三角恒等变换的综合(提高)-学案

2 2

① 两角和与差的正弦、余弦和正切公式，运用相关公式进行简单的三角恒等变换

2、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

⑴ cos (a — P )=co 曲 cosP +sin a sin P ；(2) cos (a + P ) = co 口 cosP -sin ot sin P

⑶ si n ( a-P)= si nacosP -cosasi n P :⑷ si n (a+P)=si n a cosP +cos a si n P

3、二倍角的正弦、余弦和正切公式: 2 2 2

=sin 2a + cos 2a ±2sin d cos a =(sin d ±cos a )2

2 2 2 2

2

cos 25 'I 2 1 —COS 2°

二降幕公式 cos J = ---------- , sin o =

授课主题 第12讲---三角恒等变换的综合

授课类型

T 同步课堂

P 实战演练

S 归纳总结

授课日期及时段

T (Textbook-Based )

司步课堂

体系搭建

知识概念

1同角关系: 商的关系：①tan 6 y sin 9 x cos 日

② sin 6 =y = cos 0 'tan

0 r ③ cosQ

x

===sin 0 cot 9 平方关系: sin 2 日 +cos 2

日=1

教学目标

⑸ tan(-P)=

tan -tan

3

1 + tana tan P

(tana -tan P =tan (a - P X 1 +tan ^ tan P ))

⑹ tan ZP)」

an 5an

3

1 -tan a tan P

(tana +tanP =tan (a "-tan ^ tanP ))

⑴ sin 2a =2sin a cos a= 1±sin2a

⑵ cos2a =COS Ct —sin a =2cos Ct —1 =1 —2sin a

2 a

ot

2 "幂公式l+c W2cos- , -CO曲=2si n -

cos2a +1

⑶ tan2d

=竺二

1 -tan ot

4、万能公式:

5、半角公式

cos —

泌

2^2

6、辅助角：asinQ +bcos 0 = J a 2

+b 2

sin(0 +9) （其中辅助角W 与点（a,b ）在同一象限，且tan

a

典例分析

考点1熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点

【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理 解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。

也sin6,b=羊宥c=』l 笔,则有(

2

1+ ta n 13 2cos 25

考点2.明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口

三角恒等变换是三角函数与平面向量这两章的延续与发展，三角变换只变其形，不变其质, 它可以揭示有些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，帮助我们达到三角恒等变换的目的。

①sin 2日=

2tan

2

1 +tan 9

② cos2£=—r

1 + tan 0

③

tan

^^lS

④ sin 2

e=

tan

Y

1 +ta n 6

⑤cos

1 -cosa I 1 -COS a Y l +COS a sina 1+cosa

sin a

〔-COSO =

（后两个不用判断符号，更加好用）

、 1 例 1 设 a = —

cos6

2

A. a Ab AC

B.acb

2

a

sin — = ±

(1)运用转化与化归思想，实现三角恒等变换

【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。

例2.已知n< 3< a< , cos ( a- 3) =12 , sin (o+ B) = —3，求 sin2 a 的值.

2 4 1

3 5

例3.化简：［2sin50°sin 10 ° (1+丽tan10 °：^sin280° .

(2)运用函数方程思想，实现三角恒等变换

【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中, 可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。

例4:已知 sin ( a+3) =-, si n ( a- 3 =3，求仙("-严的值.。

3 4 tanP 怡门(《+ P)

(3)运用换元思想，实现三角恒等变换

【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。

例5:若sin a +sin P =——,求cosa + cos P的取值范围。

2

3.关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点

【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。

例6:已知：向量a = (J3,-1) , b = (sin2x, cos2x)，函数f(x)=a・b

(1 )若f(x)=O且OCX吒兀，求x的值;

(2)求函数f(x)取得最大值时，向量a与b的夹角.