第八章 槽道内层流流动与换热

前已说明，边界层理论是讨论在有限细长区域内的粘性流动，因

x D 0.01 Re D
(8 -l-l)
8-l 进口段和充分发展流
图8-1 两平行平板间层流流动边界层的形成与发展
8-l 进口段和充分发展流
与外掠平板不同的是，由于边界层的排挤，部分流体进入核心区

使之加速。这种加速使进口段边界层的增厚减缓，但每个流动断 面的质量流量ρUD是相同的。 在入口段的核心区域，压力与速度的关系可以由伯努利方程得到， 即 dU c 1 dp Uc 0 (8-1-2) dx dx 其中Uc为核心无粘区的流速。值得注意的是，Uc＝Uc (x)，与外掠 平板状况有所不同。 同样，采用积分方程可以得到
h
t w tm

t w tm
8-2 充分发展流的流动与换热
2. 充分发展的温度分布 从上式可以看出，欲得到传热速率，首先要确定流体的温度场。
通常的方法是求解能量方程。二维管流的能量方程为

t t 2t 1 t 2t u v a( 2 2) x r r r r x
即
积分上式得

(8-1-18)
速度分布是抛物线型。
8-l 进口段和充分发展流
一般式(8-1-16)可以表示为

dp 2u 常数 dx
(8-l-19)
2u 式中， 0 2 x
对于圆管内充分发展流动，壁面处速度u=0时，得到速度分布为

r 2 u 2U 1 ( ) r0 r0 2 dp U ( ) 8 dx
高等传热学内容

第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
导热理论和导热微分方程 稳态导热 非稳态导热 凝固和熔化时的导热 导热问题的数值解 对流换热基本方程 层流边界层的流动与换热 槽道内层流流动与换热 湍流流动与换热
第十章 自然对流 第十一章 热辐射基础 第十二章 辐射换热计算
UD Pe ? 1 时能量方程简化为 不难推出， D a

u t 2t 1 t 2 a x r r r
(8-2-16)
8-2 充分发展流的流动与换热
2t 2 2 对于充分发展流，U=U(r)与x无关。 r 的数量级为 t D ，即 热扩散的影响到达中心，这一点不适用于热进口段。因为，此 2t ~ t t2 时 r 2 ，而t<<D。对于热充分发展区域，有Nu=常数=0(1)。 通常认为，充分发展的温度分布定义为
应力沿流动方向x的变化来解释。局部摩擦系数的定义为 ( x) C f ,x w 1 U 2 (8-1-9) 2 其中 u w ( ) D y y 2
代入式(8-l-6)，(8-l-8)，得到
(8-l-10) 在入口段区域，局部摩擦系数Cf,x随x增加而减小，原因是随边界
8-l 进口段和充分发展流
8-1-1 进口段
将积分方法应用于槽道内。如图8-1 所示，两个平行平板形成一
个二维槽道，流体进口速度为U。讨论的重点是壁面摩擦力及槽 道内的速度分布。Sparrow给出了该问题较详细的积分求解过程。 而可以预测，速度边界层在距离槽道入口不远处形成。在入口处 与外部流动完全相似，边界层厚度的增长只能达到D/2。之后，上、 下边界层将相遇，这样槽道内的流动可以分为两个明显不同的区 域。第一个区域称为入口段或发展段，在壁面附近存在边界层， 两个边界层之间为无粘流动，与外部流动问题十分接近；边界层 闭合之后的区域为第二个区域，槽道内不存在无粘区，粘性区域 充满整个通道，已不再是边界层流动。由布劳修斯解可以估算入 口段长度：


d dU c (U u )udy 0 c dx dx


0
u (U c u )dy ( ) y D 2 (8-l -3) y
D 2
(8-l-4)
由质量守恒得到


0
udy
D2

U c dy U
8-l 进口段和充分发展流
方向的速度。在断面上变化，法向速度v可以忽略。由方程(8-1-11) 得到
v 0, u 0 x

(8-1-14)
8-l 进口段和充分发展流
通常，上式被认为是充分发展流的定义和起始点，但更主要的是


式(8-l-14)的量级基础。充分发展流区域中，y方向的数量级是槽 道宽度D。由连续性方程可知。v～DU/L，而L>>D，可以忽略。 而对于流动入口段，y的数量级是δ (随x变化)，因而v和u/x均不 能忽略。 将式(8-1-l4)代入式(8-l-13)，得到 p 0 y (8-l-15) 表明压力p只是流动方向x的函数，这一点与外掠平板的边界层分 析是类似的，即在流道断面上压力是均匀一致的。进一步，由式 (8-1-14)得到 dp 2u 2 常数 dx y y D 2 (8-l -16) 上式左、右侧分别是x和y的函数，因而只能等于一个常数。
其中t，tw，tm均是x的函数,上式定义来源于Nu～1，而
tw t r ( ) t w tm r0
(8-2-17)
tw t r ( ) t w tm r0
(8-2-18)
8-2 充分发展流的流动与换热
因此
t w tm (8-2-19) 无疑在x方向的变化与tw－tm的变化是相同的，因此是x和r的函数，
第十三章 复合换热
第八章 槽道内层流流动与换热
本章将讨论由壁面形成的槽道内的流动摩擦和流体与
槽道壁面间的传热问题，即槽道内的流动阻力或压降 如何？垂直于流动方向的传热系数或热阻的确定。
本章值得特别指出的一个重要问题是充分发展流动与
换热。传统的充分发展流概念，总是与自维持相关， 用于处理N-S方程，然而这并不能明确地说明这一概念。 本质上，充分发展流是外部流动问题的边界层理论的 发展或延续。其目的是相同的，均将流动的研究限于 局部区域(分为两个区域)，使问题的分析简化。
f
考虑平均速度定义式(8-1-20)，即
(dp dx) D 1 U 2 2
(8-2-3)
得到
因而
f
64 Re
f 4
r02 dp U 8 dx
(8-2-4) (8-2-5)
Cf
8-2 充分发展流的流动与换热
8-2-2 充分发展管内层流的换热
1. 平均温度 管流换热的基本问题是流体与壁面间的温差和流体与壁面间的传
8-l 进口段和充分发展流
考虑壁面处非滑移条件和轴对称条件：

u y=0, 0 y D y ,u 0 2
(8-1-17)
求解式(8-1-16 )即得到著名的二平行平板间流动的哈根-泊肃叶速
度分布
3 y 2 u U 1 ( ) 2 D2 D2 dp U ( ) 14 dx
常物性时
tm c pUA d uc p tdA
A
(8-2-9)
(8-2-10) 本节开始已述，管流的基本问题是流体与壁面间温差与传热速率
1 tm 2 r0 U

0
2
r0
0
utrdrd
的关系，牛顿冷却公式中采用t＝tw－tm，感兴趣的是得到对流换 热表面传热系数 (t r ) r r0 q (8-2-11)
热速率。为不失一般性，考虑如图8-2所示的管内流动，其平均速 度为U, 半径为r0。 根据热力学第一定律,稳态时壁面对流体的加热率等于流体焓的增 加，即 q 2 r0 dx qm ( hx dx hx ) (8-2-6) 假定流体为理想气体，dh c p dt m ，或为不可压缩流体，dh ≈ cdtm，上式转化为
8-2 充分发展流的流动与换热
t 考虑流体与壁面的传热是依靠壁面处的导热，因而轴向导热 D 2 不
能忽略。对流项可应用牛顿冷却公式，简化为 hD ，轴向导热 为 hD 2 a 2 。 ( ) ( ) UD UD PeD ? 1 对于 的情况，轴向导热可以忽略，得到 hD ~ 1 ， a 即Nu～1。注意，1是指 t D 2 的数量级。
u u 1 p 2u 2u u v ( 2 2 ) x y x x y
(8-l-12)

v v 1 p 2v 2v u v ( 2 2 ) x y y x y
(8-l-13)
假定充分发展流区域距离进口足够远，在流道截面上只有沿流动
C f ,x
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8 Uc U (1 ) Re D t 3U Uc
层加厚，速度分布趋缓，在壁面处的速度梯度逐步减小。但需要 强调的是，核心速度Uc随x增大。对于充分发展段，由于速度分布 已定型，与x无关，因而Cf,x也不随x 变化。
8-l 进口段和充分发展流
8-1-2 充分发展流动
考虑图8-1所示的二维稳态流动的连续性方程与动量方程 u v 0 x y (8-1-11)
(8-2-12)
由充分发展流的定义知，v＝0，u＝u(r)，则上式简化为

t 2t 1 t 2t u a( 2 2) (8-2-13) x r r r x 上式表明了能量的平衡，它包括轴向对流、径向导热和轴向导热， 由式(8-2-7)知 t q ( D c pU ) (8-2-14) x 相对应项的数量级为 U q t 1 ( q ) ( ) 对流项～导热项 径向～轴向 a D c pU D 2 x D c pU (8-2-15)
令
( x) D 2
3 U c ( x) U 2
x D 0.026 Re D
得到
(8-l-8)
和
与式(8-1-1)比较不难看出，无论积分方程，还是相似解，得到的
流动入口段长度属同一数量级，它与DReD之比均在10-2数量级。
8-l 进口段和充分发展流
流动入口段与充分发展段的根本区别，可以进一步用壁面摩擦切
假设边界层内充分发展流速度分布为二次方多项式

u y y 2 ( )2 Uc
(8-l-5)
求解式(8-1-3)和式(8-1-4) 得到
D(1

3 2
U ) Uc
(8-l-6)
( x)
即
D2
3(1
U ) Uc
(8-1-7)
8-l 进口段和充分发展流
由壁面摩擦系数定义
w
du dr

r r0
4U r0
(8-2-l)
Cf
w
1 U 2 2
8-2 充分发展流的流动与换热
得到
Cf
通常，在讨论槽道流时经常使用阻力系数，并定义为
4 U r0 8 16 1 U 2 Ur0 Re 2
(8-2-2)

dtm 2 q dx r0 c pU
(8-2-7)
8-2 充分发展流的流动与换热
图8-2 管内流动换热
8-2 充分发展流的流动与换热
式中，控制体的温度tm是流体的截面平均温度，但流动断面上的
流体温度并非均匀一致。某一断面上任一点的温度t(x, r)一定与截 面平均温度tm(x)存在一定关系，但tm不是任何其它形式的平均，而 是热力学定义的主体流动的平均温度。考虑某一断面的热力学第 一定律 q 2 r0 dx d uc p tdA (8-2-8) A 将式(8-2-7)代入式(8-2-8)，得
(8-l-20)
8-2 充分发展流的流动与换热
8-2-1 充分发展流的速度分布和摩擦系数
当流体的物性不随温度、压力变化时，速度场与温度场是非藕合
的。求解速度场时不需考虑温度分布，可以单独求解。 上一节已求出的平均速度U表示的圆管内充分发展流动的速度分 布(8-1-20 )，即 r 2 u 2U 1 ( ) r0 进一步可以得到壁面处的摩擦应力当量