材料力学 压杆稳定

(a)
(b)
稳定性 平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。
失 稳 不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下的变化或 破坏过程。 小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
受压直杆平衡的三种形式
理想压杆: 材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
两端固定 ＝0.5
第二节 细长压杆的临界力
例 7-1 如图所示一细长的矩形截面 压杆，一端固定，一端自由。材 料为钢，弹性模量E = 200GPa， 几何尺寸为：l=2.5m b =40mm ， h=90mm 。试计算此压杆的临界 压力。若b=h=60mm ，长度相等， 则此压杆的临界压力又为多少？
I y Iz
按照 Iy计算临界压力。
第二节 细长压杆的临界力
F
按照 Iy计算临界压力。
b z
h l
π 2 EI π 2 200103 48104 Fcr N 2 2 (l ) (2 2500 )
37860N 37.86kN
若
y
h b 60 mm
bh3 604 Iy Iz mm 108104 mm 12 12

内燃机配气机构中的 挺杆

磨床液压装臵的活塞杆

内燃机
第二节 细长压杆的临界力
第二节 细长压杆的临界力
1、两端铰支的临界力
x F
图示坐标系，考察微弯状态下任意 一段压杆的平衡（图b），杆件横截面上 的弯矩为: M ( x) F w( x) 根据挠曲线近似微分方程，有
x F M(x) EI x O y
w( x) C1 sin kx C2 coskx
x F M(x) EI x O y
w w (x) y O
C1和C2为待定常数，根据压杆的约束边 界条件来确定，在两端铰支的情况下， 边界条件为
w(0) w(l ) 0
(a)
F (b)
C2 0, C1 sin kl 0
第二节 细长压杆的临界力
π2E

取 ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
P

π2E
P
π2 E
P
则只有当 P 欧拉公式才是有效的。
通常将 P 的杆称为大柔度杆(细长杆)。大柔度杆的临 界应力可以采用欧拉公式来进行计算。
E 206 GPa
第三节 欧拉公式的适用范围及经验公式
2、欧拉公式的适用范围 以Q235为例， E 206 GPa
P 200MPa
π 2 206 109 P 100 6 200 10
第三节 欧拉公式的适用范围及经验公式
3、中柔度杆的经验公式 对于 < p的压杆，其临界应力大于材料的比例极限，欧拉 公式已经不适用。 工程中这类问题一般采用经验公式。经验公式是根据试验 数据整理后得到的，这里介绍工程中常用的直线公式 ，即
第七章 压杆稳定
第一节 压杆稳定的概念
第一节 压杆稳定的概念 拉压杆的强度条件为： 问题的提出
FN = —— [ ] A
(a): 木杆的横截面为矩形（12cm), 高为3cm，当荷载重量为6kN 时杆还不致破坏。 (b): 木杆的横截面与(a)相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。 (a)和(b)竟相差60倍，为什么？ 细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯 曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不 够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态 所致。这种现象称为失稳。
cr a b
a、b 是和材料有关的常数，单位是MPa
第三节 欧拉公式的适用范围及经验公式
3、中柔度杆的经验公式
材料（s b） Q235 s=235MPa b≥235MPa
a 304
b 1.12
优质碳钢s=306MPa b≥471MPa 硅钢s=353MPa b≥510MPa
铸铁 松木
461 577
332.2 39.2
2.57 3.74
1.454 0.19
第三节 欧拉公式的适用范围及经验公式
3、中柔度杆的经验公式
cr a b
经验公式也有一个适用的范围，即使用经验公式得到的临界 应力不允许超过材料的极限应力，对于塑性材料，不能超过其屈 服极限，而对于脆性材料，不能超过其强度极限。当临界应力超 过极限应力后，压杆已经因为强度不足而破坏，这样经验公式计 算的结果是毫无意义的。 对于塑性材料: 令 cr s 对于Q235钢:
l
F
F
一端固定，一端自由， 长为l 的的压杆的挠曲线 和两端铰支，长为2l的 压杆的挠曲线的上半部 分相同。则临界压力:
2l
π 2 EI Fcr (2l ) 2
第二节 细长压杆的临界力
2、其它支承情况下细长压杆的临界力 利用同样的方法得到: 两端固定的压杆的临界压力为:
π 2 EI Fcr (0.5l ) 2 π 2 EI Fcr (0.7l ) 2
美国哈特福特城的体育馆网架结构，平面92m×110m,突然于 1978年破坏而落地，破坏起因可能是压杆屈曲。以及1988年加拿 大一停车场的屋盖结构塌落，1985年土耳其某体育场看台屋盖塌 落，这两次事故都和没有设臵适当的支撑有关。
1983年10月4日，高 54.2m、长17.25m、总重 565.4KN大型脚手架局部 失稳坍塌，5人死亡、7人 受伤 。
Fcr π 2 EI cr A ( l ) 2 A
cr即为临界应力。
利用惯性半径 i 和惯性矩 I 的关系：
I i2 A
Fcr π2E cr A ( l ) 2 i
第三节 欧拉公式的适用范围及经验公式
1、临界应力与柔度
Fcr π2 E cr A ( l ) 2 i
课堂讨论 如图所示3根压杆的材 料及截面都相同，那一种情 况的压杆最容易发生失稳？ 说明理由（时间:3分钟）。
F F F
5m
A
7m
B
9m
C
第三节 欧拉公式的适用范围及经验公式
F F F
A: B: C:
l 1 5 5
l 0.7 7 4.9
l 9 0.5 4.5
5m
相当长度 μl 越大，Fcr 越小， 越容易失稳 最易失稳： A 最难失稳： C
(a)
F (b)
F n 2 k k EI l n 2 π 2 EI F (n 0,1,2,......) 2 l
第二节 细长压杆的临界力
1、两端铰支的临界力
x F
n 2 π 2 EI F l2
(n 0,1,2,......)
x F M(x) EI x O y
w w (x) y O
第一节 压杆稳定的概念
压杆失稳造成的灾难 1907年8月9日,在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的 大铁桥在施工中倒塌.灾变发生在当日收工前15分钟,桥上74人坠河 遇难.原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致. 杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构,屋面采 用预应力密肋网架结构,密肋大梁横截面(600mm×1400mm),屋面 采用现浇板,板厚120mm .2003年2月18日晚19时,当施工到26～28轴 时,支模架失稳坍塌,造成重大伤亡事故。
F b z
h l
y
第二节 细长压杆的临界力
F
一端固定，一端自由，长度因数
2
h l
b z y
在应用欧拉公式时，截面的惯性矩应取 较小的I值。
Iy
hb 90 40 mm4 48104 mm4 12 12
3 3
bh3 40 903 Iz mm4 243104 mm4 12 12
a s s b
（中长杆）。
304 235 s 61.6 1.12 工程中将柔度介于s 和p 之间的这一类压杆称为中柔度杆
第三节 欧拉公式的适用范围及经验公式
4、小柔度杆 对于 < s的压杆，小柔度杆将因压缩引起屈服或断裂破坏， 属于强度问题，当然也可以将屈服极限 s（塑性材料）和强度极 限 b（脆性材料）作为极限应力。
电子式万能试 验机上的压杆稳定 实验
第一节 压杆稳定的概念
压杆失稳的特点 压杆失稳后，压力的微小增加将引起弯曲变形的显著增大， 从而使杆件丧失承载能力。但是压杆失稳时，杆内的应力不一定 高，有时甚至低于材料的比例极限。可见，压杆失稳并非强度不 足。由于压杆稳定是突然发生的，因此所造成的后果也是很严重 的。
不稳定平衡
第一节 压杆稳定的概念
压杆失稳与临界压力
Fcr
临界状态 稳 定 过 平 衡
对应的
压力
临界压力: Fcr
不 稳 度 定 平 衡
压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为 丧失稳 定，简称 失稳。 当压杆的材料、尺寸和约束情况已经确定时， 临界压力是一个确定的值。因此可以根据杆件的实际 工作压力是否大于临界压力来判断压杆是稳定还是不 稳定。解决压杆稳定的关键问题是确定临界压力。
π 2 EI π 2 200103 108104 Fcr N 85187N 85.19kN 2 2 ( l ) (2 2500 )
第三节 欧拉公式的适用范围 及经验公式
第三节 欧拉公式的适用范围及经验公式
1、临界应力与柔度 将临界压力除以压杆的横截面面积A，就可以得到与临界压力 对应的应力为
w w (x) y O
(a)
F (b)
取
d 2 w( x) M ( x) EI dx 2 d 2 w( x) F wx EI dx 2 F k2 EI d 2 w( x) k 2 w( x) 0 dx2
第二节 细长压杆的临界力
1、两端铰支的临界力
x F
d 2 w( x) F k 2 w( x) 0 k2 EI dx2 解微分方程得到通解为
引入记号

cr
l
i
π2E
则压杆的临界应力可表示为
2
柔度（长细比）

l
i
式中 是一个没有量纲的量，称为柔度或长细比。它集中反应 了压杆的长度 l、约束条件 、截面尺寸和形状 i 等因素对临界 应力cr 的影响。
第三节 欧拉公式的适用范围及经验公式
2、欧拉公式的适用范围 在欧拉公式的推导过程中，用到了挠曲线近似微分方程， 这就决定了材料必须符合胡克定律。 材料符合胡克定律 工作应力（临界应力）小于比例极限p
l为相当长度， 为长度因数，
与压杆两端的支 承情况有关。其 数值为
一端固定一端自由 两端铰支 一端固定一端铰支 两端固定
2 1 0.7 0.5
第二节 细长压杆的临界力
2、其它支承情况下细长压杆的临界力
一端自由， 一端固定 ＝2.0
两端铰支 ＝1.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
1、两端铰支的临界力
x F
w( x) C1 sin kx C2 coskx C2 0, C1 sin kl 0
x F M(x) EI x O y
w w (x) y O
若C1=0，表明杆为直线，这与压杆处于 微弯平衡状态不符。
sin kl 0
kl nπ (n 0,1,2,....)
第三节 欧拉公式的适用范围及经验公式
cr
5、临界应力总图
s
p
cr s
cr a b
cr
π2E
2
0
s
p

细长杆—发生弹性屈曲 (p) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 (< s)
第三节 欧拉公式的适用范围及经验公式
上式表明，使杆件保持为曲线平衡 的压力，理论上是多值的。在这些压力 中，使杆件保持为曲线平衡的最小压力， 才是临界压力。 取n = 1
Fcr
2 EI
l2
(a)
F (b)
两端铰支压杆的欧拉公式
第二节 细长压杆的临界力
2、其它支承情况下细长压杆的临界力 不同约束形式 压杆的临界力，可 以用类似的方法求 解微分方程导出。 但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
一端铰支另一端固定的压杆的临界压力为:
两端铰支为:
π 2 EI Fcr 2 l
π 2 EI Fcr (2l ) 2
一端铰支，一端自由:
第二节 细长压杆的临界力
2、其它支承情况下细长压杆的临界力 综合各种不同的约束条件，统一写成如下形式:
π 2 EI Fcr ( l ) 2
上式即为欧拉公式的一般形式。