可测函数的定义及性质(精)
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E[ f a ] E
n 1 [ f a 1 ] n
E[ f a ] ( E[ a f a n ] ) E[ f ]
n 1
E[ f a ] E
n 1
1 [ f a ] n
E[ a f b ] E[ f a ] E[ f b ]
即O( x, x ) E E[ f a]
令G O( x , x )
xE[ f a ]
f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a
则G为开集，当然为可测集，且
xE[ f a ] xE[ f a ]
x 另外G E ( O( x , x ) ) E (O( x, x ) E ) E[ f a ]
若 lim f ( x) f ( x0 )
x x0
( ) (
)
(
)
即 0, 0,当| x x0 | 时，有 | f ( x) f ( x0 ) |
即 0, 0,当x O( x0 , ) 时，有f ( x) O( f ( x0 ), )
若m (E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立, 记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）
证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ，
另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ， 进一步g(x)在E=E1 ∪E2上也可测 。
即 0, 0, 使得f (O( x0 , ) ) O( f ( x0 ), )
f(x) 在 x0 [a, b] 处连续(对闭区间端点则用左或右连续)
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
对 f ( x) a, x 0, 使得f (O( x, x ) E) O( f ( x), ) (a,)
(2)简单函数是可测函数
n
可测函数 a R, E[ f a]可测
若 E E ( Ei 可测且两两不交），f(x)在 每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数；
i 1 i
f ( x) ci Ei ( x)
i 1
n
E ( x)
i
1 xEi 0 xE Ei
, f(x)限制在En上是可测函数，
则f(x)在E上也是可测函数。
E1[ f a] E[ f a] E1
E[ f a] En[ f a]
n1
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测
0
i 1
n
问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测 度)?
1可测函数定义 定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 若
a R, E[ f a]
)，
可测，则称f(x)是E上的可测函数
例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子 集，有限并，可数并仍为零集
第四章 可测函数
第一节 可测函数的定义及性质
主讲：胡努春
新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）
yi yi-1
Ei {x : yi 1 f ( x) yi }
yi 1 i yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx lim i m Ei
０
()
所以E[ f a ] ( O( x, ) ) E G E 反之 xE
[ f a ] x
故E[ f a] G E为可测集
⑷ R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。 证明：不妨设f单调增，对任意a∈R
令I a inf{x | f ( x) a}
n1 1 n
E[ f a] E[ f a 1 ] ( E[ f a 1 ] )
n1
n
n1
n
⒋可测函数的性质
⑴可测函数关于子集、并集的性质
即:若f(x)是E上的可测函数,
E1 E, E1 可测，
则f(x)限制在E1上也是可测函数；
En 反之，若 E n 1
(2) a R, E[ f a]可测 (3) a R, E[ f a]可测 (4) a R, E[ f a]可测 (5) a, b R, a b, E[a f b]可测(充分性要求 | f ( x) | )
证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及
对前面等式的说明
E[ f a] E[ f a 1 ] ( E[ f a 1 ] )
n1
n
n1
n
[a,) (a ,) ( [a 1 ) n ,)
n1 1 n n1
( a-1/n
Biblioteka Baidu
[
a ( a [ a+1/n
n1
(a,) [a ,) ( (a 1 n ,) )
注：Dirichlet函数是简单函数
0 1
（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数
设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 x0 E 处连续 若 0, 0, 使得f (O( x0 , ) E) O( f ( x0 ), )
对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，f ( x)在x0 (a, b)处连续
由f单调增知下面的集合为可测集
E[ f a] {
E [ I a , ) 当I a { x| f ( x ) a} E ( I a , ) 当I a { x| f ( x ) a}
a I a x1 x2
⒊可测函数的等价描述
⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测 ( 即(1) a R, E[ f a]可测)
n 1 [ f a 1 ] n
E[ f a ] ( E[ a f a n ] ) E[ f ]
n 1
E[ f a ] E
n 1
1 [ f a ] n
E[ a f b ] E[ f a ] E[ f b ]
即O( x, x ) E E[ f a]
令G O( x , x )
xE[ f a ]
f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a
则G为开集，当然为可测集，且
xE[ f a ] xE[ f a ]
x 另外G E ( O( x , x ) ) E (O( x, x ) E ) E[ f a ]
若 lim f ( x) f ( x0 )
x x0
( ) (
)
(
)
即 0, 0,当| x x0 | 时，有 | f ( x) f ( x0 ) |
即 0, 0,当x O( x0 , ) 时，有f ( x) O( f ( x0 ), )
若m (E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立, 记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）
证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ，
另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ， 进一步g(x)在E=E1 ∪E2上也可测 。
即 0, 0, 使得f (O( x0 , ) ) O( f ( x0 ), )
f(x) 在 x0 [a, b] 处连续(对闭区间端点则用左或右连续)
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
对 f ( x) a, x 0, 使得f (O( x, x ) E) O( f ( x), ) (a,)
(2)简单函数是可测函数
n
可测函数 a R, E[ f a]可测
若 E E ( Ei 可测且两两不交），f(x)在 每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数；
i 1 i
f ( x) ci Ei ( x)
i 1
n
E ( x)
i
1 xEi 0 xE Ei
, f(x)限制在En上是可测函数，
则f(x)在E上也是可测函数。
E1[ f a] E[ f a] E1
E[ f a] En[ f a]
n1
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测
0
i 1
n
问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测 度)?
1可测函数定义 定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 若
a R, E[ f a]
)，
可测，则称f(x)是E上的可测函数
例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子 集，有限并，可数并仍为零集
第四章 可测函数
第一节 可测函数的定义及性质
主讲：胡努春
新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）
yi yi-1
Ei {x : yi 1 f ( x) yi }
yi 1 i yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx lim i m Ei
０
()
所以E[ f a ] ( O( x, ) ) E G E 反之 xE
[ f a ] x
故E[ f a] G E为可测集
⑷ R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。 证明：不妨设f单调增，对任意a∈R
令I a inf{x | f ( x) a}
n1 1 n
E[ f a] E[ f a 1 ] ( E[ f a 1 ] )
n1
n
n1
n
⒋可测函数的性质
⑴可测函数关于子集、并集的性质
即:若f(x)是E上的可测函数,
E1 E, E1 可测，
则f(x)限制在E1上也是可测函数；
En 反之，若 E n 1
(2) a R, E[ f a]可测 (3) a R, E[ f a]可测 (4) a R, E[ f a]可测 (5) a, b R, a b, E[a f b]可测(充分性要求 | f ( x) | )
证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及
对前面等式的说明
E[ f a] E[ f a 1 ] ( E[ f a 1 ] )
n1
n
n1
n
[a,) (a ,) ( [a 1 ) n ,)
n1 1 n n1
( a-1/n
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[
a ( a [ a+1/n
n1
(a,) [a ,) ( (a 1 n ,) )
注：Dirichlet函数是简单函数
0 1
（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数
设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 x0 E 处连续 若 0, 0, 使得f (O( x0 , ) E) O( f ( x0 ), )
对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，f ( x)在x0 (a, b)处连续
由f单调增知下面的集合为可测集
E[ f a] {
E [ I a , ) 当I a { x| f ( x ) a} E ( I a , ) 当I a { x| f ( x ) a}
a I a x1 x2
⒊可测函数的等价描述
⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测 ( 即(1) a R, E[ f a]可测)