平面曲线的弧长与曲率旋转曲面的面积

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则称曲线 C 为光滑曲线．
2019年12月11日12时47分
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3
定理10.1 设光滑曲线 C 由参数方程
x x(t), y y(t), t
给出，则 C 是可求长的，且弧长为
s x2(t) y2(t) d t .
2019年12月11日12时47分
)

y2 (i
)Δti
.

n
lim ||T||0 i1
n
x2(i ) y2(i )ti
i 1
x2 (i
)

y2 (i
)ti

0.
2019年12月11日12时47分
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7
由第一章§1习题 6 可知
x2(i ) y2(i ) x2(i ) y2(i ) y(i ) y(i ) . 又 y(t) 在 [ , ] 上连续,从而在 [ , ] 上一致连续,
a 2(1 cos t) 2a | sin t | 2

2
s
x2(t) y2(t) d t

2 2a sin t d t
0
0
2

2a

2
cos
t 2

2
0
8a
2019年12月11日12时47分
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2 a x
13
例2. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,
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4
n
证
要证
s lim ||T ||0 i 1
Pi1 Pi
x2(t) y2(t) d t
因为

n
x2(t) y2(t) d t

x2 (i ) y2 (i )ti ,
i 1
所以要证
n
n
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lim
因此对任意 0, 存在 0, 当 T 时,
y(i )

y(i )

,
i 1, 2,
, n.
n
于是,
i 1
x2 (i ) y2 (i ) x2 (i ) y2 (i ) Δti
n
y(i ) y(i )Δ ti ,
||T ||0 i 1
Pi1 Pi

i 1
x2 (i ) y2 (i )ti .
2019年12月11日12时47分
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5
对 [ , ] 的任一分割
T : t0 t1 tn1 tn .
在 [ti1, ti ] 上由微分中值定理,
i 1
2019年12月11日12时47分
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8
即
n
lim ||T||0 i1
n
x2(i ) y2(i )ti
i 1
x2 (i
)

y2 (i
)ti

0.
由于 x2(t) y2(t) 在 [ , ] 上连续,从而可积，
则弧长为
s r 2( ) r2( ) d
2019年12月11日12时47分
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12
例1. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解因为 x(t) a(1 cos t) ,
y(t) a sin t
o
x2(t) y2(t) a2(1 cos t)2 a2 sin2 t
Δxi x(ti ) x(ti1 ) x(i )Δti , i [ xi1 , xi ],
Δyi y(ti ) y(ti1 ) y(i )Δti , i [ xi1 , xi ].
于是
n
n
Pi Pi1
xi2 yi2
i 1
i 1
从而
n
n
s lim ||T||0 i 1
Pi 1 Pi

i 1
x2(i ) y2 (i )ti .
x2(t) y2(t) d t
2019年12月11日12时47分
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9
若曲线 C 由直角坐标方程给出则曲线又可用参数方程表示为
一、平面曲线的弧长
设曲线 C = AB
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
弦长 ||T||→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
则称曲线 C 是可求长的，并称此极限为曲线弧 AB 的弧
长，即
n
s lim ||T||0 i 1
Pi1 Pi
.
y Pi1
A P0
Pi
B Pn
o
x
2019年12月11日12时47分
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2
设平面曲线 C 由参数方程
x x(t), y y(t), t
给出，如果 x(t), y(t) 在 [, ] 连续，且 [ x(t)]2 [ y(t)]2 0, t [ , ] ,
于是所求弧长为
s b 1 y2 d x a b 1 f 2( x) d x a
2019年12月11日12时47分
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10
若曲线弧由极坐标方程给出
则曲线又可用参数方程表示为
x r( )cos , y r( )sin , [, ].
由于
x( ) r( )cos r( )sin ,
y( ) r( )sin r( )cos , x2( ) y2( ) r2( ) r2( ),
2019年12月11日12时47分
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11
若 r( )在 [ , ] 上连续,且 r( ) 与 r( ) 不同时为零,
2019年12月11日12时47分
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6
n

x2(i ) y2(i )ti
i 1
n

x2(i ) y2(i )ti
i 1
n

n
x2 (i ) y2 (i )Δti
i1
i 1
下面证明：
x2 (i