导数的极值、最值及其应用(解析版)

一、考纲目标

理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值 二、知识梳理

1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点

2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点

3.极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

4.判别f(x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值

5.求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x)

(2)求方程f ′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格。检查f ′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值

6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小 ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭

区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、

)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值

三、考点逐个突破 1.求函数的极值 例1．求列函数的极值：

（1）2

2

)2()1(--=x x y ；（2）21

22-+=

x x

y 解：（1）2

/

2

2

)2)(75)(1()(,)2()1()(---=∴--=x x x x f x x x f 令0)(/

=x f ，得驻点2,7

,1321==

=x x x

0)1(=∴f 是函数的极大值；3125

)5(-

=f 是函数的极小值 （2）2

2222/

2)

1()1)(1(2)1(22)1(2)(,212)(x x x x x x x x f x x x f ++-=+⋅-+=∴-+= 令0)(/

=x f ，得驻点121,1x x =-=

∴当1-=x 时，f

极小

=-3；当1=x 时，f

极大

=-1值

2.求函数的极值点

例2 设e e

x ax x f x

()1()(2

-⋅-+=为自然对数的底，a 为常数且R x a ∈<,0），)(x f 取极

小值时，求x 的值

解：)1()1()12()(2-⋅⋅-++⋅+='--x x e x ax e ax x f )2)(1(-+⋅-=-x ax e z

令21

0)(或a

x x f -

=⇒=' （1）0

1

21<<->-a 即当，由表

)(,1

x f a

x 时-=∴取极小值

（2）0)2(21

)(,21212≤-⋅⋅-='-==-

-x e x f a a x 时即当无极值 （3

）1

21-<<-a 即当时，由表

取极小值时时当综上取极小值时)(,,02,.)(,2x f a

x a x f x -=<<-

-=∴ 取极小值时时当)(,2,2

1

x f x a -=-< 3.函数的单调性及其应用

例3.设函数f （x ）=12+x －ax ，其中a ＞0，求a 的范围，使函数f （x ）在区间［0，+∞）上是单调函数

分析：要使f （x ）在［0，+∞）上是单调函数，只需f ′（x ）在［0，+∞）上恒正或恒负即可

解：f ′（x ）=

2

1x

x +－a

当x ＞0时， 01<

<

因为a ＞0，所以当且仅当a ≥1时，f ′（x ）=

2

1x

x +－a 在［0，+∞）上恒小于0，此时f

（x ）是单调递减函数

点评：要使f （x ）在（a ，b ）上单调，只需f ′（x ）在（a ，b ）上恒正或恒负，即f ′（x ）＞0（或＜0）⇒单调递增（或减） 4.分类讨论的思想在极值中的应用

例4.已知函数f （x ）=ax 3

+bx 2

－3x 在x=±1处取得极值

（1）讨论f （1）和f （－1）是函数f （x ）的极大值还是极小值； （2）过点A （0，16）作曲线y=f （x ）的切线，求此切线方程 解：（1）f ′（x ）=3ax 2

+2bx －3，

依题意，f ′(1)=f ′(－1)=0，即⎩

⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a

解得a=1，b=0

∴f （x ）=x 3

－3x ，f ′（x ）=3x 2

－3=3（x+1）（x －1） 令f ′（x ）=0，得x=－1，x=1

若x ∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f ′（x ）＞0，故 f （x ）在（－∞，－1）上是增函数， f （x ）在（1，+∞）上也是增函数

若x ∈（－1，1），则f ′（x ）＜0，故f （x ）在（－1，1）上是减函数 所以f （－1）=2是极大值，f （1）=－2是极小值 （2）曲线方程为y=x 3

－3x ，点A （0，16）不在曲线上 设切点为M （x 0，y 0），则点M 的坐标满足y 0=x 03

－3x 0

因f ′（x 0）=3（x 02

－1），故切线的方程为y －y 0=3（x 02

－1）（x －x 0） 注意到点A （0，16）在切线上，有 16－（x 03

－3x 0）=3（x 02

－1）（0－x 0）， 化简得x 03=－8，解得x 0=－2

所以切点为M （－2，－2），切线方程为9x －y+16=0

点评：本题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力 5.优化问题