2
即 x3 y3 a3
A1
解由图形的对称性可得
a
A 4A1 4 0 ydx

4
(c d)
◆平面图形的面积例题选举
例1 计算由 y2 x 及 y x2 所围成的图形的面积。
例2 计算由 y2 2x 和 y x 4 所围成的图形的面积。
解 A A1 A2

2 0
2x (
2x ) dx

8 2

2x (x 4) dx
2
Vy

0
y dy 1
y 1 dy
3
2
例4 求由曲线 y 4 x2 及 y 0 所围成的图形绕直线 x 3
旋转一周而构成的旋转体的体积。 y x2 4 y 4
x1 4 y
-2 o 2 3 x
再见！
2
问题的提出
返回
定积分元素法分析
U b f (x)dx, 这种方法叫做定积分的元素法。 dU=f(x)dx称 a
为所求量U的元素。 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素
f(x)dx 和积分区间[a ,b]。
◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示）
1、 由x=a ， x= b ,y=0 及 y= f (x) 所围成的平面图形的面积为
A

d
c

f

y

g

y
dy
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。
（7）
y2 42 x
2
法一：以 y 作积分变量
1
2
A

2
0
2
(2


y2 4
) (1
y2 4
) dy

42 3
法二：以 x 作积分变量
2
y2 4 x 1
A
0
1
7 6
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。
（6） y 2x2 , y x2 , y 1
1
A ( y
y )dy 2 (1
2)
0
2
3
2
或
A
2 2
2x2 x2
dx
1 2
1 x2
dx
0
22
2
一般地：如右图中的阴影部分的面积为
...
3a2
40
8
◆旋转体的体积
旋转体的概念——平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴） 旋转一周所得的立体（演示）。
示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。
x 可选取适当坐标系，使旋转轴为 轴或 y 轴。 x 最基本的情形是曲边梯形绕 轴或 y 轴旋转的情形。
◆旋转体的体积计算公式