第2章-线性时不变系统

y(t) x()h(t)d
若系统是时不变的，即：若 (t) ，h则(t有) :
(t ) 于h (t是 系)统对任意输入 的响x应( t 可) 表示为：
y ( t)x () h ( t ) d x ( t) h ( t)
表明:LTI系统可以完全由它的单位冲激响应 h 来( t )表
征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积分
注意此处的 处理方式
u t 1 t 1 e d u t 1 t 1 e d
0
0
1 1 e t 1 u t 1 1 e t 1 u t 1
chapter 2
简化方法
❖ 利用卷积性质：
f t a * g t b f g t a b
etut*ut 1[et 1]u(t)
etut*ut 1ut 1
1[e(t1) 1]u(t 1) 1[e(t1) 1]u(t 1)
信号与系统
举例
❖ 已知某线性时不变系统的单位冲激响应和激
励信号分别为：e2tut ，ut1ut2，则系
于是： x(t) x()(t)d
表明：任何连续时间信号 x ( t都) 可以被分解成移位
加权的单位冲激信号的线性组合。
二. 卷积积分（The convolution integral） 与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统对
的响(t应为) ，则该h系 (统t ) 对 的响应可x表( t示) 为：
优点：计算非常简单。
缺点：①只适用于两个有限长序列的卷积和； ②一般情况下，无法写出 y ( n的) 封闭表达式。
卷积和：对位相乘法
卷和计算有解析法、图解法和变换法 对位乘加法：当两个序列都是有限长序列时，可使 用“对位乘加法”计算卷和。此方法实际上是用 对位排列运算巧妙地取代翻转平移运算。 该方法首先把两序列的样本值右端对齐地排列，然 后把逐个样本值对应相乘但不要进位，最后把同 一列上的乘积值对位求和，就得到所需卷和。
2.0 引言 ( Introduction )
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有 时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的 理论与方法奠定了基础。
基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合。
0
t
y(t)
d2Tt1T2
y(t)t2 T Td2T2 21(tT)2
tT
2
y(t) 0
y (t)
3T2 2
1T2
2
t
0
T
2T
3T
例题：
f t 10u t etu t
u
t
t
0
f1
t
f2
d
10u t t e d 0
10 1 et u t
chapter 2
例： 计算 e 1 t u t * e 2 t u t
用的。
例1: x (t) e a tu (t), a 0 h(t)u(t)
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )
ea u( )u(t )d
t ea d 1 (1 eat )u(t)
0
a
u(t )
x ( )
1
1
0
0t
例2 :
x(t)10
0tT otherwise
❖ 此外，对有限长序列的卷积运算 ❖ 可通过z变换求解 ❖ 或者将序列表示为两个有限个样值序列移
位加权和形式，直接用卷积的性质求解
直接利用有限长序列求解卷积
❖ 卷积后的序列起止点需注意 x1nnn1n2 x2nn1n2
x1nx2n n n 1 n2 n 1 n2 n 1 n2 n2n3n3n4 n 1 2 n22 n3 n4
i1
i1
c t * o t 1 t 1 s c t 1 o c t 1 s o
❖ 因果信号与一个有限长信号卷积，可利 用解析法直接计算
chapter 2
例题：计算 e t u t * u t 1 u t 1
e tu t* u t 1 u t 1 e tu t* u t 1 e tu t* u t 1
的特点n 。
x (0 ) x (1 ) x (2 ) x (3 )
h(n) x(n) 1 0 2 1
h(1) 1 h(0) 2 h (1 ) 0 h(2) 3 h (3) 1
1021 y ( 1)
2042 y(0) 0 0 0 0 y (1) 3 0 6 3 y(2) 1 0 2 1 y (3) y (4 ) y (5) y (6 )
第2章 线性时不变系统
Linear Time-Invariant Systems
本章主要内容：
• 信号的时域分解——用 (表n ) 示离散时间信号；
用 ( t表) 示连续时间信号。
• LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和。 • LTI系统的微分方程及差分方程表示。 • LTI系统的框图结构表示。 • 奇异函数。
（The convolution integral）。
三. 卷积积分的计算
卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 解析法和数值解法。
运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，
一个不动，另一个反转后随参变量 t 移动。对每一
个 t 的值，将 x (和 ) h(对t 应相) 乘，再计算相乘后曲
线所包围的面积。 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有
卷积和：对位相乘法
计算 x 1n x 2n ，其中
x 1 n 2 n n 1 4 n 2 n 3 x 2n 3 n n 1 5 n 2
x1 n : x2 n:
2 1 41 3 15
10 5 20 5
21 4 1
6 3 12 3
x1n x2 n: 6 5 23 12 21 5
表明：任何信号x ( n都) 可以被分解成移位加权的单
位脉冲信号的线性组合。
二. 卷积和（Convolution sum）
如果一个线性系统对 (n的k响) 应是 ，h k ( n )
由线性特性就有系统对任何输入 x ( 的n ) 响应为： y(n) x(k)hk(n) k
若系统具有时不变性，即：
若 (n)h(n)，则 (n k ) h (n k )
一. 用单位脉冲表示离散时间信号
离散时间信号中,最简单的是 (,可n )以由它的线性组
合构成
，u即( n：)
n
u(n)(k)(nk)
k
k0
对任何离散时间信号 x (,n如) 果每次从其中取出一个
点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以
表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。
于是有： x(n)x(k)(nk) k
三. 卷积和的计算
计算方法：
有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。
运算过程： 将一个信号 x 不( k )动，另一个信号经反转后成
为h(k) ,再随参变量 n移位。在每个 值n 的情况
下，将 x ( k ) 与 h(nk) 对应点相乘，再把乘积的
各点值累加，即得到 n 时刻的 y ( n ) 。
otherwise
x(k )
1
0
4
h(nk)nk
k
n6
0
k
n
① n 0 时， y(n)0
n
n
② 0n4 时， y(n) nk n k
k0
k0
n 11(n11)
1n1 1
③
4n6时，
y(n)
4
nk
k0
n
15 11
n4 n1
1
④
6n10时，
4
y(n)
nk n4 7
kn6
1
⑤ n10 时， y(n)0
x 1 n x 2n 6 n 5 n 1 2 3 n 2 1 2 n 3 2 1 n 4 5 n 5
对位相乘法需注意的问题
❖ 卷积后的序列起止点需注意
x1nnn1n2 x1 n :
x2nn1n2
x2 n :
x1 n x2 n :
111 011 111 111 000 01221
h(t)0t
0t2T otherwise
y(t)x(t)h(t) x()h(t)d x(t)h()d
h ( )
x(t )
2T
1
0
2T
t T 0 t
① 当 t 时0 ， ② 当 0t 时T， ③ 当 Tt 时2，T
④ 当 2Tt时3T ， ⑤ 当 t 3时T，
y(t) 0
y(t) td 1t2
一. 用冲激信号表示连续时间信号
与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信
号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号
的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种
关系：
t
u ( t) () d ( t) d
0
对一般信号 x ( t，) 可以将其分成很多 宽 度的区段，
用一个阶梯信号 近x似 (表t ) 示 。当x ( t ) 时，有0
因此，只要得到了LTI系统对 (的n ) 响应 h ( n ) 单位脉冲响应( impulse response )，
就可以得到LTI系统对任何输入信号 x ( n的) 响应：
y(n) x(k)h(nk)x(n)h(n) k
这表明：一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲 响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷 积和（The convolution sum）。
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对
于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是
很有用的。
例3. 列表法 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① x ( n与) 的h ( 所n )有各点都要遍乘一次；
② 在遍乘后，各点相加时，根据 x(k)h(nk)， k
参与相加的各点都具有 x ( k与) h(n的宗k量) 之和为
问题的实质：
1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线 性组合来构成任意信号； 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。
作为基本单元的信号应满足以下要求： 1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 （构成）尽可能广泛的其它信号； 2. LTI系统对这种信号的响应易于求得。
例1： x(n)nu(n) 01 h(n)u(n)
y(n) x(n)h(n)
x(k)h(nk) ku(nk)u(k)
k
k
n
k
1n1
u(n)
k0
1
x(k)ku(k)
1
0
k ...
h (n k ) u (n k )
1
k
0
n
例2：
1 x(n)0
0n4 otherwise
n
h(n) 0
1,0n6
解：
e1tut*e2tututte1t e2d 0
ute1t te21d 0
hth2t*h1te1tut*e2tut
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e1t e2t
12
ut
1 2
te1tut 12
chapter 2
例：计算 c t o * t s 1 t 1
解：ft* Mw itti Mw iftti
x(t)x(t)
x (t) x (t)
x(k)
t
0
k (k1)
引用 (t，) 即：
(t) 1/0
0t otherwise
则有： (t) 1 0
0t otherwise
第 个k 矩形可表示为： x (k ) (t k )
这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 x ，( t )
即： x(t) x(k)(tk) k 当 0时， k d (t k ) (t ) x(t)x(t)
如果解决了信号分解的问题，即：若有
x(t) aixi(t)
i
则 y(t) aiyi(t)
i
分析方法：
xi(t)yi(t)
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换 域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、 频域分析法和变换域分析法。
2.1 离散时间LTI系统：卷积和
（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）
利用z变换求解
❖ x1nnn1n2 x2nn1n2
X 1zX 2z1z 1z 2 z 1z 2
z 1z 2z 2z 3z 3z 4
x1nx2nn12n22n3n4
2.2 连续时间LTI系统：卷积积分
（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）
❖ 上题中两个序列的起始点不同，卷积后起 点为1，不是0。
对位相乘法需注意的问题
❖ 参与卷积运算的序列中间有若干信号值为 零，需补零处理
x1nnn1n3 x2nnn1n2 x1 n :
x2 n :
1101 111
1101
1101
1101
x1 n x2 n : 1 2 2 2 1 1
对位相乘法需注意的问题