大学高等数学A-2试卷答案

《高等数学》考试试卷A-2参考答案及评分标准

一、单项选择题（每小题3分, 共15分)

1．B 2．C 3．C 4．D 5．B

二、填空题（每小题3分，共15分)

1．12dx dy + 2．53

3．2(,)x f a b ' 4．230+-=y z 5．18π

三、计算题(每题7分；共56分)

1．解： 设平面方程为 0+++=Ax By Cz D

根据题意有000+++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩

A B C D B C D A B C （4分）

所以有0=D ；::2:1:1=-A B C

所求平面方程为 20--=x y z （3分）

2．解：21212()2()4,z z u z v u v x y x y x x u x v x

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=++-= （3分） ()21212()2()4.z z u z v u v x y x y y y u y v y

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅-=+--= （4分）

3解：D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域

也就是{}22(,)11,21=-≤≤≤≤+D x y x x y x （3分）

(){}

22

22111112021

2240(2)(2)223221415++-+=+==+-=⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰x x x x D x y dxdyD dx x y dy dx ydy

x x dx （4分）

4．解：计算三重积分:

zdxdydz Ω

⎰⎰⎰，其中Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+及平面1z =所围成的闭区域． 解： {}(,,)(,),01z x y z x y D z Ω=∈≤≤,其中z D ：22

2x y z +≤ (+2分)

故10z D zdxdydz zdz dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰12022 3

z dz ππ==

⎰ (+5分) 5．解： 设2222

(,),(,)y x P x y Q x y x y x y ==-++，因为()()22:111L x y -+-=， 所以22

0x y +≠，而且有()22222Q x y P x y x y ∂-∂==∂∂+， .(3分) 故由格林公式得22 L ydx xdy I x y -=+⎰0xy D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=-= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ .(4分) 6．解：计算⎰⎰∑

++dxdy z dzdx y dydz x 222，∑是抛物面22y x z +=被平面1=z 所截下的有限部分的下侧。

解：由对称性知：

220x dzdy y dxdz ∑∑==⎰⎰⎰⎰ （3分） 3201052πθπ

-=-=⎰⎰⎰⎰∑dr r d dxdy z .(4分) 7．解：211111()43(1)(3)213f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭

11111111221412214124x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=-=- ⎪--+-+-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

. (3分) ()()0011111111113, 1,35114428841124n n n n n n x x x x x x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--<<=--<< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭++∑∑ 所以原式()()00

1111()11 4284n n n n n n x x f x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ ()()223011111322n n n n n x x ∞++=⎛⎫=----<< ⎪⎝⎭∑ （4分)

8．解 11lim 11n R n n →∞==+，所以收敛半径为1；在端点1=x 处，级数为11n n

∞=∑，发散；

在端点1=-x 处，级数为()1

1n n n ∞=-∑为收敛的交错级数．所以收敛域为[1,1)- （2分） 令1()n n x S x n ∞==∑，则当1x <时有 11

1()1n n S x x x ∞-='==-∑， （2分） 因(0)0S = 于是在[0,]x 上积分得：()ln(1),[1,1)=--∈-S x x x ． (3分)

四、应用题（8分）

解：

设球面方程为z =(),,x y z 是它的内接长方体在第一卦限内的顶点，则长方体的长、宽、高分别为2,2,x y z 体积为4V xyz = （3分） 做辅助函数()

2222(,,,)4F x y z xyz x y z a λλ=+++-则有方程组

2222420420420x x x F yz x F xz y F xy z x y z a =+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪++=⎩

解得x y z === （3分） 根据实际问题可知，这种长方体的体积为最大，所以当长、宽、高分别

为2x y z =

==

体积最大3V =。 （2分） 五、证明题（6分）

证明: 证明：因为级数2

1n

n u ∞=∑、211n n ∞

=∑均收敛，所以21n n u ∞=∑+211n n ∞=∑ 即2211()n n u n ∞=+

∑收敛 （2分） 因为22112n n u u n n

+≥ （2分） 因此112n n u n ∞=∑收敛，即11n n u n

∞=∑绝对收敛。 （2分）