浙江科技学院高等数学期末试卷

(A) 等于 0 (B) 不存在 (C) 等于 (A) 2 x − z = 4 −
π
2
(B) 2 x − z =
2 2
π
2
−4
(C) 4 y − z = −
π
2
(D) 4 y − z =
π
2
).
4. 若平面区域 D 为 ( x − 1) + y ≤ 1 ，则 (A)
∫∫ f ( x , y )dxdy 化成累次积分为 (
D
= 3π .
---------------------7 分
1 n+1 4．解： lim n + 2 = lim =1， n →∞ n →∞ n + 2 1 n+1
---------------------1 分
当 x =1 时，级数发散，当 x= -1 时，级数收敛，所以收敛域为[-1,1）
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圆x +
2
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y2 = 1 按逆时针方向. 9
4. 求幂级数
n= 0
∑ n + 1 的收敛域以及和函数.
1 展开为 x 的幂级数. x−2
∞
xn
5. 将 f ( x ) =
6. 计算三重积分 域. 7. 求锥面 z =
∫∫∫ zdv ，其中 Ω 是由曲面 x
Ω
2
+ y 2 = 2 z 与平面 z = 2 所围成的闭区
-------------------2 分
由z =
x2 + y2 得
∂z = ∂x
x x +y
2 2
,
∂z = ∂y
y x + y2
2
,
--------------------3 分
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所以所求的曲面的面积为 S =
2 2
ds ∫∫ Σ
-------------------5 分
5．解：因为 f ( x ) =
1 1 1 =− ⋅ , 2 1− x x−2 2
n
---------------------3 分
1 ∞ ⎛ x⎞ 所以 f ( x ) = − ⋅ ∑ ⎜ ⎟ , | x |< 2. 2 n=0 ⎝ 2 ⎠
6．解 1：由 ⎨
---------------------7 分
12( x − 2) + 4( y − 1) + ( z − 3) = 0 ，即 12 x + 4 y + z − 31 = 0 ，-------------------5 分
曲面在点（2,1,3）的法线方程为
x − 2 y −1 z − 3 = = 12 4 1
----------7 分 -------------------3 分
D
∫
π
0
dθ ∫
2cosθ 0
f ( r cos θ , r sin θ )rdr
(B)
∫
π
−π
dθ ∫
π
2 0
2cosθ 0
f ( r cos θ , r sin θ )rdr
(C)
∫
π
-
2
π dθ ∫
2
2cosθ 0
f ( r cos θ , r sin θ )rdr
(D) 2
∫
dθ ∫
2cosθ 0
2 3
-------------------3 分
于是由
⎧ Fx = y 2 z 3 + λ = 0, ⎪ 3 ⎪ Fy = 2 xyz + λ = 0, ⎨ 2 2 ⎪ Fz = 3 xy z + λ = 0, ⎪x + y + z = a ⎩
解得 x =
-----------------------5 分
= ∫ z ⋅ π ( 2 z )2 dz
0
2
(............6 分 )
=
16π . -----------7 分 3
7. 解：由 ⎨
⎧ ⎪z =
x2 + y2 ,
2 2 ⎪ ⎩x + y = 1
得曲面的 Σ 在平面 xOy 平面的投影区域
为 D： x + y ≤ 1,
2 2
或 D： ⎨
⎧ 0 ≤ r ≤ 1, ⎩ 0 ≤ θ ≤ 2π .
----------3 分
又
∞ ∞ xn 1 ∞ x n+1 x n+1 xn 记 = ≠ ( ) = = , , x 0, S x ∑ ∑ ∑ ∑ x n= 0 n + 1 n= 0 n + 1 n= 0 n + 1 n= 1 n ∞
∞
-------4 分
则 S ′( x ) =
∑x
n= 1
n −1
自测练习一
一. 选择题(每小题 3 分，共 18 分)
⎧ x2 + y2 − x = 0 1. 曲线 ⎨ 绕 x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为( z 0 = ⎩
(A) x − x + y + z = 0
2 2 2
).
(B) x − x + y = 0
2 2
(C) ⎨
⎧ x2 − x + y2 + z2 = 0 ⎩z = 0
） 。 (B) 椭圆柱面与平面 x = 2 的交线 (D) 双曲柱面与平面 x = 2 的交线 ） 。
2．函数 f ( x , y ) = xy(1 − x − y ) 在第一象限内 ( x > 0, y > 0) 的驻点为（
1 3 (A) ( , ) 5 5 1 1 (B) ( , ) 3 3
.
.
∞ an + 1 1 | = ，则幂级数 ∑ an ( x + 2)2 n 的收敛区间为 5．设 lim | n →∞ an 4 n= 0
6. 设 f ( x ) = ⎨ 处收敛于
⎧1 − e x , 0 < x < π , 是以 2π 为周期的函数，其傅里叶级数在 x = −3π −π ≤ x≤ 0 ⎩1,
=
1 , 1− x
---------------------6 分
所以 S ( x ) =
∫
x
0
1 dx = − ln(1 − x ) , 1− x x ∈ [−1, 0) ∪ (0,1), x ≠ 0.
⎧1 xn ⎪ ln(1 − x ), 故∑ =⎨x n= 0 n + 1 ⎪ ⎩1,
∞
---------------------7 分
∂( x 3 e 3 y − 2 xy − 2 y 2 + x ) ∂(2 x 2 − y 2 + x 2 e 3 y ) − = 1, ∂x ∂y
所以
---------------------4 分
∫
L
(2 x 2 − y 2 + x 2 e 3 y )dx + ( x 3 e 3 y − 2 xy − 2 y 2 + x )dy = ∫∫ dxdy -------------6 分
5. ( −4, 0)
6.
2 − eπ 2
三．试解下列各题(每小题 7 分，共 56 分) 1．解: 因为
∂z ∂z = 6 x, = 4 y, ∂x ∂y
------------------3 分
于是曲面在点（2,1,3）的法向量为 n = (12, 4, −1) ， 所以曲面在点（2,1,3）的切平面方程为
n
--------------------3 分 -----------------------5 分
故原级数收敛.
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自测练习 2
一、选择题(每题 3 分，共 18 分 )
⎧ y2 z2 ⎪ − =1 1．方程 ⎨ 9 表示（ 4 ⎪x=2 ⎩ (A) 双曲柱面 (C) 双叶双曲面
∞ n =1
∞
1 2n 3 + 4
n −1
(B)
∑ ( −1 )
n =1
∞
n −1
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠
(C)
∑ ( −1)
∞
1 n
(D)
∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
1 n n
二. 填空题( 每小题 3 分, 共 18 分)
⎛ 3⎞ 1. 级数 ∑ n ⎜ ⎟ 为 n=1 ⎝ 5 ⎠
n
(填“收敛”或“发散”)级数.
Ω
2
0
0
=
(..........5 分 )
2
83π . 12
---------------------7 分
解 2：用截面法， Dz : ⎨
⎧ x 2 + y 2 ≤ 2z, ⎩ z = z,
---------------------2 分
∫∫∫ zdv = ∫
Ω
2
0
zdz ∫∫ dxdy
Dz (.............4 分 )
f ( r cos θ , r sin θ )rdr
)
则曲线积分 5. L 为 y = x 从点 (−1,1) 到 (1,1) 的一段弧，
2
∫ ( x + y )dx + ( x − y )dy = (
L
(A) − 2 (B) 6. 下列级数中，发散的是( (A)
2
).
(C)
0
(D)
n
−1
∑
n =1
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2. 设 u( x, y , z ) = x + yz + zx ，则
2 2
∂ 2u = ∂x∂y
.
3. 交换积分次序
∫
2
2 1
dx ∫
2
2 x − x2 2− x
f ( x , y )dy =
.
4. 设 L 为圆周 x + y = R 上位于第一象限内的一段弧，则
2
∫
L
( x 2 + y 2 )ds =
⎧ x 2 + y 2 = 2z, 得区域 Ω 在 xOy 平面的投影区域 ⎩z = 2
2
为 D： x + y ≤ 4,
2 2π
或 D： ⎨
2
⎧ 0 ≤ r ≤ 2, ⎩ 0 ≤ θ ≤ 2π .
---------------------4 分
∫∫∫ zdv = ∫ dθ ∫ rdr ∫ r 2 zdz
= ∫∫
D
⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dxdy = 2 ∫∫ dxdy = 2π . ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ D
----------------------7 分
四、应用题 ( 本题 10 分) 解：令 F ( x , y , z ) = xy z + λ ( x + y + z − a ),( a , x , y , z > 0) .
2．解：D 为 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π , 故
∫∫ e
D
x2 + y2
dx dy = ∫ dθ ∫ e r rdr = π (e R − 1).
2 2
2π
R
0
0
--------------7 分
3.
解：因为
∂(2 x 2 − y 2 + x 2 e 3 y ) ∂( x 3 e 3 y − 2 xy − 2 y 2 + x ) = −2 y + 3 x 2 e 3 y , = 1 − 2 y + 3 x 2e 3 y , ∂y ∂x
.
三. 试解下列各题(每小题 7 分，共 49 分)
1. 求曲面 z = 3 x + 2 y − 11 在点 (2,1, 3) 处的切平面和法线方程.
2 2
2. 计算二重积分 ∫∫ e
D
x2 + y2
dx dy ，其中 D : x 2 + y 2 ≤ R 2 .
3. 计算曲线积分
∫ v
L
(2 x 2 − y 2 + x 2 e 3 y )dx + ( x 3 e 3 y − 2 xy − 2 y 2 + x )dy ，其中 L 为椭
x →0 y →0
(D) ⎨
⎧ x2 − x + y2 = 0 . = z 0 ⎩
2. 极限 lim
xy =( x + y2
2
).
1 1 (D) 存在且不等于 0 和 2 2 π 3. 曲线 x = 2sin t , y = 4cos t , z = t 在点 (2, 0, ) 处的法平面方程是 ( ). 2
五、证明题 ( 本题 5 分) 证明：
由于正项数列单调减少可知有 lim an = a ，且 a ≥ 0,
n →∞
------------------1 分
又由
∑ ( −1)
n =1
∞
n
an 发散知 a > 0,
n
-------------------2 分
⎛ 1 ⎞ 1 1 于是 lim ⎜ = lim = < 1, ⎟ n →∞ n →∞ a + 1 a +1 n ⎝ an + 1 ⎠
a a a , y = ,z = . 6 3 2
-----------------------8 分
由问题的实际意义知，当 x =
a a a , y = , z = 时， 6 3 2
a6 . 432
--------------------10 分
⎞ 函数取得最大值 u ⎛ ⎜ , , ⎟= a a a ⎝6 3 2⎠
∞
n
∞
n
自测练习一参考答案及评分标准
一． 选择题(每小题 3 分，共 15 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 C 5 B 6 D
二. 填空题( 每小题 3 分, 共 21 分) 1. 收敛 2. 0 3.
∫
1
0
dy ∫
1+ 1− y 2 2− y
f ( x , y )dx 4.
π
2
R
3
x 2 + y 2 被柱面 x 2 + y 2 = 1 所割下部分的曲面面积.
四. 应用题（本题 10 分)
求函数 u = xy z 在条件 x + y + z = a (a , x , y , z > 0) 下的最大值.
2 3
五. 证明题（本题 5 分）
⎛ 1 ⎞ 若正项数列 {an } 单调减少，且 ∑ ( −1) an 发散，证明 ∑ ⎜ ⎟ 收敛. n =1 ⎝ an + 1 ⎠ n =1