2019年1月海淀区高三数学理期末试卷及答案
北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学理试题(小题解析版)
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2019.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1、双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(C ．(1,0)-D ． (4,0)-答案：A考点：双曲线的性质。
解析：a b ==c =2，所以，左焦点为（－2,0），选A 。
2、已知向量,a b 满足=(20(t =)，，1)a ,b ， 且a ⋅=a b ，则,a b 的夹角大小为 A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π答案：B考点：平面向量的数量积，三角函数。
解析：由a ⋅=a b 得：（2,0）（t ，1）＝2，即2t ＝2，得t ＝1，由a •b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ，得：2＝2θ，所以，cos θ＝2，夹角θ＝4π。
3、已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D考点：等差数列及等比数列的通项公式。
解析：125,,a a a 成等比数列，得2215a a a =⨯，即：2(2)2(24)d d +=⨯+，化简，得：24d d -＝0，因为0d ≠，所以，d =44、直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为A ．0B ．±12C ．±1D ．±2答案：A考点：直线与圆的位置关系。
解析：圆心坐标为（0,0），半径R 10kx y -+=，圆心到直线的距离为：d，因为直线截圆的弦长为2，所以，2221+=，化为：2111k =+，解得：k ＝0。
5、以正六边形的6个顶点中的3个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A ．6B ．7C ．8D ．12答案：C考点：正多边形的性质。
2019年1月北京市海淀区2018～2019学年度高三年级第一学期期末考文科数学试题及参考答案
北京市海淀区2018～2019学年度高三年级第一学期期末考文科数学试题及参考答案2019.1本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A.(2,0)-B.(C.(1,0)-D. (4,0)-2.已知向量,a b 满足=((t =)，，1)a 2,0b , 且a⋅=a b ,则,a b 的夹角大小为A.6πB.4πC.3πD.512π3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ,公差0d ≠,且125,,a a a 成等比数列,则=dA. 0B.12±C.1±D.4.直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2,则k 的值为 A.6πB.4πC.3πD.5.已正六边形的6个顶点中的三个座位顶点的三角形中,等腰三角形的个数为 A.6B.7C.8D.126.已知函数()=ln af x x x +,则“0a <”是“函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点”的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 7.已知函数()sin cos f x x x =-,()g x 是()f x 的导函数,则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点,则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位,就可以得到函数()g x 的图像D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆,且对任意的(,)a b B ∈,(,)x y B ∈,均有()()0a x b y --≤,则集合B 中元素个数的最大值为A.25B.49C.75D.99二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心,且与其准线相切的圆的方程为 .10.执行如下图所示的程序框图,当输入的M 值为15,n 值为4 时,输出的S 值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示,则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 , .12.设关于,x y 的不等式组,4,2,y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω,若点A(1,-2),B(3,0),C(2,-3)中有且仅有两个点在Ω内,则k 的最大值为 . 13.在 ABC 中,b =,且cos 2cos A B =,则cos A = .14.正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,动点M 在线段CC 1上,动点P 在平面1111A B C D 上,且AP ⊥平面1MBD .(Ⅰ)当点M 与点C 重合时,线段AP 的长度为 ；(Ⅱ)线段AP 长度的最小值为 .三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)已知函数()s()cos22f x aco x xπ=--(Ⅰ)比较()6f π和()2f π的大小；(Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.16.(本小题满分13分)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩,并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图： (Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率； (Ⅱ)从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人,设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数,求Y 的分布列和数学期望；(Ⅲ)根据以往培训数据,规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由.17.(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中,平面ABCD ⊥平面PCD ,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,AD PC ⊥且01,2,120AB AD DC DP PDC ====∠=(Ⅰ)求证：AD PDC ⊥平面； (Ⅱ)求二面角B-PD-C 的余弦值；(Ⅲ)若M 是棱PA 的中点,求证：对于棱BC 上任意一点F,MF 与PC 都不平行. 18.(本小题满分14分)椭圆2212x y +=的左焦点为F ,过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)若点B 关于x 轴的对称点为B ’,求'AB 的取值范围. 19. (本小题满分14分)已知函数2()xa x f x e -=. (Ⅰ)当1a =-时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(Ⅱ)当0a >时,求证：2()f x e >-对任意(0,)x ∈+∞成立.20.(本小题满分13分) 设n 为不小于3的正整数,集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i nΩ=∈=,对于集合nΩ中的任意元素12(,,...,)n x x x α=,12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- (Ⅰ)当3n =时,若(1,1,0)α=,请写出满足3αβ*=的所有元素β (Ⅱ)设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=,求αβ*的最大值和最小值；(Ⅲ)设S 是n Ω的子集,且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，,有1n αβ*≥-成立,求集合S 中元素个数的最大值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数学(理科)2019.01一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.A 2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.22(1)4x y -+=10. 2411.212.0 13.2 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：(Ⅰ)因为π1(),622a f =- π()12f a =+所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >,所以3022a +>,所以ππ()()26f f > (Ⅱ)因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =--22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x =ππ[,]22x ∈-,所以[1,1]t ∈- 所以221y t at =+-其对称轴为4a t =-当14at =-<-,即4a >时,在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-,即04a <≤时,在4at =-时函数取得最小值218a --16.解：(Ⅰ)设该名学生考核成绩优秀为事件A由茎叶图中的数据可以知道,30名同学中,有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730(Ⅱ)Y 的所有可能取值为0,1,2,3因为成绩[70,80]X ∈的学生共有8人,其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===,21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===,353810(3)56C P Y C ===随机变量Y 的分布列为115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=(Ⅲ)根据表格中的数据,满足85110X -≤的成绩有16个所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==> ⎪⎝⎭ 所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17.解：(Ⅰ)在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥,交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCDDH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD 所以DH AD ⊥又AD PC ⊥,且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD(Ⅱ)因为AD ⊥平面PCD ,所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥,DH AD ⊥以D 为原点,DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系所以(,,),(,,),(,(,,),(,,)D A P C B -00020001020210,因为AD ⊥平面PCD ,所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200u u u r 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,(,,)DP DB =-=01210u u u r u u u r,所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u r r uu u r所以y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩020令2z = ,则y x =-=所以()n =2r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>===uuu r ruuu r r uuu u r r由题知B PD C --为锐角,所以B PD C --的余弦值为19(Ⅲ) 法一：假设棱BC 上存在点F ,使得MF PC ,显然F 与点C 不同 所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α,PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α,A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面,所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾,所以假设错误,即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ,使得MF PC 连接AC ,取其中点N在PAC ∆中,因为,M N 分别为,PA CA 的中点,所以MN PC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行,所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上,所以F 是AC ,BC 的交点C ,即MF 就是MC 而MC 与PC 相交,矛盾,所以假设错误,问题得证 法三：假设棱BC 上存在点F ,使得MF PC ,设BF BC λ= ,所以3(1,,(2,1,0)2MF MB BF λ=+=+-因为MF PC ,所以(0,3,MF PC μμ==所以有120332λλμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩,这个方程组无解所以假设错误,即问题得证 18.解：(Ⅰ)因为,a b ==2221,所以,a b c ===11所以离心率c e a ==(Ⅱ)法一： 设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率,设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122,所以()k x k x k +++-=2222218820 28160k ∆=->,所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以|'|AB 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421k y y k x k x k x x k +=+++=++=+所以|'|AB ==因为k ≤<2102,所以|'|AB ∈法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x 轴时,|'|AB =当直线l 不是x 轴时,设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122,所以()t y t y ++=-222420, 28160t ∆=->,所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222 因为22'(,)B x y -所以|'|AB 因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=22)2t ==-+因为t >22,所以|'|AB ∈综上,|'|AB的取值范围是.19.解：(Ⅰ)因为()x ax x f x -=e 2所以()'()x x a x af x -++=e 22 当a =-1时,'()x x xf x --=e 21所以'()f -=e 11,而()f -=e 21 曲线()yf x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e e y x --=-- 化简得到11e e y x =--(Ⅱ)法一：因为()'()xx a x a f x -++=e 22,令()'()x x a x af x -++==e 220得x x ==12当a >0时,x ,'()f x ,()f x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值,而2(0)0e f =>-,所以只需要证明()f x >-e 22因为()x a x a -++=22220,所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2,其中x >0,所以()()'()x x a x x a F x ----+==e e 2222令'()F x =0,得a x +=322,当a >0时,x ,'()F x ,()F x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222,而()a a F ++--=>e e 122222注意到x =>20,所以(())f x x F =>-e 222,问题得证 法二：因为“对任意的x >0,22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0,220e e xax x -+>” 即“x >0,2+12e e()0e x x ax x +->”,故只需证“x >0,22e e()0x ax x +->”设2()2e e()x g x ax x =+-,所以'()2e e(2)x g x a x =+-设()'()h x g x =,'()2e 2e xh x =- 令'()F x =0,得x =31当a >0时,x ,'()h x ,()h x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1,而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=> 所以x >0时,'()2e e(2)0xg x a x =+->,所以()g x 在(,)+∞0上单调递增 所以()(0)g x g >而(0)20g =>,所以()0g x >,问题得证 法三：“对任意的x >0,2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e -”因为()'()x x a x af x -++=e 22,令'()f x =0得x x ==12当a >0时,x ,'()f x ,()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值,而2(0)0e f =>-,所以只需要证明()f x >-e 22因为()x a x a -++=22220,所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e 22222222222注意到x 2和a >0,所以x >22设()x xF x -=e 2,其中x >2 所以()()'()x x x x F x --=-=e e 2121当x >2时,'()F x >0,所以()F x 单调递增,所以()()F x F >=-e 242而()--=-->e e e e 2242240 所以()()f x F x >->e 222,问题得证法四：因为a >0,所以当x >0时,()xxax x x f x --=>e e 22设()xx F x -=e 2,其中x >0 所以()'()x x x F x -=e 2所以x ,'()F x ,()F x 的变化情况如下表: 以()F x 在x =2时取得最小值所()F =-e 224,而()--=-->e e e e 224224所以x >0时,2()e F x >-所以()()f x F x >>-e 220.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) (Ⅱ)记12(,,,)n x x x α= ,12(,,,)n y y y β= , 注意到{0,1}i x ∈,所以(1)0i i x x -=,所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=,所以1212n n x x x y y y n +++++++= 所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1,n 个量的值为0. 显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++= ,当(1,1,,1)α= ,(0,0,,0)β= 时,αβ，满足n ααββ*+*=,n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时,1i i x y =,否则0i i x y =而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1,n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个,当n 为偶数时,22n n n αβ*≥-=.当22(1,1,,1,0,0,,0)nn αβ==个个时,满足n ααββ*+*=,且2n αβ*=.所以αβ*的最小值为2n当n 为奇数时,且1i i x y =,这样的元素i 至多有12n -个,所以1122n n n αβ-+*≥-=.当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-= 个个,1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时,满足n ααββ*+*=,12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n -综上：αβ*的最大值为n ,当n 为偶数时,αβ*的最小值为2n ,当n 为奇数时,12n αβ-*=. (Ⅲ)S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈ ,{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅ ，集合1S 中元素个数不超过1n +个,下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈= ,则122n x x x n +++≤- 则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈= ,βα≠因为1n αβ*≥-,所以,i jy y 不能同时为0所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言,在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α= 满足i j x x，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211n n C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω ,则1T 中共1n +个元素,对于任意的1T α∈,n β∈Ω,1n αβ*≥-.对1i j n ≤<≤,记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==,1t x =,,t i t j≠≠ 记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤,显然2,S αβ∀∈,αβ≠,均有1n αβ*≥-.记12S T T = ,S 中的元素个数为21n n ++,且满足,S αβ∀∈,αβ≠,均有1n αβ*≥-.综上所述,S 中的元素个数最大值为21n n ++.。
北京市海淀区2019-2019学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学文科共9页
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 (文科) 2019.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．sin 240o的值为A ．12-B ． 12C． D2. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且236a a +=，则4S 的值为 A. 12 B.11 C.10 D. 93. 设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”成立的 A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有A.75辆B.120辆C.180辆D.270辆 5.点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为 A.2 B. 4 C. 6 D.8 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为A ．12B ．6C ． 4D ．2 7. 已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈， 01cos 3x =（0[0,π]x ∈），那么下面结论正确的是A ．()f x 在0[0,]x 上是减函数 B. ()f x 在0[,π]x 上是减函数 C. [0,π]x ∃∈, 0()()f x f x > D. [0,π]x ∀∈, 0()()f x f x ≥车速O40506070800.0100.0350.030a频率组距正视图左视图俯视图8. 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线210x y +-=平行,则直线l 的方程为__________. 10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4， 则输出的S 为 .11．椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .F ，则其标准方程为 .12．在一个边长为1000投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200点被监测到的概率为_______.13已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a .14．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-为. 若点()1,3A -，则(,)d A O = ； 已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）设函数1()sin cos 22f x x x =+，R x ∈. （I ）求函数)(x f 的周期和值域；（II ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3(),2f A = 且2a =， 求角C 的值.16. （本小题满分13分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团） 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人. (I) 求这三个社团共有多少人？(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率. 17. （本小题满分13分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形 ，AC BD O =I ，侧棱1AA ⊥BD,点F 为1DC 的中点．（I ） 证明：//OF 平面11BCC B ； （II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .18. （本小题满分13分）已知函数322()1,af x x x=++其中0a >. （I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=,点P 为直线:4l x =上的动点.(I)若从P 到圆O 的切线长为P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； （II ）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ,求证:直线MN 经过定点(1,0).20. （本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n =L *()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P.A BC1B 1C 1A D F1D O（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.(II)若集合S 具有性质P ，试判断集合 {}(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文）答案及评分参考 2019．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分） 解：（I ）Θx x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分 )(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3sin(=+∴πA , ...............................7分3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+= 得到3A π= . ...............................9分,23b a =Θ且Bb A a sin sin = , ....................................10分sin bB =, ∴1sin =B , ....................................11分 π<<B 0Θ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 2223121323{,}, {,},{,},{,},{,}a b a b b b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ）Θ四边形ABCD 为菱形且AC BD O =I ，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分 ⊄OF Θ平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ）Θ四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A =I 且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分 ⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD Θ平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分 （I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分....................................10分综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+； 当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+； 当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠=o ，所以120DOC ∠=o . ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ， 依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6ty x =+得，212272224(2)63636t t t y t t -=+=++. ..................................9分 同理，设:(2)2tBP y x =-，联立方程有 22(2)24ty x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，代入(2)2ty x =-得到2222288(2)244t t t y t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分若11x ≠，则212t ≠，21x ≠，所以有212212240836722112136MQt y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQt y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分 20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =L ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L 不具有性质P . ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分 由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ，从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-， 其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ； 因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
【精品高考数学试卷】2019年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)+答案
2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合{|04}P x x =<<，且M P ⊆，则M 可以是( )A ．{1，2}B ．{2，4}C ．{1-，2}D ．{0，5}2．（5分）若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是( )A ．sin()2πα+B ．()2cos πα+C ．sin()πα+D ．cos()πα+3．（5分）已知等差数列{}n a 满足3243a a =，则{}n a 中一定为零的项是( )A ．6aB ．8aC ．10aD ．12a4．（5分）已知x y >，则下列各式中一定成立的是( )A ．11x y< B ．12x y+>C ．11()()22x y>D ．222x y -+>5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的m 值为( )A ．18B ．16C ．516D ．136．（5分）已知复数()z a i a R =+∈，则下面结论正确的是( )A ．z a i =-+B ．||1z …C ．z 一定不是纯虚数D ．在复平面上，z 对应的点可能在第三象限7．（5分）椭圆221:14x C y +=与双曲线22222:1x y C a b-=的离心率之积为1，则双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为( )A ．6π，6π- B ．3π，3π- C ．6π，56πD ．3π，23π8．（5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有()第一节第二节 第三节第四节A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知a ，4，c 成等比数列，且0a >，则22log log a c += ． 10．（5分）在ABC ∆中，14,5,cos 8a b C ===，则c = ，ABC S ∆= ．11．（5分）已知向量(1,2)a =-r ，同时满足条件①//a b r r ，②||||a b a +<r r r 的一个向量b r 的坐标为 ．12．（5分）在极坐标系中，若圆2cos a ρθ=关于直线cos sin 10ρθθ+=对称，则a = 13．（5分）设关于x ，y 的不等式组0,0,1x y y kx ⎧⎪⎨⎪+⎩………表示的平面区域为Ω．记区域Ω上的点与点(0,1)A -距离的最小值为()d k ，则 （Ⅰ）当1k =时，d （1）= ；（Ⅱ）若()d k k 的取值范围是 ．14．（5分）已知函数()f x x =，2()g x ax x =-，其中0a >．若1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，使得1212()()()()f x f x g x g x =成立，则a = ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明～演算步骤或证明过程． 15．（13分）已知函数()cos()cos 4f x x x a π=-+． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．16．（13分）据《人民网》报道，“美国国家航空航天局()NASA 发文称，相比20年前世界变得更绿色了．卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和） 单位：公顷（Ⅰ）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少？（Ⅲ）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X 为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X 的分布列及数学期望． 17．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D ，E ，F 分别为棱11A C ，11B C ，1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//AC 平面DEF （Ⅱ）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ；（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点P ，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为030？如果存在，求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由．18．（14分）已知函数2()(1)f x xln x ax =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a <时，求证：函数()f x 存在极小值； （Ⅲ）请直接写出函数()f x 的零点个数．19．（13分）已知抛物线2:2G y px =，其中0p >．点(2,0)M 在G 的焦点F 的右侧，且M 到G 的准线的距离是M 与F 距离的3倍．经过点M 的直线与抛物线G 交于不同的A ，B 两点，直线OA 与直线2x =-交于点P ，经过点B 且与直线OA 垂直的直线l 交x 轴于点Q ． （Ⅰ）求抛物线的方程和F 的坐标；（Ⅱ）判断直线PQ 与直线AB 的位置关系，并说明理由． 20．（13分）首项为0的无穷数列{}n a 同时满足下面两个条件： ①1||n n a a n +-=；②12n n a -…． （Ⅰ）请直接写出4a 的所有可能值；（Ⅱ）记2n n b a =，若1n n b b +<对任意*n N ∈成立，求{}n b 的通项公式； （Ⅲ）对于给定的正整数k ，求12k a a a ++⋯+的最大值．2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．【解答】解：集合{|04}P x x =<<，且M P ⊆，可知M 是P 的子集， 所以M 可以是{1，2}． 故选：A ．【解答】解：角α的终边在第二象限，则sin 0α>，cos 0α<，对于A ，sin()cos 02παα+=<，错误； 对于B ，cos()sin 02παα+=-<，错误；对于C ，sin()sin 0παα+=--<，错误； 对于D ，cos()cos 0παα+=->，正确； 故选：D ．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，3243a a =Q ，114(2)3()a d a d ∴+=+，可得：150a d +=， 60a ∴=，则{}n a 中一定为零的项是6a ． 故选：A ．【解答】解：A ．取2x =，1y =-，不成立；B ．取1x y ==-不成立；C ．由指数函数1()()2xf x =在R 上单调递减，可得不成立；.22222x y x x D --+>+…，因此成立．故选：D ．【解答】解：122S =⨯=，224x =+=，422m ==，12m <否，428S =⨯=，426x =+=，6384m ==，12m <否， 6848S =⨯=，628x =+=，81486m ==，12m <是， 输出16m =，故选：B ．【解答】解：()z a i a R =+∈Q ，∴z a i =-，故A 错误；||1z =，故B 正确；当0a =时，z 为纯虚数，故C 错误；Q 虚部为1大于0，∴在复平面上，z 对应的点不可能在第三象限，故D 错误．故选：B ．【解答】解：椭圆221:14x C y +=的离心率为：2=椭圆221:14x C y +=与双曲线22222:1x y C a b -=的离心率之积为1，可得双曲线的离心率为：c a =，可得22243a b a +=，可得b a =则双曲线2C 的两条渐近线的斜率为：2C 的两条渐近线的倾斜角分别为：6π；56π．故选：C ．【解答】解：由于生物在B 层，只有第2，3节有，故分2两类，若生物安排第2节，其他任意排即可，故有336A =种，若生物安排第3节，则政治有2种方法，其他任意排，故有12224C A =根据分类计数原理可得6410+=种， 故选：B ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 【解答】解：a Q ，4，c 成等比数列，且0a >，16ac ∴=，0c >，2222log log log log 164a c ac ∴+===．故答案为：4．【解答】解：Q 14,5,cos 8a b C ===，∴由余弦定理可得：2222212cos 45245368c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，解得：6c =，sin C ∴=，11sin 4522ABC S ab C ∆∴==⨯⨯．【解答】解：设(,)b x y =r ，由//a b r r 可得：2y x =-，(1,2)a b x y +=+-+r r ，由||||a b a +<r r r，可得，把2y x =-代入，可得22(1)(22)5x x ++--<，化简可得220x x +<，解得：20x -<<，取得1x =-，可得2y =，所以(1,2)b =-r．故答案为：(1,2)-．【解答】解：圆2cos a ρθ=的普通方程为：2220x y ax +-=，直线cos sin 10ρθθ++=，化为10x +=，圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心(,0)a，所以010a +=，解得，1a =-． 故答案为：1-．【解答】解：（Ⅰ）x ，y 的不等式组0,0,1x y y x ⎧⎪⎨⎪+⎩………表示的平面区域为Ω．是如图的灰色的角形区域，区域Ω上的点与点(0,1)A -距离的最小值为()d k ，d （1）2=．（Ⅱ）若()d k Ω上的点与点(0,1)A -距离的最小值为()d k直线1y kx =+恒过(0,1)，由图形，可知直线经过(1,0)B 时，区域Ω上的点与点(0,1)A -距离此时直线的斜率为：1-，所以1k -…． 故答案为：（Ⅰ）：2；（Ⅱ）：[1-，)+∞．【解答】解：由题意．由1212()()()()f x f x g x g x =成立，可得1212()()()()f xg x g x f x =成立； 设11()()()f x h x g x =，22()()()g x u x f x =， 那么1()1h x ax =-， 1[1x ∈Q ，2]，当0a >时，1121a ax a ∴---剟 ①若1a >，可得()h x 的值域为1[21a -，1]1a - ②若01a <<，可得()h x 的值域为R ， 由()1u x ax =-2[1x Q ，2]，∴当0a >时，可得()u x 的值域为[1a -，21]a -；1[1x ∀∈Q ，2]，2[1x ∃∈，2]，()h x ∴的值域是()u x 值域的子集；显然01a <<，()h x 的值域为R ，不成立；1a ∴>，()h x 的值域为1[21a -，1]1a - 可得：1121a a --…，解得：302a <…； 1211a a --…，解得：0a <或32a …．综上可得：32a =同理，当0a <时， 可得：a 无解 故答案为：32． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明～演算步骤或证明过程． 【解答】解：（Ⅰ）因为2()cos()cos (2sin 2cos )cos 2sin cos 2cos 4f x x x a x x x a x x x a π=-+=++=++sin 2cos21)14x x a x a π=+++=+++所以函数()f x1a +．Q，所以10a +=，所以1a =-（Ⅱ）因为sin y x =的单调递增区间为(2,2)22k k ππππ-+，k Z ∈， 令222242k x k πππππ-<+<+， 所以3188k x k ππππ-<<+，函数()f x 的单调递增区间为31(,)88k k ππππ-+，k Z ∈． 【解答】解：（Ⅰ） 人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省 人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省（Ⅱ） 设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件A ．在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林 面积占总面积比超过50%，则7()10P A =（Ⅲ）新封山育林面积超过五万公顷有7个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、 新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：内蒙、河北、重庆， 所以X 的取值为0，1，2所以242712(0)42C P X C ===，1123432277246(1)(2)4242C C C P X P X C C ====== 随机变量X 的分布列为012424242427EX =⨯+⨯+⨯==【解答】解：（Ⅰ）连结1BCD Q ，E 分别为11A C ，11B C 中点，11//DE A B ∴，又11//AB A B ，//DE AB ∴，E Q ，F 分别为11B C ，1B B 中点，1//EF BC ∴，又DE EF E =I ，DE ⊂平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，AB ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ， ∴平面1//ABC 平面DEF ，又1AC ⊂平面1ABC ，1//AC ∴平面DEF ．（Ⅱ）1CC ⊥Q 平面ABC ，AC ABC ⊂，1CC AC ∴⊥，又AC BC ⊥，且1CC BC C =I ，AC ∴⊥平面11BB C C ，又EF ⊂平面11BB C C ， AC EF ∴⊥，又1BC CC =，四边形11BB C C 为正方形，11BC B C ∴⊥，又1//BC EF ， 1B C EF ∴⊥又AC EF ⊥，1AC B C C =I ，EF ∴⊥平面1ACB ，又EF ⊂平面DEF ，∴平面1ACB ⊥平面DEF ．（Ⅲ）以C 为原点，以CA ，CB ，1CC 为坐标轴建立空间坐标系如图所示， 则(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，(0C ，0，0)，(1D ，0，2)，1(0B ，2，2)，∴(2CA =u u u r ，0，0)，1(0CB =u u u r，2，2)，设平面1AB C 的法向量为(n x =r ，y ，)z ，则100n CA n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rr g u u u r r g ，∴20220x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =可得(0n =r，1，1)-，设(2P ，0，)(02)h h 剟，则(1DP =u u u r，0，2)h -， 2cos,||||245DP n DP n DP n h h ∴<>==⨯-+u u u r ru u u r g r u u u r r ， Q 直线DP 与平面1ACB 所成的角为30︒，∴212245h h =⨯-+， 解得1h =．即P 为1AA 的中点． 所以点P 存在，1AP =．【解答】解：（Ⅰ）2()(1)f x xln x ax =+-的定义域为{|1}x x >-，因为2(0)0(01)00f ln a =+-=g， 所以切点的坐标为(0,0)， 因为0()(1)2(0)(01)200101x f x ln x axf ln a x ''=++-=++-=++g ， 所以切线的斜率0k =， 所以切线的方程为0y =． 证明（Ⅱ）方法一： 令()()(1)21xg x f x ln x a x x '==++-+， 所以211()21(1)g x a x x '=+-++，因为1x >-且0a <， 所以101x >+，210(1)x >+，20a ->，从而得到()0g x '>在(1,)-+∞上恒成立， 所以()0f x '>在(1,)-+∞上单调递增且(0)0f '=， 所以x ，()f x '，()f x 在区间(1,)-+∞的变化情况如下表：所以0x =时，()f x 取得极小值，问题得证． 方法二：因为()(1)21xf x ln x a x x '=++-+， 当0a <时，当0x <时，(1)0,0,201xln x a x x +<<-<+，所以()0f x '<， 当0x >时，(10,0,201xln x a x x +>>->+，所以()0f x '>， 所以x ，()f x '，()f x 在区间(1,)-+∞的变化情况如下表：所以0x =时，函数()f x 取得极小值，问题得证． （Ⅲ）当0a …或1a =时，函数()f x 有一个零点， 当0a >且1a ≠时，函数()f x 有两个零点． 【解答】（共13分）解：（Ⅰ）抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，焦点坐标为(,0)2pF ， 所以有23(2)22p p+=-，解得1p =， 所以抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F ， （Ⅱ）直线//PQ AB ，方法一：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 设直线AB 的方程为2x my =+，联立方程22,4,x my y x =+⎧⎨=⎩消元得，2480y my --=，所以124y y m +=，2212121218416y y x x y y =-==， 由题意得12120x x y y ≠， 直线OA 的方程为11y y x x =令2x =-，则112y y x -=，则112(2,)y P x --，因为OA BQ ⊥，所以11BQ x k y =-， 直线BQ 的方程为1221()x y y x x y -=--， 令0y =，则12121221114y y y y x x x x x x x +=+==-，则14(,0)Q x -， ①当0m =时，直线AB 的斜率不存在，12x =，可知， 直线PQ 的斜率不存在，则//PQ AB ，②当0m ≠时，111111121422(2)2PQy x y y k x my m x ====--+-+++，1AB k m =， 则//PQ AB ，综上所述，//PQ AB ． 方法二： 直线//PQ AB ．（1）若直线AB的斜率不存在，根据对称性，不妨设(2,A -，(2,B ， 直线AO的方程为y =，则(2,P -，直线BQ的方程为2)y x -=-，即y x =， 令0y =，则(2,0)Q -，则直线PQ 的斜率不存在，因此//PQ AB ， （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，0k ≠，联立方程，24(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得，22224440k x k x k x -+-=，整理得，2222(44)40k x k x k -++=，由韦达定理，可得212244k x x k++=，2212121241664x x y y x x ===，因为120y y <，可得128y y =-． 显然12120x x y y ≠， 直线OA 的方程为11y y x x = 令2x =-，则112y y x -=，则112(2,)y P x --， 因为OA BQ ⊥，所以11BQ x k y =-， 直线BQ 的方程为1221()x y y x x y -=--， 令0y =，则12121221114y y y y x x x x x x x +=+==-， 则11111111222(2)4(,0)442242PQ y x y k x Q k k x x x x --====--+-+，则//PQ AB ， 综上所述，//PQ AB ．【解答】解：（Ⅰ）4a 的值可以取2-，0，6-（Ⅱ）因为2n n b a =，因为1n n b b +<对任意*n N ∈成立，所以{}n b 为单调递增数列， 即数列{}n a 的偶数项2a ，4a ，6a ，⋯，2n a ⋯是单调递增数列 根据条件21a =-，40a =所以当20n a …对2n …成立下面我们证明“数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数” 假设数列{}n a 中存在i a ，1i a +同时为非负数 因为1||i i a a i +-=，若1i i a a i +-=，则有1(1)12i i i a a i i ++-=+>…，与条件矛盾 若1i i a a i +-=-，则有112i i i a a i i +-=+>…，与条件矛盾所以假设错误，即数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数此时20n a …对2n …成立，所以当2n …时，210n a -…，210n a +…，即212n n a a -<，212n n a a +< 所以22121n n a a n --=-，2122(22)n n a a n ---=-- 所以2212122()()1n n n n a a a a ----+-= 即2221n n a a --=，其中2n … 即11n n b b --=，其中2n … 又121b a ==-，240b a ==所以{}n b 是以11b =-，公差为1的等差数列， 所以1(1)2n b n n =-+-=-（Ⅲ） 记1231k k k S a a a a a -=+++⋯++ 由（Ⅱ）的证明知，n a ，1n a +不能都为非负数当0n a …，则10n a +<， 根据1||n n a a n +-=，得到1n n a a n +=-，所以112212n n n n a a a n n +-+=---剟当10n a +…，则0n a < 根据1||n n a a n +-=，得到1n n a a n +=-，所以11112202n n n n a a a n n +++-+=--剟所以，总有10n n a a ++…成立当n 为奇数时，1||n n a a n +-=，故1n a -，n a 的奇偶性不同，则11n n a a ++-… 当n 为偶数时，10n n a a ++…当k 为奇数时，1231()()0k k k S a a a a a -=+++⋯++… 考虑数列：0，1-，1，2-，2，⋯，12k --，12k -⋯ 可以验证，所给的数列满足条件，且0k S = 所以k S 的最大值为0当k 为偶数时，121()()2k k k kS a a a a -=++⋯++-… 考虑数列：0，1-，1，2-，2，⋯，22k --，22k -，2k -⋯可以验证，所给的数列满足条件，且2k kS =-所以k S 的最大值为2k-．。
北京市海淀区2019-2020学年第一学期高三期末数学试题及答案
2020. 01本试卷共 4 页，150 分。
考试时长120 分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。
1,2,3, 4,5, 6 ， ，是U1,3,5, 6} 1,3,5} （A ） （B ） （C ）（2）抛物线 y24x 的焦点坐标为(0,1)（A ） （B ）（C ）（3）下列直线与圆( 1)( 1) 2 相切的是 x 2 y 2 （A ） （B ）（C ）（4）已知a,b Î R ，且 a，则1 11 1 （A ）Dab2 2331(x )3 的展开式中， x 的系数为5 x （A ）（6）已知平面向量a, b , c满足，则a b 的值为| || || |1，且 a b c 1 13 3 （B ）（D ）2222=m ，= （7）已知 , n ，则“ m n ”是“”∥ 的（B ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△， A D B D C D的是S cos BADs in BAD（A ）（C ）2 （D ）2Sx（9）声音的等级 ( )（单位：dB ）与声音强度 （单位：W/m 2）满 足 f .x f x么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的681012（10）若点 N 为点 在平面 上的正投影，则记 Na.M - A B C D1 1 1 1A B C D 为 b ，平 面 AB C D 为g ，点 P 是棱C C 上一动点（与1 11= f [ f (P)] Q = f [ f (P)] ， .给出下C1gb2bg列三个结论：1 2①线段 P Q 长度的取值范围是[ , ) ；2 22 ②存在点 P 使得 P Q ∥平面 ；b 1 ^ P Q .1（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
【精品高考数学试卷】2019年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)+答案
2019 年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）、选择题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．5 分）已知集合 P {x|0 x 4}，且 M P ，则 M 可以是 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 m 值为 （1．2． 3． 4． A ．{1， 2}5 分） B ．{2， 4}C ．{ 1， 2}若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是 A ． sin( 2)B ． cos( 2)C ． sin() D ． D ． 5 分） A ． a 65 分） {0，5}cos( )已知等差数列 {a n } 满足 4a 3 3a 2 ，则{ a n } 中一定为零的项是 （B ． a 8C ． a 10D ． a 12已知x y ，则下列各式中一定成立的是 （ A ．1xC ． (21)x (21) B ． xy12yD ． 2 xy25．A ． z a iB ． |z|⋯1C ． z 一定不是纯虚数D ．在复平面上， z 对应的点可能在第三象限条渐近线的倾斜角分别为 ( )8．( 5分)某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有 第一节第二节 第三节第四节地理 B 层 2 班化学 A 层 3 班 地理 A 层 1 班化学 A 层 4 班A ．B ．C ．16D ．6．(5 分)已知复数z a i(a R) ，则下面结论正确的是2 x7．(5 分)椭圆 C 1: 4x2y 21与双曲线 C 2 : 2 ab 21的离心率之积为 1，则双曲线 C 2 的两A ．6 ，6B ．3，35C ． ，662 D ． ，331A．8种B．10种C．12 种D．14 种、填空题共6小题，每小题5分，共30 分．9．( 5分)已知a，4，c 成等比数列，且 a 0，则log2a log2c ．110．(5 分)在ABC 中，a 4,b 5,cosC ，则c ，S ABC ．8r r r r r r r 11．(5分)已知向量a (1, 2)，同时满足条件①a//b，②|a b| |a |的一个向量b 的坐标为．12．(5 分)在极坐标系中，若圆2acos 关于直线cos 3 sin 1 0 对称，则ax⋯0,13．( 5 分)设关于x ，y 的不等式组y⋯0, 表示的平面区域为．记区域上的点与y⋯kx 1点A(0, 1)距离的最小值为d(k) ，则(Ⅰ)当k 1时， d (1) ；(Ⅱ)若d(k)⋯ 2 ，则k 的取值范围是．14．(5 分)已知函数f(x) x，g(x) 2 ax x ，其中 a 0 ．若x1[1 ，2]，x2[1，2]，使得f(x1)f(x2) g( x1) g( x2 )成立，则a ．三、解答题共6小题，共80 分．解答应写出文字说明～演算步骤或证明过程．15．(13 分)已知函数f(x) 2 2cos( x)cosx a的最大值为2 ．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求函数f(x) 的单调递增区间．16．( 13 分)据《人民网》报道，“美国国家航空航天局(NASA) 发文称，相比20 年前世界变得更绿色了．卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．据统计，中国新增绿化面积的42% 来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017 年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷（Ⅰ）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50% 的概率是多少？（Ⅲ）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X 的分布列及数学期望．17．（14 分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC ，AC BC CC1 2，点 D ，E ，F 分别为棱A1C1 ，B1C1 ，BB1 的中点．Ⅰ）求证： AC 1//平面 DEF Ⅱ）求证：平面 ACB 1 平面 DEF ；（Ⅲ）在线段 AA 1上是否存在一点 P ，使得直线 DP 与平面 ACB 1所成的角为 300？如果存在， 求出线段 AP 的长；如果不存在，说明理由．2 18．（14 分）已知函数 f （x ） xln （x 1） ax 2．（Ⅰ）求曲线 y f （x ）在点（0， f （0））处的切线方程； Ⅱ）当 a 0 时，求证：函数 f （x ）存在极小值； （Ⅲ）请直接写出函数 f （x ）的零点个数．219．（ 13分）已知抛物线 G:y 2 2px ，其中 p 0．点M （2,0）在G 的焦点 F 的右侧，且 M 到G 的准线的距离是 M 与F 距离的 3倍．经过点 M 的直线与抛物线 G 交于不同的 A ，B 两点，直线 OA 与直线 x 2交于点 P ，经过点 B 且与直线 OA 垂直的直线 l 交 x 轴于点 Q ． （Ⅰ）求抛物线的方程和 F 的坐标；（Ⅱ）判断直线 PQ 与直线 AB 的位置关系，并说明理由．20．（13分）首项为 0的无穷数列 {a n } 同时满足下面两个条件：Ⅰ）请直接写出 a 4 的所有可能值；Ⅱ）记 b n a 2n ，若 b n b n 1对任意 n N 成立，求 {b n } 的通项公式； Ⅲ）对于给定的正整数 k ，求 a 1 a 2a k 的最大值．2019 年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析① |a n 1a n | n ；② a n , n 21一、选择题共8 小题，每小题5分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．【解答】解：集合P {x|0 x 4}，且M P ，可知M是P 的子集，所以M可以是{1，2}．故选： A ．【解答】解：角的终边在第二象限，则sin 0 ，cos 0 ，cos0 ，错误；对于A，sin()2对于B，cos()sin0，错误；2对于C，sin()sin0，错误；对于D，cos()cos0，正确；故选： D ．【解答】解：设等差数列{ a n}的公差为 d ，Q4a3 3a2，4(a1 2d) 3(a1 d ) ，可得：a1 5d 0 ，a6 0 ，则{a n}中一定为零的项是a6 ．故选： A ．【解答】解：A．取x 2，y 1，不成立；B ．取x y 1 不成立；1xC ．由指数函数f(x) (2)x在R 上单调递减，可得不成立；D.2x2 y2x2 x⋯2 ，因此成立．故选：D ．41【解答】解：S 1 2 2 ，x 2 2 4 ，m 2 ，m 否，226 31S 4 2 8 ， x 4 2 6 ， m，m否，8 428 11 S 6 8 48， x 62 8， mm是48 621输出m 6，故选： B ．【解答】 解：Qz a i(a R)， z a i ，故 A 错误；| z| a 2 1⋯1，故 B 正确；当 a 0 时， z 为纯虚数，故 C 错误；Q 虚部为 1 大于 0， 在复平面上， z 对应的点不可能在第三象限，故 D 错误．故选： B ．；5．；．66 故选： C ．若生物安排第 3 节，则政治有 2种方法，其他任意排，故有 C 12 A 22 4 根据分类计数原理可得 6 4 10 种， 故选： B ．二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30 分． 【解答】 解：Qa ，4，c 成等比数列，且 a 0，ac 16 ， c 0 ，log 2a log 2c log 2 ac log 216 4 ．故答案为： 4．解答】 解： 2椭圆 C 1: x4y1 的离心率为：4 1 322x 2椭圆 C 1: x42x 1 与双曲线 C 2 :2 a2y2 1 的离心率之积为 b 21，可得双曲线的离心率为： c 2，a3a2 b24可得 2 ，可得a3则双曲线 C 2 的两条渐近线的斜率为：3，所以双曲线3C 2的两条渐近线的倾斜角分别为：解答】 解： 由于生物在 B 层，只有第 2，3 节有，故分 2 两类，若生物安排第 2 节，其他任意排即可，故有 A 33 6 种，1解答】 解：Q a 4,b 5,cosC 182x 2x 0，解得： 2 x 0 ， 取得 x 1，可得 y 2，所以 b r ( 1,2) ．故答案为： ( 1,2)．【解答】解：圆 2acos 的普通方程为： x 2 y 2 2ax 0 ，直线 cos 3 sin 1 0 ， 化为 x 3y 1 0 ， 圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心 (a,0)，所以 a 3 0 1 0，解得， a 1 ． 故答案为： 1．x ⋯0,【解答】 解：(Ⅰ) x ， y 的不等式组 y ⋯0, 表示的平面区域为 ．是如图的灰色的角形 y ⋯x 1区域，区域 上的点与点 A(0, 1)距离的最小值为 d(k) ， d ( 1) 2 ．Ⅱ)若 d(k)⋯ 2 ，可知区域 上的点与点 A(0, 1)距离的最小值为 d(k)⋯ 2 ， 直线 y kx 1恒过 (0,1)，由图形，可知直线经过 B(1,0)时，区域 的最小值为 2 ，此时直线的斜率为： 1，所以 k ⋯ 1 ． 故答案为：(Ⅰ)： 2；(Ⅱ)： [ 1， )．由余弦定理可得：22cab 2 2abcosC42 52 2 4 5 sinC 1 cos 2C3 7 ，8113 7 15 7S ABC ab sin C45 ．2284故答案为： 15 7．4r 【解答】 解：设 b(x,y) ，由 a r //b r 可得：y2x ， a rb r(1136 ，解得： c 6 ，8x, 2 y) ，由 |a r b | |a r |，可 得 (1 x) 2 (y 2) 25 ， 把 y2x 代入，可得 (x 1)2( 2x 2)2 5 ，化简可 得上的点与点 A(0, 1)距离解答】解：由题意．由f(x1)f(x2) g( x1)g(x2)成立，可得 f (x1) g(x1)设h(x) f(x1)，u(x) g(x2)，g(x1) f (x2 )1那么h(x) ，ax 1Qx1 [1，2]，当 a 0 时， a 1剟ax 1 2a 111①若 a 1 ，可得h(x) 的值域为[ 1，1 ]2a 1 a 1②若0 a 1 ，可得h( x)的值域为R ，由u(x) ax 1Q x2[1，2]，当 a 0 时，可得u(x) 的值域为[a 1，2a 1]；Q x1 [1，2]，x2 [1，2]，h( x)的值域是u(x) 值域的子集；显然0 a 1，h(x)的值域为R ，不成立；g(x2)成立；f(x2 )1，h(x) 的值域为[2a12a可得：1⋯a 1，解得：0 a, 3；2a 1 21 a1 2a 1，解得：30 或a⋯综上可得： a 32同理，当 a 0 时， 可得： a 无解 3 故答案为： 3．2三、解答题共 6小题，共 80 分．解答应写出文字说明～演算步骤或证明过程．sin2x cos2x 1 a 2sin(2x ) 1 a4所以函数 f （x ） 的最大值为 2 1 a ．Q 最大值为 2， 所以 1 a 0 ，所以 a 1Ⅱ）因为 y sinx 的单调递增区间为 （2k 2,2k 2），k Z ，令 2k 2x 2k ，2 4 2 31所以 k x k ，8831函数 f (x)的单调递增区间为 (k ,k ) ， k Z88解答】 解：（Ⅰ） 人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省 人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省（Ⅱ） 设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事 件 A ．在十个地区中，有 7 个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比超过50% ，则 P(A) 710（Ⅲ）新封山育林面积超过五万公顷有 7 个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、 新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有 3 个地区：内蒙、河北、重庆，所以 X 的取值为0，1，2所以 P(X 0) C C 42212 C 31C 14 24 C 32 61422， P(X 1) C C 3C 724 2442P(X 2) C C 732 462随机变量 X 的分布列为解答】解 Ⅰ）因为f(x)2 2cos( x)cosx a(2sin x 22cosx)cosx a 2sin x cosx 2cos x a解答】 解：（Ⅰ）连结 BC 1QD ， E 分别为 A 1C 1， B 1C 1中点，DE / /A 1B 1 ，又 AB//A 1B 1，DE / / AB ，AC 1 // 平面 DEF ．（Ⅱ）QCC 1 平面 ABC ， AC ABC ，CC 1 AC ，又 AC BC ，且 CC 1I BC C ，AC 平面 BB 1C 1C ，又 EF 平面 BB 1C 1C ， AC EF ，又 BC CC 1 ，四边形 BB 1C 1C 为正方形，BC 1 B 1C ，又 BC 1 //EF ， B 1C EF又 AC EF ， AC I B 1C C ，EF 平面 ACB 1，又 EF 平面 DEF ， 平面 ACB 1 平面 DEF ．（Ⅲ）以 C 为原点，以 CA ， CB ， CC 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示，则 A （2， 0， 0）， B （0，2， 0）， C （0，0， 0）， D （1，0， 2）， B 1 （0 ， 2， 2），7EX 0 12 1 24 2 6 36 42 42 42 42 QE ， F 分别为 B 1C 1 ， B 1B 中点， EF //BC 1，又 DE I EF E ，DE 平面 DEFEF 平面 DEF ，AB 平面 ABC 1 ，BC 1 平面 ABC 1 ，平面 ABC 1 / / 平面 DEF ，又 AC 1 平面 ABC 1 ，C uu A ur (2，0，0)，C uu B ur 1 (0，2， 2)，rn r gC uu A ur 0设平面 AB 1C 的法向量为 n r(x ， y ， z)，则 n r gC uu A ur0 ngCB 1 0令 y 1可得 n r (0 ，1， 1)，Q 直线 DP 与平面 ACB 1 所成的角为 30 ，解答】 解：(Ⅰ) f (x) xln(x 1) ax 2的定义域为 {x|x 1} ， 因为 f (0) 0ln(0 1) ag02 0 ， 所以切点的坐标为 (0,0)，因为f (x) ln(x1) x2axf (0) ln(0 1) 0 2ag0 0x101所以切线的斜率 k0所以切线的方程为y0．证明(Ⅱ)方法一 ：令 g(x) f (x) ln(x 1)x 2ax ，x1所以 g (x) 312a ，2x1 (x1)22 h 2 4h 5 2 解得 h 1．即 P 为AA 1的中点． 所以点 P 存在， AP 1 ．2 h1 ，设P(2， 0， h)(0剟h 2)，则 DP(1，0， h 2) ，uuur r cosDP,n2x 0 2y 2z 0因为 x 1 且 a 0 ，11 所以 0， 12 0 ， 2a 0， x 1 (x 1)2从而得到 g(x) 0在 ( 1, )上恒成立， 所以 f (x) 0在( 1, )上单调递增且 f (0) 0，所以 x 0 时， f ( x)取得极小值，问题得证．方法 因为 f (x) ln(x 1)x 2ax ，x1当a 0 时，当x 0 时， ln(x 1)0,x0, 2ax 0，所以 f (x) 0，x 1当x 0 时，ln(x 10, x0, 2ax 0，所以 f (x) 0，x1所以 x ，f (x)， f(x ) 在区间 ( 1, )的 变化情况如下表：所以 x 0 时，函数 f (x)取得极小值，问题得证．Ⅲ)当 a, 0 或 a 1时，函数 f(x) 有一个零点， 当a 0且 a 1时，函数 f(x)有两个零点． 【解答】(共 13 分)解：(Ⅰ)抛物线 y 2 2px 的准线方程为 x p ，焦点坐标为 F(p ,0)， 所以有 2 2p 3(2 2p )，解得 p 1，所以抛物线方程为 y 2 4x ，焦点坐标为 F(1,0)， Ⅱ)直线 PQ/ / AB ，方法一：设 A(x 1， y 1) ， B(x 2 ， y 2)，设直线 AB 的方程为 x my 2， x my 2, 2联立方程 2 消元得， y 2 4my 8 0 ，y 4x,所以 y 1 y 2 4m ， y 1y 2 8x 1x 2 1 y 12 y 22 4 ，16由题意得 x 1x 2 y 1 y 2 0 ，则 PQ/ /AB ，综上所述， PQ/ / AB ． 方法直线 PQ/ / AB ．1)若直线 AB 的斜率不存在，根据对称性，不妨设 直线 AO 的方程为 y 2x ，则 P( 2,2 2) ，直线 OA 的方程为 y y 1 x 令 x 2 ，则y2y 1 ，则P(x 1x 1因为 OA BQ ，所以 kBQx1，y 1直线 BQ 的方程为 y y 2x 11(x x 2) ，y 1令 y 0 ，则 x y 1y2x 2 y 1 y 2 x 1x 24 ，则 Q( 4 x 1AB的 ，则 x 1x 1x 1①当 m 0 时，直线 斜率不存在， PQ/ / AB ，x 1 2， 可知，直线 PQ 的斜率不存2y 1,0) ，2y 1 2, 1) ， x 1②当x 1 m 0时，k PQ 4x1 2 2y1x1x1y12 (my 1 2)1m ，A(2, 2 2) ， B(2,2 2) ，直线 BQ 的方程为 y 2 2 2（x 2） ，即 y 2x 2 ，令 y 0，则 Q （ 2,0），则直线 PQ 的斜率不存在，因此 PQ/ /AB ， （2）设 A （x 1， y 1）， B （x 2， y 2）， 当直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y k （x 2）， k 0， 2 y 2 4xy k(x 2)，22 kx 4k 2x 4k 2 4x 0， 22 kx (4k 2 4)x 4k 20， 4k 24联立方程， 消元得，整理得， x 1 x 2 k 2 ，x 1x 2 224y 12 y 2216x 1x 2 64，因为 y 1y 2 0 ，可得 y 1y 2 8．显然x 1x 2y 1y 2 0， y 1x x 1令 x 2 ，则 y 2y1，则 P( 2, 2y1) ，x 1x 1因为 OA BQ ， 所以 k BQx1，y 1直线 BQ的方程为 y y 2x 1(x x 2) ， y 1令 y 0 ，则 x y 1y 2 xx 2y 1 y 2 x 1x 2 4 ，x 1 x 1 x 12y 14 则 Q( 4,0)k PQ x 1 2y 1 2k(x 1 2) 42 4 2x 12x 1 4x 1 x 1综上所述， PQ/ / AB ．【解答】 解：（ Ⅰ） a 4 的值可以取 2 ， 0， 6（Ⅱ）因为 b n a 2n ，因为 b n b n 1 对任意 n N * 直线 OA 的方程为 yk ，则 PQ/ /AB ，即数列 {a n } 的偶数项 a 2，a 4，a 6， ，a 2n 成立，所以 {b n } 为单调递增数列，是单调递增数列根据条件 a 2 1， a 4 0 所以当 a 2n ⋯0 对 n ⋯ 2 成立面我们证明“数列 {a n } 中相邻两项不可能同时为非负数” 假设数列 {a n } 中存在 a i ， a i 1 同时为非负数 因为 |a i 1 a i | i ，(i 1) 1若 a i 1 a i i ，则有 a i 1 a i i ⋯i2 ，与条件矛盾 i1若a i 1 a ii ，则有 a i a i 1 i ⋯i，与条件矛盾2所以假设错误，即数列 {a n } 中相邻两项不可能同时为非负数 此时a 2n ⋯0 对 n ⋯ 2 成立，所以当n ⋯2时，a 2n1, 0 ， a 2n 1, 0，即 a 2n1 a 2n ，a 2n1 a 2n 所以 a 2n a 2n 1 2n 1， a 2n 1 a 2n 2 (2n2)所以(a 2n a 2n 1) (a 2n 1 a 2n 2) 1即a2n a2n 21，其中 n ⋯ 2即b n b n 11，其中 n ⋯2又 b 1 a 2 1， b 2 a 4 0所以{b n }是以 b 1 1，公差为 1的等差数列， 所以 b n 1 (n 1) n 2(Ⅲ) 记S k a 1 a 2 a 3 a k 1 a k由(Ⅱ)的证明知， a n ，a n 1不能都为非负数 当 a n ⋯0，则 a n 1 0 ，根据 |a n 1 a n | n ，得到 a n 1 a n n ， 所以 a n a n 12a nn1n 剟2 n 12当 a n 1⋯0 ，则a n根据 |a n 1 a n | n ，得到 a n a n 1n ，所以 a n a n 12a n 1n11n 剟2n 1 1n 0 2 所以，总有a n a n 1, 0 成立k所以 S k 的最大值为 2．当 n 为奇数时， |a n a n 1 | n ，故 a n 1，a n 的奇偶性不同，则 当 n 为偶数时， a n 1 a n , 0当 k 为奇数时， S k a 1 (a 2 a 3) (a k 1 a k ), 0 k 1 k 1考虑数列： 0， 1， 1， 2 ， 2，，2 ，2可以验证，所给的数列满足条件，且S k 0所以 S k 的最大值为 0当 k 为偶数时， S k (a 1 a 2) (a k 1 a k ), 2考虑数列： 0， 1， 1， 2 ， 2， ，k 2 k 2，k，222可以验证，所给的数列满足条件，且S kk2a n a n 1,。
2018-2019北京市海淀区高三第一学期期末数学(理科)试卷
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理科） 2019.01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）双曲线x y -=22122的左焦点的坐标为（A ）(,)-20 （B ）()0 （C ） (,)-10 （D ）(,)-40 （2）已知向量(,),(,)t ==201a b ，且||⋅=a b a ，则,a b 的夹角大小为 （A ）π6 （B ）π4 （C ）π3 （D ）5π12（3）已知等差数列{}n a 满足12a =，公差d ≠0，且125,,a a a 成等比数列，则d = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）直线y kx =+1被圆x y +=222截得的弦长为2，则k 的值为（A ）0 （B ）12±（C ）1± （D ）2（5）以正六边形的6个顶点中的3个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）12 （6）已知函数()ln af x x x=+ ，则“a <0”是“函数()f x 在区间(,)+∞1 上存在零点”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数()sin cos ,()f x x x g x =-是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 （A ）函数()f x 的值域与()g x 的值域相同（B ）若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数g()x 的零点（C ）把函数()f x 的图象向右平移π2个单位，就可以得到函数()g x 的图象 （D ）函数()f x 和g()x 在区间ππ(,)44-上都是增函数（8）已知集合{(,)|150,150,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N . 若B A ⊆，且对任意的(,),(,)a b B x y B ∈∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为（A ）25 （B ）49 （C ）75 （D ）99第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学(理科)试题(含答案)
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2019.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(2,0)-C ．(1,0)-D ． (4,0)-2.已知向量,a b 满足=((t =)，，1)a 2,0b ， 且a ⋅=a b ，则,a b 的夹角大小为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ． 0B ．12±C ．1±D ．22±4.直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．5.已正六边形的6个顶点中的三个座位顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A ．6B ．7C ．8D ．126.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数 8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆，且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为A ．25B ．49C ．75D ．99二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .10.执行如下图所示的程序框图，当输入的M 值为15，n 值为4 时，输出的S 值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， .12.设关于,x y 的不等式组,4,2,y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω，若点A （1，-2），B （3,0），C （2，-3）中有且仅有两个点在Ω内，则k 的最大值为 .13.在∆ABC 中，3b a =，且cos2cos A B =，则cos A = .14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面1111A B C D 上，且AP ⊥平面1MBD .（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为 ； （Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()s()cos22f x aco x x π=--（Ⅰ）比较()6f π和()2f π的大小；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.16．（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（Ⅱ）从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据以往培训数据，规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由. 17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥且01,2,120AB AD DC DP PDC ====∠= （Ⅰ）求证：AD PDC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角B-PD-C 的余弦值；（Ⅲ）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.18．（本小题满分14分）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B 关于x 轴的对称点为B ’，求'AB 的取值范围. 19. （本小题满分14分）已知函数2()xa x f x e-=． （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- （Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β （Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（理科）2019.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.22(1)4x y -+=10. 2411.232，12.0 13.3214.622，三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π1(),622a f =- π()12f a =+ 所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >，所以3022a +>，所以ππ()()26f f >（Ⅱ）因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =-- 22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x =ππ[,]22x ∈-，所以[1,1]t ∈- 所以221y t at =+- 其对称轴为4a t =- 当14at =-<-，即4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4a t =-时函数取得最小值218a --16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3 因为成绩[70,80]X∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===，21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===，353810(3)56C P Y C === 随机变量Y 的分布列为Y 0123P156155630561056115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足85110X -≤的成绩有16个 所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==>⎪⎝⎭所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCDDH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD 所以DH AD ⊥又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD（Ⅱ）因为AD ⊥平面PCD ，所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥，DH AD ⊥以D 为原点，DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系 所以(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)D A P C B -000200013020210，因为AD ⊥平面PCD ，所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200uu u r设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,,),(,,)DP DB =-=013210uu u r uu u r ，所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u rr uu u r所以y z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩3020令2z = ，则23,3y x =-=- ，所以(,,)n =-3232r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>==-=-235719219uuu r ruuu r r uuu u r r 由题知B PD C --为锐角，所以B PD C --的余弦值为5719（Ⅲ） 法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α，PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上，所以F 是AC ，BC 的交点C ，即MF 就是MC而MC 与PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法三：假设棱BC 上存在点F ，使得MFPC ，设BF BC λ=，所以33(1,,)(2,1,0)22MF MB BF λ=+=-+-因为MFPC ，所以(0,3,3)MF PC μμ==-所以有120332332λλμμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪-=-⎪⎩，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证 18．解：（Ⅰ）因为,a b ==2221，所以,,a b c ===211所以离心率c e a ==22（Ⅱ）法一：设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以221212|'|()()AB x x y y =-++因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+所以22222281616|'|(21)(21)k k AB k k -=+++ 228(21)k =+22221k =+因为k ≤<2102，所以|'|(2,22]AB ∈ 法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x 轴时，|'|22AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420，28160t ∆=->，所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y -所以221212|'|()()AB x x y y =-++因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB =222222168(1)(2)2t t t t t +-++ 4222222282222222(1)(2)222t t t t t t t ====-++++ 因为t >22，所以|'|(2,22)AB ∈综上，|'|AB 的取值范围是(2,22].19．解：（Ⅰ）因为()xax x f x -=e 2所以()'()xx a x af x -++=e22 当a =-1时，'()x x x f x --=e 21所以'()f -=e11，而()f -=e 21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=--化简得到11e ey x =-- （Ⅱ）法一：因为()'()xx a x af x -++=e22，令()'()x x a x a f x -++==e 220 得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:x(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Z所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而()a a F ++--=>e e 122222 注意到a a x +++=>222402，所以(())f x x F =>-e222，问题得证 法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e ex ax x -+>” 即“x >0，2+12e e()0ex x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->” 设2()2e e()x g x ax x =+-，所以'()2e e(2)xg x a x =+-设()'()h x g x =，'()2e 2e xh x =-令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=>所以x >0时，'()2e e(2)0xg x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”x(,)x 30 x 3(,)x +∞3'()f x -0 + ()f x]极小值Zx(,)011(,)+∞1'()h x -0 + ()h x]极小值Z因为()'()x x a x af x -++=e 22，令'()f x =0得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e22222222222 注意到a a x +++=22242和a >0，所以a a x +++=>222422设()x xF x -=e2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e 2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e 242 而()--=-->e e e e2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:x(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Zx(,)022(,)+∞2所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而()--=-->e e e e2242240 所以x >0时，2()eF x >- 所以()()f x F x >>-e220.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) （Ⅱ）记12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=， 所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y = 而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个， 当n 为偶数时，22n n n αβ*≥-=. 当22(1,1,,1,0,0,,0)n n αβ==个个时，满足n ααββ*+*=，且2n αβ*=. 所以αβ*的最小值为2n '()F x -0 + ()F x]极小值Z当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个， 所以1122n n n αβ-+*≥-=. 当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-=个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n - 综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=. （Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈，{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为1n αβ*≥-，所以,i j y y 不能同时为0 所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言， 在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211n n C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-. 对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β=其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。
2019届北京市海淀区高三上学期期末考试数学理试题 答案
海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数 学 （理科） 2019.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. B3. D4. A5. C6. C7.C8. D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 22(1)4x y -+= 10. 24 11. 2 12. 013.三、解答题15．解： π()2f a = 所以π(2f 因为0a >（Ⅱ）因为f 设sin ,t x = 所以22y t =其对称轴为4t =- 当14at =-<-，即 4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4at =-时函数取得最小值218a -- 16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A 由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3因为成绩[70,80]X ∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===， 21353815(1)56C C P Y C ===(P ()E Y 所以P17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCD DH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD所以 DH AD ⊥ 又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD又DH ⊥以D 所以(,D0因为AD ⊥设平面因为DP =u u u r 所以y x ⎧-⎪⎨+⎪⎩2令2z = 所以cos <由题知B PD C --为锐角，所以B PD C -- （Ⅲ） 法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α，PM ⊂α所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点而MC PC ，设BF =33,)22-+因为PC ，所以(0,3,MF PC μμ==所以有120λ-=18因为a 2（Ⅱ）法一： 设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以|'|AB 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+1y y + 所以 |AB ==因为k ≤20法二：设11(,A x y 当直线l 是当直线l 所以x x t y ⎧+⎪⎨⎪=-⎩22228160t ∆=-> ，所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y - 所以|'|AB因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=22)2t ====-+因为t >22，所以|'|AB ∈19所以f 当a =所以f 曲线y因为f 得x 1当a >所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22 因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=> 所以x >0时，'()2e e(2)0x g x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增 所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”因为()'()xx a x af x -++=22，令'()f x =0得当设()xxF x -=e 2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e242而()--=-->e e e e 2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:,,)n y ，，所以(i i x x ， n x ++ n y ++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y = 而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个， 当n 为偶数时，n n n αβ*≥-=. 当22α=所以α*的最小值为2n当n 所以 α* 当22α=1122(1,1,,1,0,0,,0)n n -+时，满足12n β-*=. 所以α*的最小值为12n - 综上：α12n β-*=.（Ⅲ）S 设集合S 记1S ={}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素 0i j x x ==11 / 11212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为 1n αβ*≥-，所以 ,i j y y 不能同时为0所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言，在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211n n C n n ++=++ 记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素， 对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-.对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠ 记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。
北京海淀区2019高三一模-数学(理)
北京海淀区 2019 高三一模-数学（理）数 学〔理科〕【一】选择题：本大题共 8 小题，每题5 分，共 40 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .〔1〕会合A = { x x > 1}，B = {x x < m}，且A B=R ，那么 m 的值能够是〔A 〕- 1 〔B 〕 0 〔C 〕1〔D 〕 2〔2〕在等比数列{ a n }中，a 1 = 8， a 4 = a 3a 5 ，那么 a 7 =〔A 〕 1〔B 〕 1〔C 〕 1〔D 〕 116842〔3〕在极坐标系中，过点3且平行于极轴的直线的极坐标方程是(2,)2〔 A 〕sin = - 2 〔 B 〕 cos = - 2〔 C 〕sin = 2〔 D 〕cos = 2〔4〕向量， x) ，， x) ，假定 2a b 与b 垂直，a =(1b =( - 1那么a〔A 〕 2〔B 〕 3是〔C 〕2〔 D 〕4nn〔5〕履行以下列图的程序框图，输出的2k 值是〔A 〕4 〔 B 〕5〔C 〕6〔 D 〕7〔 6〕从甲、乙等 5 个人中选出 3 人排成一列，那么甲不在排头的排法种数是〔A 〕12 〔B 〕24 〔C 〕36〔D 〕48〔7〕函数x 2 ax, x 1, 假定 x 1 , x 2 R , x 1 x 2 ，f ( x)1, x1,ax使得f ( x 1 )f ( x 2 ) 建立，那么实数 a 的取值范围是开始n=5，k=0n 为偶数否n 3n 1k=k+1否n=1是输出 k结束〔 A 〕 a < 2〔 B 〕 a > 2〔C 〕- 2 < a < 2〔D 〕a > 2或a < - 2〔8〕在正方体ABCD - A'B 'C 'D '中，假定点P〔异于点B〕是棱上一点，那么知足BP 与AC ' 所成的角为 的点 P 的个数45°为〔A 〕0 〔 B 〕3 〔C 〕4〔 D 〕6【二】填空题：本大题共6小题，每题 5分，共 30分，把答案填在题中横线上 .ADBCA'D'B'C'〔9〕复数 a + 2i 在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a =.1- i〔 10〕过双曲线x 2 - y 2 = 1的右焦点，且平行于经过【一】三象限的渐近线的直线方程916是.〔11〕假定1 ，那么+ = .tan = 2cos(2)〔12〕设某商品的需求函数为Q = 100-5P ，此中 Q, P 分别表示需求量和价钱，假如商品需求弹性 EQ 大于 1〔此中EQ =-， Q ' 是 Q 的导数〕，那么商品价钱 P 的取值范围EPQ ' PEPQ是.〔13〕如图，以 ABC 的边 AB 为直径的半圆交AC 于点 D ，交CBC 于点 E ，EF ^ AB于点 F ，AF = 3BF ，BE = 2EC = 2，DE那么DCDE=，CD =.〔14〕函数ì那么?1,x ? Q ,f ( x) =?ABíF ?0, x ? e R Q ,?〔ⅰ〕f ( f (x))=；①函数f ( x ) 是偶函数；②存在 x i ? R (i1,2,3)，使得以点( x i , f (x i ))(i = 1,2,3)为极点的三角形是等腰直角三角形；③存在x i ? R (i 1,2,3, 4)，使得以点(x i , f (x i ))( i = 1,2,3, 4)为极点的四边形为菱形.此中，全部真命题的序号是.【三】解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.〔 15〕〔本小题总分值 13 分〕在ABC 中，角A ，B ，C的对边分别为a, b, c ， 且A ，B ，C成等差数列.〔Ⅰ〕假定b = 13，a = 3 ，求c的值；〔Ⅱ〕设tsin A sin C，求 t 的最大值.(16) 〔本小题总分值 14 分〕在四棱锥 P -ABCD中，AB//CD ， AB^ AD，AB= 4,AD= 22,CD = 2，PA^平面ABCD ，PA = 4.〔Ⅰ〕设平面 PAB 平面PCD m，求证：CD //m；〔Ⅱ〕求证： BD 平面 PAC ；〔Ⅲ〕设点 Q 为线段 PB 上一点，且直线QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为3，求PQ3PB的值、(17) 〔本小题总分值 13 分〕某学校随机抽取部分重生检查其上学所需时间〔单位：分钟〕，并将所得数据绘制成频次散布直方图〔如图〕 ，此中，上学所需时间的范围是[0,100] ，样本数据分组为 [0,20) ，[20,40) ， [40,60) ， [60,80) ，[80,100].〔Ⅰ〕求直方图中x 的值；〔Ⅱ〕假如上学所需时间许多于 1 小时的学生可申请在学校住宿， 请预计学校 600 名重生中有多少名学生能够申请住宿；〔Ⅲ〕从学校的重生中任选4 名学生， 这 4 名学生中上学所需时间少于 20 分钟的人数记为 X ，求 X的散布列 和数学希望 .〔以直方图中重生上学所需时间少于 20 分 钟的频次作为每名学生上学所需时间少于 20 分钟的概率〕(18) 〔本小题总分值13 分〕频次 /组距xO 20 40 60 80 100 时间函数.f ( x) e kx ( x 2 x 1 ) ( k 0)k〔Ⅰ〕求 f ( x) 的单一区间；〔Ⅱ〕能否存在实数 k ，使得函数f (x) 的极大值等于 3e 2 ？假定存在，求出 k 的值；假定不存在，请说明原因 . (19) 〔本小题总分值13 分〕在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1( 1,0)，P为椭圆G的上极点，且PF1O 45 .〔Ⅰ〕求椭圆G 的标准方程；l 1 yl 2〔Ⅱ〕直线l1 ：y kx与椭圆G交于A，B两点，直 A D m1线l2 ：y kx m2〔m1 m2〕与椭圆G交于C，D两点，O x|CD |，以下列图 . BC且|AB|〔ⅰ〕证明：m1m20 ;〔ⅱ〕求四边形ABCD的面积S的最大值 .(20)〔本小题总分值 14 分〕关于会合 M，定义函数1,x M,关于两个会合 M，N，定义会合f M ( x)M .1, xM N { x f M ( x) f N ( x) 1} .A = {2,4,6,8,10}，B = {1,2,4,8,16}.〔Ⅰ〕写出f A(1)和f B(1)的值，并用列举法写出会合 A B；〔Ⅱ〕用( ) 表示有限会合M 所含元素的个数，求的最小Card MCard (X A) Card ( X B)值；〔Ⅲ〕有多少个会合对〔，〕，知足，且？P QP,QAB (PA)(QB) AB海淀区高三年级第二学期期中练习数学〔理科〕参照答案及评分标准2018、 04 一. 选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分 .题号〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔 6〕〔 7〕〔 8〕答案 D B A C B D A B二. 填空题：本大题共6小题，每题 5分，共 30分 .〔9〕2 〔 10〕4x - 3y - 20 = 0 〔 11〕4〔 12〕(10,20) -5〔 13〕 60° 3 13 〔14〕1 ①③13三. 解答题：本大题共6小题，共 80分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1513A,B, C2B A C.AB C.2B3b =13a = 3b 2a 2c 2 2ac cosBc 23c 4 0.5c4 c1.6C2A 3sin A sin(2A)t3sin A(3cos A1sin A)223sin 2 A 1 ( 1 cos2 A )42211sin(2 A .10) 4 2 6A20 3t3 .2A2A34613(16) 14AB // CD CDPAB ABPABCD // PAB .2CD PCDPABPCDmCD //m .4AP^ABCD AB ^ ADA AB,AD, APxyzB(4,0,0)P(0,0,4) D(0,22,0) C (2, 22,0).5BD( 4,2 2,0) AC (2, 22,0)zAP (0,0, 4)PBDAC (4)22222 0 0 0BDAP(4)0220040.AD BDAC BD AP.yB CAPA ACPACAC xPAPACBDPAC .9PQ =0 ＃1Q ( x, y, z)QCPAC .PBPQ = PB.( x, y, z-4) = (4,0, - 4) .ì4 ,Q (4,0, - 4 + 4).?x =??íy = 0, ??+ 4,?z = - 4?CQ =(4 -2,-22,- 4 + 4).11PACBD ( 4,2 2,0).12sin CQ ×BD = cos < CQ, BD > =CQ ×BD4(4 2) .3 8326 (4 2)28 (4 4)27.[0,1]12PQ7.14=PB 12(17)1320 x202 20 1.x = .2146007260072.6X01234.720 143 481,1 33,P( X1270)256P(X 1) C 4 4 46443, 2 13 27,31 3223P( X2) C 444P( X3) C 444641281 41.P( X4)2564XX1 23 4P8127 27 3 1 256 64128642561281 27 27 31 .1EX 0411121283256 EX 425664644X 1.13(18) 13f (x)R .ke kx (x 21) e kx(2 x e kx [ kx 2f '(x)x1) (2 k) x 2]kf '( x)e kx (kx 2)( x 1) (k0) .2f '( x)0x1x 2.kk2f '( x) 2e 2 x ( x1)20f ( x)(- ?, ? ).32kf ( x) f'( x) xx( , 2)2 (2, 1) 1( 1,)kkkf '( x)f ( x)f ( x)(2 (1,)(2 ., ), 1)kk5k 2f ( x) f'( x) xx( , 1)12 2 2 )(1,)k( ,kkf '( x)f ( x)f ( x)(, 1)2 ( 1, 2.(,))kk7k = -1f ( x)3e 2 .k 2f (x).2k0f ( x)f ( 2) e 2 ( 41) kk 2k8e 2( 4 1 3e 241 k14.2)k 2k3,kk k39k2f (x)f ( 1)e k .k10e ke 21 1k2e k 1 e 2 .k 212 3e 2e2f ( x)3e 2 .12k1f ( x)3e 2 .13(19) 13G x2y 2 1(a.a2b2b 0)F 1 ( 1,0)PF 1O 45b =c = 1.a2= b2+ c2= 2 .2G 2 . 3x y2 12A( x1, y1) B(x2 , y2 ) C ( x3 , y3 ) D ( x4 , y4 ).y kx m1,y(1 2k 2) x2 4km1 x 2m12 2 0.x2 y2 1.28(2k2 m12 1) 05x x 4km1,1 2 1 2k 2x1x2 2m12 21 2k 2.( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2| AB|1 k2 ( x1 x2 ) 2 4x1x21 k2 (4km12)22m12 2 2k42k2 1 12 2 1 k 2 2k2 m12 1.1 2k 22 2 1 k 2 2k2 m2 1 . 7|CD |12 2k 2|AB| |CD|,2k 2 m2 1 2k 2 m2 1 .2 2 1 k211 2 2 1 k212 2k 2 2k 2m1 m2m1 m2 0 . 9ABCD AB,CD d ,m 1 - m 2 .d =1+ k2m 1m 22m 1 . 10d =1+ k 2S | AB | d 2 2 1 k 22k 2 m 12 1 2m 11 2k 21 k 2(2k 2m 12 1)m 122k 2 m 12 1 m 12.4 2 4 2 22 21 2k2 1 2k 2 4 2 (2k 2 1)m 12 m 144 2( m 121 21 2S(1 2k 2 )22k 2) 4 21 22k12m 1ABCDS2 2.2213(20) 14f A (1)=1f B (1)= - 1 A B {1,6,10,16}.3C, Xa ? C a ? XC a r( d C( X{ } a)C a(r d C) Xa ? Ca ? XC a ( r d ( C { X } ) a C ( .a r d C XCard ( XA) Card ( XB)248 X 161016 X Card ( XA) Card ( XB)X A B .X {1,6,10,16}{2,4,8}Card ( XA) Card ( X B)4.8AB { x f A (x) f B ( x) 1}A BB A.f A B ( x) f A ( x) f B ( x) .xf( A B ) C( x)f A B ( x) f C ( x) f A ( x) f B ( x) f C ( x).f A ( B C) (x) f A ( x) f B C (x) f A (x) f B ( x) f C ( x).f( A B ) C ( x) f A (B C) (x).(AB)C A(BC).(P A) (Q B) AB(PQ)(AB) AB.(P Q) (A B) (A B) (A B) (A B)P Q .P Q P= Q.P,Q A BP Q27128.14。
北京市海淀区达标名校2019年高考一月调研数学试卷含解析
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
， .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
【分析】
【详解】
方法一：由题意得 ，根据等差数列的性质，得 成等差数列，设 ，则 ， ，则 ，当且仅当 时等号成立，从而 的最小值为16，故选B．
【详解】
的定义域为 .
由于 ，所以 为偶函数，故①正确.
由于 ， ，所以 在区间 上不是单调递增函数，所以②错误.
当 时， ，
且存在 ，使 .
所以当 时， ；
由于 为偶函数，所以 时 ，
所以 的最大值为 ，所以③错误.
依题意， ，当 时，
，
所以令 ，解得 ，令 ，解得 .所以在区间 ， 有两个零点.由于 为偶函数，所以 在区间 有两个零点.故 在区间 上有4个零点.所以④正确.
当 时, ,由 可得 ,等式两边同除 可得 ,解得 ,
故答案为:
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.
15．
【解析】
【分析】
结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为 点，再由函数性质进一步求解参数即可
【点睛】
本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.
8．B
【解析】
【分析】
由已知可得函数f（x）的周期与对称轴，函数F（x）＝f（x） 在区间 上零点的个数等价于函数f（x）与g（x） 图象在 上交点的个数，作出函数f（x）与g（x）的图象如图，数形结合即可得到答案.
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海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理科） 2019.01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）双曲线x y -=22122的左焦点的坐标为（A ）(,)-20 （B ）()0 （C ） (,)-10 （D ）(,)-40 （2）已知向量(,),(,)t ==201a b ，且||⋅=a b a ，则,a b 的夹角大小为 （A ）π6 （B ）π4 （C ）π3 （D ）5π12（3）已知等差数列{}n a 满足12a =，公差d ≠0，且125,,a a a 成等比数列，则d = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）直线y kx =+1被圆x y +=222截得的弦长为2，则k 的值为（A ）0 （B ）12±（C ）1± （D ） （5）以正六边形的6个顶点中的3个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）12 （6）已知函数()ln af x x x=+ ，则“a <0”是“函数()f x 在区间(,)+∞1 上存在零点”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数()sin cos ,()f x x x g x =-是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 （A ）函数()f x 的值域与()g x 的值域相同（B ）若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数g()x 的零点（C ）把函数()f x 的图象向右平移π2个单位，就可以得到函数()g x 的图象 （D ）函数()f x 和g()x 在区间ππ(,)44-上都是增函数（8）已知集合{(,)|150,150,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N . 若B A ⊆，且对任意的(,),(,)a b B x y B ∈∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）以抛物线:C y x =24的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 ．（10）执行如下图所示的程序框图，当输入的M 值为15，n 值为4时，输出的S 值为 ．（11）某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， .（12）设关于,x y 的不等式组,4,2y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω，若(,),(,),(,)A B C --123023中有且仅有两个点在平面区域Ω内，则k 的最大值为 ．（13）在ABC △中，b =，且cos cos A B =2，则cos A = ． （14）正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面．．A B C D 1111上，且AP ⊥平面MBD 1. (Ⅰ) 当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为 ； （Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 ．CBADB 1A 1C 1D 1主视图俯视图三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题满分13分）已知函数π()cos()cos22f x a x x =--，其中a >0.(Ⅰ)比较ππ()()62f f ，的大小；(Ⅱ)求函数()f x 在区间ππ[,]22-上的最小值.（16）（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核. 记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀. 为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：5 0 1 16 6 0 1 4 3 3 5 87 2 3 7 68 7 1 7 8 1 1 4 5 29 9213(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率； (Ⅱ)从图中考核成绩满足[,]X ∈7079的学生中任取3人，设Y 表示这3人中成绩满足|85|10X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望； (Ⅲ)根据以往培训数据，规定当8510.510X P ⎛-⎫≤≥ ⎪⎝⎭时培训有效. 请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.（17）（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中， 平面ABCD ⊥平面PCD ， 底面ABCD 为梯形,AB CD ，AD PC ⊥,且,,AB AD DC DP PDC ====∠=12120o . （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（Ⅲ）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.P（18）（本小题满分14分）已知椭圆G:xy+=2212, 过点(,)M-20的直线l与椭圆G交于不同的两点A,B.(Ⅰ) 求椭圆G的离心率；(Ⅱ) 若点B关于x轴的对称点为B'，求线段AB'长度的取值范围.（19）（本小题满分13分）已知函数()xax x f x -=e 2.（Ⅰ）当a =-1时，求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证:2()ef x >-对任意的(,)x ∈+∞0成立.（20）（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合12{(,,,)|{0,1},1,2,3,,}n n i x x x x i n Ω=∈=,对于集合n Ω中的任意元素12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=，记11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-.(Ⅰ) 当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β； (Ⅱ) 若n αβ∈Ω，，且n ααββ*+*=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素 αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数 学 （理科） 2019.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. B3. D4. A5. C6. C7.C8. D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 22(1)4x y -+= 10. 24 11. 2 12. 013.14. 三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π1(),622a f =-π()12f a =+ 所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >，所以3022a +>，所以ππ()()26f f >（Ⅱ）因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =--22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x = ππ[,]22x ∈-，所以[1,1]t ∈-所以221y t at =+- 其对称轴为4at =- 当14at =-<-，即 4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4at =-时函数取得最小值218a --16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A 由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3 因为成绩[70,80]X∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===， 21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===， 353810(3)56C P Y C === 随机变量Y 的分布列为115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足85110X -≤的成绩有16个 所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==>⎪⎝⎭所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCD DH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD所以 DH AD ⊥ 又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD （Ⅱ）因为AD ⊥平面PCD ，所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥，DH AD ⊥以D 为原点，DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系所以(,,),(,,),(,(,,),(,,)D A P C B -00020001020210，因为AD ⊥平面PCD ，所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200uu u r设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,(,,)DP DB =-=01210uu u r uu u r ，所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u rr uu u r所以y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩020令2z =，则y x =-=，所以()n =2r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>===uuu r r uuu r r uuu u r r 由题知B PD C --为锐角，所以B PD C --的余弦值为19（Ⅲ） 法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α，PM ⊂α所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上，所以F 是AC ，BC 的交点C ，即MF 就是MC 而MC 与PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法三：假设棱BC 上存在点F ，使得MFPC ，设BF BC λ=，所以3(1,,(2,1,0)2MF MB BF λ=+=+-因为MFPC，所以(0,3,MF PC μμ==所以有120332λλμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证 18．解：（Ⅰ）因为,a b ==2221，所以,a b c ==11所以离心率c e a ==2（Ⅱ）法一： 设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以|'|AB因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+所以|'|AB ==221k =+ 因为k ≤<2102，所以|'|AB ∈法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x轴时，|'|AB = 当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420，28160t ∆=-> ，所以t >22 所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y -所以|'|AB因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++ 所以|'|AB=22)2t ===-+因为t >22，所以|'|AB ∈ 综上，|'|AB的取值范围是.19．解：（Ⅰ）因为()xax x f x -=e 2所以()'()xx a x af x -++=e 22当a =-1时，'()x x x f x --=e 21所以'()f -=e11，而()f -=e 21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=-- 化简得到11e ey x =-- （Ⅱ）法一：因为()'()xx a x af x -++=e 22，令()'()x x a x a f x -++==e 220得x x ==12当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0e f =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e 2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而()a a F ++--=>e e 122222注意到a x ++=>2202， 所以(())f x x F =>-e222，问题得证 法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e ex ax x -+>” 即“x >0，2+12e e()0ex x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->” 设2()2e e()x g x ax x =+- ，所以'()2e e(2)x g x a x =+- 设()'()h x g x =，'()2e 2e x h x =- 令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=> 所以x >0时，'()2e e(2)0x g x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”因为()'()xx a x af x -++=e 22，令'()f x =0得x x ==12当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为 (),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e 22222222222注意到x =2和a >0，所以x =>22 设()x xF x -=e2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e 2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e242而()--=-->e e e e 2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e 2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而()--=-->e e e e2242240 所以x >0时，2()eF x >-所以()()f x F x >>-e220. 解：(Ⅰ) 满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) （Ⅱ）记12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=， 所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++ 12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y =而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个， 当n 为偶数时，22n n n αβ*≥-=. 当22(1,1,,1,0,0,,0)n n αβ==个个时，满足n ααββ*+*=，且2n αβ*=. 所以αβ*的最小值为2n当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个，所以 1122n n n αβ-+*≥-=. 当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-=个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n - 综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=.（Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈， {}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素 0i j x x == 212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为 1n αβ*≥-，所以 ,i j y y 不能同时为0 所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言， 在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211nn C n n ++=++ 记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-. 对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。