5 1梁的挠度及转角

Displacements of Bending Beam
§5-1梁的挠度及转角
§5-1 Deflection and Slope of Beam
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
?
?(x)
0?,
dd?x2 2y[1??0
d(d2yyM//d?d0x,x)dd222x2y]3?/
0 2
E Iz y〞= - M(x)
(5-2b)
1
? ( x)
?
? Mdd?x202y, ddx2 2y ? 0
挠曲线近似 微分方程
3 积分法计算梁的位移
1）基本方程：EI zy〞= - M(x)
2）一次积分获转角方程
B
⑥求B截面转角和位移将 x=L 代入
?B
?
FL2 2 EI
?
?
yB
?
FL 3 3 EI
(? )
例5-2 图示一弯曲刚度为 EI的简支 梁，在全梁上受集度为 q的均布荷载 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方 程，并确定其最大挠度和最大转角。
解：①求约束反力
来自百度文库FA
?
FB
?
ql 2
②列弯矩方程
M ( x) ? ql x ? 1 qx2 ? q (lx ? x2 )
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
y ?? ? ? M ( x ) ? F ( L ? x )
EI
EI
④求位移方程
EI y′= EI ? = F(Lx - x2/2) + C
EI y = FLx 2/2 - Fx 3/6 + C x + D
1.弯曲变形的弊与利
Fp
Fp
q
2Fp
???使利设结用计构变成的形弯使的曲用物形功理以能条达受件到到求减影弯震象曲，，静减严不少重定动时问载会题荷破。。坏。
§5-1 Deflection and Slope of Beam
1.弯曲变形的利弊
?使结构的使用功能受到影象，严重时会破坏。
?设计成弯曲形以达到减震，减少动载荷。 ?利用变形的协调条件求弯曲静不定问题。
梁在荷载作用下，既产生应力又发生变形。
本课程研究梁弯曲变形的 两个目的
o对梁进行刚度计算 o解超静定梁
2.挠曲线（deflection curve)
两个基本假设在研究梁弯曲变形 时的作用
平面假设
梁变形后的横截面仍为平面且垂直与 变形后的轴线。
连续性假设 梁的轴线将由原来的水平直线变成一 条连续平坦(flat)的曲线—挠曲线。
①悬臂梁的固定端处
Px
x=0 ： ?=0 y=0
② 简支梁的支座处
F
A
Bx
c
x=0 ： y A=0; x=L ： y B=0
a
b
F x
c aa B a
③中间铰
x=a：
yB左= yB右
(2)连续条件（continuity condition ）
x=a： yB左= yB右 ?B左= ?B右
外伸梁B端—连续条件 10KN
A
x y
?
cB
F
x
挠曲方程
W =y= f(x)
yw
?
（a）
c′ dy tg? = dy/dx = y ′
dx B′
∵挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线
∴ ? 很小 ?≈ tg?=dy/dx= f ′(x)
转角方程 ? =y ′ = f ′(x)
(b)
4.符号规定
挠度w 向下为正
转角? 由横截面到斜截面顺时针为正
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程式 及其积分
1、挠度和转角的关系 2、建立挠曲线微分方程 3、积分法计算梁的位移 4、由边界条件确定积分常数
5. EXAMPEL
1、挠度和转角的关系
AA
x y
?
cB F x yw
?
c′
B′
挠曲线 y=f(x) 上任
意点的切线斜率为：
? ? dy ? df (x) (b)
5.EXANPEL
EI y′= ? = F(Lx - x2/2) + C
EI y = FLx 2/2 - Fx 3/6 + C x + D
x
⑤确定积分常数
x=0 ?A= 0 yA= 0 C=0
D=0
y′= ? = F (Lx - x2/2) /EI
y= F (Lx2/2 - x3/6)/EI
F x
22
2
③列挠曲线近似微分方程
EIw??? ? q lx ? x2 2
④求位移方程
EIw??
?
q (lx2 22
?
x3 ) ? 3
c1
EIw
?
?
q 2
lx3 (
6
?
x4 12
)
?
c1x
?
c
?1?
⑥求最大挠度和位移
? ?2
?A ?
ql 3 24 EI z
?
?? B
? ?3
yc ?
5 ql 4 384 EI z
直梁平面弯曲的两种位移
A
? C
F
X B
挠度（deflection）
w—横截面形心在垂直
C′
B ′ 于轴线方向的位移。
A
x y
?
cB F x yw
c′ u
B′
转角（slope）?—横
截面绕其中性轴转过 的角度。
水平位移u —横截面形心沿水平方向的位移 ,在小
位移假设时忽略不计。
3.挠度和转角方程（ Equation of Deflection and slope ）
A
B
4m
1m
x=4， yB=0； yB左= yB右 ?B左= ?B右 ！！： 挠曲线近似微分方程的适用范围
1）均匀材料与等直截面梁—EI为常值。
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
dx dx
结论：梁截面的转角等于挠曲线y对于位 置坐标 x的一阶导数。
2、建立挠曲线微分方程
积分（法1、）叠物加理法方、面奇:异函数法、 能量
1? M
?
EI Z
4-4
法、图解法、1 有?限M差(X分)法、初参数法
? (x) EIZ
d 2 y ? ? M ( x)
（2）几何方面：
dx 2
EI z
1
M
（5-2b）
EI zy′= - ∫M(x) dx+c 3）二次积分获挠度方程
（5-3a） （5-3b）
EI zy= - ∫[∫M(x) dx] dx +Cx+D
C、D为方程的积分常数
4 由边界条件(boundary condition) 确定 积分常数。
4、由边界条件确定积分常数
（1）约束条件（ constraint condition ）
⑤确定积分常数
EXAMPLE 5-3 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，
在D点处受一集中荷载作用。试求梁的挠曲
线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最