关于时针和分针的数学问题

关于时针和分针数学问题

与时针和分针相关的数学问题，主要有时针和分针何时重合，何时成一条直线，何时垂直以及计算某一时刻两针夹角度数等，这些问题最终可归结为时针和分针的夹角问题。 一、基本事实

1、每小时：分针转360°，时针转

3603012

︒

=︒ 2、每分钟：分针转

360660︒=︒，时针转301 602︒⎛⎫

=︒ ⎪⎝⎭

3、 从0：0开始，时针与分针每经过360°/(6°-12⎛⎫

⎪⎝⎭°) = 56511 (分钟)重合

一次；时钟旋转一周，两针共计重合11次； 4、 从0：0开始，时针与分针每经过180°/(6°-

12°) = 8

3211

(分钟)，时针与分针处在一条直线上。实际上，从任何一个时针与分针重合的时刻算起，8

3211

分钟后就是两针成一直线的时刻。

5、 从0：0开始，时针与分针每经过90°/(6°-

12°) = 4

1611

(分钟)，或270°/(6°-

12°) = 1

4911

(分钟)，时针与分针呈垂直。时钟旋转一周，两针相互垂直22次。 二、基本公式 1、假设经过M 分钟：

分针转过的角度 = 6 M ︒⨯

(1) 时针转过的角度 =12⎛⎫

︒⨯M ⎪⎝⎭

(2)

2、假设任意时间H ：M 时（H 点M 分），分针与时针夹角计算公式为：

16M - 30H + 2⎛⎫⎛⎫

︒⨯︒⨯︒⨯M ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

()11M - 30H 2⎛⎫

⎛⎫︒⨯︒⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

(3)

当 ()11M - 30H 02⎛⎫

⎛⎫︒⨯︒⨯>︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，分针在时针前；

当 ()11M - 30H 02⎛⎫

⎛⎫︒⨯︒⨯<︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

时，分针在时针后；

3、假设分针落后时针的夹角为D °，则分针与时针再次重叠所需时间为：

1122D D ⎛⎫

︒/=︒/11 ⎪⎝⎭

（分钟）

为了研究问题方便起见,我们不妨设m 点n 分, 两针的夹角为α。我们知道时针每小时旋转30º,则每分钟旋转)2

1

()6030(

=︒º,而分针每分钟旋转6º,所以两针的夹角就是两针旋转的角度之差的绝对值,即α=︒-︒+︒)6()2

1()30(n n m ；当α大于180º时, 两针的夹角为360º减去上式.

例1：分别求(1)5时12分,(2)11时10分时, 时针与分针的夹角.

解：(1)当m=5, n=12时, α=︒⨯-︒⨯+︒⨯)126()122

1()530(=84º,所以时针与分针的夹角为84º.

(2) 当m=11, n=10时, α=︒⨯-︒⨯+︒⨯)106()102

1()1130(=275º,360º－275º=85º, 所以时针与分针的夹角为85º.

例2：(1)求出在3时和4时之间, 时针与分针何时成直角? (2)在10时和11时之间, 时针与分针何时成150º角?

解：(1)将m=3, α=90º代入α=︒-︒+︒)6()21()30(n n m ,得n=0,或11

8

32

,即在3时整或3时11

8

32

分时, 时针与分针何时成直角. (2) 将m=10, α=150º代入α=︒-︒+︒)6()21()30(n n m ,得n=27

113或8111

9,其中

81

119超过了60,不在两个连续整点之间,应舍去,所以在10时2711

3

分时, 时针与分针成150º角.

三、例题

例1：当4点36分时，时针与分针的夹角是多少度？ 解：由公式(3)

()1136 - 4 782⎛⎫

⨯︒⨯=︒ ⎪⎝⎭

30 答：当4点36分时，时针与分针的夹角为78︒

例2：现在是6点整，问多少分钟后时针与分针第一次重合？ 解：设分钟X 后，时针与分针第一次重合，即时针与分针的夹角是0。 则：由公式（3）得：

()11 - 6 02X ⎛⎫

⨯︒⨯=︒ ⎪⎝⎭

30

解得:

X = 8

32

11

(分钟) 答： 8

3211

分钟后，时针与分针第一次重合

例3：现在是5点整，多少分钟以后，时针与分针在同一条直线上？ 解：设X 分钟后，时针与分针在同一条直线上。 则：由公式（3）得：

()11 - 30 5 1802X ⎛⎫

⎛⎫︒⨯︒⨯=︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

根据5点的位置，下一个时针与分针处在同一条直线的时刻一定是时针在前：

()11 - 30 5 1802X ⎛⎫

⎛⎫︒⨯︒⨯=︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

60(X =分钟)

答：60分钟后，时针与分针在同一条直线上（夹角为180）

例4：现在是7点整，多少分钟后，时针与分针成35的角？ 解：设X 分钟后，时针与分针成35的角 则：由公式（3）得：

()11 - 307 352X ⎛⎫

⎛⎫︒⨯︒⨯=︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()11 - 307 352X ⎛⎫

⎛⎫︒⨯︒⨯=±︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 取-35°(即分针在后的情况)，解得:

19

31

11

X = (分钟) 取 35°(即分针在前的情况)，解得:

26

44

11

X = (分钟) 答：在93111

分钟和6

4411分钟后，时针与分针两次成35°夹角。

例5：在9点与10点之间的什么时刻，时针与分针在一条直线上？ 解：设X 分钟后，时针与分针在一条直线上，这里有两种情况： 情况1：时针与分针呈180：

()11 - 309 1802X ⎛⎫

⎛⎫︒⨯︒⨯=-︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭